高考数学(理)一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 5 Word版含解析
高考数学(理)一轮复习课时训练：第二章 基本初等函数、导数及其应用 2-10 Word版含解析
课时规范训练A组基础演练1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2 D．0解析：选B.f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为() A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0解析：选A.切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x30＝4，∴x0＝1，∴切点为(1,1)，即y－1＝4(x－1)，整理得l的方程为4x－y－3＝0.3．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为()A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2解析：选C.∵y＝ln x的导数为y′＝1x，∴1x＝12，解得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y＝12x＋b，得b＝ln 2－1.4．曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是() A．(0,1) B．(1，－1)C．(1,3) D．(1,0)解析：选C.y′＝3x＋1，令y′＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴点P0的坐标是(1,3)．5．直线y＝kx＋b与曲线y＝ax2＋2＋ln x相切于点P(1,4)，则b的值为() A．3 B．1C．－1 D．－3解析：选C.由点P (1,4)在曲线上可得a ×12＋2＋ln 1＝4，解得a ＝2，故y ＝2x 2＋2＋ln x ，所以y ′＝4x ＋1x ，所以曲线在点P 处切线的斜率＝1＝4×1＋11＝5. 所以直线的方程为y ＝5x ＋b .由点P 在直线上得4＝5×1＋b ，解得b ＝－1，故选C.6．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析：选C.y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为＝2.7．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0，m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.8．在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A.依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′＜1得3≤x 2＜103，显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.9．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝()A．26B．29C．212D．215解析：选C.依题意，记g(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f(x)＝xg(x)，f′(x)＝g(x)＋xg′(x)，f′(0)＝g(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝212，故选C.10．已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N*，则f2 019(x)等于()A．－sin x－cos x B．sin x－cos xC．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x解析：选A.∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，∴f n(x)是以4为周期的函数，∴f2 019(x)＝f3(x)＝－sin x－cos x，故选A.B组能力突破1．已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝2x2－7x＋6，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程是()A．y＝2x－1 B．y＝xC．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3解析：选C.法一：令x＝1得f(1)＝1，令2－x＝t，可得x＝2－t，代入f(2－x)＝2x2－7x＋6得f(t)＝2(2－t)2－7(2－t)＋6，化简整理得f(t)＝2t2－t，即f(x)＝2x2－x，∴f′(x)＝4x－1，∴f′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.法二：令x＝1得f(1)＝1, 由f(2－x)＝2x2－7x＋6，两边求导可得f′(2－x)·(2－x)′＝4x－7，令x＝1可得－f′(1)＝－3，即f′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.2．已知函数f(x)＝a sin x＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 017)＋f(－2 017)＋f′(2 018)－f′(－2 018)＝()A．0 B．2 017C．2 018 D．8解析：选D.设g(x)＝a sin x＋bx3，∴f(x)＝g(x)＋4，且g(－x)＝－g(x)，所以f(2 017)＋f(－2 017)＝g(2 017)＋4＋g(－2 017)＋4＝8，又因为f′(x)＝a cos x＋3bx2，所以f′(x)为R上的偶函数，则f′(2 018)－f′(－2 018)＝0，所以f(2 017)＋f(－2 017)＋f′(2 018)－f′(－2 018)＝8，故选D.3．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.答案：x－y－2＝04．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝________. 解析：对f(x)＝3x2＋2xf′(2)求导，得f′(x)＝6x＋2f′(2)．令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝6.答案：65．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________.解析：设e x＝t，则x＝ln t(t＞0)，∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝1t＋1，∴f′(1)＝2.答案：26．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x.∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，x＋1x－a＝0，∴a＝x＋1x≥2.答案：2，＋∞)。
近年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数(Ⅰ)第5课 函数的单调性与最值课时分层训练(2
（江苏专用）2018高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数（Ⅰ）第5课函数的单调性与最值课时分层训练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数（Ⅰ）第5课函数的单调性与最值课时分层训练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二章函数概念与基本初等函数（Ⅰ）第5课函数的单调性与最值课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟）一、填空题1．函数y＝(2k＋1）x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________.【导学号：62172026】错误!［由题意知2k＋1＜0，得k＜－错误!.]2．给定函数：①y＝x；②y＝log错误!(x＋1）；③y＝｜x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是________．②③［①y＝x在区间(0，1）上单调递增；②y＝log错误!(x＋1）在区间(0，1)上单调递减；③y＝|x－1｜＝错误!在区间(0，1）上单调递减;④y＝2x＋1在区间（0，1)上单调递增．］3．已知函数f（x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是________. 【导学号：62172027】（－∞，1] ［函数f(x）＝错误!即函数f（x)在(－∞，－a)上是减函数，在[－a，＋∞）上是增函数，要使函数f（x)在(－∞,－1）上单调递减，则－a≥－1，即a≤1。
]4．函数f(x）＝2xx＋1在［1,2］上的最大值和最小值分别是________．错误!，1 ［f(x）＝错误!＝错误!＝2－错误!在［1,2］上是增函数，∴f（x）max＝f（2）＝错误!，f（x)min＝f（1)＝1。
高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2 5指数与指数函
高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2 5指数与指数函高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数i2-5指数与指数函.......................................................................... .....................中考数学一轮备考第二章函数概念与基本初等函数i2-5指数与指数函数课时作业理练习基础稳固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.×0＋×－＝________.解析原式＝＝2.答案22．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．解析∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．函数f(x)＝3x在r上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.答案m>n3．(2021衡水中学演示翻拍)若a＝x，b＝x2，c＝x，则当x>1时，a，b，c的大小关系是________(从小到大)．解析当x>1时，01，c＝x<0，所以c1/7.......................................................................... .....................4.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，给出下列结论：①a>1，b<0；②a>1，b>0；③00；④0其中推论恰当的结论存有________(填上序号)．解析由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0函数f(x)＝ax－b的图象就是在f(x)＝ax的基础上向左位移获得的，所以b<0.答案④5．(2021南京、盐城一模)已知c＝则a，b，c的大小关系是________．解析∵y＝x在r上为减函数，>，∴b，∴a>c，∴b6．(2021南京调研)已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，如果以p(x1，f(x1))，q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)f(x2)＝________.解析∵以p(x1，f(x1))，q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，2/7.......................................................................... .....................∴x1＋x2＝0.又∵f(x)＝ax，∴f(x1)f(x2)＝ax1ax2＝ax1＋x2＝a0＝1.答案17．(2021南通调研)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足用户f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．解析由f(1)＝，得a2＝，Champsaura＝或a＝－(舍弃)，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，所以f(x)在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增．答案[2，＋∞)8．(2021安徽江南十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．解析ex，x≥1，f(x)＝?e|x－2|，x<1.?当x≥1时，f(x)＝ex≥e(x＝1时，挑等号)，当x<1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x>e，因此x＝1时，f(x)存有最小值f(1)＝e.答案e二、答疑题9．已知f(x)＝x3(a>0，且a≠1)．(1)探讨f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．解(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．3/7.......................................................................... .....................对于定义域内任一x，存有f(－x)＝(－x)3＝(－x)3＝(－x)3＝x3＝f(x)．∴f(x)就是偶函数．(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需探讨x>0时的情况，当x>0时，要使f(x)>0，即x3>0，即为＋>0，即为>0，则ax>1.又∵x>0，∴a>1.因此a>1时，f(x)>0.10．已知定义域为r的函数f(x)＝是奇函数．(1)谋a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.解(1)因为f(x)是定义在r上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)言＝－，Champsaura＝2.(2)由(1)言f(x)＝＝－＋.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在r上是减函数)．又因为f(x)就是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<4/7.......................................................................... .....................－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．因为f(x)就是减至函数，由上式求出t2－2t>－2t2＋1，即3t2－2t－1>0，求解不等式只须t＞1或t＜－，故原不等式的边值问题为.能力提升题组(建议用时：20分钟)11．若存有正数x并使2x(x－a)<1设立，则a的值域范围就是________．解析因为2x>0，所以由2x(x－a)<1得a>x－x，令f(x)＝x－x，则函数f(x)在(0，＋∞)上就是增函数，所以f(x)>f(0)＝0－0＝－1，所以a>－1.答案(－1，＋∞)12．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论：①a<0，b<0，c<0；②a<0，b≥0，c>0；③2－a<2c；④2a＋2c<2.其中一定成立的是________(填序号)．解析。
高考数学(理)一轮复习文档 第二章 基本初等函数、导数及其应用 第1讲 函数及其表示 Word版含答案
知识点第1讲 函数及其表示1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．1．辨明两个易误点(1)易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．(2)分段函数是一个函数，而不是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．2．函数解析式的四种常用求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．1.教材习题改编 函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( ) A ． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1D 若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1；若a ＜0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1. 3.教材习题改编如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )D 由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意． 4．若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________． 因为x －4有意义，所以x －4≥0，即x ≥4. 又因为y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2， 所以y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. 所以其值域为 作出其图象如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x ＋a |，y ＝1，得 A (－1－a ，1)，B (1－a ，1)，所以|AB |＝2，所以S △ABC ＝12×2×1＝1.1函数的基本概念以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f 1：y ＝x x；f 2：y ＝1. (2)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.f 2：(3)f 1：y ＝2x ；f 2【解】 (1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R .(2)同一函数，x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．(3)同一函数．理由同(2)．函数为同一个函数的判断方法(1)两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．(2)函数的自变量习惯上用x 表示，但也可用其他字母表示，如：f (x )＝2x －1，g (t )＝2t －1，h (m )＝2m －1均表示同一函数．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0，表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________．对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，若x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③. ②③求函数的定义域(1)函数f (x )＝x ＋2x 2lg （|x |－x ）的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域是，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域为________． 【解析】 (1)要使函数f (x )有意义，必须使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x 2≥0，|x |－x >0，|x |－x ≠1，解得x <－12.所以函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x <1，即定义域是1．(2017·淄博模拟)函数f (x )＝3x21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 B 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0.解得－13<x <1.2．函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．由⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|≥0，a x －1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0⇒0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0，2]．(0，2]求函数的解析式(1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，则f (x )的解析式为________．(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________．(3)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________．(4)函数f (x )满足方程2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2x ，x ∈R 且x ≠0，则f (x )＝________．【解析】 (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t ，由于x >0，所以t >1且x ＝2t －1，所以f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3.所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3.(4)因为2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，①将x 换成1x ，则1x换成x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝2x.②由①②消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x，得3f (x )＝4x －2x.所以f (x )＝43x －23x(x ∈R 且x ≠0)．【答案】 (1)f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2) (2)f (x )＝lg2x －1(x ＞1) (3)f (x )＝x 2－x ＋3 (4)43x －23x(x ≠0)若本例(4)条件变为2f (x )＋f (－x )＝2x ，求f (x )． 因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，①将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x .1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为f (x )＝__________． 法一：设t ＝x ＋1， 则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：因为x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， 所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)．x 2－1(x ≥1)2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )的解析式为f (x )＝__________．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， 所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.x 2＋2x ＋1分段函数(高频考点)分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对分段函数的考查主要有以下四个命题角度：(1)由分段函数解析式，求函数值(或最值)； (2)由分段函数解析式与方程，求参数的值(或范围)； (3)由分段函数解析式，求解不等式；(4)由分段函数解析式，判断函数的奇偶性．(本章第3讲再讲解)(1)(2015·高考陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1B ．14C.12D ．32(2)(2017·青岛模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的集合是________．【解析】 (1)因为－2<0，所以f (－2)＝2－2＝14>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12. (2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，21－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 2x ≤2，解得0≤x ≤1或x >1，所以x ≥0. 【答案】 (1)C (2){x |x ≥0}分段函数问题的求解策略(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．角度一 由分段函数解析式，求函数值(或最值)1．(2017·云南省第一次统一检测)已知函数f (x )的定义域为实数集R ，∀x ∈R ，f (x－90)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0－x ，x ≤0，则f (10)－f (－100)的值为________．因为f (10)＝f (100－90)＝lg 100＝2，f (－100)＝f (－10－90)＝－(－10)＝10，所以f (10)－f (－100)＝2－10＝－8.－8角度二 由分段函数解析式与方程，求参数的值(或范围)2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0，若f (α)＝4，则实数α的值为( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2B 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，α＝－4；当α＞0时，f (α)＝α2＝4，α＝2，故选B ．角度三 由分段函数解析式，求解不等式3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))＞3a 2，则a 的取值范围是________．由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ， 若f (f (1))＞3a 2，则9＋6a ＞3a 2，即a 2－2a －3＜0， 解得－1＜a ＜3. (－1，3)——分类讨论思想在分段函数中的应用(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14【解析】 由于f (a )＝－3， ①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x＞0，所以2a －1＝－1无解；②若a ＞1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.【答案】 A(1)解答本题利用了分类讨论思想，因f (x )为分段函数，由于a 不确定，应分情况讨论．(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．1.(2017·德州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则实数a 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．D 依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，（－a ）2＋2（－a ）＋a 2－2a ≤0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，（－a ）2－2（－a ）＋a 2＋2a ≤0，解得a ∈． 2．(2017·河南开封一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则方程f (x )＝1的解集为________．由f (x )＝1，知当x ≤0时，2x＝1，则x ＝0；当x >0时，则|log 2x |＝1，解得x ＝12或2，所以所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，21．(2017·黑龙江哈尔滨一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x >0，则f (f (1))的值是( )A ．－10B ．10C ．－2D ．2C f (1)＝21－4＝－2，所以f (f (1))＝f (－2)＝2×(－2)＋2＝－2，故选C. 2．下列哪个函数与y ＝x 相等( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝2log 2xC ．y ＝x 2D ．y ＝(3x )3D y ＝x 的定义域为x ∈R ，而y ＝x 2x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，y ＝2log 2x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ＞0}，排除A 、B ；y ＝x 2＝|x |定义域为x ∈R ，对应关系与y ＝x 的对应关系不同，排除C ；而y ＝(3x )3＝x ，定义域与对应关系与y ＝x 均相同，故选D ．3．(2015·高考山东卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f (f (56))＝4，则b ＝( )A ．1B ．78 C.34D ．12D f (56)＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×(52－b )－b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12.4．函数f (x )＝ln(1＋1x)＋1－x 2的定义域为( )A ．(－1，1]B ．(0，1]C ．D ． 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x＞0，x ≠0，1－x 2≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，x ≠0，－1≤x ≤1.则x ∈(0，1]．所以原函数的定义域为(0，1]．5．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2xB 用待定系数法，设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，因为g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，所以g (x )＝3x 2－2x .6．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4D 由已知可得M ＝N ，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＝－2b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0， 所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4. 7．已知f (2x ＋1)＝3x －4，f (a )＝4，则a ＝________． 令2x ＋1＝a ，则x ＝a －12，则f (2x ＋1)＝3x －4可化为f (a )＝3（a －1）2－4，因为f (a )＝4，所以3（a －1）2－4＝4，解得a ＝193.193 8.若函数f (x )在闭区间上的图象如图所示，则此函数的解析式为________． 由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤29．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．当a >0时，1－a <1，1＋a >1，此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32.不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1，1＋a <1，此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a ，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.－3410．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，1x ，x <0，若f (f (a ))＝－12，则实数a ＝________.若f (a )≥0，则f (a )＝1，此时只能是a >0，于是a ＝4；若f (a )<0，则f (a )＝－2，此时只能是a <0，于是a ＝－12(若a >0，由a2－1＝－2，解得a ＝－2不满足题意)．4或－1211．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：12．设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，要求满足条件AB ＋BC ＋CD ＝a (常数)，∠ABC ＝120°，写出横截面的面积 y 关于腰长x 的函数，并求它的定义域和值域．如图，因为AB ＋BC ＋CD ＝a ，所以BC ＝EF ＝a －2x >0， 即0<x <a2，因为∠ABC ＝120°，所以∠A ＝60°，所以AE ＝DF ＝x 2，BE ＝32x ，y ＝12(BC ＋AD )·BE ＝3x 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（a －2x ）＋x 2＋x 2＝34(2a －3x )x ＝－34(3x 2－2ax ) ＝－334⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋312a 2， 故当x ＝a 3时，y 有最大值312a 2，它的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，312a 2.。
高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示学案(理)解析版
1 第一节 函数及其表示 1．函数的概念 (1)定义： 设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记为y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (5)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 2．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． [小题体验] 1．(2019·无锡一中期中测试)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为________． 解析：由题意知，x2－x＞0，即x＜0或x＞1. 则函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪(1，＋∞) 2．已知f(x)＝x－1，则f(2)＝________. 解析：令x＝2，则x＝4，所以f(2)＝3. 答案：3
3．(2019·海头高级中学高三期中)若函数f(x)＝ 2＋log3x，x＞0，3－log2－x，x＜0，则f(3)＋f(－2)＝________. 答案：5 2
4．已知函数f(x)＝ 3x，x≤1，－x，x＞1.若f(x)＝2，则x＝________. 解析：依题意得当x≤1时，3x＝2，所以x＝log32； 当x＞1时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝log32. 答案：log32
1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域． 2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论． [小题纠偏]
高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数(ⅰ) 第5节 指数与指数函数课件 文
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
4
(1)
（－4）4＝－4.(
)
2
1
(2)(－1)4＝(－1)2＝ －1.( )
(3)函数 y＝2x－1 是指数函数．( )
(4)函数 y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．( )
12/11/2021
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考点 指数函数的图象及应用
【例】 (1)函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的 是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 (2)若方程|3x－1|＝k 有一解，则 k 的取值范围为________．
12/11/2021
(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ 6 __a_r_＋_s____ (a＞0，r，s∈Q)， ②(ar)s＝ 7 ___a_r_s____ (a＞0，r，s∈Q)， ③(ab)r＝ 8 __a_r_b_r____ (a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数及其性质 (1)概念：函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定 义域是 R，a 是底数．
性质 当 x＜0 时， 12 _0_＜__y_＜__1__ 当 x＞0 时， 14 _0_＜__y_＜__1__
在 ( － ∞ ， ＋ ∞) 上 是 15 在 ( － ∞ ， ＋ ∞) 上 是 16
_增__函__数____
_减__函__数____
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‖常用结论‖ 1．指数函数的单调性仅与底数 a 的取值有关． 2．画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， －1，1a.
高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 第5讲 指数与指数函数练习(2021年最新整理)
（浙江专用）2018版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 第5讲 指数与指数函数练习 1 （浙江专用）2018版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I
第5讲 指数与指数函数练习
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2 第二章 函数概念与基本初等函数I 第5讲 指数与指数函数练习
基础巩固题组 （建议用时：40分钟) 一、选择题 1.（2017·衡水中学模拟)若a＝错误!错误!,b＝x2，c＝log错误!x，则当x〉1时，a，b，c的大小关系是（ ） A.ca C。ab 解析 当x>1时，01,c＝log错误!x<0，所以c〈a〈b. 答案 A 2。函数f(x）＝ax－b的图象如图所示,其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ） A.a>1，b〈0 B。a〉1，b〉0 C。0〈a<1，b>0 D。0解析 由f（x）＝ax－b的图象可以观察出，函数f（x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0函数f(x）＝ax－b的图象是在f（x）＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0。 答案 D 3.(2017·德州一模)已知a＝错误!错误!，b＝错误!错误!，c＝错误!错误!,则（ ） A。aa C。ca 解析 ∵y＝错误!错误!在R上为减函数，错误!〉错误!，∴b〈c。 又∵y＝x错误!在（0，＋∞）上为增函数，错误!〉错误!, ∴a〉c,∴b答案 D 4。（2017·安阳模拟)已知函数f(x）＝ax(a>0，且a≠1），如果以P（x1，f(x1）），Q（x2，f(x2)）为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f（x2)等于（ ) A。1 B。a C。2 D。a2 解析 ∵以P（x1,f（x1）)，Q(x2，f（x2））为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0. 又∵f（x)＝ax， （浙江专用）2018版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 第5讲 指数与指数函数练习 3 ∴f(x1)·f（x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1。
高考(新课标)数学(理)大一轮复习检测：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2-6 Word版含答案
A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．(2017·浙江台州中学期中)函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是()【解析】∵函数f (x )＝lg(|x |－1)，∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)；f (－x )＝lg(|x |－1)＝f (x )，f (x )是偶函数；当x ＞2或x ＜－2时，y ＞0，当－2＜x ＜－1或1＜x ＜2时，y ＜0.故选B.【答案】 B2．(2017·吉林长春外国语学校期末)记a ＝1e －ln 1e ，b ＝12e －ln 12e ，c ＝2e －ln 2e ，其中e 为自然对数的底数，则a ，b ，c 这三个数的大小关系是()A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．b ＞c ＞aD ．b ＞a ＞c【解析】∵a ＝1e －ln 1e ＝1e ＋1，b ＝12e －ln 12e ＝12e ＋1＋ln 2，c ＝2e －ln 2e ＝2e ＋1－ln 2，∵e ≈2.718 28，12＜ln 2＜1，∴b ＞a ＞c .故选D.【答案】 D3．(2017·河南安阳第三次联考)已知偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系是()A ．f (a ＋1)≥f (b ＋2)B ．f (a ＋1)＞f (b ＋2)C ．f (a ＋1)≤f (b ＋2)D ．f (a ＋1)＜f (b ＋2)【解析】∵y ＝log a |x －b |是偶函数，∴log a |x －b |＝log a |－x －b |，∴|x －b |＝|－x －b |，∴x 2－2bx ＋b 2＝x 2＋2bx ＋b 2，整理得4bx ＝0.由于x 不恒为0，故b ＝0.由此函数变为y＝log a |x |.当x ∈(－∞，0)时，由于内层函数是一个减函数，又偶函数y ＝log a |x －b |在区间(－∞，0)上递增，故外层函数是减函数，故可得0＜a ＜1.综上得0＜a ＜1，b ＝0.∴a ＋1＜b ＋2，而函数f (x )＝log a |x －b |在(0，＋∞)上单调递减，∴f (a ＋1)＞f (b ＋2)．故选B.【答案】 B4．(2017·湖南长沙长郡中学第六次月考)设a ＝log 132，b ＝log 23，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，则()A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a【解析】∵a ＝log 132＜0＜c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3＜⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1＜b ＝log 23，∴b ＞c ＞a . 【答案】 D5．(2017·吉林省实验中学五模)已知函数f (x )＝ln(1＋4x 2－2x )＋3，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 12＝()A ．0B ．－3C ．3D ．6【解析】由函数解析式，得f (x )－3＝ln(1＋4x 2－2x )，所以f (－x )－3＝ln(1＋4x 2＋2x )＝ln11＋4x 2－2x＝－ln(1＋4x 2－2x )＝－，所以函数f (x )－3为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝6，于是f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝6.故选D.【答案】 D6．(2017·河南信阳八模)若函数f (x )＝log t |x ＋1|在区间(－2，－1)上恒有f (x )＞0，则关于t 的不等式f (8t－1)＜f (1)的解集为________．【解析】∵x ∈(－2，－1)，∴|x ＋1|∈(0，1)． 又f (x )＝log t |x ＋1|在区间(－2，－1)上恒有f (x )＞0， ∴0＜t ＜1.∵f (8t －1)＜f (1)，即log t 8t ＜log t 2，∴8t＞2，t ＞13，因此t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 7．(2016·浙江)已知a ＞b ＞1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．【解析】令log b a ＝t ，则t ＞1，∴t ＋1t ＝52，解得t ＝2，∴a ＝b 2.又∵a b ＝b a ，∴b 2b ＝bb 2，∴2b ＝b 2，∴b ＝2.∴a ＝4. 【答案】 428．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．【解析】 (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1，3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2，∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)10．(2017·皖北联考)设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 727，则()A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c【解析】因为log 323＝log 32－1，log 525＝log 52－1，log 727＝log 72－1，log 32＞log 52＞log 72，故a ＞b ＞c .【答案】 D11．(2017·广西武鸣高中月考)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为()A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)【解析】由x 2－4＞0得x ＜－2或x ＞2，因此函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t ＝x 2－4，当x ∈(－∞，－2)时，t 随x 的增大而减小，y ＝log 12t 随t 的减小而增大，所以y ＝log 12(x 2－4)随x 的增大而增大，即f (x )在(－∞，－2)上单调递增．故选D.【答案】 D12．(2017·湖北华师一附中3月联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝________． 【解析】因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 222－1＝32. 【答案】3213．(2017·江苏常州一模)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________． 【解析】由题意知0＜－x 2＋22≤22＝232，结合对数函数图象，知f (x )∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32，故答案为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32.【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，3214．(2017·河南许昌第三次联考)已知f (x )＝log a 1－x1＋x (a ＞0，且a ≠1)．(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 017的值．(2)当x ∈(其中t ∈(0，1)，且t 为常数)时，f (x )是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．(3)当a ＞1时，求满足不等式f (x －2)＋f (4－3x )≥0的x 的取值范围． 【解析】 (1)由1－x1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，∴f (x )的定义域为(－1，1)． 又f (－x )＝log a 1＋x 1－x ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－log a 1－x1＋x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 017＝0.(2)设－1＜x 1＜x 2＜1，则1－x 11＋x 1－1－x 21＋x 2＝2（x 2－x 1）（1＋x 1）（1＋x 2）. ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0， (1＋x 1)(1＋x 2)＞0，∴1－x 11＋x 1＞1－x 21＋x 2.当a ＞1时，f (x 1)＞f (x 2)，f (x )在(－1，1)上是减函数．又t ∈(0，1)∴x ∈时，f (x )有最小值，且最小值为f (t )＝log a 1－t1＋t .当0＜a ＜1时，f (x 1)＜f (x 2)，f (x )在(－1，1)上是增函数．又t ∈(0，1)，∴x ∈时，f (x )有最小值，且最小值为f (－t )＝log a 1＋t1－t .(3)由(1)及f (x －2)＋f (4－3x )≥0，得f (x －2)≥－f (4－3x )＝f (3x －4)．∵a ＞1，∴f (x )在(－1，1)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤3x －4，－1＜x －2＜1，－1＜3x －4＜1，解得1＜x ＜53.∴x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53.。
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【课时训练】第5节 函数的单调性与最值
一、选择题
1．(2018安徽淮北一中四模)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函
数的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1
C．y＝12x D．y＝x＋1x
【答案】A
【解析】函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋
∞)上一定是增函数．
2．(2018湖南邵阳第二次联考)如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x
＋b在(－∞，1)上是减函数，则( )
A．a＝－2 B．a＝2
C．a≤－2 D．a≥2
【答案】C
【解析】二次函数f(x)的对称轴为x＝－a－13，由题意知－
a－1
3
≥1，即a≤－2.
3．(2018重庆一中期中)给定函数①y＝x 12 ；②y＝log12 (x＋1)；
③y＝|x－1|；④y＝2x＋1.其中在(0,1)上为减函数的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【答案】B
【解析】①y＝x 12 在(0,1)上单调递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上单
调递增，而y＝log12 t在(0,1)上单调递减，故y＝log12 (x＋1)在(0,1)上
单调递减；③结合图象(图略)可知y＝|x－1|在(0,1)上单调递减；④∵u
＝x＋1在(0,1)上单调递增，y＝2u在(0,1)上单调递增，故y＝2x＋1在(0,1)
上单调递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.
4．(2018湖北省级示范高中期中联考)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)
＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
【答案】D
【解析】由于g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上是减函数，所以a＞0；
由于f(x)＝－x2＋2ax在区间[1,2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x＝
a，则a≤1.综上有0＜a≤1.故选D.
5．(2018四川名校第一次联考)已知定义在R上的函数f(x)的图
象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则( )
A．f(－1)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
【答案】A
【解析】依题意得f(3)＝f(1)，且－1<1<2.又函数f(x)在(－∞，2)
上是增函数，则f(－1)
＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
【答案】B
【解析】易知，函数f(x)＝2|x－a|＋3的增区间为[a，＋∞)，减
区间为(－∞，a]．
因为函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a>1.故
选B.
7．(2018九江模拟)已知函数f(x)＝log2x＋11－x，若x1∈(1,2)，x
2
∈(2，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
【答案】B
【解析】∵函数f(x)＝log2x＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2) A.－∞，23 B．(0，＋∞) C.0，23 D．(－∞，0)∪23，＋∞ ∴ －1<1－a<1，－1<2a－1<1，1－a>2a－1，解得0 【解析】函数f(x)＝1＋2x－1在[2,5]上为减函数，故其最大值为 11．(2018湖北荆州模拟)设函数f(x)＝ 1，x>0，0，x＝0，－1，x<0，g(x)＝x2f(x 【答案】[0,1) g(x)＝ x2，x>1，0，x＝1，－x2，x<1. 12．(2018辽宁大连质检)已知函数f(x)＝ x＋2x－3，x≥1，lgx2＋1，x<1，则 【解析】当x≥1时，x＋2x－3≥2 x·2x－3＝2 2－3，当且 13．(2018河南信阳调研)已知函数f(x)＝xx－a(x≠a)． 则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2x1－x2x1＋2x2＋2. (2)【解】任取1 －a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是 14．(2018广西名校联考)已知函数f(x)＝ax＋1a(1－x)(a>0)，且f(x) f(x)在[0,1]上为增函数，∴g(a)＝f(0)＝1a；当0 此时g(a)＝1.∴g(a)＝ a，0
＝0，
∴当x1∈(1,2)时， f(x1)
8．(2018山东潍坊四县联考)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减
函数，且f(1－a)
【答案】C
【解析】∵f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，
9．(2018山西太原模拟)已知函数f(x)＝x＋1x－1，x∈[2,5]，则f(x)
的最大值是________．
【答案】3
f(2)＝1＋2＝3.
10．(2019四川成都外国语学校段考)函数f(x)＝log2 (x2－ax＋3a)
在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－4,4]
【解析】因为函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，
所以当x∈[2，＋∞)时，x2－ax＋3a>0且函数g(x)＝x2－ax＋3a为增
函数，即a2≤2且f(2)＝4＋a>0，解得－4
－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
【解析】由题意知
函数图象如图所示，由图象可得函数g(x)的单调递减区间是
[0,1)．
f(x)的最小值是________．
【答案】2 2－3
仅当x＝2x，即x＝2时等号成立，此时f(x)min＝2 2－3＜0；当x
＜1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f(x)min＝0.所以f(x)的最小值为
2 2－3.
三、解答题
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
(1)【证明】任取x1
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
x1－ax2－a
.∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x
2
(0,1]．
在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．
【解】f(x)＝ax＋1a(1－x)＝a－1ax＋1a.当a>1时，a－1a>0，此时
最大值1.