【精美排版】2018年秋高中数学第一章集合与函数概念阶段复习课新人教A版必修1
2018学年高一数学人教A版必修一 课件 第一章 集合与函数概念 1.2.1 精品
[归纳升华] 1．判断一个对应关系是不是函数关系的方法 (1)A，B 必须都是非空数集；(2)A 中任意一个数在 B 中必须有并且是唯一 的实数和它对应． [注意] A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余． 2．函数的定义中“任意一个 x”与“有唯一确定的 y”说明函数中两变量 x，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.
[归纳升华] 求函数值域的方法
求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过 配方转化为能直接看出其值域的方法； (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反 比例函数类”的形式，便于求值域； (4)换元法：对于一些无理函数(如 y＝ax±b± cx±d)，通过换元把它们转化 为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域.
3．求下列函数的值域： (1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； (3)y＝2xx－＋31； (4)y＝2x－ x－1.
解析： (1)(观察法)因为 x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域 为{2,3,4,5,6}．
(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由 x∈[0,3)，再结合函数的图象， 可得函数的值域为[2,6)．
2．函数的定义域与值域 函数 y＝f(x)中，x 叫__自__变__量___，_x_的__取__值___范__围___叫函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做__函__数__值___，函数值的集合_{f_(_x_)|_x_∈__A_}_叫做函数的值 域．显然，值域是集合 B 的_子__集___．
2018版高中人教A版数学必修1课件：第一章 集合与函数概念1-3-1-1 精品
[典例 3] (1)函数 f(x)＝x2－2mx－3 在区间[1,2]上单调，则 m 的取值范围是________．
(2)已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1－a)＜f(2a －1)，求 a 的取值范围．
(1)[答案] (－∞，1]∪[2，＋∞)
[解析] 二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位 置，函数 f(x)＝x2－2mx－3 的对称轴为 x＝m，函数在区间[1,2] 上单调，则 m≤1 或 m≥2.
答案：A 解析：结合图象可知，函数 f(x)在[－1,2]上是“上 升”的，故选 A.
2．函数 y＝(2k＋1)x＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )
A．k>12
B．k<12
C．k>－12
D．k<－12
答案：D 解析：当 2k＋1<0，即 k<－12时，函数 y＝(2k＋
1)x＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数．
3．函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)的单调递增区间 是________．
答案：(－∞，1]和(1，＋∞) 解析：由图象可知，函数 f(x) 的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．
4 ． 若 函 数 f(x) 是 [ － 2,2] 上 的 减 函 数 ， 则 f( － 1)________f(2)．(填“＞”“＜”或“＝”)
－2ba，＋∞ ________ ________ ________
________
________ ________
增函数
答案：减函数 (－∞，0) 减函数 (0，＋∞) 增函数 (－ ∞，0) 增函数 －∞，－2ba 减函数
－2ba，＋∞ 减函数 －∞，－2ba
2018版高中人教A版数学必修1课件：第一章 集合与函数概念1-3-2-2 精品
[思路点拨] f1－x＋f1－3x＜0 →
由fx是奇函数 f1－x＜f3x－1
→
列出关于x的不等式
→
结果
[解析] ∵y＝f(x)，x∈(－1,1)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＋f(1－3x)＜0 可化为 f(1－x)＜－f(1－3x)， 即 f(1－x)＜f(3x－1)． 又∵y＝f(x)在(－1,1)上是减函数，
类型 2 应用函数的单调性与奇偶性判定函数 值的大小 [要点点击] 判断函数值的大小首先要看自变 量是否在同一单调区间上． (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化 到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
[典例 2] 设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x∈[0，＋∞)时， f(x)是增函数，则 f(－2), f(π)，f(－3)的大小关系是( )
2．解：设矩形熊猫居室的面积为 y m2， 由题意，得长为30－2 3xm， 那么 y＝x·30－2 3x＝－3x2－2 10x ＝－3x－252＋75. 所以当 x＝5 时，y 有最大值 37.5. 答：宽 x 为 5 m 时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大， 最大面积是 37.5 m2.
类型 1 利用函数的奇偶性求解析式 [要点点击] 利用奇偶性求函数解析式的思路及注意点 (1)思路： ①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区 间内． ②利用已知区间的解析式代入． ③利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x)．
(2)注意点： 若函数 f(x)的定义域内含 0 且为奇函数时，则必有 f(0)＝0， 但若为偶函数，未必 f(0)＝0.
(2)设 x1，x2 是(－∞，0)上的任意两个实数且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝1－x11－1－x12＝x12－x11＝x1x－1x2x2. ∵x1＜x2＜0， ∴x1－x2＜0，x1x2＞0. ∴f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)． ∴f(x)＝1－1x在(－∞，0)上是增函数．
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3 集合的基本运算(第2课时)补集及综合应用学案 新人教A
2018版高中数学第一章集合与函数概念1.1.3 集合的基本运算（第2课时）补集及综合应用学案新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第一章集合与函数概念1.1.3 集合的基本运算（第2课时）补集及综合应用学案新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时补集及综合应用1．了解全集的含义及其符号表示．（易混点）2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点）3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)[基础·初探]教材整理补集阅读教材P10补集以下部分，完成下列问题．1．全集(1）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．（2)记法:全集通常记作U。
2．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝｛x|x∈U，且x∉A}图形语言3∁U U＝∅,∁U∅＝U，∁U（∁U A）＝A.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1)只有实数R才可以做为全集U.（）(2）一个集合的补集一定含有元素．( ）(3）集合∁Z N与集合∁Z N＊相等．（)【解析】（1）×.由全集的定义可知，所有的集合都可以做为全集．(2)×。
∵∁U U＝∅,∴（2）错．(3）×.∵0∉∁Z N,而0∈∁Z N＊，∴(3）错．【答案】（1)×（2)×（3）×2．已知全集U＝{x｜|x｜<5,x∈Z｝，A＝{0,1，2｝，则∁U A＝________。
2018人教A版高中数学必修一课件：第一章 集合与函数概念 5 精品
8．{a|a≥2} 解析：因为∁RB＝{x|x≤1，或 x≥2}，又 A＝{x|x<a}，观察 ∁RB，A 在数轴上所表示的区间，如图所示．
可得当 a≥2 时，A∪(∁RB)＝R.
9．2 解析：设这 15 人构成全集 U，买电视机的 9 人构成集合 A， 买电脑的 7 人构成集合 B，用 Venn 图表示，如图所示，
13．解：∁RB＝{x|x≤1 或 x≥2}≠∅，因为 A ∁RB， 所以分 A＝∅和 A≠∅两种情况讨论． (1)若 A＝∅，此时有 2a－2≥a，所以 a≥2. (2)若 A≠∅， 则有2aa≤－12<a， 或22aa－ －22<≥a2，. 所以 a≤1. 综上所述，a≤1 或 a≥2.
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当 m≠0 时，由 1＋4m≥0，得 m≥－14，且 m≠0.
综上可知 m≥－14，
所以∁UM＝mm<－14
，
对于集合 N，由 1－4n≥0，得 n≤14，
所以 N＝nn≤14
，
从而(∁UM)∩N＝xx<－41 .
12．{(1,2)} 解析：A＝{(x，y)|y－2＝3(x－1)，x≠1} ＝{(x，y)|y＝3x－1，x≠1}， U＝{(x，y)|y＝3x－1，x∈R}． ∴∁UA＝{(1,2)}．
于( )
A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}
C．{2,4,7}
D．{2,5,7}
2．已知全集 U＝Z，集合 A＝{－2，－1,1,2}，B＝{1,2}，则 A∩(∁
UB)等于( )
A．{－2,1}
B．{1,2}
C．{－1，－2} D．{－1,2}
3．设全集 U＝R，集合 P＝{x|－2≤x<3}，则∁UP 等于( ) A．{x|x<－2 或 x≥3} B．{x|x<－2 或 x>3} C．{x|x≤－2 或 x>3} D．{x|x≤－2 或 x≥3}
2018版高中人教A版数学必修1课件：第一章 集合与函数概念1-1-3-2 精品
解法二：设所求人数为 x，则只喜爱乒乓球运动的人数为 10 －(15－x)＝x－5，故 15＋x－5＝30－8⇒x＝12.
教材习题答案 1．1.3 集合的基本运算 [教材习题答案与解析] [练习] 1．解：A∩B＝{5,8}，A∪B＝{3,4,5,6,7,8}． 2．解：A＝{x|(x－5)(x＋1)＝0}＝{5，－1}，B＝{x|x2＝1}＝ {－1，1}，∴ A∪B＝{－1,1,5}，A∩B＝{－1}．
[练习 1]设全集 U＝R，集合 A＝{x|x<2 或 x>3}，集合 B＝{x|x< －2 或 x≥4}，则∁RA＝________，∁RB＝________.
答案：{x|2≤x≤3} {x|－2≤x<4}
解析：如图所示， ∴∁RA＝{x|2≤x≤3}，∁RB＝{x|－2≤x＜4}．
类型 2 集合交、并、补的综合运算 [要点点击] 1.与集合的交、并、补运算有关的参数问题， 一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘记空集的情形． 2．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要 注意补集是全集的子集．
[巧归纳] (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素 一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，另外针对此类问题， 在解答过程中，也常常借助于 Venn 图来求解，这样处理起来， 相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．
(2)在解答有关集合补集运算时，如果所给集合是无限集，则 常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根 据补集的定义求解，这样处理比较直观形象，解答过程中注意边 界问题．
(2)[思路点拨] 利用数轴，分别表示出全集 U 及集合 A，B， 先求出∁UA 及∁UB，然后求解．
[答案] {x|x≤2 或 3≤x≤4} {x|2＜x＜3}
2018版高中人教A版数学必修1课件：第一章 集合与函数概念1-1-3-1 精品
从而 B＝∅或 B＝{－1}或 B＝{3}． 当 B＝∅时，由 ax－2＝0 无实数根，得 a＝0. 当 B＝{－1}时，由 a×(－1)－2＝0，得 a＝－2； 当 B＝{3}时，由 a×3－2＝0，得 a＝23. 故由实数 a 组成的集合 C＝－2，0，23.
[当堂达标] 1．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中 阴影表示的集合为( )
答案： {x|－2≤x<－1}
解析：把 A，B 表示在数轴上，如图， 则易知 A∩B＝{x|－2≤x<－1}．
4．已知集合 A＝1，2，12，B＝{y|y＝x2，x∈A}，A∪B＝ ________.
答案：1，2，12，4，14 解析：B＝{y|y＝x2，x∈A}＝1，4，14， ∴A∪B＝1，2，12，4，14.
[答案] {1,2,4,6}
[解析] ∵A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}， ∴A∪B＝{1,2,4,6}，如图．
(2)[思路点拨] 结合数轴分析两集合元素的分布情况，易得 结果．
[解析] 在数轴上标出集合 A，B，如图．
要使 A∪B＝R，则aa＋ <－8≥1，5， 解得－3≤a<－1.
综上可知，a
(2)当集合 B⊆A 时，如果集合 A 是一个确定的集合，而集合 B 不确定，运算时要考虑 B＝∅的情况，切不可漏掉．
[练习 3]若 A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且 A∩B ＝B，求由实数 a 组成的集合 C.
解：由 A＝{x|x2－2x－3＝0}，得 A＝{－1,3}．
－1}解决就很简单了． 2．端点值的取舍 在数轴上研究集合之间的关系问题时，对于端点处的值是否
2018版高中数学第一章集合与函数概念章末复习课学案新人教A版
第一章集合与函数概念章末复习课网络构建核心归纳1．集合的“三性”正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参集合问题时应格外注意．2．集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅.3．集合与集合之间的运算并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合间的关系之间的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.4．函数与映射的概念(1)已知A，B是两个非空集合，在对应关系f的作用下，对于A中的任意一个元素x，在B 中都有唯一的一个元素与之对应，这个对应叫做从A 到B 的映射，记作f ：A →B .若f ：A →B 是从A 到B 的映射，且B 中任一元素在A 中有且只有一个元素与之对应，则这样的映射叫做从A 到B 的一一映射．(2)函数是一个特殊的映射，其特殊点在于A ，B 都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应关系．两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一函数．5．函数的单调性(1)函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题．深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键．(2)函数单调性的证明根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下： ①取值：任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，得x 2－x 1>0；②作差变形：Δy ＝y 2－y 1＝f (x 2)－f (x 1)＝…，向有利于判断差的符号的方向变形； ③判断符号：确定Δy 的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； ④下结论：根据定义得出结论． (3)证明函数单调性的等价变形：①f (x )是单调递增函数⇔任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)⇔f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)>0；②f (x )是单调递减函数⇔任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)⇔f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)<0.6．函数的奇偶性判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f (x )的定义域是否关于原点对称，再检验f (－x )与f (x )的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y 轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．要点一 集合的基本概念 解决集合的概念问题的两个注意点(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素．然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．【例1】 集合M ＝{x |ax 2－3x －2＝0，a ∈R }中只有一个元素，求a 的取值范围．解 由题意可知若集合M 中只有一个元素，则方程ax 2－3x －2＝0只有一个根，当a ＝0时，方程为－3x －2＝0，只有一个根x ＝－23；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4×a ×(－2)＝0，得a ＝－98.综上所述，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－98.【训练1】 已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析 因为3∈A ，则m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，当m ＋2＝3，即m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ，不符合题意，故舍去；当2m 2＋m ＝3，即m ＝1或m ＝－32，m ＝1不合题意，若m ＝－32，m ＋2≠2m 2＋m ，满足题意，故m ＝－32.答案 －32要点二 集合间的基本关系 两集合间关系的判断 (1)定义法．①判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A 不是B 的子集；②判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B 不是A 的子集；若既有A ⊆B ，又有B ⊆A ，则A ＝B .(2)数形结合法．对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取值．【例2】 已知集合A ＝{x |2x －3≥3x ＋5}，B ＝{x |x ≤2m －1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________．解析 解不等式2x －3≥3x ＋5得x ≤－8，即A ＝{x |x ≤－8}，因为A ⊆B ，所以2m －1≥－8，解得m ≥－72.答案 m ≥－72【训练2】 已知集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．2或 2解析 由x ＝x 2－2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－2≥0，x ＝x 2－2，解得x ＝2，∴A ＝{2}，又∵B ＝{1，m }，A ⊆B ，∴m ＝2.答案 A(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)进行集合的运算时要看集合的组成，并且要对有的集合进行化简． (3)涉及含字母的集合时，要注意该集合是否可能为空集． 方向1 集合的运算【例3－1】 设全集U ＝{x ∈N *|x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{1,4} B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}解析 U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，所以∁U (A ∪B )＝{2,4}． 答案 D方向2 利用集合运算求参数【例3－2】 (1)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3C ．1或 3D ．1或3(2)设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1C ．a ≥0D ．a ≤0解析 (1)由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，若m ＝3，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，满足A ∪B ＝A ；若m ＝m ，即m ＝1或0，当m ＝1时，m ＝1，不合题意，舍去，当m ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，满足A ∪B ＝A ，故选B ．(2)因为A ∩B ＝∅，所以0∉B ，且1∉B ，所以a ≥1. 答案 (1)B (2)B【训练3】 (1)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( ) A ．{x ∈R |x ≤2} B ．{x ∈R |1≤x ≤2} C ．{x ∈R |－2≤x ≤2}D ．{x ∈R |－2≤x ≤1}(2)设集合M ＝{x |－3≤x ＜7}，N ＝{x |2x ＋k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则实数k 的取值范围为________．解析 (1)A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}∩{x ∈R |x ≤1}＝{x ∈R |－2≤x ≤1}．(2)因为N ＝{x |2x ＋k ≤0}＝{x |x ≤－k2}，且M ∩N ≠∅，所以－k2≥－3⇒k ≤6.答案 (1)D (2)k ≤6 要点四 求函数的定义域 求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． (3)复合函数问题：①若f (x )的定义域为[a ，b ]，f (g (x ))的定义域应由a ≤g (x )≤b 解出； ②若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域． 注意：①f (x )中的x 与f (g (x ))中的g (x )地位相同； ②定义域所指永远是x 的范围． 【例4】 (1)函数f (x )＝2x21－x＋(2x －1)0的定义域为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (2)已知函数y ＝f (x －1)的定义域是[－1,2]，则y ＝f (1－3x )的定义域为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，0 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，3 C ．[0,1]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1 解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，2x －1≠0，解得x <1且x ≠12，即f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)由y ＝f (x －1)的定义域是[－1,2]，则x －1∈[－2,1]，即f (x )的定义域是[－2,1]，令－2≤1－3x ≤1解得0≤x ≤1，即y ＝f (1－3x )的定义域为[0,1]．答案 (1)D (2)C【训练4】 已知函数f (x )＝－2x ＋3的值域为[－5,5]，则它的定义域为( ) A ．[－5,5] B ．[－7,13]C．[－1,4]D ．[－4,1]解析 可以画出函数y ＝－2x ＋3的图象，再根据图象来求；还可以运用观察法来求，当f (x )＝－5时，x ＝4；当f (x )＝5时，x ＝－1，所以定义域为[－1,4]．答案 C要点五 求函数的解析式求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f (g (x ))的解析式求f (x )的解析式，使用换元法或配凑法． (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法)．(3)含f (x )与f (－x )或f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x，使用解方程组法． (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法． 【例5】 (1)已知f (2x －3)＝2x 2－3x ，则f (x )＝________. (2)已知f (x )－3f (－x )＝2x －1，则f (x )＝________.解析 (1)令2x －3＝t ，得x ＝12(t ＋3)，则f (t )＝2×14(t ＋3)2－32(t ＋3)＝12t 2＋32t ，所以f (x )＝12x 2＋32x .(2)因为f (x )－3f (－x )＝2x －1，以－x 代替x 得f (－x )－3f (x )＝－2x －1，两式联立得f (x )＝12x ＋12.答案 (1)12x 2＋32x (2)12x ＋12【训练5】 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，不论x 为何值都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.要点六 函数的概念与性质 函数单调性与奇偶性应用的常见题型(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性． (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间． (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式． (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．【例6】 已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数m 和n 的值；(2)求函数f (x )在区间[－2，－1]上的最值． 解 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n. 比较得n ＝－n ，n ＝0.又f (2)＝53，∴4m ＋26＝53，解得m ＝2.因此，实数m 和n 的值分别是2和0. (2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x .任取x 1，x 2∈[－2，－1]，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2 ＝23(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2. ∵－2≤x 1＜x 2≤－1，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，x 1x 2－1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴函数f (x )在[－2，－1]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (－1)＝－43，f (x )min ＝f (－2)＝－53.【训练6】 设f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (－x )＝f (x )，f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－4a ＋3)，求a 的取值范围．解 ∵f (x )是定义在R 上的函数，且f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．又f (x )在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减．又2a 2＋a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋142＋78>0，2a 2－4a ＋3＝2(a －1)2＋1>0， 由f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－4a ＋3)知， 2a 2＋a ＋1>2a 2－4a ＋3， 得5a >2，a >25.∴a 的取值范围是a >25.要点七 函数的图象及应用 作函数图象的方法(1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线．(2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转． ①平移：y ＝f (x ) ――――→左加右减y ＝f (x ±h )；y ＝f (x ) ――――→上加下减y ＝f (x )±k .(其中h >0，k >0)②对称：y ＝f (x )←――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )←――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；y ＝f (x ) ←―――――→关于原点轴对称y ＝－f (－x )．特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图． 【例7】 已知函数f (x )＝x 2－2|x |＋a ，其中x ∈[－3,3]． (1)判断函数f (x )的奇偶性．(2)若a ＝－1，试说明函数f (x )的单调性，并求出函数f (x )的值域． 解 (1)因为定义域[－3,3]关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |＋a＝x 2－2|x |＋a ＝f (x )， 即f (－x )＝f (x )， 所以f (x )是偶函数．(2)当0≤x ≤3时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2； 当－3≤x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－2，0≤x ≤3，x ＋2－2，－3≤x <0.根据二次函数的作图方法，可得函数的图象，如图所示．函数f (x )的单调区间为[－3，－1]，(－1,0)，[0,1]，(1,3]．f (x )在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在(－1,0)，(1,3]上为增函数．当0≤x ≤3时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为f (1)＝－2，最大值为f (3)＝2； 当－3≤x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为f (－1)＝－2，最大值为f (－3)＝2.故函数f (x )的值域为[－2,2]．【训练7】 对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者，则f (x )的最小值是________．解析 首先应理解题意，“函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中最大的一个．如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A (0,3)，B (1,2)，C (5,8)．从图象观察可得函数f (x )的表达式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋ 3 x ，－x ＋3x ，32x ＋12 x ，x 2－4x ＋3xf (x )的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B (1,2)，所以f (x )的最小值是2.答案 2。