北师大版九年级上册第四章全章分课时习题精选(最新版)
新北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》章末练习题含答案解析 (30)
一、选择题1.若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=2，则AC等于( )A．√5−1B．3−√5C．√5−12D．√5−1或3−√52.下列命题：如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，AF=BE，CE，BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH．下列结论中：① BF⊥CE；② OM=ON；③ OH=12CN；④√2OH+BH=CH．其中正确的命题有( )A．只有①②B．只有①②④C．只有①④D．①②③④3.如图，在△ABC中，DE∥BC，ADDB =12，则下列结论中正确的是( )A．AEAC =12B．DEBC=12C．△ADE的周长△ABC的周长=13D．△ADE的面积△ABC的面积=134.如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ACD=∠B，AD=2，BD=4，则边AC长为( )A．2B．3C．2√2D．2√35.在△ABC中，点D，E分别在边BA，CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC的为( )A．BCDE =ABADB．ACAD=ABAEC．ACCE=ABBDD．ACAB=BDCE6.已知a2=b3(a≠0,b≠0)，下列变形正确的是( )A．ba =23B．2a=3bC．a3=b2D．a3=2b7.若5:x=3:2，则x的值是( )A．152B．215C．310D．1038.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AODO等于( )A．2√53B．23C．12D．139.若a2=b3，则a+ba=( )A．32B．52C．23D．5310.下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A．B．C．D．二、填空题11.如图，△ABC中，D，M分别在AB，AC上，∠AMD=∠B．如果AM=2，S△ADM=1，S四边形BCMD=8，则AB=．12.已知线段a=4cm，b=9cm，那么线段a，b的比例中项等于cm．13.小莉身高1.50m，在阳光下的影子长为1.20m，在同一时刻站在阳光下，小林的影子长比小莉长0.2m，则小林的身高为m．14.如图，某时刻量得一棵树AB在地面上的影长BE=30米，同时测得在BE方向上竖起的一根与地面垂直的标杆CD的影长DF为3米，已知标杆高DC=2米，则树AB的高度是．15.如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙 1.6m，梯上点D距墙 1.4m，BD长0.55m，则梯子长为m．16.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC=cm．17.如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，且BD=4，CD=2，那么AF=．三、解答题18.如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE．19.如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB=12，CD=6，DE:EG:GA=3:4:5，求EF和GH的长．20.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，动点E在边BC上，连接DE，过点A做DE的垂线AF，交直线DC于点F，设EC=x，DF=y．(1) 求 y 关于 x 的函数关系式． (2) 当 FC =2 时，求 EC 的长．(3) 若直线 AF 与线段 BC 延长线交于点 G ，当 △DEB ∽△GFD 时，求 DF 的长．21. 如图，在 △ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，且 AD =2，DB =4，AE =3，EC =6，DE =3.2．(1) 求 BC 的长；(2) 连接 DC ，如果 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试用 a 、 b ⃗ 表示向量 CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．22. 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ADCD =CDBD ，求 ∠ACB 的大小．23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB =3，AD =4，点 E 是 AC 上一点，AE:EC =1:3，延长BE 交 AD 于 F ，交 CD 延长线于 G ，求 AF 和 DG ．24. 已知 ∠AEF =∠B ，S △AEF :S △ACB =4:25，求 AF:AC 的值．25.如图是一张矩形纸片，其中AB=1，BC=2，怎样折叠这张纸片，才能找到AB边上的黄金分割．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC=√5−12AB，而AB=2，∴AC=√5−1．【知识点】黄金分割2. 【答案】B【解析】∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90∘，∴△ABF≌△BEC，∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，∴△BEH∽△ABF，∴∠BAF=∠BHE=90∘，即BF⊥EC，①正确；∵四边形是正方形，∴BO⊥AC，BO=OC，由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，∴∠ECO=∠FBO，∴△OBM≌△ONC，∴ON=OM，即②正确；③ ∵△OBM≌△ONC，∴BM=CN，∵∠BOM=90∘，∴当H为BM中点时，OH=12BM=12CN（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），因此只有当H为BM的中点时，OH=12CN，故③错误；④过O点作OG垂直于OH，OG交CH于G点，在△OGC与△OHB中，{∠OCN=∠OBH, OC=OB,∠HON=∠GOC,故△OGC≌△OHB，∵OH⊥OG，∴△OHG是等腰直角三角形，按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，则在证明证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，∴④式成立．综上所述，①②④正确．【知识点】两角分别相等3. 【答案】C【解析】因为DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C，可得△ADE∽△ABC，又因为ADDB =12，所以两个三角形的相似比为ADAB =11+2=13．A项，AEAC =13，故A错误；B项，DEBC =13，故B错误；C项，△ADE的周长△ABC的周长=13，故C正确；D项，△ADE的面积△ABC的面积=(13)2=19，故D错误．故本题正确答案为C．【知识点】对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、两角分别相等4. 【答案】D【解析】∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB =ADAC，∴AC2=AD⋅AB，∵AD=2，BD=4，∴AB=2+4=6，∴AC2=2×6=12，∴AC=√12=2√3．【知识点】相似三角形的性质、两角分别相等5. 【答案】C【知识点】平行线分线段成比例定理6. 【答案】B【解析】A．由ba =23得：2a=3b，故选项A不正确；B．由ba =32得：3a=2b，故选项B正确；C．由a3=b2得：2a=3b，故选项C不正确；D．由a3=2b得：ab=6，故选项D不正确．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算7. 【答案】D【解析】由比例的基本性质，得3x=10，解得x=103．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算8. 【答案】C【解析】因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠BAD=90∘，所以∠DAO+∠EAO=90∘，因为E为AB的中点，所以AE=12AB=12AD，因为AF⊥DE，所以∠AOE=∠DOA=90∘，所以∠DAO+∠ADO=90∘，所以∠EAO=∠ADO，所以△AOE∽△DOA，所以AODO =AEAD=12．【知识点】两角分别相等9. 【答案】B【解析】∵a2=b3，∴ba =32，∴a+ba =2+32=52，故选：B．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算10. 【答案】B【解析】设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为√2，2√2，√10．A．三角形三边2，√10，3√2，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B．三角形三边2，4，2√5，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C．三角形三边2，3，√13，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D．三角形三边√5，4，√13，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．【知识点】三边成比例二、填空题11. 【答案】6【知识点】两角分别相等12. 【答案】6【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算13. 【答案】1.75【解析】设小林身高为x，则 1.51.2=x1.2+0.2，∴x=1.75．故答案为：1.75．【知识点】相似三角形的应用14. 【答案】20米【知识点】相似三角形的应用15. 【答案】4.4【知识点】相似三角形的应用16. 【答案】12【解析】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D.∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴ABBC =ADDE，即4BC=26，∴BC=12cm．【知识点】平行线分线段成比例定理17. 【答案】143【解析】∵△ABC和△ADE都是等边三角形，BD=4，CD=2，∴AB=AC=6，∠B=∠C=∠ADF=60∘，∴∠ADB+∠BAD=∠ADB+∠CDF=120∘，∴∠BAD=∠CDF，∴△ABD∽△DCF，∴CFBD =CDBA，即CF4=26，解得CF=43，∴AF=AC−CF=6−43=143．【知识点】两角分别相等三、解答题18. 【答案】∵AB=3AC，BD=3AE，∴ABAC =BDAE，∵BD∥AC，∴∠B=∠EAC，∴△ABD∽△CAE．【知识点】两边成比例且夹角相等19. 【答案】7.5；9.5．【知识点】平行线分线段成比例定理20. 【答案】(1) 如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=3，∠ADC=∠BCD=90∘．又∵AF⊥DE，∴∠ADF=∠DCE=90∘，∠DAF=∠EDC=90∘−∠DFA，∴△ADF∽△DCE，∴ADDC =DFCE，∴63=yx，即y=2x．∵点E在线段BC上，∴0≤x≤6，∴y=2x(0≤x≤6)．(2) ①当点F线段DC上时，∵CF=2，∴DF=x=3−2=1，此时CE=y=12x=12；②当点F线段DC延长线上时，∵CF=2，∴DF=x=3+2=5，此时CE=y=12x=52．∴当CF=2时，EC的长为12或52．(3) 如图2中．∵△DEB∽△GFD，∴DEBE =FGDF，∴FG=DE⋅DFBE =√9+x2⋅2x6−x，∵△ADF∽△GCF，∴FGAF =CFDF，∴FG=3−2xx⋅√9+x2，∴√9+x2⋅2x6−x =3−2xx⋅√9+x2，解得x=65，∴DF=2x=125．【知识点】对应边成比例、矩形的性质、两角分别相等21. 【答案】(1) ∵AD =2，DB =4，AE =3，EC =6，∴AD DB =12，AE EC =12． ∴AD DB =AE EC .∴DE ∥BC ．∴AD AB =DE BC ．又 ∵AB =6，DE =3.2，∴26=3.2BC ．∴BC =9.6．(2) ∵DE ∥BC ，∴AD AB =DE BC ．∴DE BC =13． ∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ．∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3a ．∵BD BA =23， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ． ∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3a +23b ⃗ ． 【知识点】平行线分线段成比例定理、平面向量的线性运算22. 【答案】 ∵CD 是边 AB 上的高，∴CD ⊥AB ，∴∠CDA =∠BDC =90∘，又 AD CD =CD BD ，∴△CDA ∽△BDC ，∴∠A =∠DCB ，又 ∠A +∠ACD =90∘，∴∠DCB +∠ACD =90∘，即 ∠ACB =90∘．【知识点】两边成比例且夹角相等23. 【答案】在平行四边形 ABCD 中，AD =BC =4，AB ∥DC ，AB =DC =3，AD ∥BC ，∵AF ∥BC ，∴AE EC =AF BC ，∵AE:EC =1:3，∴13=AF 4，∴AF =43，∴DF =AD −AF =4−43=83，∵AB ∥DG ，∴AB DG =AF DF ，∴3DG =4383，∴DG =6．【知识点】平行四边形及其性质、平行线分线段成比例定理24. 【答案】 2:5．【知识点】两角分别相等25. 【答案】如图，在矩形 ABCD 中，连接 BD ，在 DB 上截取 DE =DC =1．取 BE 中点 F ，在 BA 上截取 BG =BF ，则点 G 就是线段 AB 的黄金分割点．理由如下：因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ∠BCD =90∘，BD =√BC 2+CD 2=√12+22=√5．因为 DE =DC =1，所以 BF =EF =√5−12． 所以 BG =√5−12，即 BG =√5−12AB ． 所以点 G 就是线段 AB 的黄金分割点．【知识点】黄金分割、矩形的性质。
北师大版九年级数学上册第四章测试题(附答案)
北师大版九年级数学上册第四章测试题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.△ABC∽△A′B′C′，且∠A=68°，则∠A′=（）.A. 22°B. 44°C. 68°D. 80°2.对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A. 图形中线段的长度与角的大小都会改变B. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变C. 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D. 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变3.已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出（）个A. 1个B. 2个C. 4个D. 无数个4.若，且3a－2b+c=3，则2a+4b－3c的值是（）A. 14B. 42C. 7D.5.如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC 于点F.则下列结论正确的有（）①∠CBD=∠CEB；② ；③点F是BC的中点；④若，则tanE= .A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①②③6.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为（）A. 12mB. 13.5mC. 15mD. 16.5m7.视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A. 平移B. 旋转C. 对称D. 位似8.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，CD＝3，AB＝4 ，则⊙O的直径等于（）A. B. 3 C. 5 D. 79.如图，已知点是反比例函数在第一象限图像上的一个动点，连接，以为长，为宽作矩形，且点在第四象限，随着点的运动，点也随之运动，但点始终在反比例函数的图像上，则的值为（）A. B. C. D.10.如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE CB，连接DE并延长交BC于点G，过点A 作AH⊥BE于点H，交BC于点F.以下结论：①BH HE；②∠BEG 45°；③△ABF ≌△DCG；④4BH2 BG·CD.其中正确结论的个数是( )A. 1个B. 2C. 3D. 411.如图，在矩形ABCD中，AD＝AB.将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G.下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝MP；④BP＝AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心.其中正确的个数为（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE＝FD，连接BE、CF、BD，CF 与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论：①△ABG∽△FDG；②HD 平分∠EHG；③AG⊥BE；④S△HDG:S△HBG＝tan∠DAG；⑤线段DH的最小值是.正确的个数有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（共6题；共14分）13.两个相似多边形相似比为1：2，且它们的周长和为90，则这两个相似多边形的周长分别是________ ________ .14.如图，在▱ABCD中，AM= AD，BD与MC相交于点O，则S△MOD：S△COD=________．15.将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于________16.已知==≠0，则的值为 ________17.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于________18.如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC 交直线l2于点D.设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且则m+n的最大值为________.三、解答题（共3题；共24分）19.已知，如图，在平行四边形ABCD中，F为AD上一点，CF的延长线交BA延长线于点E．求证：．20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．21.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC．（1）图中∠OCD= °，理由是；（2）⊙O的半径为3，AC=4，求OD的长．四、作图题（共1题；共12分）22.如图（1）如图1，网格中每个小正方形的边长为1，点A，B均在格点上.则线段AB的长为________.请借助网格，仅用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP＝.（2）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，依下列条件分别在图2，图3的圆中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，请下结论注明你所画的弦）.①如图2，AC＝BC；②如图3，P为圆上一点，直线l⊥OP且l∥BC.五、综合题（共3题；共26分）23.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.（1）在图中找出一对相似三角形，并说明理由；（2）若AB=8，AD= ，AF= ，求AE的长.24.如图，双曲线经过的点顶，轴，OB交双曲线于点C，且（1）求k的值；（2）连接AC，求点C的坐标和的面积．25.（问题引入）如图（1），在中，，，过作则交延长线于点，则易得（直接应用）如图,已知等边的边长为,点, 分别在边, 上, , 为中点，为当上一动点，当在何处时，与相似，求的值.答案一、单选题1. C2. D3. B4. D5. C6. D7. D8. C9. A 10. D 11. B 12. C二、填空题13.30；60 14.2：3 15.1：3．16. 17.18.三、解答题19. 解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，∵BE//CD，∴∠E=∠ECD，∴ΔDCF∽ΔBEC，∴，又∵AB=CD，AD=BC，∴20. （1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；（2）∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，∴，即，解得DB=10，DB的长10．21. 解：（1）∵CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，（圆的切线垂直于经过切点的半径）∴∠OCD=90°；故答案是：90，圆的切线垂直于经过切点的半径；（2）连接BC．∵BD∥AC，∴∠ACB=∠OCD=90°，∴在直角△ABC中，BC===2，∠A+∠ABC=90°，∵OC=OB，∴∠BCO=∠ABC，∴∠A+∠BCO=90°，又∵∠OCD=90°，即∠BCO+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠A，又∵∠CBD=∠ACB，∴△ABC∽△CDB，∴=，∴=，解得：CD=3．由勾股定理可知，OD===3四、作图题22. （1）解：AB= 2 ，作图如图所示；所以，AP= 时AP：BP=2：1.点P如图所示.取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求；（2）解：①如图1，CD即为所求；②如图2，CD即为所求.五、综合题23. （1）解：△ADF∽△DEC理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C.在△ADF与△DEC中，，∴△ADF∽△DEC（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8.由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE= .在Rt△ADE中，AE=24. （1）解：把代入得：，答：k的值为：6．（2）解：过点A、C、B分别作轴，轴，轴，垂足为F、D、E，，，，由∽得：，，把代入得：，，，，，．答：点C的坐标为，的面积为16．25. 解：设∵等边的边长为，，∵为中点，，① 和是对应边时, ，，即，整理得，解得，即的长为或；② 和是对应边时, ，，即，解得，即.综上所述，的值是或或.（拓展应用）已知在平行四边形中，，，，, ，求长.解：反向延长EF，与BA，BC的延长线相交于点N、M，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，AB∥CD,∴∠D=120°，∴∠ANE=∠CMF=30°, ∠AEN=∠CFM=30°均为等腰三角形，∵AE=2，CF=3，易得，，将绕旋转到，，作，，又由旋转的性质得，BE=BG，∠ABE=∠GBC∵∠A=60°∴∠ABC=120°∵∠EBF=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠GBF=60°=∠EBF，又BF=BF ∴。
新北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》章末复习题含答案解析 (13)
一、选择题1.如图，DE∥BC，若S ADE:S ABC=4:25，AD=4，则BD的值为( )A．5B．6C．7D．82.如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，连接BD分别交AE，AF于点M，N，下列说法：① ∠EAF=45∘；②连接MG，NG，则△MGN为直角三角形；③ △AMN∽△AFE；√2．④若BE=2，FD=3，则MN的长为52其中正确结论的个数是( )A．4B．3C．2D．13.如图所示的两个三角形相似，则α与β的度数分别为( )A．α=30∘，β=30∘B．α=105∘，β=30∘C．α=30∘，β=105∘D．α=105∘，β=45∘4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CB=7，AC=9，以C为圆心、3为半径作⊙C，PAP+BP的最小值为( )为⊙C上一动点，连接AP，BP，则13A．7B．5√2C．4+√10D．2√135.如图，在△ABC中，AC和AB上的高BD，CE交于点O，下列结论错误的是( )A．CO⋅CE=CD⋅CA B．OE⋅OC=OD⋅OBC．AD⋅AC=AE⋅AB D．CO⋅DO=BO⋅EO6.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1:√2，点A的坐标为(1,0)，则E点的坐标为A．(√2,0)B．(32,32)C．(√2,√2)D．(2,2)7.如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C；直线DF分别交a，b，c于点D，E，F，若ABBC =23,,则DEDF=( )A．23B．25C．35D．328.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿岀随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示，已知小丽同学的身高是 1.54m，眼睛位置A 距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于( )A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m9.下列四条线段中，不能成比例的是( )A．a=4，b=8，c=5，d=10B．a=2，b=2√5，c=√5，d=5C．a=1，b=2，c=3，d=4D．a=1，b=2，c=2，d=410.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点E是AB中点，将△CAE沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接AD，则线段AD的长等于( )A．4B．165C．245D．5二、填空题11.相似多边形的对应边，对应角．12.如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形的面积之和为．13.如图，△ABC是一块正三角形余料，边长为120mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在边BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是mm．14.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD=2，BD=3，则AC的长为．AB，延长CD到F，使DF=DC，15.如图，在平行四边形ABCD中，延长AB到E，使BE=12连接EF交BC于G，交AD于H，则△BEG与△CFG的面积之比是．16.如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12．在Rt△ABC内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放，则最多能叠放个．17.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4√5，D为边AB上一动点（不与点B重合），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值为．三、解答题18.某矩形场地长20m，宽16m．(1) 如图①，在场地中央建有一矩形草坪，沿草坪四周外围有x m宽的小路，小路内外边缘所成的矩形相似吗？(2) 如果矩形场地中矩形草坪的变化如图②所示，它们相似吗？(3) 如果变化如图③所示，它们能相似吗？若能相似，求x，y满足的关系；(4) 如果变化如图④所示，矩形ABCD与矩形ADEF能否相似？若能相似，求x的值（其中a>b）．19.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90∘，E为AB的中点．(1) 求证：AC2=AB⋅AD．(2) 求证：CE∥AD．的值．(3) 若AD=4，AB=6，求ACAF20.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．(1) 求证：四边形EFDG是菱形；GF⋅AF；(2) 求证：EG2=12(3) 若AG=6，EG=2√5，求BE的长．21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，sinB=4，AC=4；D是BC的延长线上一个动点，5∠EDA=∠B，AE∥BC．(1) 找出图中的相似三角形，并加以证明；(2) 设CD=x，AE=y, 求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3) 当△ADE为等腰三角形时，求AE的长．22.如图在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为(3,4)，平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与菱形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．(1) 求点B的坐标；AC时，求t的值；(2) 当MN=12(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数表达式，并确定S的最大值．23.如图，铁道口的栏杆AB的短臂OA=1.25m，长臂OB=16.5m，当短臂端点A下降0.85m时，长臂端点B升高多少？下面是小明的解题过程：“如图，连接AAʹ，BBʹ，∵AO=AʹO，BO=BʹO，∴AOBO =AʹOBʹO．又∠1=∠2，∴△AAʹO∽△BBʹO，有AOBO =AAʹBBʹ，∵AO=1.25，BO=16.5，AAʹ=0.85，∴1.2516.5=0.85BBʹ，解得BBʹ=11.22，即长臂端点B升高了11.22m．”你认为小明的解题过程正确吗？如果不正确，请写出你的答案．24.如图，在矩形ABCD中，已知AD>AB．在边AD上取点E，连接CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．(1) 求证：△AEF∽△DCE．(2) 若AB=3，AE=4，DE=6，求线段BF的长．25.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于O．(1) 求证：△COM∽△CBA；(2) 求线段OM的长度．答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(ADAB)2=425，∴ADAB =25，∵AD=4，∴AB=10，∴BD=AB−AD=10−4=6．【知识点】相似三角形的性质2. 【答案】A【解析】①在Rt△ABE和Rt△AGE中，{AB=AG, AE=AE,∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)．∴∠BAE=∠GAE，BE=EG，同理，∠GAF=∠DAF，GF=DF，∴∠EAF=12∠BAD=45∘，故①正确；②连将△ADN绕点A顺时针旋转90∘至△ABH位置，得到图②，连接HM，由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90∘，∵∠EAF=45∘，∴∠BAM+∠DAN=45∘，∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45∘，∴∠HAM=∠NAM，又AM=AM，∴△AHM≌△ANM(SAS)，∴MN=MH∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠ABD=45∘由旋转知：∠ABH=∠ADB=45∘，HB=ND，∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90∘，∴MH2=HB2+BM2，∴MN2=ND2+BM2∵Rt△ABE≌Rt△AGE，∴∠BAM=∠GAM．在△ABM和△AGM中，{AB=AG,∠BAM=∠GAM, AM=AM,∴△ABM≌Rt△AGM(SAS)．∴MG=MB，同理NG=ND，∴MN2=NG2+MG2∴△MGN为直角三角形，故②正确；③ ∵∠AEB+∠BME+∠DBC=180∘，∠AEF+∠AFE+∠EAF=180∘∵∠DBC=∠EAF=45∘，∠AEB=∠AEF，∴∠AFE=∠BME，∴∠AFE=∠AMN，∵∠EAF=∠NAM，∴△AMN∽△AFE，故③正确；④ ∵BE=EG，GF=FD，BE=2，FD=3，∴EF=EG+FG=5，设正方形的边长为a，则EC=a−2，FC=a−3，∵EF2=EC2+FC2，∴52=(a−2)2+(a−3)2，解得a=6，∴AB=AD=6，∴BD=6√2，作AH⊥BD于H，则AH=3√2，∵△AMN∼△AFE，∴MNEF =AHAG，∵AG=AB=6，∴MN5=3√26，∴MN=52√2，故④正确．综上正确结论的个数是4个．【知识点】正方形的性质、两角分别相等【知识点】相似三角形的性质4. 【答案】B【解析】如图，在CA上截取CM，使得CM=1，连接PM，PC，BM，∵PC=3，CM=1，CA=9，∴PC2=CM⋅CA，∴PCCA =CMCP，∵∠PCM=∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴PMPA =PCAC=13，∴PM=13PA，∴13AP+BP=PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM=90∘，CM=1，BC=7，∴BM=√12+72=5√2，∴13AP+BP≥5√2，∴13AP+BP的最小值为5√2．故选：B．【知识点】两边成比例且夹角相等【知识点】两角分别相等6. 【答案】C【解析】∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1:√2，∴OA:OD=1:√2．∵点A的坐标为(1,0)，即OA=1，∴OD=√2．∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=√2．∴E点的坐标为(√2,√2)．【知识点】位似7. 【答案】B【解析】因为ABBC =23，所以ABAC =25，因为a∥b∥c，所以DEDF =ABAC=25．【知识点】平行线分线段成比例定理8. 【答案】B【解析】由题意可知AB=1.5m，BC=0.5m，DC=4m，∴△ABC∽△EDC，∴ABED =BDDC，即 1.5ED=0.54，∴DE=12m．【知识点】相似三角形的应用9. 【答案】C【解析】A、4×10=5×8，能成比例；B、2×5=2√5×√5，能成比例；C、1×4≠2×3，不能成比例；D、1×4=2×2，能成比例．故选C．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算10. 【答案】C【解析】如图，延长CE交AD于F，连接BD．∵∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵∠ACB=90∘，CE为中线，∴CE=AE=BE=2.5，∴∠ACF=∠BAC，又∵∠AFC=∠BCA=90∘，∴△ABC∽△CAF，∴CFAC =ACBA，即CF4=45，∴CF=3.2，∴EF=CF−CE=0.7，由折叠可得，AC=DC，AE=DE，∴CE垂直平分AD，又∵E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴BD=2EF=1.4，∵AE=BE=DE，∴∠DAE=∠ADE，∠BDE=∠DBE，又∵∠DAE+∠ADE+∠BDE+∠DBE=180∘，∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90∘，∴Rt△ABD中，AD=√AB2−BD2=√52−1⋅42=245．【知识点】三角形的中位线、两角分别相等、勾股定理、轴对称的性质、对应边成比例二、填空题11. 【答案】成比例；相等【知识点】相似图形的性质12. 【答案】10.5【知识点】两角分别相等、面积比等于相似比的平方13. 【答案】(240√3−360)【解析】如图，作△ABC的高AD，交PN于点E．因为三角形ABC为正三角形，所以BD=12BC=60mm，由勾股定理得AD=√AB2−BD2=√1202−602=60√3(mm)．设正方形的边长为x mm，则PN=PQ=ED=x mm，所以AE=AD−ED=(60√3−x)mm，因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC，所以PNBC =AEAD，即x120=√3−x60√3，解得x=240√3−360，所以加工成的正方形零件的边长是(240√3−360)mm．【知识点】基本定理14. 【答案】√10【解析】因为BC的垂直平分线MN交AB于点D，所以CD=BD=3，所以∠B=∠DCB，AB=AD+BD=5，因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠DCB=∠B，因为∠A=∠A，所以△ACD∽△ABC，所以ACAB =ADAC，所以AC2=AD×AB=2×5=10，所以AC=√10．【知识点】对应边成比例、垂直平分线的性质、两角分别相等15. 【答案】1:16【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△BEG∽△CFG，∴S△BEGS△CFG =(BECF)2，∵BE=12AB，CF=2CD=2AB，∴BECF =14，∴S△BEGS△CFG =116．【知识点】基本定理、面积比等于相似比的平方、平行四边形及其性质16. 【答案】22【解析】作CD⊥AB，垂足为D．∵AC=5，BC=12，∠ACB=90∘．∴AB=13．∴CD=12×5÷13=6013≈4.6．∴可以放4层．由题意结合相似三角形的性质得，第一层可放13×(6013−1)÷6013≈10（个）（取整数部分），第二层可放13×(6013−2)÷6013≈7（个）（取整数部分），第三层可放13×(6013−3)÷6013≈4（个）（取整数部分），第四层可放13×(6013−4)÷6013≈1（个）（取整数部分），故一共可放10+7+4+1=22（个）．【知识点】用代数式表示规律、相似三角形的性质17. 【答案】8【知识点】两角分别相等、二次函数的最值三、解答题18. 【答案】(1) ∵AB=CD=20，AD=BC=16，EF=GH=20−2x，EH=FG=16−2x，∴EFAB =20−2x20=1−x10，EHAD=16−2x16=1−x8．∵1−x10≠1−x8，∴EFAB ≠EHAD．∴小路内外边缘所成的矩形不相似．(2) ∵20>16，∴20−x>16−x，∴EF>FG．如果两个矩形相似，那么有EFAB =FGBC，即20−x20=16−x16，解得x=0，不符合题意．∴两个矩形不相似．(3) 能．当20−x20=16−y16时，解得x=54y(0<y<16)．当20−x16=16−y20时，解得y=54x−9(7.2<x<20)．∴当x=54y(0<y<16)或y=54x−9(7.2<x<20)时，两个矩形相似．(4) 假设矩形ABCD与矩形ADEF相似，则DEBC =ADAB，即a−xb=ba，解得x=a2−b2a．∴矩形ABCD与矩形ADEF能相似，x=a2−b2a．【知识点】相似图形的性质、相似图形的定义19. 【答案】(1) ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90∘，∴△ADC∽△ACB，∴AD:AC=AC:AB，∴AC2=AB⋅AD．(2) ∵E为AB的中点，∴CE=12AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD．(3) ∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD:CE=AF:CF，∵CE=12AB，∴CE=12×6=3，∵AD=4，∴43=AFCF，∴ACAF =74．【知识点】两角分别相等、等腰三角形的性质、基本定理20. 【答案】(1) ∵EG∥DC，∴∠DFA=∠EGF，又∵∠EFA=∠DFA，EG=GD，DF=EF，∴∠EFA=∠EGF，∴EF=EG=FD=GD，∴四边形EFDG是菱形．(2) 连接ED交AF于点H，∵四边形EFDG是菱形，∴DE⊥AF，FH=12GF，∴∠FEH+∠EFH=90∘，∵∠EAF+∠EFA=90∘，∴∠EAF=∠FEH．又∵∠EFH=∠AFE，∴△FEH∽△FAE，∴EFAF =FHEF，即EF2=FH⋅AF，∴EG2=12GF⋅AF．(3) ∵EG2=12GF⋅AF，AG=6，EG=2√5，∴(2√5)2=12GF(6+GF)，∴GF=4，AF=10．∵DF=EG=2√5，∴AD=BC=√AF2−DF2=4√5，DE=2EH=√EG2−(12GF)2=8，∵∠CDE+∠DFA=90∘，∠DAF+∠DFA=90∘，∴∠CDE=∠DAF，∴Rt△ADF∽Rt△DCE，∴ECDF =DEAF，即2√5=810，∴EC=8√55，∴BE=BC−EC=12√55．【知识点】两角分别相等21. 【答案】(1) △ADE∽△DBA．(2) y=x2+16x+3（x>0）．(3) 4或256．【知识点】两角分别相等22. 【答案】(1) 过点C作CH⊥OA于H，如图1所示：∵C(3,4)，∴CH=4，OH=3，∴OC=√42+32=5，∵四边形OABC是菱形，∴CB=OC=5，5+3=8，∴点B的坐标为(8,4)．(2) 分两种情况：①当0≤t≤5时，如图2所示：∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC=5，OC∥AB．∵MN∥AC，∴△OMN∽△OAC，∴MNAC =OMOA．∵MN=12AC，∴OM =12OA ∴OM =52，∴t =52．②当 5≤t ≤10 时，如图 3 所示：设直线 MN 与 OA 交于点 E ，同①可得 AM =52．∵OC ∥AB ，MN ∥AC ，∴∠COA =∠MAE ，∠CAO =∠MEA ， ∴△AEM ∽△OAC ． ∴AE OA=AM OC．∵OC =OA ， ∴AM =AE ， ∴OE =152，∴t =152．综上所述：t =52 或 t =152．(3) 分两种情况：①当 0≤t <5 时（如图 1），S △OAC =12OA ⋅CH =10． ∵△OMN ∽△OAC ， ∴S △OMN S △OAC=(OM OA)2，即S △OMN 10=(t 5)2，∴S =25t 2(0≤t <5)；②当 5≤t ≤10 时，过点 M 作 MT ⊥x 轴于 T ，如图 4 所示： 由 △BMN ∽△AME 可知，MT =45(t −5)，∴S △OMN =S △ONE −S △OME =−25(t −5)2+10． 综上所述：S ={25t 2,0≤t <5−25(t −5)2+10,5≤t ≤10．∴ 当 t =5 时，S 最大值=10．【知识点】两角分别相等、菱形的性质、二次函数的最值、面积比等于相似比的平方、基本定理、平面直角坐标系及点的坐标、对应边成比例23. 【答案】不正确，作AʹC⊥AB，BʹD⊥AB，∴∠AʹCO=∠BʹDO=90∘．又∠1=∠2，∴△OCAʹ∽△ODBʹ，∴AʹCBʹD =AʹOBʹO．∵AʹO=AO=1.25(m)，BʹO=BO=16.5，AʹC=0.85，∴0.85BʹD =1.2516.5，解得BʹD=11.22(m)，即长臂端点B升高了11.22m．【知识点】相似三角形的应用24. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90∘，∴∠AEF+∠F=90∘∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF=180∘−90∘=90∘，∴∠CED=∠F，又∵∠A=∠D=90∘，∴△AFE∽△DEC．(2) ∵△AFE∽△DEC，∴AEDC =AFED，∵AB=CD=3，AE=4，DE=6，∴43=3+BF6，解得BF=5．答：线段BF的长为5．【知识点】两角分别相等、矩形的性质、对应边成比例25. 【答案】(1) ∵A与C关于直线MN对称，∴AC⊥MN，∴∠COM=90∘，在矩形ABCD中，∠B=90∘，∴∠COM=∠B，又∵∠MCO=∠ACB，∴△COM∽△CBA．(2) ∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，∴由勾股定理得AC=10，∴OC=5，∵△COM∽△CBA，∴OCBC =OMAB，即58=OM6，∴OM=154．【知识点】两角分别相等、对应边成比例。
北师大数学九年级上册第四章比例线段
第01讲_比例线段知识图谱比例与比例线段知识精讲一．比例的性质1.比例的基本性质：a cad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b db d ac =⇔=；3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)；4.合比定理：a c a b c db d b d ++=⇔=； 5.分比定理：a c a b c db d b d --=⇔=； 6.合分比定理：a c a b c db d a bcd ++=⇔=--； 7.等比定理：(0)a c m a c m ab d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+．二．成比例线段1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即::a b c d =），那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a cb d =（::a bcd =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的第四比例项．三条线段a bb c=（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项．3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.618AC AB AB -=≈，350.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三点剖析一．考点：比例与成比例线段二．重难点：比例的性质三．易错点：注意等比定理在运用时的时候一定要对分母为0或不为0进行讨论．比例的基本性质例题1、已知23a b=（0ab≠），下列比例式成立的是（）A.32ab= B.32a b= C.23ab= D.32ba=【答案】B【解析】本题考查比例的基本性质，内项积等于外项积。
北师大版数学九年级上册 第四章 图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明 同步练习题及答案
2019-2019 北师大版数学九年级上册 第四章 图形的相似4.5 相似三角形判定定理的证明 同步练习题1. 如图，在△ABC 中，如果DE 与BC 不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE ∽△ACB 的是( )A ．∠ADE ＝∠CB ．∠AED ＝∠B C.AD AB ＝DE BC D.AD AC ＝AE AB 2. 下列命题中是真命题的是( ) A ．有一个角相等的直角三角形都相似 B ．有一个角相等的等腰三角形都相似 C ．有一个角是120°的等腰三角形都相似 D ．两边成比例且有一角相等的三角形都相似3. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接CE 并延长，与BA 的延长线交于点F ，若AE ＝2ED ，CD ＝3 cm ，则AF 的长为( ) A ．5 cm B ．6 cm C ．7 cm D ．8 cm4. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5. 在△ABC 和△A 1B 1C 1中，下列四个命题：①若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠A ＝∠A 1，则△ABC ≌△A 1B 1C 1； ②若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠B ＝∠B 1，则△ABC ≌△A 1B 1C 1； ③若∠A ＝∠A 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC ∽△A 1B 1C 1； ④若AC ＝A 1C 1，CB ＝C 1B 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC ∽△A 1B 1C 1.其中真命题的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA＝90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB.其中相似的为( ) A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③7. 相似三角形的判定定理：_______________的两个三角形相似；两边_________且夹角_______的两个三角形相似；三边__________的两个三角形相似．8. 证明相似三角形判定定理时，先作辅助线，再根据平行于三角形__________________与其他两边相交，截得的对应线段__________进行证明．9. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD＝4，DB＝2，则DEBC的值为__________．10. 如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，则AD＝____．11. 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，点E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF与△CDE相似，则BF的长是_______．12. 如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M，N分别在CD，AD上滑动，当DM＝________时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似．13. 在△ABC中，点P是AB上的动点(P异于点A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB ＝AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有____条．14. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于点E.求证：△ABD ∽△CBE. 15. 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，点B ，D ，E 在一条直线上．能得到△ABD ∽△ACE 吗？16. 如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，点E 为AB 的中点．(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF的值．17. 如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 边上有一动点P ，连接PD ，线段PD 绕点P 顺时针旋转90°后，得到线段PE ，且PE 交BC 于点F ，连接DF ，过点E 作EQ ⊥AB 的延长线于点Q. (1)求线段PQ 的长；(2)问：点P 在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由． 参考答案： 1---6 CCBBB D7. 两角分别相等 成比例 相等 成比例 8. 一边的直线 成比例 9. 2310. 10311. 1.8 12. 55或25513. 314. ∵在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC.又∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°.又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE15. 能．由AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，得△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE.∵AB AD ＝AC AE ，∴AB AC ＝ADAE，∴△ABD ∽△ACE 16. (1)∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ，又∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AB ＝ADAC，∴AC 2＝AB ·AD(2)∵∠ACB ＝90°，点E 为AB 的中点，∴CE ＝AE ，∴∠ACE ＝∠EAC ，又∵∠EAC ＝∠DAC ，∴∠ECA ＝∠DAC ，∴CE ∥AD(3)∵CE ∥AD ，∴△CEF ∽△ADF ，∴CF AF ＝CE AD ，∵AB ＝6，∴CE ＝3，∴CF AF ＝CE AD ＝34，∴AC AF ＝7417. (1)根据题意得：PD ＝PE ，∠DPE ＝90°，∴∠APD ＋∠QPE ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°，∴∠ADP ＋∠APD ＝90°，∴∠ADP ＝∠QPE ，∵EQ ⊥AB ，∴∠A ＝∠Q ＝90°，在△ADP 和△QPE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠Q ，∠ADP ＝∠QPE ，PD ＝EP ，∴△ADP≌△QPE(AAS)，∴PQ ＝AD ＝1(2)∵△PFD ∽△BFP ，∴PB BF ＝PDPF ，∵∠ADP ＝∠EPB ，∠CBP ＝∠A ，∴△DAP ∽△PBF ，∴PD PF ＝AP BF ，∴AP BF ＝PB BF ，∴PA ＝PB ，∴PA ＝12AB ＝12，∴当PA ＝12时，△PFD∽△BFP。
北师大九年级数学上第四章相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CD F S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长．解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆． 例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2．说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FC AB GF =，即2232xx -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEG F S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。
北师大版九年级上册数学第四章 图形的相似含答案(通用)
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在中，、为边的三等分点，，点为与的交点.若，则为（）A.1B.2C.D.32、如图，A，B是双曲线上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）A. B.2 C.4 D.83、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG=∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG 最小值为( )A. B. C. D.4、小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A.45米B.40米C.90米D.80米5、如果两个相似三角形的面积之比是1：2，那么这两个相似三角形的周长比是（）A.2：1B.1：C.1：2D.1：46、如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B 1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A.（0，64）B.（0，128）C.（0，256）D.（0，512）7、两个全等的等腰直角三角形，斜边长为2，按如图放置，其中一个三角形45°角的项点与另一个三角形的直角顶点A重合，若三角形ABC固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的角边和斜边所在的直线分别与边BC交于点E、F，设BF= CE= 则关于的函数图象大致是（）A. B. C. D.8、如图，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=2，点D是边AB上的一个动点，以CD 为直径作⊙O交AB的另一点于F，交AC的另一点于E，将点E绕点F按逆时针方向旋转120°得到点E'，当点D在线段BF上时，点E'始终在⊙O上，则点D 由B出发，运动到与点F重合停止，点E'所经过的路径的长是（）A. B. C. D.9、如图，射线OC分别交反比例函数，的图象于点A，B，若OA：OB=1：2，则k的值为（）A.2B.3C.4D.610、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）A. B. C. D.11、△ABC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF与△ABC的相似比是（）A. B. C. D.12、某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（）A.1.25mB.10mC.20mD.8m13、如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A.2 cm 2B.4 cm 2C.8 cm 2D.16 cm 214、如图，已知在平面直角坐标系中，点是坐标原点，是直角三角形，，，点在反比例函数上，若点在反比例函数上，则的值为( )A. B. C. D.15、如图，已知矩形ABCD满足AB：BC=1：，把矩形ABCD对折，使CD与AB重合，得折痕EF，把矩形ABFE绕点B逆时针旋转90°，得到矩形A′BF′E′，连结E′B，交A′F′于点M，连结AC，交EF于点N，连结AM，MN，若矩形ABCD面积为8，则△AMN的面积为（）A.4B.4C.2D.1二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在中，∠C=90°，AC=3，BC=4，把绕C点旋转得到，其中点在线段AB上，那么的正切值等于________17、如图，在中，AD平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若，，，求BD的长是________．18、如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________.19、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，A（﹣4，0），C（0，6），如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B的对应点B′的坐标是________．20、如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若，，，则EF的长为________.21、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，（如图），将△ABC绕点C旋转后，点A落在斜边AB上的点A’，点B落在点B’，A’B’与边BC相交于点D，那么的值为________．22、如图，正方形ABCD的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC=6，△ABC的面积为9，则正方形DEFG的面积为________23、如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是________．①BE＝CD；②∠BOD＝60º；③△BOD∽△COE．24、如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体在暗盒中所成的像的高度为，那么物体的高度应为________ .25、在综合实践课上，小明同学设计了如图测河塘宽AB的方案：在河塘外选一点O，连结AO，BO，测得AO=18m，BO=21m，延长AO，BO分别到D，C两点，使OC=6m，OD=7m，又测得CD=5m，则河塘宽AB=________m．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知＝，求的值.27、如图，在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，连接AA1， CC1，若△ABA1的面积为4，求△CBC 1的面积.28、王老师要装修自己带阁楼的新居（下图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯时，为避免上楼时墙角碰头，设计墙角到楼梯的竖直距离为，他量得客厅高，楼梯洞口宽，阁楼阳台宽.请你帮助王老师解决问题：要使墙角到楼梯的竖直距离为，楼梯底端到墙角的距离是多少米？29、感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC 上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 ，CE=4，求DE的长30、四边形ABCD中,点E是AB的中点,F是AD边上的动点．连结DE、CF．（1）若四边形ABCD是矩形,AD=12,CD=10,如图（1）所示．①请直接写出AE的长度;②当DE⊥CF时,试求出CF长度．（2）如图（2）,若四边形ABCD是平行四边形,DE与CF相交于点P．探究：当∠B与∠EPC满足什么关系时,成立？并证明你的结论．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、D3、D4、A5、B6、C7、C8、D9、C10、B11、A12、C13、C14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、30、。
最新精选北师大版数学九年级上册第四章 图形的相似6 利用相似三角形测高习题精选三十三
最新精选北师大版数学九年级上册第四章图形的相似6 利用相似三角形测高习题精选三十三第1题【单选题】如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为( )A、8.5米B、9米C、9.5米D、10米【答案】：【解析】：第2题【单选题】如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A、第4张B、第5张C、第6张D、第7张【答案】：【解析】：第3题【单选题】如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，为了测量A、B之间的距离，小天想了一个办法：在地上取一点C，使它可以直接到达A﹑B两点，连接AC、BC，在AC上取一点M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于点N，测得MN=38m，则A、B两点间的距离为( )A、76mB、95mC、114mD、152m【答案】：【解析】：第4题【单选题】如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为( )A、3米B、4米C、4.5米D、6米【答案】：【解析】：第5题【单选题】如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图。
点P处放一水平的平面镜,，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处。
已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是( )A、6米B、8米C、18米D、24米【答案】：【解析】：第6题【填空题】小明身高1.8m，王鹏身高1.50m，他们在同一时刻站在阳光下，小明影子长为1.20m，则王鹏的影长为______m．【答案】：【解析】：第7题【填空题】如图，路灯点O到地面的垂直距离为线段OP的长．小明站在路灯下点A处，AP=4米，他的身高AB 为1.6米，同学们测得他在该路灯下的影长AC为2米，路灯到地面的距离______米．【答案】：【解析】：第8题【填空题】在同一时刻，身高1.6m的小强的影长是1.2m，旗杆的影长是15m，则旗杆高为______m．【答案】：【解析】：第9题【填空题】在某一时刻，测得一根高为3m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋建筑物的影长为18m，那么这栋建筑物的高度为______m．【答案】：【解析】：第10题【填空题】如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，则小方行走的路程AC=______．【答案】：【解析】：第11题【填空题】如图，数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，小华拿一支刻有厘米分划的小尺，站在距旗杆30米的地方，手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分划恰好遮住旗杆，已知臂长60cm，则旗杆高为______米．【答案】：【解析】：第12题【填空题】在△ABC中，∠C＝90°，AC=4，点G为△ABC的重心．如果GC=2，那么有误的值是______．【答案】：【解析】：第13题【解答题】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1 ，请画出△A1B1C1；（2）请画一个△A2B2C2 ，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比为2：1．【答案】：【解析】：第14题【解答题】如图，公园内有一棵景观树，AB的影子请好落在地图BC和地图CD上，经测量CD=4m，BC=10m，已知该坡面CD与地面成30°角，且此时测得2m的竹竿的影子是1m，求这棵景观树的高度．【答案】：【解析】：第15题【综合题】已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，∠PDQ的顶点D在BC边上，DP交AB边于点E，DQ交AB边于点O 且交CA的延长线于点F（点F与点A不重合），设∠PDQ=∠B，BD=3．求证：△BDE∽△CFD；设BE=x，OA=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；当△AOF是等腰三角形时，求BE的长．【答案】：【解析】：。
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北师大版九年级上册第四章全章分课时习题精选（最新版）4.1 成比例线段1．已知三条线的比如下，可以组成三角形的是（ ）A ．5：20：30B ．10：20：30 Ｃ．15：15：30 Ｄ．20：30： 30 ２．下列四条线段中，不能成比例的是（ ） A.. a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4 B. a ＝1，b ＝2，c ＝6，d ＝3 C. a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10D. a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝233．在比例尺为1：n 的某市地图上，A ，B 两地相距5cm ，则A ，B 之间的实际距离为（ ） A ．51n cm B ．251n2cm C ．5ｎcm Ｄ．25n2cm４．若5x =7y,则y x 的值为( )A ．75 B ． 57 C ．3：5 ｄ．2 5．如果b a ＝b d成立，那么下列各式一定成立的是（ ）A ．c a ＝b dB ．bd ac ＝b cC ．ba 1+ ＝d c 1+ D ．b b a 2+＝d dc 2+6．若a:b:c=3:5:7,且3a+2b-4c=9,则a+b+c 的值等于（ ）A ．-3B ．-5 Ｃ．-7 Ｄ．-15７．已知M 是线段AB 延长线上一点，且AM ：BM ＝5：2则AB ：BM 为（ ）A.3：2 B ．2：3 C ．3：5 D ．5：28．某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高是1.5米，影长是1米，且旗杆的影长为8米，则旗杆的高度是（ ） A.12米 B ．11米 C ．10米 D ．9米9．若b b a -＝74，则b a＝＿＿＿＿． 10．若b a ＝d c ＝52（b ＋d ≠0），则db c a ++＝＿＿＿＿．11．已知5922=-+b a b a ，则b a ＝＿＿＿＿．12．如果两地相距250km ，那么在1： 10000000的地图上它们相距＿＿＿＿cm 。
13．在Rt △ABC 中，斜边AB ＝205，409=BC AC ，试求AC ，BC 的值。
14．在△ABC 中，AB ＝12，点E 在AC 上，点D 在AB 上，若AE ＝6，EC ＝4，且ECAEDB AD =。
（1） 求AD 的长； （2） 试问ACECAB DB =能成立吗？请说明理由。
答案：1.D 2.C 3.C 4.A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.711 10.25 11.131912.2.5 13.AC=45 BC=200. 14. (1)AD=536;(2)能,由AB ＝12，AD ＝536，故DB ＝524。
于是52=AB DB ，又52104==AC EC ，故ACECAB DB =。
4.2平行线分线段成比例一. 填空题：1. 如图，梯形ABCD ，AD//BC ，延长两腰交于点E ，若AD BC AB ===264，，，则ED ECDEDC==，2. 如图，∆ABC 中，EF//BC ，AD 交EF 于G ，已知EG GF BD ===235，，，则DC =3. 如图，梯形ABCD 中，DC AB DC AB //.，，==235，且MN//PQ//AB ，DM MP PA ==，则MN ＝________，PQ ＝________4. 如图，菱形ADEF ，AB AC BC ===756，，，则BE ＝________5. 如图，EA FC EB FD ////，，则AB 与CD 的位置关系是________6. 如图，D 是BC 的中点，M 是AD 的中点，BM 的延长线交AC 于N ，则AN:NC＝________。
二. 选择题1. 如图，H 为平行四边形ABCD 中AD 边上一点，且AH DH =12，AC 和BH 交于点K ，则AK:KC 等于（ ） A. 1:2B. 1:1C. 1:3D. 2:3A H DKB C2. 如图，∆ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 上，下列条件中，能判定DE//BC 的是（ ） A. AD AC AE AB ⋅=⋅ B. AD AE EC DB ⋅=⋅ C. AD AB AE AC ⋅=⋅D. BD AC AE AB ⋅=⋅AB CD E3. 如图，∆ABC 中，DE//BC ，BE 与CD 交于点O ，AO 与DE 、BC 交于N 、M ，则下列式子中错误的是（ ） A.DN BM ADAB=B.AD AB DE BC = C. DO OC DEBC=D.AE EC AOOM=ANO B M CD E4. 如图， l l l l 1234////，与l 5交于点P ，PA a AB b BC c ===，，，PD d =，DE e =，EF f =，则bf =（ ）A. abB. bdC. aeD. ce5. 如图，∆ABC 中，AD DB AE EC ==12，则OE OB :=（ ） A.12B. 13C. 14D. 15AD E OB C三. 计算题：1. 如图，已知菱形BEDF 内接于∆ABC ，点E 、D 、F 分别在AB 、AC 和BC 上，若AB BC ==1512，，求菱形边长。
B F C2. 如图，已知∆ABC 中，DE BC AD AC BD AE //，，，===86，求BD 的长。
B C3. 如图，∆ABC中，AD是角平分线，DE AC//交AB于E，已知AB=12，AC=8，求DE。
A4. 在∆ABC中，BD是AC边上的中线，BE AB=，且AE与BD相交于点F，试说明：AB BCEF AF =。
5. 如图F为平行四边形ABCD的AD延长线上一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF GE==328，，求BE。
FD G CEA B【试题答案】 一. 填空题 1.13 122.1523. 2.5 34. 3.55. 平行6. 1:2二. 选择题 1. C2. A3. D4. D5. B三. 计算题1. 解： BEDF 是菱形 ∴===BE ED DF BF 设菱形边长为xDF ABDF AB CFBCx x x //∴=∴=-∴=151212203答：菱形边长为2032. 解： DE BCAD AB AEAC//∴=BD AE =且AD AC ==86， ∴+=∴+-=88684802BD BDBD BD∴=BD 4或BD =-12（舍去） 3. 解： DE AC //，∴∠=∠13 又 AD 平分∠BAC ，∴∠=∠12 ∴∠=∠∴=12AE DE∴=∴=-∴=DE AC BE AB DE DEDE 8121248.4. 解：过E 作EM BD //，交AC 于MADF MB E C∴=∴=BE BC DMCD EF AF DM AD而BD 是中线，∴=AD DC 又 BE AB BE BC EF AF AB BC EFAF=∴=∴=，， 5. 解： 平行四边形ABCD∴∴==∴=DC AB BC ADGE EB CE AE CE AE BEEF GE EB BE EF////，， EF GE BE ==∴=32816，，4.3 相似多边形1． 两个相似多边形一组对应边分别为3cm ，4.5cm ，那么它们的相似比为（ ）A ．32 B ．23 C ．94 D ． 492． 在矩形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，如果矩形ABCD ∽矩形EFCB ，那么它们的相似比为（ ） A ．2 B ．22 C ．2 D ．21 3． 一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（ ） A ．6 B ．8 C ．12 D ．104． 如果多边形ABCDEF ∽多边形A`B`C`D`E`F`，且∠A ＝68o ，则∠A`等于（ ） A ．22 o B ．112 o C ．68 o D ．54o 5． 相似多边形对应边之比叫做______.6． 两个相似多边形的最长边分别为10cm 和20cm ，其中一个多边形的最短边为5cm ，则另一个多边形的最短边为______.7． 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝60，CD ＝15，E ，F 分别为AD ，BC 上一点，且EF ∥AB ，若梯形DEFC ∽梯形EABF ，那么EF ＝______.8． E,F 分别为矩形ABCD 的边AD ，BC 的中点，若矩形ABCD ∽矩形EABF ，AB ＝1，求矩形ABCD 的面积。
9． 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别为AB ，CD 上一点，且梯形AEFD ∽梯形EBCF ，若AD＝4，BC ＝9。
试求AE ：EB 的值。
10.对应角相等的两个多边形一定是相似多边形吗？两个多边形的对应边的比值都相等，这样的两个多边形也是相似多边形吗？试分别举例说明。
11.在长为10，宽为8的矩形ABCD 中，点E 在长AD 上，F 在AB 上，若所得到的矩形EFCD ∽矩形ABCD ，试问AE 之长是多少？请说明理由。
答案：1.A 2.A 3.B 4.C 5.相似比 6.10cm 或2.5cm 7.30 8．由ABAEAD AB =，故,2,22==AD AE 故S 矩形ABCD ＝2 9．由BC EF EF AD =，故EF ＝6，所以3264===EF AD EB AE 。
10．对应角相等的两个多边形未必相似，如矩形和正方形；两个多边形的对应边成比例，这两个多边形未必相似，如；菱形和正方形。
11．AE ＝3.6。
理由：由ADABDC DE =，得DE ＝6.4，则AE ＝10－6.4＝3.64.4 探索三角形相似的条件1． 下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（ ）A ． △ABC 中，∠A ＝42 o ，∠B ＝118 o ，△A`B`C`中，∠A`＝118 o ，∠B`＝15 oB ． △ABC 中，AB=8，AC=4, ∠A ＝105 o ，△A`B`C`中，A`B`＝16，B`C`＝8，∠A`＝100o C ． △ABC 中，AB=18，BC ＝20，CA ＝35，△A`B`C`中，A`B`＝36，B`C`＝40，C`A`＝70D ． △ABC 和△A`B`C`中，有````C B BCB A AB =，∠C ＝∠C`。
2． △ABC 和△DEF 满足下列条件，其中使△ABC 和△DEF 不相似的是（ ） A ．∠A ＝∠D ＝45 o 38`，∠C ＝26 o 22`，∠E ＝108 o B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16 C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝c D ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40 o ，3．如图，△ABC中∠ACB＝90o，CD⊥AB于D。