GCT数学公式大全
GCT常用数学公式总结
GCT常用数学公式总结1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == .2.U U A B A A B B A B C B C A =?= U A C B ?=Φ U C A B R ?=3.()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ .4.二次函数的解析式的三种形式①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么[]1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=.②函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称()()f a mx f b mx ?+=-()()f a b mx f mx ?+-=.7.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称.③函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.8.分数指数幂 1mn n m a a=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.1m n m na a -=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>. 10.对数的换底公式log log log m a m NN a=.推论 log log m n a a n b b m =.11.11,1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ).12.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-.13.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==∈；其前n 项的和公式11(1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1n n a a qq q s na q -?≠?-=??=?.14.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=??=+--?≠?-?；其前n 项和公式为(1),11(),1111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=??=-?-+≠?---?. 15.分期付款(按揭贷款) 每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 16.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ?=.17.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-?-?+=??-? 212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+?-?+=??-?18.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=22sin()a b α?++(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决α为偶数α为奇数α为偶数α为奇数定,tan ba=). 19.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos si n 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.20.三角函数的周期公式函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 21.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 22.余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.23.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)221(||||)()2OAB S OA OB OA OB ?=?-? . 24.三角形内角和定理在△ABC 中，有()222C A BA B C C A B πππ+++=?=-+?=-222()C A B π?=-+.25.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =?222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).26.向量的平行与垂直设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则 ab ?b=λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=.27.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+?121OP OP OP λλ+=+ ?12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 28.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 29.点的平移公式 ''''x x h x x h y y k y y k=+=-=+=-????''OP OP PP ?=+ (图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP的坐标为(,)h k ).30.常用不等式：（1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈?2a bab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-31.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值24 1s .32.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <121212,()()0()x x x x x x x x x x <>?--><或. 33.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a22x a x a x a >?>?>或x a <-. 34.无理不等式（1）()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ≥??>?≥??>?. （2）2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x ≥?≥??>?≥??>?或.（3）2()0()()()0()[()]f x f x g x g x f x g x ≥??.35.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>??>?.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >?<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>??36.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 37.直线的四种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).（4）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).38.两条直线的平行和垂直（1）若111:l y k x b =+，222:l y k xb =+①121212,l l k k b b ?=≠ ;②12121l l k k ⊥?=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A2、B 1、B 2都不为零,①11112222A B C l l A B C ?=≠；②1212120l l A A B B ⊥?+=； 39.夹角公式 2121tan ||1k kk k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)12211212tan A B A B A A B B α-=+(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.40.点到直线的距离 0022||Ax By C d A B++=+(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).41. 圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ=+??=+?.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).42.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?.43.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(22x c a e PF -=.44.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.45.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px = .46.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.47.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221212()()AB x x y y =-+-或2222211212(1)()||1tan ||1t AB k x x x x y y co αα=+-=-+=-+（弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0?>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. 48.圆锥曲线的两类对称问题：（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 49.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++?++?+?+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.50.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ．51.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++，则四点P 、A 、B 、C 是共面?1x y z ++=． 52. 空间两个向量的夹角公式 cos 〈a ，b 〉=112233222222123123a b a b a b a a ab b b++++++（a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ）.53.直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β?= (m为平面α的法向量). 54.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ?= 或cos ||||m narc m n π?-（m ，n 为平面α，β的法向量）.55.设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 56.若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ?θθθθθ?=+- ;1212||180()θθ?θθ-≤≤-+ (当且仅当90θ= 时等号成立). 57.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =?222212121()()()x x y y z z =-+-+-. 58.点Q 到直线l 距离221 (||||)()||h a b a b a =-?(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ).59.异面直线间的距离 ||||CD n d n ?=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).60.点B 到平面α的距离 ||||AB n d n ?=（n为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）.61.异面直线上两点距离公式2222cos d d m n mn θ=++-(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).62. 2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ?++=（长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）.63. 面积射影定理'cos S S θ(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 64.欧拉定理(欧拉公式) 2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F)65.球的半径是R ，则其体积是343V R π=,其表面积是24S R π=．66.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++ .67.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m = .68.排列数公式 mn A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．69.排列恒等式（1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1m m n n n A A n m-=-;（3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-;（5）11m m m n n nA A mA -+=+. 70.组合数公式 mnC =m n m mA A =m m n n n +-- 21)1()1(=)(m n m n -?(n ，m ∈N *，且m n ≤). 71.组合数的两个性质(1) m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =mn C 1+ 72.组合恒等式（1）11mm nn n m C C m --+=;（2）1m m n n n C C n m -=-;（3）11m m nn n C C m--=; （4）∑=nr r n C 0=n 2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .73.排列数与组合数的关系是：m m n nA m C =?！ . 74.二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;二项展开式的通项公式：rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，=. 75.等可能性事件的概率()mP A n=. 76.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． 77.n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．78.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B). 79.n 个独立事件同时发生的概率P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．80.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n k n nP k C P P -=-81.离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）0(1,2,)i P i ≥= ;（2）121P P ++= . 82.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++83.数学期望的性质：（1）()()E a b aE b ξξ+=+；（2）若ξ～(,)B n p ，则E np ξ=. 84.方差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?++-?+ 85.标准差σξ=ξD .86.方差的性质(1)()22()D E E ξξξ=-;(2)()2D a b a D ξξ+=；（3）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.87.正态分布密度函数()()()2221,,2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.88.标准正态分布密度函数()()221,,2x f x e x πσ-=∈-∞+∞.89.对于2(,)N μσ，取值小于x 的概率()x F x μσ-??=Φ.()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<()()21F x F x =-21x x μμσσ--=Φ-Φ ? ?????.90.回归直线方程 y a bx =+，其中()()()1122211n ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx====?---?==??--??=-??∑∑∑∑. 91.相关系数 ()()12211()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑ ()()1222211()()niii n ni i i i x x y y x nx y ny ===--=--∑∑∑.|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.92.特殊数列的极限（1）0||1lim 11||11n n q q q q q →∞不存在或.（2）1101100()lim ()()k k k k tt t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-?+++?==?+++??>? 不存在 .（3）()111lim11nn a q a S qq→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和）. 93.0lim ()x x f x a →=?0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.这是函数极限存在的一个充要条件.94.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足：（1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则0lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立.95.两个重要的极限（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1xx e x →∞??+=(e=2.718281845…).96.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）00000()()()limlim x x x x f x x f x y f x y x x=?→?→+?-?''===??. 97.瞬时速度00()()()lim lim t t s s t t s t s t t tυ?→?→?+?-'===??. 98.瞬时加速度00()()()lim lim t t v v t t v t a v t t t→?→?+?-'===??.99.)(x f 在),(b a 的导数()dy df f x y dx dx ''===00()()lim lim x x y f x x f x x x→?→?+?-==??. 100.函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y=在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 101.几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）. (2) '1()()n n x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='.(5) x x 1)(ln ='；e a x xa log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='.102.复合函数的求导法则设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()xf x f u x ??=. 103.可导函数)(x f y =的微分dx x f dy )('=. 104.,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈）105.复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +=22a b +. 106.复数的四则运算法则(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2)()()()()a bi c di a c b di +-+=-+-;(3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++;(4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++. 107.复平面上的两点间的距离公式 22122121||()()d z z x x y y =-=-+-（111z x y i =+，222z x y i =+）.108.向量的垂直非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是1OZ ，2OZ，则12OZ OZ ⊥ ?12z z ?的实部为零?21zz 为纯虚数?2221212||||||z z z z +=+2221212||||||z z z z -=+?1212||||z z z z +=-?0ac bd +=?12z izλ= (λ为非零实数).109.实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程20ax bx c ++=，①若240b ac ?=->,则21,242b b acx a-±-=;②若240b ac ?=-=,则122b x x a ==-;③若240b ac ?=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2b b ac i x b ac a-±--=-<.导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='?-='?='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，，，一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：·诱导公式：函数角A sincostg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinαctgαtgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα-cos α-tgα -ctg α 180°+α -sinα -cosα tgαctgα 270°-α -cos α -sinα ctgα tgα 270°+α -cos αsinα-ctg α -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctg α 360°+αsinαcosαtgαctgαxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式：·和差化积公式：倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?=±?±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(拉格朗日中值定理。
GCT数学常用公式
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x(3)x x cos )(sin ='(4)x x sin )(cos -='(5) x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7)x x x tan sec )(sec ='(8)x x x cot csc )(csc -='(9) a a a xx ln )(=' (10) (e )e x x'=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x -='(14)211)(arccos x x --='(15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1）v u v u '±'='±)( （2）u C Cu '=')(（C 是常数）（3）v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或dy dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy dudx du dx =或微分运算法则由函数和、差、积、商的求导法则，可推出相应的微分法则.为了便于理解，下面我们用表格来把微分的运算法则与导数的运算法则对照一下：基本积分公式：(1)（5.6 ）(2)( 5.7 )(3)( 5.8 )(4)( 5.9 )(5)( 5.10 )(6)( 5.11 )(7)( 5.12 )(8)( 5.13 )(9)( 5.14 )(10)( 5.15 )(11)( 5.16 )微积分积分公式积分上限的函数及其导数设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.现在我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分,我们知道f(x)在[a,x]上仍旧连续，因此此定积分存在。
GCT考试数学必知公式、定理
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ， b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B ， c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C 。
1 1 1 S Δ = bc sin A = ac sin B = ab sin C 。 2 2 2
AI A = A， AU A = A， AI∅ = ∅， AU∅ = A， AU A = I ， AI A = ∅ ， A I B = B I A， A U B = B U A，
A I ( B I C ) = ( A I B) I C ， A U ( B U C ) = ( A U B) U C ，
A I ( B U C ) = ( A I B) U ( A I C ) ， A U ( B I C ) = ( A U B) I ( A U C ) ， AU B = AI B， AI B = AU B。
card ( A U B) = card ( A) + card ( B) − card ( A I B) ，card（*）为集合中元素个数。
n > 0 y 过（1,1） ， （0，+ ∞ ）上是减函数。
4.6 指数函数 y = a x ， a > 0, a ≠ 1 ，y 在 x 轴上方，过（0,1）点， a > 1 是增 函数； 0 < a < 1 是减函数。 ， 4.7 对数函数 y = log a x ， a > 0, a ≠ 1 ，是 y = a x 的反函数；定义域（0，+ ∞ ） y 在 y 轴的右方，过点（1,0） ， ， a > 1 是增函数； 0 < a < 1 是减函数。 对数运算：
GCT数学公式大全
抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c,a > 0时开口向上a < 0时开口向下,c = 0时抛物线经过原点,b = 0时抛物线对称轴为y轴,还有顶点式y = a（x+h）* + k,就是y等于a乘以（x+h）的平方+k。
-h是顶点坐标的x，k是顶点坐标的y，一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2，由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0（一）椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
（二）椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。
常数为体，公式为用。
椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0·万能公式：s inα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB导数公式： a x x aa a ctgxx x tgxx x xctgx xtgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C ax x a dx Cx a x a a x a dx Ca x a x a a x dx C ax arctg a x a dx Cctgx x xdx Ctgx x xdx Cx ctgxdx Cx tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 222222222222222222222020ππ。
GCT常用数学公式总结
GCT 常用数学公式总结1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.2.U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=3.()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+.4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数.设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.②函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=. 7.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称.③函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.8.分数指数幂mn a =（0,,a m n N *>∈，且1n >）.1m n m na a -=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =⇔=>≠>.10.对数的换底公式 log log log m a m N N a =.推论 log log m n a a nb b m =.11.11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).12.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 13.等比数列的通项公式1*11()n n n aa a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.14.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),11(),1111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 15.分期付款(按揭贷款) 每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).16.同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.17.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩ 212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩18.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).19.二倍角公式 sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 20.三角函数的周期公式 函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.21.正弦定理 2sin sin sin a b cR A B C===.22.余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.23.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=24.三角形内角和定理 在△ABC 中，有()222C A BA B C C A B πππ+++=⇔=-+⇔=-222()C A B π⇔=-+.25.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ). 26.向量的平行与垂直 设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则 a b ⇔b=λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.27.线段的定比分公式 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 28.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 29.点的平移公式 ''''x x h x x h y y k y y k ⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ (图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k ). 30.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-31.极值定理 已知y x ,都是正数，则有（1）如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值241s .32.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.33.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-. 34.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.（22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩. 35.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩36.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 37.直线的四种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). （4）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).38.两条直线的平行和垂直 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 39.夹角公式 2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)12211212tan A B A B A A B B α-=+(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 40.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).41. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).42.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.43.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(22x c a e PF -=.44.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.45.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px =.46.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.47.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. 48.圆锥曲线的两类对称问题：（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.49.“四线”一方程 对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y 即得方程0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.50.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb ．51.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++， 则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔1x y z ++=． 52. 空间两个向量的夹角公式 cos 〈a ，b 〉=（a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ）.53.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).54.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.55.设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 56.若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).57.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 ,A B d =||AB AB AB =⋅=. 58.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ). 59.异面直线间的距离 ||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).60.点B 到平面α的距离 ||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，Aα∈）.61.异面直线上两点距离公式 d =(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =). 62. 2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=（长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）.63. 面积射影定理 'cos S S θ=(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 64.欧拉定理(欧拉公式) 2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F)65.球的半径是R ，则其体积是343V R π=,其表面积是24S R π=．66.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.67.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.68.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．69.排列恒等式 （1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1m mn n n A A n m-=-;（3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-;（5）11m m m n n n A A mA -+=+. 70.组合数公式 mnC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ，m ∈N *，且m n ≤).71.组合数的两个性质(1) m n C =mn n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+72.组合恒等式（1）11mm nn n m C C m --+=;（2）1m m n n n C C n m -=-;（3）11mm nn n C C m--=; （4）∑=nr r n C 0=n 2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .73.排列数与组合数的关系是：m mn n A m C =⋅！ .74.二项式定理 nn n r r n r n n n n n n nn b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式：rr n r nr b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 75.等可能性事件的概率()m P A n=.76.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． 77.n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．78.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B). 79.n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．80.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k kn k n nP k C P P -=- 81.离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）0(1,2,)i P i ≥=;（2）121P P ++=.82.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++83.数学期望的性质：（1）()()E a b aE b ξξ+=+；（2）若ξ～(,)B n p ，则E np ξ=. 84.方差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+85.标准差σξ=ξD .86.方差的性质(1)()22()D E E ξξξ=-;(2)()2D a b a D ξξ+=；（3）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.87.正态分布密度函数()()()222,,x f x x μσ--=∈-∞+∞式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.88.标准正态分布密度函数()()22,,xf x x -=∈-∞+∞.89.对于2(,)N μσ，取值小于x 的概率()x F x μσ-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭.()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<()()21F x F x =-21x x μμσσ--⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.90.回归直线方程 y a bx =+，其中()()()1122211n ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑. 91.相关系数 ()()niix x y y r --=∑ ()()niix x y y --=∑|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.92.特殊数列的极限 （1）0||1lim 11||11n n q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.（2）1101100()lim ()()k k k k tt t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩不存在 .（3）()111lim11nn a q a S q q→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和）.93.0lim ()x x f x a →=⇔00lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.这是函数极限存在的一个充要条件.94.函数的夹逼性定理 如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足：（1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则0lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立.95.两个重要的极限 （1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…). 96.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）00000()()()limlim x x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. 97.瞬时速度00()()()lim limt t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 98.瞬时加速度00()()()lim limt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 99.)(x f 在),(b a 的导数()dy df f x y dx dx ''===00()()lim limx x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆. 100.函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.101.几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）. (2) '1()()n n x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln ='；ea x xa log 1)(log ='.(6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.102.复合函数的求导法则 设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.103.可导函数)(x f y =的微分dx x f dy )('=. 104.,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈）105.复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +=106.复数的四则运算法则(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-;(3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++;(4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++.107.复平面上的两点间的距离公式12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）.108.向量的垂直 非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是1OZ ，2OZ ，则12OZ OZ ⊥⇔12z z ⋅的实部为零⇔21z z 为纯虚数⇔2221212||||||z z z z +=+ ⇔2221212||||||z z z z -=+⇔1212||||z z z z +=-⇔0ac bd +=⇔12z iz λ= (λ为非零实数).109.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程20ax bx c ++=，①若240b ac ∆=->,则1,22b x a-=;②若240b ac ∆=-=,则122b x x a ==-;③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac =-<.导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式： ·和差化积公式：倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(拉格朗日中值定理。
GCT数学公式资料
(x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 0
f (x1) f (x2 ) 0 f (x)在a,b 上是减函数.
x1 x2
设 函 数 y f (x) 在 某 个 区 间 内可 导 ， 如果 f (x) 0 ， 则 f (x) 为 增 函 数 ；如 果
其前
n
项和公式为 sn
(b
1
d
q
)
1 qn q 1
d 1 q
n, q
. 1
15.分期付款(按揭贷款) 每次还款 x ab(1 b)n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 (1 b)n 1
b ). 16.同角三角函数的基本关系式 sin2 cos2 1， tan = sin ， tan cot 1 .
B R
card ( A B C) cardA cardB cardC card ( A B)
card ( A B) card (B C) card (C A) card ( A B C) .
4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式 f ( x) ax2 bx c( a 0);② 顶点式
q
,
q
1.
na1, q 1
na1, q 1
14.等比差数列 an: an1 qan d, a1 b(q 0) 的通项公式为
b (n 1)d, q 1
an
bq
n
(d b)qn1 q 1
d
,q
； 1
nb n(n 1)d, q 1
x a b 对称 f (a mx) f (b mx) f (a b mx) f (mx) . 2
GCT数学部分概念、公式总结
代数一、数和代数式 [内容综述] 1．实数的运算（1）四则运算及其运算律（2）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简）xy y x x x x y x y xyx y x a a b a ab a aa aa a ====-+)(,)(,, （3）绝对值a a ab a b a a a a a a a ≤≤-+≤+⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=,,0,0,00,2．复数（1）基本概念（虚数单位、复数、实部、虚部、共轭复数、模、辐角、）12-=i ,bi a z +=,z a bi =-，22b a z +=,ab=αtan ]2,0[πα∈ （2）基本形式（代数形式、三角形式、指数形式）bi a z +=, ()ααsin cos i z z +=, αi e z z =（3）复数的运算及其几何意义)()(,,212121222111b b i a a z z ib a z ib a z +++=++=+=；bi a z +=，bi a z λλλ+=；()1111sin cos ααi z z += ()2222sin cos ααi z z +=())sin()cos(21212121αααα+++=i z z z z ())sin()cos(21212121αααα-+-=i z z z z 10=-z z3．代数式（单项式、多项试）（1）几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等）2222)(b ab a b a +±=±；3223333)(b ab b a a b a +++=+； 3223333)(b ab b a a b a -+-=-； ))((22b a b a b a -+=-； ))((2233b ab a b a b a +-+=+；))((2233b ab a b a b a ++-=-;)1(21321+=++++n n n ．二、集合、映射和函数（微积分） [内容综述] 1．集合（1）概念（集合、空集、全集、表示法）C R, Q, Z,N,,}0{,+∞<<=Φx x A（2）包含关系（子集、真子集、相等、子集的个数）B x A x B A ∈⇒∈∀⇔⊂，A B B A B A ⊂⊂⇔=,，（3）运算（交集、并集、补集、运算律、摩根律）BA B A C A B A C B A C B A C B A A C A B A B A I ===),()()(),()),((,,2．函数（1）概念（定义、两要素、图形、反函数）}),(),{(D x x f y y x ∈=，)(1x f y -=，),(),(a b b a（2）简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）))(,())(,())(,())(,())(,(x f x x f x x f x x f x x f x -=----=--函数)(x a f y +=与)(x a f y -=的图像关于哪条直线对称？))(,())(,())(,()()()())(()()(x h x x g x x g x x h x a f y x h x a f x g x a f y --=-=-=-=--==+= 如果函数)(x f y =以T 为周期，那么函数)()(b ax f x g +=的周期等于什么？)())(()()()(aT x g b a T x a f T b ax f b ax f x g +=++=++=+= （3）幂函数、指数函数、对数函数（含义、性质、常用公式）x y x y x y a y x y a x a ln ,lg ,log ,,=====ax x x y x y x y xy x xy b b a y log log log ,ln ln ,ln ln ln,ln ln ln ==-=+= 三、代数方程和简单的超越方程[内容综述]1．一元一次方程、二元一次方程组b ax =；⎩⎨⎧=+=+.,222111c y b x a c y b x a2．一元二次方程（1）求根公式（判别式）；（2）根与系数的关系；（3）二次函数的图像02=++c bx ax ，ac b 42-=∆ac x x a b x x a ac b b x =-=+-±-=±21212,,24ab ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=3．简单的指数方程和对数方程四、不等式 [内容综述]1．不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝对值不等式） 性质：;0,;0,kb ka k b a kb ka k b a <⇒<>>⇒>>c bd a d b c a d c b a ->-+>+⇒>>,,基本不等式：ab b a ≥+)(21，b a b a +≤+ 2．几种常见不等式的解法 绝对五、数列（微积分）、（数学归纳法） [内容综述]1．数列的概念（数列、通项、前n 项的和、各项的和、数列与数集的区别）,,,,21n a a a ，}{n a ∑==+++=nk k n n a a a a S 1212．等差数列（1）概念（定义、通项、前n 项的和）；（2）简单性质：中项公式、平均值)(21,2,)1(21,)1(,},{121111n n n k n k n n n n n n a a n a a a a a a d n n na S d n a a d a a a +=+++=+-+=-+==-+-+3．等比数列（1）概念（定义、通项、前n 项的和）；（2）简单性质：中项公式21111,11,,,0},{nk n k n n n n n n n n n a a a qq a S q a a q a a a a =--===≠+--+ 4．数学归纳法六、排列、组合、二项式定理 [内容综述]1．加法原理与乘法原理 2．排列与排列数（1）定义；（2）公式)1()2)(1(+---=m n n n n P mn 注 阶乘（全排列）!m P m m =3．组合与组合数（1）定义；（2）公式；m mm n m nm mm n m nP P C P C P ==,（3）基本性质n nk k nm nm n m n m n nm n CCC CCC 2,,011=+==∑=-+-4．二项式定理 ()∑=-=+nk kn k k nnb a C b a 0七、古典概率问题 [内容综述] 1．基本概念样本空间、样本点、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件 2．概率的概念与性质（1）定义（非负性、规范性、可加性）； （2）性质：1)(0≤≤A P ，0)(=ΦP ，)()()()(B A P B P A P B A P -+= 3．几种特殊事件发生的概率 （1）等可能事件（古典概型）nmA P =)( （2）互不相容事件 )()()(B P A P B A P += ，对立事件 1)()(=+B P A P（3）相互独立事件 )()()(B P A P B A P = （4）独立重复试验如果在一次试验中某事件发生的概率为p ，那么在n 此独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为 kn kkn n p p C k P --=)1()( ．几何（与三角）一、平面几何图形 [内容综述] 1．三角形（1）三角形的各元素（边、角、高、周长、面积）c b a p c p b p a p p C ab ah s ++=---===2,))()((sin 2121（2）三角形各元素的计算公式（3）几种特殊三角形（直角、等腰、等边）222b a c += 2．四边形（1）矩形（正方形）；（2）平行四边形（菱形）；（3）梯形h b a s )(21+= 注：对角线垂直的四边形面积． 3．圆和扇形（1）圆(周长、面积、圆周角、圆心角)22R s R l ππ==（2）扇形θR l Rl s ==214．平面图形的相似关系注 正多边形的内角和π)2(-n 、椭圆面积ab π二、空间几何图形 [内容综述]1．长方体（正方体） 2．圆柱体 h R V Rhs 22ππ==侧3．圆锥体 h R V R h R s 22231ππ=+=侧4．球 32344R V Rs ππ==三、三角函数 [内容综述]1．定义（符号，特殊角的三角函数值）ααααααααααααsin 1csc ,cos 1sec ,sin cos cot ,cos sin tan ,cos ,sin ======x y2．三角函数的图像和性质（微积分）3．常用的三角函数恒等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==-=++=+1cos 2sin 21sin cos 2cos cos sin 22sin sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(2222βββββββββαβαβαβαβαβα ββπββπββπsin )sin(,sin )2cos(,cos )2sin(-=+-=+=+4．反三角函数),0(,cot arc );2,2(,arctan ],0[,arccos ];2,2[,arcsin ππππππx y x y x y x y =-==-=5．正弦定理和余弦定理 （1）正弦定理cCb B a A sin sin sin == （2）余弦定理abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=四、平面解析几何 [内容综述] （一）平面直线1．直线方程（点斜式，斜截式、截距式、一般式）()01,0000=++=++=-+==--c by ax by a x b kx y x x k y y k x x y y2．两条直线的位置关系（相交，平行，垂直）0:=++c by ax l ；0:1111=++c y b x a l ；平行但不重合：111c c b b a a ≠=；重合：111c cb b a a ==；垂直：111-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a b a 3．点到直线的距离0=++c by ax ，),(00y x ， 2200ba c by ax d +++=注 直线与圆等平面图形的位置关系 （二）圆锥曲线1．圆:到一定点距离相等的点的集合．22020)()(R y y x x =-+-2．椭圆（1）定义：到两定点距离之和为一常数的点的集合． （2）方程；)0,()0,(,,12222222c c b a c b y a x --==+（3）图像；（4）离心率；1<=ace （5）准线 ca x 2±=3．双曲线（1）定义：到两定点距离之差（的绝对值）为一常数的点的集合． （2）方程；)0,()0,(,,12222222c c b a c b y a x -+==-（3）图像；（4）离心率；1>=ace （5）渐近线；x a b y ±=（6）准线 ca x 2±=4．抛物线（1）定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合． （2）方程；px y 22=， ,2,)0,2(px p -=（3）图像；（4）离心率 1=e ；（5）准线微积分部分第11章函数的极限与连续11.1函数 一 函数1定义 设x 和y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个数D x ∈，变量y 按照一定的法则，总有一个确定的值与它对应，则称y 是x 的函数，记作)(x f y =，数集D 叫做这个函数的定义域，x 叫做自变量，y 叫做因变量。
gct高数(公式)
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c,a > 0时开口向上a < 0时开口向下,c = 0时抛物线经过原点,b = 0时抛物线对称轴为y轴,还有顶点式y = a（x+h）* + k,就是y等于a乘以（x+h）的平方+k。
-h是顶点坐标的x，k是顶点坐标的y，一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2，由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0（一）椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
（二）椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。
常数为体，公式为用。
椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0·万能公式：s inα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 导数公式：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a xxln 1)(logln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin xarcctgx xarctgx xx xx +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x ax dx Cshx chxdx C chx shxdx Caadx aC x ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx xdxC tgx xdx x dxxx)ln(ln csc csc sec sec csc sinsec cos 22222222Cax xa dxCx a x a ax a dx C a x a x a a x dx C ax arctg a x a dxC ctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdxC x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cx ax a x dx x a Ca x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n nnn arcsinln 22)ln(221cos sin22222222222222222222220ππ。