修改第二稿

目录摘要 (1)1. 引言 (2)2. 主要引理 (4)3. 定理1的证明 (4)4. 定理2的证明 (6)参考文献 (7)致谢 (8)关于奇完全数的一个注记何达伟, 数学计算机科学学院摘 要: 令K 为正整数.设q 是奇完全数n 的一个素因子且q 在n 的标准分解式中的最高方幂为α.本文证明了若(3,)1n =，则234511111(/)/,,,,,n q q p p p p p αασ≠6711,,p p 2345222324332121212121212121212123123,,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 4321322213321,,p p p p p p p p p p ,其中4321,,,p p p p 是不用的素数;若,/)/(K q q n ≤αασ则.46K n ≤此外,我们还研究了1),5(),3(==n n 的条件下的上述平行问题.关键词: 完全数;奇完全数;素因子A note on odd perfect numbersDaWei He, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract: Let K be a positive integer. Let q be a prime factor of the odd perfectnumber n and let α be the highest power of q in the standard factorization of n .In this paper, we prove that if ()1,3=n , then 1(/)/,n q q p αασ≠2345611111,,,,,p p p p p7112,,p p p 212,p p 312,p p 412,p p 5221212,,p p p p 2324332121212123123,,,,,p p p p p p p p p p p p3123,p p p 22123,p p p 4321p p p p , where 1,2,p p 3,4p p are distinct primes; if ,/)/(K q q n ≤αασ then .46K n ≤ Furthermore, we also study the parallel problems in the case of()()1,5,3==n n .Key words: Perfect numbers; odd perfect numbers; primes引言令)(n σ表示自然数n 的所有的正因子的和,)(n Ω表示自然数n 的素因子的个数,)(n ω表示自然数n 的不同素因子的个数.设q 是n 的一个素因子,若n q α但1|q n α+/,我们记为n q α.如果)(n σn 2=,则称n 为完全数.对完全数的研究,至少已经有两千多年的 历史.《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题.古希腊数学家欧几里得通过12(21)p p --的表达式发现了前四个完全数.Euclid 指出：如果2p -1是素数,则12(21)p p --是一个完全数,并给出了其证明.后来人们发现,Euclid 给出的只是一个偶数是完全数的充分条件.1747年数学家欧拉（Euler ）证明了如果n 是一个偶完全数当且仅当=n 12(21)p p --,其中p 和12-p 均为素数. 我们称形如21p -的正整数为梅森数（Mersenne numbers ）,至2013年1月25 日止共发现了48个梅森素数,我们现在还不知道是否存在无穷多个梅森素数.有关偶完全数的研究得到了一些结论:每个偶完全数都是三角数;所有的偶完全数都是以6或28结尾;除6以外的偶完全数都可以表示成连续奇数的立方和;每个偶完全数都可以写成连续自然数之和;所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和,从12p -到222p -等等.另一个关于完全数的重要问题是是否存在奇完全数.这个经典的数论问题已经成为数论中最困难的问题之一.尽管现在还没有发现奇完全数,但是当代数学家奥斯丁〃欧尔证明,若有奇完全数,则其形式必然是121p +或369p +的形式,其中p 是素数.相关问题参见[1].关于奇完全数的第一个重要的结果是1849年Euler ]1[证明了:如果n 是一个奇完全数，则n =2211q q p βα22β323βq sq β2 ,其中s q q q p ,,,21是不同的奇素数,1,,,21≥s βββα 且)4(mod 1≡≡αp ,这里αp 称为奇完全数n 的Euler 因子.另一个重要结果是Sylvester ]2[证明了如果n 是一个奇完全数,那么5)(≥n ω且当)3(mod 0≡/n 时6)(≥n ω; Dickson ]3[和Kanold ]4[同样证明了如果n 是一个奇完全数，那么5)(≥n ω;U. Kunhnel ]5[和G . C. Webber ]6[ 分别证明了若n 是一个奇完全数，则6)(≥n ω; C. Pomerance ]7[和N. Robinson 各自证明了若n 是一个奇完全数，则7)(≥n ω;1979年J. E. Z. Chein ]8[ 和P. Hagis ]9[各自独立证明了如果n 是一个奇完全数，那么8)(≥n ω;近期Nielsen ]10[进一步扩大了奇完全数n 的相异因子的个数)(n ω,他证明了若n 是一个奇完全数,则9)(≥n ω,且n 至少有75个素因子.在此基础上,他又进一步证明了如果()1,3=n ,则12)(≥n ω.并且,我们现在已经知道,若n 是一个奇完全数,且()()1,5,3==n n ,则17)(≥n ω.在研究奇完全数不同素因子个数时,人们发现奇完全数n 的第一大素因子大于810,奇完全数n 的第二大素因子大于410,奇完全数n 的第三大素因子大于210.奇完全数的下界已被Brent, Cohen 及te Riele 等人提升到30010.人们用计算机已经证实在101200以下没有奇的完全数.最近P. Ochem 和M. Rao 证明了奇完全数n 1500100≥]11[.设q 是一个奇素数,如果n 是一个偶完全数,那么1/)/(=αασq q n 或2;2011 年 Dris 和Luca 证明了如果n 是一个奇完全数,且n q α,那么≠αασq q n /)/({}5,4,3,2,1]12[.2012年南京师范大学陈永高教授等又证明了432,,,/)/(p p p p q q n ≠αασ22121,,p p p p ,其中21,,p p p 是素数且21p p ≠]13[.并且,他证明了当1≥K 时,若n 是一个奇完全数,n q α,且K q q n ≤αασ/)/(,则84K n ≤.平行文[13]的方法，本文得到如下结论：定理1：假设n 是一个奇完全数,n q α，令αασq q n m /)/(=,则我们有 (1)若()1,3=n ,则8)()(>+Ωm m ω. (2)若()()1,5,3==n n ,则12)()(>+Ωm m ω.定理2：令K 是正整数，假设n 是一个奇完全数且n q α，则我们有 (1)若()1,3=n ,且K q q n ≤αασ/)/(,则 64K n ≤.(2)若()()1,5,3==n n ,且K q q n ≤αασ/)/(,则 3174K n ≤.主要引理引理1]10[:设n 是一个奇完全数,ssp p p n ααα2121=是n 的标准分解式,若()1,3=n ,则12)(≥n ω.引理2]14[:设n 是一个奇完全数,ssp p p n ααα2121=为n 的标准分解式,若()()1,5,3==n n ,则17)(≥n ω.引理 3]13[: 设n 是一个奇完全数,n q α,记αασq q n m /)/(=,则)(log )()()(2n n m m ωωω-≥+Ω.引理 4]15[: 设n 是一个奇完全数,则 )(44n n ω≤.定理1 的证明假设n 是一个奇完全数,s s p p p n ααα2121=是n 的标准分解式, 记 αασq q n m /)/(=. (1)由引理1和引理3,我们有12)(≥n ω,)(log )()()(2n n m m ωωω-≥+Ω,于是8)()(>+Ωm m ω.令αασq q n m /)/(==t t p p p θθθ2121,现在求不等式821≤+++t t θθθ 的整数解. 情况1：7=t ,121≤++t θθθ ,此种情况无整数解; 情况2：6=t ,221≤++t θθθ ,此种情况无整数解; 情况3：5=t ,321≤++t θθθ ,此种情况无整数解;情况4：4=t ,421≤++t θθθ ,则)1,1,1,1(),,,(4321=θθθθ. 即 1234m p p p p =. 情况5：3=t ,521≤++t θθθ ,则)1,2,2(),3,1,1(),2,1,1(),1,1,1(),,(321=θθθ.即 123m p p p =;2123p p p ;3123p p p ;22123p p p . 情况6：2=t ,621≤++t θθθ ,则).3,3(),4,2(),3,2(),2,2(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1(),(21=θθ即 12m p p =;212p p ;312p p ;412p p ;512p p ;2212p p ;2312p p ;2412p p ;3312p p . 情况7：1=t ,721≤++t θθθ ,则7,6,5,4,3,2,11=θ.即 7161514131211,,,,,,p p p p p p p m =. 因此,,,,,,,,/)/(7161514131211p p p p p p p q q n ≠αασ,,22121p p p p 3452212121212,,,,p p p p p p p p23243323221212121231231231231234,,,,,,,p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p .其中1234,,,p p p p 是不同的素数.(2)由引理2和引理3,我们有17)(≥n ω,)(log )()()(2n n m m ωωω-≥+Ω,于是12)()(>+Ωm m ω.令αασq q n m /)/(==t t p p p θθθ2121,现在求不等式1221≤+++t t θθθ 的整数解. 类似(1)中的讨论,我们可以得到23456789101123221111111111112121212(/)/,,,,,,,,,,,,,,,n q q p p p p p p p p p p p p p p p p p p p αασ≠42352433625347263544812121212121212121212121212,,,,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p273645928374655231212121212121212123123123,,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 2222232432233425332123123123123123123123123123,,,,,,,,,p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 33342243432525226627123123123123123123123123123,,,,,,,,,p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 212341234,,p p p p p p p p 2233243312341234123412341234,,,,,p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 32242521234123412341234512345,,,,,p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 2212345,p p p p p312345,p p p p p 654321p p p p p p .其中6,,,,,54321p p p p p p 是不同的素数.定理1证毕.定理2 的证明设αλλλq p p p n s s 2121=为n 的标准分解式. 令=)(ii p λσii qq m i ββ{.,1,,2,1s k i k i +==其中2≥i m ,|,(1,2,)i q m i k =/. 记 k m m m m 21=.则由 k m m m m 21==K q q n ≤αασ/)/(, 我们可以得到2log /log )()(K m m ≤Ω≤ω.根据引理3可得,≥2log log 2K)(log )()()(2n n m m ωωω-≥+Ω.(1)由引理1知,12)(≥n ω,则 )(31)(log 2n n ωω≤,于是≥2log log 2K)(32)(31)(n n n ωωω=-,从而2log log 3)(Kn ≤ω, 根据引理4可得62log /log 3)(44444K K n n =≤<ω.(2)由引理2知,17)(≥n ω,则 )(175)(log 2n n ωω≤, 于是≥2log log 2K)(1712)(175)(n n n ωωω=-,从而2log 6log 17)(Kn ≤ω,根据引理4有可得 3172log 6/log 17)(44444K K n n =≤<ω.定理2证毕.参考文献[1] 盖伊 R K.数论中未解决的问题[M]//张明尧 译.北京:科学出版社,2003.[2] J.J.Sylvester Sur in possibilite de existence dun number parfait qui ne contient pas moins 5diviseurs distincts [J]. Compte Rendus CVI, 20(1888), 522-526.[3] Dickson L E. Finiteness of the odd perfect and primitive abundant numbers with distinctprimes factors [J].Amer. J Math, 35(1913), 413—422.[4] Kandold D H J ．Folgenungen aus dem vorkommen einer gau β sehen primzahl in der primfaktorzerlegung enier ungeraden vollkommenen zahl [J]．J Reine Angen Math, 186(1949), 25—29.[5] Kahnel U. Verscharfung der notwendigen bedinggungen far die existenz von ungeradenvorkommen zahlen [J]. Math I, 52(1949),202-211． [6] Webber G. C ．Non —existence of odd perfect numbers of the ssp p p ββαβ221213[J].Duke Math J, 18(1951), 741-749．[7] Pomerance .C．Odd perfect numbers are divisible by at least seven distinct primes [J]．ActaArith, 25(1974), 265-300.[8] Chein E Z．An odd perfect number has least 8 prime factors[J]．Notices Math Soc，26(1979), 365.[9] P. Hagis. Outline of a proof that every odd perfect number has eight prime factors [J]. MathComp,35(1980), 1027-1032.[10] P.P.Nielsen. Odd perfect numbers have at least nine prime factors, p.76(2007), 2109–2126.[11] P.Ochem and M. Rao. Odd perfect numbers are greater than 101500, Math. Comp., in press.[12] J.A.B. Dris and F. Luca. A note on odd perfect numbers, arXiv: 1103. 1437v3 [math.NT].[13] F.J.Chen and Y.G. Chen. On odd perfect numbers, Bull. Aust. Math. Soc. 86(2012), 510-514.[14] 张四保.一类奇完全数相异素因子的个数,江南大学学报(自然科学版),9(2010), 333-335.[15] D.R.Heath-Brown. Odd perfect numbers, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.115(1994),191-196.致谢非常感谢汤敏老师在我大学的最后学习阶段——毕业论文设计阶段给我的指导，从最初的定题，到资料收集，到写作、修改，到论文定稿，她给了我耐心的指导和无私的帮助。