4.3.2空间两点间的距离公式人教A版高中数学必修2
高中数学 4.3.2空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修2
当 x＝78时，|AB|有最小值 57＝ 735，
此时 A87，277，79，B1，272，67. 点评：解决该类问题的关键是根据点的坐标特征，利用方程的思想求
出未知量．
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栏 目 链 接
8
例 3 正方形 ABCD，ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 与 平面 ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM＝BN＝a(0<a< 2)，求 a 为何值时，MN 的长最小．
4．3.2 空间两点间的距离公式
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1
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栏 目 链 接
2
掌握空间两点间的距离公式，灵活运用公式，初 步建立将空间问题向平面问题转化的思想意识．z
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3
栏
典例精析
目 链
接
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4
题型一 求空间两点间的距离
如图所示，在长方体 OABCO1A1B1C1 中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，
13，精∴选O
5
在 Rt△ODA 中，OD2＝y·OA，
36 ∴y＝123＝1183.
在 Rt△ODC 中，OD2＝x·OC，
36
栏
∴x＝133＝1123.∴D1123，1183，0.
目 链 接
∴|O1D|＝
11232＋11382＋4＝
1113424＝2 12386.
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7
题型二 空间两点距离公式的应用
例 2 已知 A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求|AB|取最小值
时 A，B 两点的坐标，并求此时的|AB|.
解析：由空间两点间的距离公式得|AB|＝
人教A版高中数学必修2《4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》_10
4.3.2 空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式： 222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值. 解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=mm AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.设计感想本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.。
高中数学 4.3.2 空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修2
(0,1,1),D1(0,0,1).∴
E(0, 0, 1), F(1 , 1 , 0),G(1,1, 1)
2 22
2
规律技巧:点的空间坐标为该点在坐标轴上的投影在这个坐
标轴上的坐标.
变式训练1:如图所示,在四棱锥P-ABCD中,各棱长均为a,底面 为正方形,PO⊥底面ABCD,建立适当的坐标系,写出各顶点的 坐标.
2.空间一点M的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数 组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作 ___(_x_,y_,z_)___,其中x叫做点M的___横__坐__标___,y叫做点M的 ___纵__坐__标___,z叫做点M的___竖__坐__标___. 3.空间直角坐标系中的两点间距离公
题型三 两点间距离公式的应用 例3:已知A(1,2,-1),B(2,0,2),在xOz平面内的点M到A与B等距
离,求M点的轨迹. 分析:在xOz平面上点的坐标的特点是y=0,因此点M(x,0,z),代
入两点间距离公式化简得解.
解:设M(x,0,z)为所求轨迹上任一点,则有
(x 1)2 (2)2 (z 1)2 (x 2)2 02 (z 2)2
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①错,②,③,④正确.因此应选C.
答案:C
2.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是
()
A.(-2,1,-4)
B.(-2,-1,-4)
C.(2,-1,4)
D.(2,1,-4)
解析:点(x,y,z)关于x轴的对称点的坐标为(x,-y,-z).
所以(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为(-2,-1,-4).
整理,得x+3z-1=0. ∴M点的轨迹是xOz平面内的一条直线,其方程为x+3z-1=0. 规律技巧:动点M的轨迹与轨迹方程是两个不同的概念.轨迹
数学：4.3.2《空间两点间的距离公式》课件(新人教版a版必修2-)
问题提出
1. 在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么？ 2. 在空间直角坐标系中，若已 知两个点的坐标，则这两点之间的 距离是惟一确定的，我们希望有一 个求两点间距离的计算公式，对此， 我们从理论上进行探究.
知识探究（一）:与坐标原点的距离公式
思考1:在空间直角坐标系中，坐标 轴上的点A（x，0，0），B（0，y， 0），C（0，0，z），与坐标原点O 的距离分别是什么？
例3 如图，点P、Q分别在棱长 为1的正方体的对角线AB和棱CD上运 动，求P、Q两点间的距离的最小值， 并指出此时P、Q两点的位置.
z A P O M N B D Q C y
x
作业: P138练习：1，2，3，4.
； /wapbook/58777.html 帝王燕：王妃有药；
M(x,y,0)
z O P y x M
|PM|=|z|
| OM |=
x +y
2
2
思考4:基于上述分析，你能得到点 P（x，y，z）与坐标原点O的距离公 式吗？
z O x
P
y M
| OP |=
x +y + z
2
2
2
思考5:在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示什么 图形是什么？
z
P1 O x P2
A
y
M
N
思考5:在上述图形背景下，点P1（x1，y1， z1）与P2（x2，y2，z2）之间的距离是 2 2 2 它对任意两点 都成立吗？ | P1P2 |= (x 1 P - 1、 x 2 )P2+ (y 1 - y 2 ) + ( z 1 - z 2 )
高中数学人教A版必修二4.3.2 空间两点间的距离公式
例 2 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离为 到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x 2 2 2 3 2 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2, PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
小结
• 空间两点间的距离公式：
• 点 P（x，y，z）与坐标原点O的距离公式：
问题解决
1、在空间直角坐标系中标出下列各点：
A(0,2,4) C(0,2,0)
B(1,0,5) D(1,3,4)
A B
D C
例 1 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
z
P1
P2
O
y
x
P1P2 MN x1 x2 2 y1 y2 2
思考9:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线，则点P1、P2
的距离如何计算？
z
P2
P1 O
xM
A
y N
思考10:在上述图形背景下，点P1（x1，y1，z1）与P2 （x2，y2，z2）之间的距离是
它对任意两点P1、P2都成立吗？
z
O
P
y
x
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4.3.2《空间两点间 的距离公式》
教学目标
• 通过特殊到一般的情况推导出空 间两点间的距离公式
• 教学重点和难点 • 重点：空间两点间的距离公式 • 难点：一般情况下，空间两点间
的距离公式的推导。
问题提出
1.在平面直角坐标系中两点间的距 离公式是什么？
2.在空间直角坐标系中，若已知两 个点的坐标，则这两点之间的距离 是惟一确定的，我们希望有一个求 两点间距离的计算公式，对此，我 们从理论上进行探究.
z），C（x，0，z），与坐标原点O
的距离分别是什么？
z
B
| OA |= x 2 + y 2
C
O
y
x
A
| OB |= y 2 + z 2 , | OC |= x 2 + z 2
思考3:在空间直角坐标系中，设点P （x，y，z）在xOy平面上的射影为M， 则点M的坐标是什么？|PM|,|OM|的 值分别是什么？
z
P2
P1 O
xM
A
y N
思考5:在上述图形背景下，点P1（x1，y1， z1）与P2（x2，y2，z2）之间的距离是 它对| P1任P2意|= 两(点x1 P- 1、x2)P2 2+都(y成1 -立y吗2)2？+ (z1 - z2)2
理论迁移
例1在空间中，已知点A(1,0,-1)， B(4,3,-1)，求A、B两点之间的距离.
例2已知两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)， 点P在z轴上，若|PA|=|PB|，求点P 的坐标.
例3如图，点P、Q分别在棱长为1的 正方体的对角线AB和棱CD上运动， 求P、Q两点间的距离的最小值，并 指出此时P、Q两点的位置.
数学：432《空间两点间的距离公式》课件新人教A版必修2
通过中点坐标公式，可以方便地找到线段的中点，进而用于 计算线段的长度、确定平行线间的距离、进行向量加法运算 等。
中点坐标计算实例
总结词
通过具体的例子，演示如何使用中点坐标公式进行计算。
详细描述
例如，已知线段两端点A(1,2)和B(4,5)，使用中点坐标公式可以计算出中点M的 坐标为(2.5,3.5)。
CHAPTER 04
空间中线段的斜率与方向向量
斜率与方向向量的关系
斜率是描述线段在空间中倾斜程度的 数值，而方向向量则表示线段的方向 。
在三维空间中，线段的斜率与方向向 量之间的关系可以用数学公式表示， 为研究空间几何提供了重要的理论基 础。
斜率与方向向量的关系密切，斜率可 以通过方向向量计算得出，反之亦然 。
公式
如果点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2)是空间中的两点，那么它们之 间的距离d可以通过以下公式计算 ：d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2y1)^2 + (z2-z1)^2]。
公式推导过程
利用勾股定理推导
通过勾股定理，我们可以推导出空间两 点间的距离公式。设线段AB为两点间的 距离，过点A和B分别作垂直于线段AB的 两个平面，分别交线段AB于点C和D。利 用勾股定理，我们可以得到AC^2 + CD^2 = AD^2，其中AC和CD分别是点 A到平面BCD的距离和平面BCD到点D的 距离，AD是线段AB的长度。通过这个等 式，我们可以推导出空间两点间的距离 公式。
线段长度与时间的关系
在物理学中，物体的运动轨迹可以表示为线段，线段的长度与物体 运动的时间有关。
线段长度与速度的关系
在物理学中，物体的运动速度可以表示为线段长度与时间的比值， 即线段长度与速度有关。
高中数学人教A版必修2第4章 4.3 4.3.2 空间两点间的距离公式
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高中数学人教版必修2课件
4－1.在空间直角坐标系中，已知点 A(1,0,2)，B(1，－3,1)， 点 M 在 y 轴上，且 M 到 A 与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是 (0，－1,0) ． __________ 解析：设 M(0,y,0)，由12＋y2＋4＝1+(－3－y)2＋1，可得
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，过 P 作 yOz 平面的垂线， 1 ， 2 ， 3 3．点 P 的坐标是
(0， 2， 3)，过 P 作 y 轴的垂线， 垂足为 Q，则 Q 点的坐标是____________
(0， 2，0) ． 垂足为 H，则 H 点的坐标是___________
∴6x－4y－13＝0 即为所求点所满足的条件．
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高中数学人教版必修2课件
1－2.已知空间三点 A(0,0,3)，B(4,0,0)，C(4,5,0)，求三角形 的周长．
解：∵A(0,0,3)，B(4,0,0)，C(4,5,0)， ∴|AB|＝ 0－42＋02＋3－02 ＝5， |BC|＝ 4－42＋0－52＋02 ＝5， |AC|＝ 0－42＋0－52＋3－02 ＝5 ∴三角形的周长为 10＋5 2. 2，
则
M
2 2 2 2 ，N a， a，0， 2 a，0，1－ 2 a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ＋ ＋ 2 a－ 2 a 0－ 2 a 1－ 2 a－0 a－
|MN|＝
2
＝ a － 2a＋ 1＝
4．已知 A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点 P 在 z 轴上，且|PA |＝|PB|， (0,0,3) . 则点 P 的坐标为_______ 5．已知△ABC 的三个顶点分别为点 A(3,1,2)，B(4，－2，
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A
)
空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公 式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点 间的距离的求解．设P(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 |P1P1|＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12 ，当P1，P2两点落在 了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转 化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐 标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式.
练在 xOy 平面内的直线 x＋y＝1 上确定
一点 M，使它到点 N(6,5,1)的距离最小．
6 1.点 A(1,1,2)与点 B(0,-1,3)间的距离为__
2.若 A(4,－7,1),B(6,2,z),|AB|＝11,
－5或7 则 z＝________.
3．点 P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点， 设它关于 y 轴的对称点为 Q，则 PQ 的长为( A．2 5 C．3 2 B． 5 2 D． 2 3
2 2 2
例1 求证：以 A(10，－1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3) 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．
练在 z 轴上求一点 M，使点 M 到点
A(1,0,2)与点 B(1，－3,1)的距离相等．
例2
在 yOz 平面上求与三个已知点 A(3,1,2)，
B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点的坐标．
M( x1 , y1 , 0), N( x 2 , y 2 , 0)
O P1
x
2
y
N M
2
MN
( x1 x2 ) ( y1 y2 )
思考2:点P1、P2的距离如何计算？ z P2 P1 A O y N x M
P1 P2 ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
3.2
空间两点间的距离公式
问题提出
1.在平面直角坐标系中两点间的距离公 式是什么？
P1 P2
x1 x2 y1 y2
2
2
、P2( x2 , y2 , z2 ) 2. 猜想空间两点P1( x1 , y1 , z1 ) 间的距离公式.
探究：空间两点间的距离公式 设点 P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) 是空间中任意两 思考1： 点，且P1、P2在xOy平面上的射影分别为 M、N. 则点M、N的坐标及它们之间的距离是多少？ z P2