2018届高中数学专题05解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题特色训练新人教A版选修2_1
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等40分钟限时练(五)带答案新人教版高中数学名师一点通
高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编福建理2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．3．若抛物线212y x =与圆222210x y ax a +-+-=有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为___错 评卷人得分三、解答题4．如图，椭圆22143x y +=的左焦点为F ，上顶点为A ， 过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于,B C 两点. ⑴若AB BC λ=,求实数λ的值；[来源:Z|xx|] ⑵设点P 为ACF △的外接圆上的任意一点，当PAB △的面积最大时，求点P 的坐标. (江苏省苏州市汇编年1月高三调研) （本小题满分16分）5． 如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴AB 长为4，离心率32e =，O为坐标原点，过B 的直线l 与x 轴垂直．P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：Q 点在以AB 为直径的圆O 上；（3）试判断直线QN 与圆O 的位置关系．AB xyM NQPH lOOyxMF1F26．设椭圆)22(18:222>=+a y ax M 焦点坐标为F 1（-c,0）, F 2（c,0）,点Q 是椭圆短轴上的顶点，且满足122c QF QF +=. （I ）求椭圆M 的方程;（II ）设A,B 是圆与()12:22=-+y x N 与y 轴的交点，P 是椭圆M 上的任一点，求PA PB ⋅的最大值.（III ）设P 0是椭圆M 上的一个顶点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任一条直径，求证00P E P F ⋅为定值。
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
2018届高考数学二轮复习椭圆、双曲线、抛物线文专题卷(全国通用)
专题14 椭圆、双曲线、抛物线1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1B.x 23－y 24＝1C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 【答案】C2．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍 【答案】A【解析】由题设知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，如图，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上， ∴可设P (3，b )，把P (3，b )代入椭圆x 212＋y 23＝1，得b 2＝34.∴|PF 1|＝36＋34＝732，|PF 2|＝0＋34＝32.∴|PF 1||PF 2|＝73232＝7.故选A. 3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝() A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B4．设F 1，F 2分别是双曲线C ：x2a2－y 2b2＝1的左、右焦点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22在此双曲线上，且PF 1⊥PF 2，则双曲线C 的离心率等于( )A.22 B. 2 C. 3 D.62【答案】B【解析】根据已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－12b2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫62＋c 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62－c 2＋12＝4c 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－1c 2－a 2＝2，c 2＝2，∴解得a ＝1，c ＝ 2.∴双曲线C 的离心率e ＝ca＝ 2.故选B.5．已知抛物线C 的顶点是椭圆x 24＋y 23＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F 2重合，若抛物线C 与该椭圆在第一象限的交点为P ，椭圆的左焦点为F 1，则|PF 1|＝( )A.23B.73C.53 D ．2 【答案】B【解析】由椭圆的方程可得a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1，故椭圆的右焦点F 2为(1，0)，即抛物线C的焦点为(1，0)，∴p 2＝1，∴p ＝2，∴2p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y 2＝4x .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝263或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝－263，∵P 为第一象限的点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263，∴|PF 2|＝1＋23＝53，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝4－53＝73，故选B.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5 C．4 3 D ．4 5 【答案】B7．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8 【答案】C【解析】∵y 2＝4x ，∴F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.8．已知直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若||FA ＝2||FB ，则k ＝( )A.13B.223C.23D.23 【答案】B【解析】设A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2， 由||FA ＝2||FB 得y 1＝2y 2(如图)．9．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1，x 2，则P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2外 C ．必在圆x 2＋y 2＝1外D ．必在圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2形成的圆环之间 【答案】D【解析】椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝－c a，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝b 2a ＋2ac a >a 2＋c 2a＝1＋e 2，因为0<e <1， 即0<e 2<1. 所以1<e 2＋1<2， 所以x 21＋x 22>1，又b 2a 2＋2ac a 2<b 2＋a 2＋c 2a 2＝2， 所以1<x 21＋x 22<2，即点P 在圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2＝2形成的圆环之间．故选D.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2＝158(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率等于 ( )A.158B.415C.23D.12 【答案】D11．过曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，直线F 1M交曲线C 3：y 2＝2px (p ＞0)于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A. 5B.5－1C.5＋1D.5＋12【答案】D12．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，＋∞) 【答案】D 【解析】如图所示，过点F 2(c ，0)且与渐近线y ＝b a x 平行的直线为y ＝b a (x －c )，与另一条渐近线y ＝－b ax 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba（x －c ），y ＝－ba x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c 2，y ＝－bc 2a，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc2a .∴|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＝c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外， ∴|OM |>c ，即c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>c ， 得1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>2. ∴双曲线离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>2.故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选D.13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．【解析】方法一：由题意设F (c ，0)，相应的渐近线方程为y ＝ba x ，根据题意得k PF ＝－a b，设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，b a x ，【答案】 214．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．【答案】x ＝－2【解析】将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y23a2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax ，解得x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a解得|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，解得a ＝1， ∴抛物线的准线方程为x ＝－2.15．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．【答案】23或3816．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)OA →(λ∈R )，且OA →·OP→＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．【答案】1517．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M . (1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； (2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．解：(1)由题意得抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M ，所以p ＝2，M (0，1)，①当直线l 的斜率不存在时，x ＝0，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋1，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当k ＝0时，x ＝14，满足题意，直线l 的方程为y ＝1；当k ≠0时，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝0，所以k ＝1，方程为y ＝x ＋1，综上可得，直线l 的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝x ＋1.(2)结合(1)知抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线MF 的方程为y ＝－x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－x ＋1，得y 2＋4y －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4， 所以|y 1－y 2|＝42，所以S △OAB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2.18．如图，已知椭圆C 的中心在原点，其一个焦点与抛物线y 2＝46x 的焦点相同，又椭圆C 上有一点M (2，1)，直线l 平行于OM 且与椭圆C 交于A ，B 两点，连接MA ，MB .(1)求椭圆C 的方程；(2)当MA ，MB 与x 轴所构成的三角形是以x 轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1消去y 得 x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，∴Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)＝4(4－m 2)＞0，∴m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}，设MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，∴k 1＋k 2＝0，则A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，x 1x 2＝2m 2－4，x 1＋x 2＝－2m ， ∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋m －1（x 2－2）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋m －1（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2） ＝x 1x 2＋（m －2）（x 1＋x 2）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4－2m 2＋4m －4m ＋4（x 1－2）（x 2－2）＝0， 故MA ，MB 与x 轴始终围成等腰三角形时，∴直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}．19．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |＝1|AM |＋1|AN |，求点Q 的轨迹方程．因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 21，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝ (1＋k 2)x 2.由2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得 2（1＋k 2）x 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22， 即2x 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22.① 将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6>0，得k 2>32.20．如图，已知M (x 0，y 0)是椭圆C ：x 26＋y 23＝1上的任一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .(1)若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(2)试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝61＋2k 21，y 21＝6k 211＋2k 21，所以x 21＋y 21＝6（1＋k 21）1＋2k 21，同理得x 22＋y 22＝6（1＋k 22）1＋2k 22，又因为k 1k 2＝－12，所以|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝6（1＋k 21）1＋2k 21＋6（1＋k 22）1＋2k 22＝6（1＋k21）1＋2k21＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫－12k121＋2⎝⎛⎭⎪⎫－12k12。
2018版高考数学一轮复习 专题：10 圆、椭圆、抛物线的最值、范围、定值、定点特色训练
十、圆、椭圆、抛物线的最值、范围、定值、定点
一、选择题
．【年云南省第二次统一检测】已知，直线与曲线
只有一个公共点，则的取值范围为（）
. . . .
【答案】
【解析】直线化简为：，圆心到直线的距离为，整理为：，即，整理为，设，所以，解得
或（舍），即，解得：，故选.
．【届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知两点，（），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（）. . . .
【答案】
．设，若直线与圆相切，则的取值范围是（）
. .
. .
【答案】
点睛：与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略
()与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
()与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．
．【届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下适应性月考卷七】已知直线
上总存在点，使得过点作的圆：
的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（）
. 或 . . . 或
【答案】
【解析】
如图，设切点分别为，．连接，，，由及知，四边。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等午练专题练习(五)含答案人教版高中数学真题技巧总结提升
高中数学专题复习
《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．(汇编四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于
（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分 二、填空题
2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12
，右焦点为F (c,0)，方程ax 2 －bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________．
①必在圆x 2＋y 2＝2上。
2018届高中数学专题08解锁圆锥曲线中的定点与定值问题特色训练新人教A版选修2_1
- 让每一个人同等地提高自我专题 08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018 届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个极点.过点且斜率不为0 的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【分析】试题剖析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个极点，可求得，再依据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。
设x轴上的定点为，可得，由定值可得需知足，解得可得定点坐标。
- 让每一个人同等地提高自我∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去 y 整理得，设，，要使其为定值，需知足，解得.故定点的坐标为.点睛：分析几何中定点问题的常看法法(1)假定定点坐标，依据题意选择参数，成立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数没关，故获得一个对于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特别地点下手，找出定点，再证明该点切合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018 学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线 l 经过点1,0与抛物- 让每一个人同等地提高自我线 C : y2 2 px （ p 0, p 为常数）交于不一样的两点M , N ，当 k 1时，弦MN的长为 4 15. 2（ 1）求抛物线 C 的标准方程；（ 2）过点M的直线交抛物线于另一点Q ，且直线 MQ 经过点B 1, 1 ，判断直线NQ能否过定点？若过定点，求出该点坐标；若可是定点，请说明原因.【答案】（1）y24x ;（2）直线 NQ 过定点1, 4【分析】试题剖析：（ 1）依据弦长公式即可求出答案；（ 2）由（ 1）可设M t2 ,2 t, N t12 ,2 t1, Q t22 ,2 t 2，则 k MN 2 ，t t1则MN : 2x t t1y2tt10 ；同理：MQ : 2x t t2 y2tt 20NQ : 2x t1t2 y 2t1t20 .由1,0在直线 MN 上t 1（ 1）；t1由 1,1在直线 MQ 上2t t22tt20 将（1）代入t1t2 2 t1t 2 1 （2）将（ 2）代入NQ方程2x t1t2y4t1t 2 2 0，即可得出直线NQ 过定点．22,2 t12,2 t2，则 k MN =2t2t12，（ 2）设M t,2 t , N t1, Q t2t 22t t1 t1- 让每一个人同等地提高自我则 MN : y 2t2x t 2即 2x t t1 y 2tt1 0 ；t t1同理：MQ : 2x t t2y2tt 20 ；NQ : 2x t1 t2 y 2t1t20 .由 1,0 在直线 MN 由1, 1在直线MQ 上tt11，即 t1（1）；t1上 2 t t2 2tt20 将（1）代入t1t2 2 t1 t 2 1 （2）将（ 2）代入NQ方程2x t1t2y 4 t1 t 2 2 0 ，易得直线NQ过定点 1, 43 ．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线 C : y2mx m 0 过点1,2 ，P是 C 上一点，斜率为1的直线 l 交 C 于不一样两点A, B（ l 可是P点），且PAB 的重心的纵坐标为2. 3（ 1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标；（ 2）记直线PA, PB的斜率分别为k1 , k2，求 k1k2的值.【答案】（1）方程为y24x ;其焦点坐标为1,0（ 2）k1k20【分析】试题剖析 ; （ 1）将1, 2代入 y2mx，得 m 4，可得抛物线 C 的方程及其焦点坐标；（ 2）设直线l的方程为y x b ，将它代入 y24x 得 x22（ b2） x b20 ，利用韦达定理，联合斜率公式以及PAB 的重心的纵坐标2k1 k2的值；，化简可3- 让每一个人同等地提高自我由于 PAB 的重心的纵坐标为2，3所以 y 1 y 2 y p 2 ，所以 y p2 ，所以 x p 1，所以 k 1 k 2y 1 2 y 2 2y 1 2 x 2 1 y 22 x 1 1x 1 1 x 2 1x 1 1 x 21，又y 12 x 2 1y 2 2 x 1 1x 1b 2x 2 1x 2 b 2 x 1 12x 1x 2 b 1 x 1 x 2 2 b 22b 22 b 1 b 2 2 b 2 0 .所以 k 1 k 20 .224．已知椭圆 C : x2y 21(a b0) 的短轴端点到右焦点 F 1，0 的距离为 2．ab（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）过点 F 的直线交椭圆C 于 A ，B 两点，交直线 l ：x 4于点 P ，若 PA1AF ，PB 2 BF ，求证：12 为定值．【答案】 (1)x 2 y 2 1 ;(2) 详看法析 .43- 让每一个人同等地提高自我【分析】试题剖析：（Ⅰ）利用椭圆的几何因素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，获得关于 x 或y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点 F 1,0，且斜率存在，设方程为y k x 1 ,将 x4代人得 P 点坐标为4,3k ，y k x1由{ x2y2，消元得 3 4k2x28k 2 x 4k 212 0，431x18k 2 x24k2设A x1, y1，B x2 , y20 且{3，则4k 2，12x1 x24k23方法一：由于PA1AF ，所以1PA x14. AF1x1同理2PB x24，且x14与x24异号，BF1x21x11x2所以12x1 4x24233 1 x1 1 x2 1 x1 1 x22 3 x1x22x1x21x1 x223 8k 268k 2128k234k 24k 20 .所以，12为定值0.当 x11x2时，同理可得 1 2 0 .所以，12为定值 0.同理PB my23my13与my23异号，2，且my1my2BF my2所以12my1 3 my2323 y1y2 my1my2my1 y236m0 .29m又当直线 AB 与 x 轴重合时，120 ，所以，1 2 为定值0 .【点睛】此题考察直线和椭圆的地点关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成对于x 或 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，由于直线 AB 过点F 1,0，在设方程时，常常设为x my 1 m 0 ，可减少议论该直线能否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学 2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线 C ：y24x ， F 为C的焦点，过 F 的直线l与C订交于 A, B 两点.（ 1）设l的斜率为1，求AB；（ 2）求证：OA OB 是一个定值.【答案】 (1)AB8 （2）看法析【分析】试题剖析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（ 2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数目积即可得出；（ 2）证明：设直线l 的方程为x ky 1，由{xky1得y24ky40 y24x∴ y1y24k ， y1 y24OA x1 , y1 , OB x2 , y2，∵OA OB x1x2y1 y2kx1 1 ky2 1 y1 y2，k2 y1 y2k y1y2 1 y1 y2，4k24k2143∴ OA OB 是一个定值.点睛：娴熟掌握直线与抛物线的订交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数目积是解题的要点，考察计算能力, 直线方程设成x ky1也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017 学年高一放学期期末】已知椭圆:x2y21(a 0,b 0) 的C a2b2离心率为6, 右焦点为 ( 2 ,0).(1) 求椭圆C的方程 ;(2) 若过原点作两条相互垂直的射线, 与椭圆3交于 A, B 两点,求证:点 O到直线 AB的距离为定值.【答案】 (1)x2y 2 1 ,(2)O 到直线AB的距离为定值 3 .32【分析】试题剖析：（ 1）依据焦点和离心率列方程解出a， b， c；（ 2）对于AB有无斜率进行议论，设出A， B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有⊥知12+12=12+(k x 1+ )(k x2+ )=(1+2)12+(1+ 2)=0代入,得42=3k2+3 原点到直线ABOA OB x x y y x x m m k x x k m x x m的距离 dm3，当 AB的斜率不存在时,x1y1,可得, x13d 依旧成立.所以点O 1k222- 让每一个人同等地提高自我到直线的距离为定值3.2点睛： 此题考察了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的地点关系，分类议论思想，对于这种题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018 学年高二x 2 y 2 10 月月考】已知双曲线2b 21 b a 0 渐近线方a 程为 y3x ， O 为坐标原点，点 M3,3 在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知 P, Q 为双曲线上不一样两点，点O 在以 PQ 为直径的圆上，求11OP 22 的值．OQ【答案】（Ⅰ）x 2y 2 1；（Ⅱ）1 2 1 21 .26OP OQ3【分析】试题剖析： （ 1）依据渐近线方程获得设出双曲线的标准方程，代入点M 的坐标求得参数即可；（ 2）由条件可得OPOQ ，可设出直线 OP,OQ 的方程，代入双曲线方程求得点 P,Q 的坐标可求得 11 1 。
2018届高考数学二轮椭圆、双曲线、抛物线专题卷文(全国通用)
专题能力训练16 椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,∴c=.又∵该双曲线的渐近线与直线2x+y=0垂直,∴渐近线方程为y=x.∴=,即a=2b.∴a2=4b2.∴c2-b2=4b2.∴c2=5b2.∴5=5b2.∴b2=1.∴a2=c2-b2=5-1=4.故所求双曲线的方程为-y2=1.2.(2017全国Ⅰ,文5)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A. B. C. D.c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=,故选D.3.已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A. B. C. D.,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令P,设l:x=my-a,∴M,E.∴直线BM:y=-(x-a).又直线BM经过OE的中点,∴=,解得a=3c.∴e==,故选A.4.(2017天津,文5)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得所以双曲线的方程为x2-=1.故选D.5.已知点P为双曲线-=1右支上一点,点F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,M为△PF1F2的内心.若=+8,则△MF1F2的面积为()A.2B.10C.8D.6R,a=4,b=3,c=5.∵=+8,∴(|PF1|-|PF2|)R=8,即aR=8,∴R=2.故=·2c·R=10.6.设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.y=±x中令x=c,得A,B,在双曲线-=1中令x=c得P.当点P的坐标为时,由=m+n,得则由得或(舍去),∴=,∴=,∴e=.同理,当点P的坐标为时,e=.故该双曲线的离心率为.7.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.AB=3,则BC=2.设AB,CD的中点分别为M,N,如图,则在Rt△BMN中,MN=2,故BN===.由双曲线的定义可得2a=BN-BM=-=1,而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e==2.8.已知直线l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,抛物线C:y2=16x,P是C上一动点,则点P到l1与l2距离之和的最小值为.l1,l2和曲线C如图.P是C上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=d2,∴d1+d2=d1+|PF|,显然当PF⊥l1,即d1+d2=|FM|时,距离之和取到最小值.∵|FM|=,∴所求最小值为.9.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称, 故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t·和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=.10.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M 的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.由题意,有·=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(x Q,y Q),(x R,y R),则x Q,x R为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q|<|x R|.因为x Q=,x R=,且Q,R在同一条直线上,所以===1+.此时>1,且≠2,所以1<1+<3,且1+≠,所以1<=<3,且=≠.综上所述,的取值范围是∪.11.设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.设F(c,0).由+=,即+=,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为+=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得x B=,从而y B=.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),=.由BF⊥HF,得·=0,所以+=0,解得y H=.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(x M,y M),由方程组消去y,解得x M=.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(x M-2)2+=+,化简得x M=1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直线l的斜率为-或.二、思维提升训练12.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B. C. D.,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,∴|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.∴a=2.不妨设M(0,b),则≥,∴b≥1.∴e==≤=.又0<e<1,∴0<e≤.故选A.13.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16xM的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+=5,则x0=5-.因为点F的坐标为,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)·+(y-y0)y=0.将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,解得y0=4.由=2px0,得16=2p,解得p=2或p=8.所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.14.(2017江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.双曲线的右准线方程为x==,两条渐近线方程为y=±x,得P,Q,又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四边形F1PF2Q的面积S=2×=2.15.(2017山东,文15)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.xx2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以=.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.16.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC 交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为+=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=×|x1-x2|=×,点M到PQ的高为h=,由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=≤×=,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值.17.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),·的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程.(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由=+,=+=-,又G(0,2),=(-x,2-y),可得·=-=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=≤-1,即1<a≤3时,取y=-1,得·有最大值-(a-1)+4+a+=,与条件矛盾;当y=>-1,即a>3时,·的最大值是,由条件得=,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足+=1,+=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m∈.。
专题 椭圆、双曲线、抛物线 2018年高考数学(文)备考易错题分析及针对训练
专题 椭圆、双曲线、抛物线2018年高考数学（文）备考易错题分析及针对训练1.【2017课标1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D2.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. )+∞B.C. (1D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a +===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e << C. 3.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B【解析】33e ==，选B ．4.【2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为【答案】C【解析】由题意得 与抛物线方程 联立解得 ，因此,所以M 到直线NF 的距离为 ,选C.5.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【答案】A6.【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=， 直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ==故选A.7.【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D8.【2017北京，文10】若双曲线221y x m-=m =__________．【答案】2【解析】221,a b m == ，所以c a ==，解得2m = . 9.【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】y x = 【解析】42A B A B AF BF OF y y p p y y p ∴+=∴++=⇒+=由抛物线方程与双曲线方程联立得222222210A B y py pb y y p a b a a -+-=∴+==⇒=因此该双曲线的渐近线方程为y x = 10.【2017课标3，文14】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = . 【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=±，结合题意可得：5a =. 名师点津易错起源1、圆锥曲线的定义与标准方程例1、(1)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹方程为( ) A.x 216＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) (2)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B ＝________.答案 (1)D (2)54【变式探究】(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 227＝1 B.y 29－x 227＝1 C.y 212－x 224＝1 D.y 224－x 212＝1 (2)抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和为8，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________． 答案 (1)B (2)3【名师点睛】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．易错起源2、圆锥曲线的几何性质例2 (1)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3xB ．y ＝±22xC ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x 答案 (1)3－1 (2)C解析 (1)直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt△MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c＝3－1.【变式探究】(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.33(2)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 (1)D (2)A解析 (1)因为PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°， 所以|PF 2|＝2c ²tan30°＝233c ，|PF 1|＝433c .又|PF 1|＋|PF 2|＝633c ＝2a ，所以c a ＝13＝33，即椭圆C 的离心率为33. (2)由题作出图象如图所示．由x 2a2－y 2b2＝1可知A (a,0)，F (c,0)．易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a c －a，∴k CD ＝a a －cb 2. ∵k AC ＝b 2aa －c ＝b 2a a －c，∴k BD ＝－a a －cb 2. ∴l BD ：y －b 2a ＝－a a －cb 2(x －c )，【名师点睛】(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围． 【锦囊妙计，战胜自我】1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝1－ b a2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a ＝1＋ b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．易错起源3、直线与圆锥曲线例3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a 2c的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程．(2)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝2，又|CP |＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±2 1＋k 21＋2k2， C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且|AB |＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2＝ 1＋k 2x 2－x 1 2＝22 1＋k 21＋2k2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与直线l 平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2 ，从而|PC |＝2 3k 2＋1 1＋k2|k | 1＋2k 2. 因为|PC |＝2|AB |，所以2 3k 2＋1 1＋k 2|k | 1＋2k 2 ＝42 1＋k 21＋2k 2， 解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.【变式探究】(1)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( ) A ．[－12，12]B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4](2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1与函数y ＝tan x4的图象相交于A 1，A 2两点，若点P 在椭圆C 上，且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是________． 答案 (1)C (2)[38，34](2)由题意，得A 1，A 2两点关于原点对称，设A 1(x 1，y 1)，A 2(－x 1，－y 1)，P (x 0，y 0)，则有x 214＋y 213＝1，x 204＋y 203＝1，即y 21＝34(4－x 21)，y 20＝34(4－x 20)，【名师点睛】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解． 【锦囊妙计，战胜自我】判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．针对训练1．已知k <4，则曲线x 29＋y 24＝1和x 29－k ＋y 24－k ＝1有( )A ．相同的准线B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的长轴 解析：∵k <4，∴曲线x 29＋y 24＝1和x 29－k ＋y 24－k ＝1都是椭圆．又9－4＝9－k －(4－k )，∴两曲线的半焦距相等，故两个椭圆有相同的焦点． 答案：B2．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.25 B.45 C.255 D.455解析：双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x2，即x ±2y ＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为25＝255.答案：C3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝2 D ．(x －1)2＋y 2＝24．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x解析：双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .答案：B5．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率为( )A.306B.7C.306或7 D.56或76．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，设A (x 1，x 1)、B (x 2，－x 2)，∴AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1－x 22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 222＝2，即x 1x 2＝2，∴S △AOB ＝12|OA |²|OB |＝12|2x 1|²|2x 2|＝x 1x 2＝2，故选C. 答案：C7．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，138．点F 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，若椭圆上存在点A 使△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为( ) A.22 B.32C.2－12D.3－1答案 D解析 如图所示，设F 为椭圆的右焦点，点A 在第一象限，由已知得直线OA 的斜率为k ＝tan60°＝3，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，32c .∵点A 在椭圆上，∴c 24a 2＋34c 2b2＝1，即c 24a 2＋3c 24b2＝1. ∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，又∵b 2＝a 2－c 2，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0， ∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4±23， 又∵e ∈(0,1)，∴e ＝3－1.故选D.9．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞0)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1 D ．m ＜n 且e 1e 2＜1答案 A解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21²e 22＝m 2－1m 2²n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2²n 2＋1n2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1²e 2＞1. 10．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为( ) A.1633 B ．5 3 C.1433D ．4 311．设抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 为抛物线E 上一点，|MF |的最小值为3，若点P 为抛物线E 上任意一点，A (4,1)，则|PA |＋|PF |的最小值为( ) A ．4＋32B ．7C ．4＋2 3D ．1012．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则点F 到双曲线的渐近线的距离为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．3答案 A解析 ∵抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 的坐标为(2,0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝4.①∵P 是两曲线的一个交点，且|PF |＝5， ∴x p ＋2＝5，∴x p ＝3，∴y 2p ＝24.∵P (x p ，y p )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴9a 2－24b2＝1.②联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b2＝1， 解得a 2＝1，b 2＝3.∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.又双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴点F (2,0)到渐近线的距离为 3.13．已知点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为____________． 答案 x 2－y 23＝1解析 ∵点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上， ∴16＝4p ，解得p ＝4. ∴抛物线的准线方程为x ＝－2.又抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，∴c ＝2，又e ＝ca＝2，∴a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 14．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为__________．答案x 225＋y 216＝115．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB的面积为________． 答案 53解析 由已知得直线方程为y ＝2(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，4x 2＋5y 2－20＝0，得3y 2＋2y －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－23，y 1y 2＝－83，∴|y 1－y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2＝49＋323＝103， ∴S △AOB ＝12³1³103＝53.16．已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →²OB →的取值范围．解 (1)由双曲线y 22－x 2＝1得其焦点为(0，±3)，∴b ＝ 3.又由e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，c ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，∴y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4) ＝k 2x 1x 2－4k 2(x 1＋x 2)＋16k 2，∴OA →²OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)²64k 2－124k 2＋3－4k 2²32k 24k 2＋3＋16k 2＝25－874k 2＋3. ∵0≤k 2<14，∴－29≤－874k 2＋3<－874，∴OA →²OB →∈[－4，134)．故OA →²OB →的取值范围为[－4，134)．17.如图所示，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，动点T (－1，m )，过F 作TF 的垂线交抛物线于P ，Q 两点，弦PQ 的中点为N .(1)证明：线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)； (2)若m ＞0且|NF |＝|TF |，求m 的值及点N 的坐标．(2)解 已知|NF |＝|TF |，在△TFN 中，tan ∠NTF ＝|NF ||TF |＝1⇒∠NTF ＝45°，设A 是准线与x 轴的交点，则△TFA 是等腰直角三角形，所以|TA |＝|AF |＝2， 又动点T (－1，m )，其中m ＞0，则m ＝2.因为∠NTF ＝45°，所以k PQ ＝tan45°＝1，又焦点F (1,0)，可得直线PQ 的方程为y ＝x －1，由m ＝2得T (－1,2)，由(1)知线段NT 平行于x 轴，设N (x 0，y 0)，则y 0＝2，代入y ＝x －1，得x 0＝3，所以N (3,2)．18．如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．解析：(1)由已知得抛物线的焦点为F (1,0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x22，y 0＝y 1＋y22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.19．已知椭圆与抛物线y 2＝42x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．解析：(1)依题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可得c ＝2，又e ＝ca ＝22，∴a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 21－y 1＝2 y 2－1.设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1²x 2＝－22k 2＋1. 将x 1＝－2x 2代入上式可得，(4k 2k 2＋1)2＝12k 2＋1， 解得k 2＝114.∴△AOB 的面积S ＝12|OP |²|x 1－x 2|＝ x 1＋x 2 2－4x 1x 22＝12²28k 2＋22k 2＋1＝3148. 20．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →²OB →>2，求k 的取值范围．(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点， 得⎩⎨⎧ 1－3k 2≠0，Δ＝ －62k 2＋36 1－3k 2 ＝36 1－k 2 >0，∴k 2<1且k 2≠13.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1.。
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百度文库 - 让每个人平等地提升自我 1 专题05 解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题 一、选择题 1．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P到点0,2A的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ）
A. 92 B. 5 C. 2 D. 172
【答案】D
2．【吉林省舒兰一中2017-2018学年高二上学期期中】如图，已知椭圆2213216xy内有一点122,2,BFF、
是其左、右焦点， M为椭圆上的动点，则1MFMB的最小值为（ ）
A. 42 B. 62 C. 4 D. 6
【答案】B 【解析】122MFMBaMFMB 22BFa 822262
当且仅当2,,MFB共线时取得最小值62 故答案选B 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 2 3．【北京朝阳垂杨柳中学2016-2017学年高二上学期期中】已知经过椭圆2212516xy右焦点2F的直线交椭圆于A、B两点，则1AFB的周长等于（ ） A. 20 B. 10 C. 16 D. 8
【答案】A
【解析】因为椭圆的方程为2212516xy，所以由椭圆的定义可得
1212210,210AFAFaBFBFa， 1ABF周长为112220AFBFAFBF，故选A.
4．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期中】设为定点，动点满足|，则动点的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 直线 C. 圆 D. 线段
【答案】D
5．【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考】已知椭圆： 2221(02)4xybb，左、右焦点分别为12,FF，过1F的直线l交椭圆于,AB两点，若22BFAF的最大值为5，则b的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 32 D. 3
【答案】D 【解析】试题分析：由椭圆定义，得2248ABAFBFa，所以当线段AB长度达最小值时，
22BFAF有最大值．当AB垂直于x轴时， 222min||222bbABba，所以22BFAF的最大
值为285b，所以23b，即3b，故选D． 考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系． 【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定百度文库 - 让每个人平等地提升自我 3 义进行求解．点P在椭圆上，则点P一定满足椭圆的定义，同时点P的坐标适合方程；（2）过焦点的所有弦中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而它的长为22ba把这个弦叫作椭圆的通径． 6．【东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2017届高三下学期第四次联合模拟考】P是双曲线22:2Cxy左支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线， P在l上的射影为2,QF是双曲线C的右焦
点，则2PFPQ的最小值为（ ）
A. 22 B. 2 C. 32 D. 222 111111
【答案】C
【解析】 点睛：本题主要考查双曲线的标准方程和渐近线方程．关键在于利用双曲线的定义将2PFPQ｜ 的最小值转化为1PFPQ的最小值．作出图形，利用双曲线的对称性可知P在何位置时取最小值．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.．
7．【重庆市巴蜀中学2018届高三9月高考适应月考】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分别为，百度文库 - 让每个人平等地提升自我 4 则的值为（ ） A. 26 B. C. 52 D.
【答案】D
本题选择D选项. 点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验． (2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上． 8．【北京市平谷区2016—2017高三第二学期质量监控】已知点0,15M及抛物线24yx上一动点,Nxy，则xMN的最小值为（ ）．
A. 5 B. 23 C. 3 D. 4
【答案】C 【解析】如图，设抛物线的焦点为10F，，连NF，由抛物线的定义可得||1NFx。
∵||4NFNMMF，当且仅当三点共线时等号成立，即14xNM， ∵3xNM。 因此xMN的最小值为3。答案：C。 点睛：（1）对于抛物线的有关问题，若出现了曲线上的点到焦点的连线，则应考虑抛物线的定义，将曲线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离解决，这样会给解题带来方便。 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 5 （2）解析几何中的最值问题，可考虑平面几何图形的特点，运用几何法求解。 9．【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考】已知拋物线220ypxp的焦点F，点A和B分别为拋物线上的两个动点，且满足120AFB，过弦AB的中点M作拋物线准线的垂线MN，垂足为N，则MNAB的最大值为（ ）
A. 64 B. 63 C. 32 D. 33
【答案】D
得到|AB|≥32（a+b）． 所以MNAB≤1b23b3aa=33，即MNAB的最大值为33． 故选：D 点睛：本题重点考查了抛物线定义以及余弦定理，，借助重要不等式明确了|AB|与a+b的不等关系，再结合|MN|与a+b的等量关系，问题迎刃而解. 10．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】已知F是抛物线的焦点，M是抛物线上的一个动点，P(3，1)是一个定点，则的最小值为（ ） 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 6 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
故选C 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当三点共线时最小，是解题的关键． 11．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D 【解析】
如图所示，设| 连接 由抛物线定义，得| 在梯形 中， 由余弦定理得， 配方得 又
得到| 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 7 所以 ，即的最大值为 【点评】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等.在抛物线中，利
用定义和余弦定理（或正弦定理）是解决之一类问题的基本思路． 12．【江西省抚州市南城县第二中学2016-2017学年高二下学期第一次月考】已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（ ） A. 2 B. C. ﹣1 D. +1
【答案】C
【点睛】 对圆锥曲线中距离和或差的最值问题，一般有两种处理方法，一种是利用圆锥曲线的定义把到准线（或与准线平行的直线）的距离转化到焦点，把到焦点的距离转化到准线，二种是利用函数思想，把最值问题转化为函数问题。一般优先考虑第一种，本题采用的是第一种。 13．【江西赣中南五校2017-2018学年高二上学期第一次联考】已知直线1:4360lxy和直线
2:1lx，抛物线24yx上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 115 D. 3716
【答案】A 【解析】抛物线24yx的焦点坐标为F（1,0），准线方程是1x，根据抛物线定义，抛物线24yx上百度文库 - 让每个人平等地提升自我 8 一动点P到直线1l和直线2l的距离之和可以看成抛物线24yx上一动点P到焦点和直线2l的距离之和，其最小值为焦点F到直线1:4360lxy的距离， 22416243d。故选A。 【点睛】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离互相转化。 14．【2016-2017学年河南省新乡市高二上学期期末】抛物线24yx上有两点,AB到焦点的距离之和为7，则,AB到y轴的距离之和为 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】D 【解析】依题意，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，准线与y轴的距离是1，故,AB到y轴的距离之和为725. 点睛：本题主要考查抛物线的定义.对于圆锥曲线的定义，往往是解圆锥曲线小题的关键.如本题中的抛物线，由于抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，而准线与y轴的为1，这样的话两个点到y轴的距离就比到准线的距离少112.熟记圆锥曲线的定义，还需要熟练画出图像，结合图像来解题也是很重要的方法. 15．已知P为抛物线y＝12x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(6， 172)，则|PA|＋|PM|的最小值是 ( ) A. 8 B. 192 C. 10 D. 212
【答案】B
16．【四川省成都外国语学校2016-2017学年高二下学期期中】已知P为抛物线24yx上一个动点， Q为
圆2241xy上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是