两圆的公共弦(新高二)

两圆的公共弦（新高二）
如果两圆C
1:x2+y2+D
1
x+E
1
y+F
1
=0与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0
相交，则对应一条公共弦AB，将这两圆的方程相减可以得到
(D
1−D
2
)x+(E
1
−E
2
)y+(F
1
−F
2
)=0,
因为两圆相交，所以D
1−D
2
与E
1
−E
2
不同时为零，从而得到的方程表示一条直线，
且两圆的公共点A,B的坐标满足圆的方程，故必满足直线的方程，从而知A,B在此直线上，故此直线就是两圆的公共弦所在的直线．
结论如果两圆C
1:x2+y2+D
1
x+E
1
y+F
1
=0与C2:x2+y2+D2x+E2
y+F
2
=0相交，则公共弦所在直线的方程为
(D
1−D
2
)x+(E
1
−E
2
)y+(F
1
−F
2
)=0.
由这个结论我们可以给出“求圆外一点对应的切点弦方程”的另一个方法：
过圆C:(x−a)2+(y−b)2=r2外一点P(x
0,y
)作圆的两条切线PA,PB，其
中A,B为切点，求切点弦AB所在的直线方程．
解因为∠PAC=∠PBC，所以P,A,C,B四点共圆，且PC为直径，所以这四点所在的圆的方程为
(x−a)(x−x
0)+(y−b)(y−y
)=0,
记此圆为圆M．则圆C与圆M的公共弦就是切点弦，两圆的方程相减即得切点弦所在直线的方程
(x
0−a)(x−a)+(y
−b)(y−b)=r2.
注上面的过程中用到：以(x
1,y
1
),(x
2
,y
2
)为直径的圆的方程为
(x−x
1)(x−x
2
)+(y−y
1
)(y−y
2
)=0,
这个结论也是圆中常见的结论，很容易证明．
例题一(1)圆C
1
:x2+y2+4x+1=0及圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦长为_____，以公共弦为直径的圆的方程为
______________；
(2)若圆(x−a)2+(y−b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周
长，则a,b满足的关系是__________________．
分析与解(1)两圆相减得x−y=0，第二个圆的圆心(−1,−1)恰在公共弦上，所以公共弦为第二个圆的直径，从而知公共弦长为2，以公共弦为直径的圆的方程为x2+y2+2x+2y+1=0，
(2)两圆相减得公共弦所在直线的方程为
(2+2a)x+(2+2b)y−(a2+1)=0,
由题意知，公共弦始终为第二个圆的直径，即第二个圆的圆心(−1,−1)始终在公共弦上，代入整理得
a2+2a+2b+5=0.
例题二圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2−8x+8=0的公共弦为AB，则四边形OACB的面积为_____．
分析与解 将两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为x=23．于是圆心O 到公共弦AB 的距离d=23，从而知 21AB=49-4=27, 故公共弦AB=7．又因为AB⊥OC ，所以所求四边形面积 S=21⋅OC ⋅AB=27.
最后给出两道练习：
练习一 已知两圆x 2+y 2=50和x 2+y 2−12x −6y+40=0相交于A,B 两点，则直线AB 的方程是_______，弦AB 的长度是_______． 答案 2x+y −15=0，25．
提示 第二个圆的圆心(6,3)在公共弦上，故AB 是此圆的直径． 练习二 若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2ay −6=0(a>0)的公共弦长为2，则a=____．
答案
33．
注 “将两个圆的方程相减得到的方程是公共弦方程”的前提是两圆相交．当两圆相切时，方程相减得到的直线为两圆的一条公切线；
当两圆相离时，方程相减得到的直线仍然与圆心连线垂直，且两圆的公切线的中点均在直线上．事实上，这条直线是这两个圆的根轴，即这条直线是到两圆的圆幂相等的点的集合（点P对圆O的圆幂定义为PO2−r2，其中r为圆O的半径）．。