ch07风险资产与无风险资产之间的资本配置

计值。其中对角线是
n
个方差的估计
2 i
，
n2
n
n(n
1)
个非对角线
上的元素为任意两种证券收益的协方差的估计值。一旦估计工作完
成，任意一个每种证券权重为 wi 的风险投资组合的期望收益和方差都 可以通过协方差举证或以下公式计算得到：
n
nn
E(rp )
E
(ri
),
2 i
wiwjCov(ri , ri )
Var(w
D
rD
+w
E
rE
)
2 p
w
D
2
D
+w
E
2
E
2w Dw ECov(rD,rE )
2 p
w
D
2
D
+w
E
2
E
2wDw E D E DE
该方差公式表明，如果协方差为负，组合方差将减小。尽管协方差项是
正的，投资组合的标准差仍然低于个别证券标准差的加权平均值，除非
两种证券完全正相关(ρ=1)。当完全正相关(ρDE=1)时：
相关的资产。
当ρ= -1 时，一个完全套头头寸可以通过选择投资组合权重：
wD D wE E 0
其解为：wD
E D
E
， wE
D D E
1 wD
该权重将使投资组合的标准差趋向 0。
表 7-1 两种共同基金描述性统计
７-6
表7-2 通过协方差矩阵计算投资组合方差
相邻协方差矩阵 边界相乘协方差矩阵
wE 求，以使资本配置线斜率 SP
E(rp ) rf
P
最大(最高夏普比)？其中
E(rp ) 8wD 13wE , p (144wD2 400wE2 144wDwE )1/2, wD wE 1。
SP
E(rp )
P
rf
8wD 13(1 wD ) rf
[144wD2 400(1 wD )2 144wD (1 wD )]1/2
威廉·夏普
默顿·米勒 哈里·马科维茨
1990年的3位诺贝尔经济学奖获得者
７-23
(3)法玛(Eugene Fama)的有效市场理论：如果市场分析家都能 快速、有效地消化信息，则任何形式的证券分析都不可能产生异常 的收益。同时由于信息事件的发生是随机的，证券价格的运动也就 是不规则的，这样技术分析就毫无意义。法玛假设的一个重要结论 便是，在一个高效益的市场中，任何资产的价格都是其均衡价值的 真实反映。
当股票基金投资的比例从 0 增加到 1 时，投资组合的标准差首先应
该从债券基金向股票基金分散而下降，但随后上升，因为投资组合中股
票基金先是增长，然后全部投资都集中于股票基金。
７-8
表7-3 不同相关系数下的期望收益与标准差
给定相关系数下的风险投资组合标准差
最小方差组合
７-9
图7-3 投资组合期望收益率是投资比率的函数
夏普比
SA
E(rA) rf
A
8.9 5 0.34 11.45
该值为最小方差投资组合与短期国库券所得到的资本配置线斜率。
现考虑用投资组合 B(70%的债券基金，30%的股票基金，EB=9.5%， σB=11.7%)替代投资组合 A：
夏普比
SA
E(rB ) rf
B
9.5 5 0.38 0.34 11.7
(2)威廉·夏普(William F. Sharpe,1964)、林特(John Lintner,1965)、莫森(Jan Mossin,1966)等人的资本资产定价模型 (CAPM)，即单一指数模型。这一模型假设资产收益只与市场总 体收益有关，使计算量大大降低，打开了当代投资理论应用于实 践的大门。马科维茨的模型被广泛应用于不同类型的资产组合， 而夏普的模型被广泛应用于同类资产内部不同资产的组合。
dSP dwD
0时SP达到最大，此时wD
0.40, wE
0.6,解得
E(rp )
11%， P
14.2%, SP
11% 5% 14.2%
0.42
这是可行的最优资本配置线的斜率。
一个 A=4 的投资者，他在投资组合 P 中的投资头寸为：
y
E(rp )
A
2 p
rf
0.11 0.05 4 0.1422
合 D，另一个是专门投资于股权证券的组合 E。rD 为债券基金收益率， rE 为股权基金收益率，投资于债券基金的份额为 wD，投资于股票基金 的份额为 1- wD，这一投资组合的投资收益 rp 为：
rp = wDrD +wErE
E(rp )= wDE(rD )+wEE(rE );
Var(rp )=
第７章 优化风险投资组合
7.1 分散化与投资组合风险 7.2 两种风险资产的投资组合 7.3 资产在股票、债券与短期国库券之间的 配置 7.4 马科维茨的投资组合选择模型 7.5 风险聚集、风险分担与长期资产的风险 小结
７-1
7.1 分散化与投资组合风险
投资决策：首先是风险投资组合与无风险资产的资 本配置；然后在广泛的资产种类(如各种股票、长期 债券等)中进行资产配置；最后，对每种资产种类中 的普通证券进行证券选择。资产配置与证券选择分 为两个典型步骤：首先建立广泛的投资组合框架(资 产配置)，然后具体构成证券(证券选择)。
合。它们用风险投资组合的最小方差边界来表示。该边界 表示为在给定期望收益的条件下，获得的投资组合的最小 可能方差的图形。在给定一组期望、方差和协方差数据时， 可以计算出任何有特有期望收益投资组合的最小方差，把 所有期望收益与标准差对应的点进行连接，就可以得到最 小方差边界(整段弧线)和有效边界(中线的上半段)。
i 1
i1 j1
1952 年，马科维茨发表了投资组合选择的标准模型，并因此而获得
1990 年的诺贝尔经济学奖。他的模型是投资组合管理的第一步：确认
有效的投资组合集，即风险资产的有效边界。其核心思想是：在任一
风险水平上，投资者只对最高期望收益的投资组合感兴趣。因此，边
界是给定期望收益下最小方差投资组合的集合。 如图 7-12,首先画出限制条件，即水平线代表必要的期望收益水平，
股权基金E
债券基金D
图7-5 投资组合的期望收益是标准 差的函数
７-12
7.3 资产在股票、债券与短期国库券之间的配置
最优风险投资组合：两种风险资产和一种无风险资产
两条可行的资本配置线从无风险利率(5%)连到两种可行的投资组合，第 一条可行的资本配置线通过最小方差投资组合 A(82%的债券基金，18% 的股票基金，EA=8.9%，σA=11.45%)
７-3
(%) (%)
平
较与
均
的一
资
风种
产
险股
组
票
合
资
标
产
准
组
差
资产组合中股票的数量
合 比
图7-2 投资组合分散化
注：只含一只股票的投资组合收益的平均标准方差 是49.2%，平均投资组合风险随着投资组合中股 票数目的增加而迅速下降，其极限下降至19.2%。
７-4
7.2 两种风险资产的投资组合
考察一个包含两个共同基金的投资组合，一个是专门投资于长期债的组
所有从全球最小方差最小方差投资组合往上且在最小方 差边界上的组合，都是可能的最优风险-收益组合，因而是 最优的投资组合。全球最小方差以上的边界被称为风险资 产的有效边界，而以下的边界是无效的。
７-19
有效边界(上半段弧线)
最小方差边界(整个弧线)
图7-10 风险投资组合的最小方差边界
７-20
投资组合管理人已经拥有 n 个 E(r)的估计值和 n×n 协方差矩阵的估
７-7
运用表 7-1 中的数据，可计算出投资组合的期望和方差为：
E(rp ) 8wD 13wE
2 p
122 E
144wD2
400wE2
144wD wE
p
2 p
改变债券基金的投资比例，得到的图表见表 7-3 和图 7-3。 已知 wD+wE=1 得出标准差的最小值为：
图 7-9 最优全部投资组合的比例
７-16
无差异曲线，根据 个人偏好而不同
风险资产的机会集 最优风险投资组合
最优完全投资组合
图7-8 最优全部投资组合的决策
７-17
完整的投资组合步骤
(1)确定所有各类证券的收益特征值(如期望、方差、协方差等)； (2)构造风险投资组合： 1)利用最优风险投资组合权重解计算最优风险投资组合 P(解出债券 基金和股票基金的比重) 2)计算风险投资组合的期望和方差。 (3)把基金配置在风险投资组合和无风险资产上：
７-10
资产组合标准差
股票基金权重
图7-4 投资组合标准差是投资比例的函数
７-11
投资组合机会
集合：显示了由 两种相关资产构 造的所有投资组 合的期望收益与 标准差的曲线称 为投资组合机会 集合，或投资组 合可行集。如图 7-5。当ρ=-1时， 投资组合可行集 是线性的，它提 供了完全对冲的 机会。
0.7439
７-15
这表明该投资者将 74.39%的资产投资于风险投资组合 P，将 25.61%的资 产投资于短期国库券(无风险投资)，风险组合 P 中包括 40%的债券组合，60% 的股票组合，所以债券组合和股票组合在总投资中所占的比重为：
ywD 0.4 0.7439 0.2976, ywE 0.6 0.7439 0.4436
罗伯特·默顿
迈伦·斯科尔斯
1997年诺贝尔经济学获奖者罗伯特-默顿和迈伦-斯科尔斯
７-24
第二，通过投资组合权重的计算，找出最优风险投资 组合，此时有最大斜率的资本配置线。这一步涉及无风 险资产。我们要寻找出一条有最高报酬-风险比率的资本 配置线(最陡峭的资本配置线)，该线与有效边界相切，切 点P是最优风险投资组合。