1994考研数学一真题及答案解析
1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
1994年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 设全集I ={0，1，2，3，4}，集合A ={0，1，2，3}，集合B ={2，3，4}，则B A ⋃( )(A) {0} (B) {0，1}(C) {0，1，4}(D) {0，1，2，3，4}(2) 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 ( ) (A) (0，+∞)(B) (0，2)(C) (1，+∞)(D) (0，1)(3) 极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 所表示的曲线是 ( )(A) 双曲线(B) 椭圆(C) 抛物线(D) 圆(4) 设θ是第二象限的角，则必有 ( )(A) 2ctg 2tgθθ>(B) 2ctg 2tgθθ<(C) 2cos 2sinθθ>(D) 2cos 2sinθθ<(5) 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成( )(A) 511个(B) 512个(C) 1023个(D) 1024个(6) 在下列函数中，以2π为周期的函数是 ( )(A) y =sin2x +cos4x (B) y =sin2x cos4x (C) y =sin2x +cos2x(D) y =sin2x cos2x(7) 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为( )(A) 323 (B) 283 (C) 243 (D) 203(8) 设F 1和F 2为双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积是( )(A) 1(B)25 (C) 2(D)5(9) 如果复数z 满足│z +i │+│z －i │=2，那么│z +i +1│的最小值是 ( )(A) 1(B)2(C) 2(D)5(10) 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担．从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有( )(A) 1260种(B) 2025种(C) 2520种(D) 5040种(11) 对于直线m 、n 和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是 ( ) (A) m ⊥n ，m ∥α，n ∥β (B) m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊂α (C) m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α(D) m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β(12) 设函数f (x )=1－21x -(－1≤x ≤0)，则函数y =f －1(x )的图像是( )(13) 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =2，则球面面积是( )(A)916π (B)38π (C) 4π (D)964π (14) 函数y =arccos(sin x )⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-323ππx 的值域是 ( )(A) ⎪⎭⎫⎝⎛656ππ， (B) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡650π，(C) ⎪⎭⎫⎝⎛323ππ， (D) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡326ππ，(15) 定义在(－∞，+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，如果f (x )=lg(10x +1)，x ∈(－∞，+∞)，那么( )(A) g (x )=x ，h (x )=lg(10x +10－x +2)(B) g (x )=21[lg(10x +1)+x ]，h (x )=21[lg(10x +1)－x ] (C) g (x )=2x ，h (x )=lg(10x +1)－2x(D) g (x )=－2x ，h (x )=lg(10x +1)+2x第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题 (本大题共5小题，共6个空格；每空格4分，共24分．把答案填在题中横线上)(16) 在(3－x )7的展开式中，x 5的系数是 (用数字作答)(17) 抛物线y 2=8－4x 的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是(18) 已知sin θ +cos θ =51，θ∈(0，π)，则ctg θ的值是_____________ (19) 设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥顶点到直线AB 的距离为3，AB 和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为_________(20) 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…a n ，共n 个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a 是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a 1，a 2，…，a n 推出的a =三、解答题(本大题共5小题，共61分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)(21) (本小题满分11分) 已知z =1+i ．(1)设ω=z 2+3z －4，求ω的三角形式；(2)如果i z z baz z -=+-++1122，求实数a ，b 的值． (22) (本小题满分12分)已知函数f (x )=tg x ，x ∈(0，2π)．若x 1，x 2∈(0，2π)，且x 1≠x 2，证明21[f (x 1)+f (x 2)]>f (221x x +)(23) (本小题满分12分)如图，已知A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． (1)证明AB 1∥平面DBC 1；(2)假设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角α的度数．(24) (本小题满分12分)已知直线l 过坐标原点，抛物线C 顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上．若点)0,1(-A 和点B (0，8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．(25) (本小题满分14分)设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项．(1)写出数列{a n }的前3项；(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)； (3)令()N ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++n a a a a b n n n n n 1121，求().lim 21n b b b n n -+++∞→1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．D 7．B 8．A 9．A 10．C 11．C 12．B 13．D 14．B 15．C二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)16．－189 17．x =3，(x －2)2+y 2=1 18．43- 19． π322 20．()n a a a n+++ 211三、解答题21．本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力． 解：(1)由z ＝1+i ，有ω=z 2+3z －4=(1+i )2+3()i +1－4 =2i +3(1－i )－4=－1－i ，ω的三角形式是⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ45sin 45cos 2i ．(2)由z =1+i ，有()()()()1111112222++-+++++=+-++i i b i a i z z b az z =()()ii a b a 2+++()()i b a a +-+=2 由题设条件知(a +2)－(a +b )i =1－i ． 根据复数相等的定义，得⎩⎨⎧-=+-=+1)(12b a a解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a22．本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力． 证明：tg x 1+tg x 2=2211cos sin cos sin x x x x + 212121cos cos sin cos cos sin x x x x x x +=()2121cos cos sin x x x x +=()()()212121cos cos sin 2x x x x x x -+++=∵x 1，x 2∈(0，2π)，x 1≠x 2， ∴2sin(x 1+x 2)>0，cos x 1cos x 2>0，且0<cos (x 1－x 2)<1， 从而有0<cos (x 1+x 2)+cos (x 1－x 2)<1+cos (x 1+x 2)， 由此得tg x 1+tg x 2>()()2121cos 1sin 2x x x x +++=，∴21( tg x 1+tg x 2)>tg 221x x +，即21[f (x 1)+f (x 2)]>f (221x x +)23．本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力．(1)证明：∵A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，∴四边形B 1BCC 1是矩形． 连结B 1C 交BC 1于E ，则B 1E =EC ．连结DE ． 在△AB 1C 中，∵AD =DC ，∴DE ∥AB 1．又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1．(2)解：作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF ⊥面B 1BCC 1，连结EF ，则EF 是ED 在平面B 1BCC 1上的射影．∵AB 1⊥BC 1，由(1)知AB 1∥DE ，∴DE ⊥BC 1，则BC 1⊥EF ，∴∠DEF 是二面角α的平面角． 设AC =1，则DC =21．∵△ABC 是正三角形，∴在Rt △DCF 中， DF =DC ·sin C =43，CF =DC ·cos C =41．取BC 中点G ．∵EB =EC ，∴EG ⊥BC ． 在Rt △BEF 中，EF 2=BF ·GF ，又BF =BC －FC =43，GF =41，∴EF 2=43·41，即EF =43．∴tg ∠DEF =14343==EF DF ．∴∠DEF =45°． 故二面角α为45°．24．本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质，解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力．解法一：依题设抛物线C 的方程可写为y 2=2px (p >0)，且x 轴和y 轴不是所求直线，又l 过原点，因而可设l 的方程为y =kx (k ≠0)．①设A '、B '分别是A 、B 关于l 的对称点，因而A 'A ⊥l ，直线A 'A 的方程为()11+-=x ky ② 由①、②联立解得AA '与l 的交点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-11122k k k ，． 又M 为AA '的中点，从而点A '的坐标为x A '=111112222+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k k k ， y A '=1201222+-=+⎪⎭⎫⎝⎛+-k k k k ． ③ 同理得点B '的坐标为x B '=1162+k k， y B '= ()11822+-k k ． ④ 又A '、B '均在抛物线y 2=2px (p >0)上，由③得112122222+-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k k p k k ，由此知k ≠±1， 即 1242-=k k p ⑤同理由④得()11621182222+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k k p k k ． 即 ()()kk k p 112222+-=． 从而 1242-k k =()()kk k 112222+-，整理得 k 2－k －1=0． 解得.25125121-=+=k k ， 但当251-=k 时，由③知055<-='A x ， 这与A '在抛物线y 2=2px (p >0)上矛盾，故舍去2512-=k ． 设251+=k ，则直线l 的方程为x y 251+=． 将251+=k 代入⑤，求得552=p ．所以直线方程为x y 251+=． 抛物线方程为x y 5542=． 解法二：设点A 、B 关于l 的对称点分别为A '(x 1、y 1)、B '(x 2，y 2)，则|OA '|=|OA |=1，|OB '|=|OB |=8．设由x 轴正向到OB '的转角为α，则x 2=8cos α，y 2=8s in α． ①因为A '、B '为A 、B 关于直线l 的对称点，而∠BOA 为直角，故∠B 'OA '为直角，因此 x 1=cos ⎪⎭⎫⎝⎛-2πα=sin α，y 1=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πα=－cos α， ②由题意知x 1>0，x 2>0，故α为第一象限角． 因为A '、B '都在抛物线y 2=2px 上，将①、②代入得cos 2α=2p ·sin α，64sin 2α=2p ·8cos α．∴8sin 3α=cos 3α， ∴2sin α=cos α， 解得 52cos 51sin ==αα，．将52cos 51sin ==αα，代入cos 2α=2p sin α得552sin 2cos 2==ααp ，∴抛物线C 的方程为x y 5542=． 因为直线l 平分∠B 'OB ，故l 的斜率 ⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=42221πααπαtg tg k 251sin 1cos 2cos 12sin +=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ααπαπα ∴直线l 的方程为x y 215+=． 25．本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题的能力．解：(1)由题意，当n =1时有11222S a =+，S 1=a 1， ∴11222a a =+， 解得a 1=2．当n =2时有22222S a =+，S 2=a 1+ a 2，a 1=2代入，整理得 (a 2－2)2=16．由a 2>0，解得 a 2=6． 当n =3时有33222S a =+，S 3=a 1+ a 2+ a 3，将a 1=2，a 2=6代入，整理得 (a 3－2)2=64．由a 3>0，解得 a 3=10． 故该数列的前3项为2，6，10．(2)解法一：由(1)猜想数列{a n }有通项公式a n =4n －2． 下面用数学归纳法证明数列{ a n }的通项公式是a n =4n －2 (n ∈N )．①当n =1时，因为4×1－2=2，又在(1)中已求出a 1=2，所以上述结论成立． ②假设n =k 时结论成立，即有a k =4k －2．由题意，有k k S a 222=+， 将a k =4k －2代入上式，得2k =k S 2，解得S k =2k 2．由题意，有11222++=+k k S a ，S k +1=S k +a k +1， 将S k =2k 2代入，得2122⎪⎭⎫ ⎝⎛++k a =2(a k +1+2k 2)，整理得21+k a －4 a k +1+4－16 k 2=0．由a k +1>0，解得a k +1=2+4k ．所以a k +1=2+4k =4(k +1)－2． 这就是说，当n =k +1时，上述结论成立． 根据①、②，上述结论对所有的自然数n 成立． 解法二：由题意，有()N n S a n n ∈=+222，整理得S n =81(a n +2)2， 由此得 S n +1 =81(a n +1+2)2， ∴a n +1= S n +1－S n =81[(a n +1+2)2－(a n +2)2]，整理得(a n +1+ a n )( a n +1－a n －4)=0，由题意知 a n +1+a n ≠0，∴a n +1－a n =4．即数列{ a n }为等差数列，其中a 1=2，公差d =4．∴a n =a 1+(n －1)d =2+4(n －1)， 即通项公式为a n =4n －2．(3)解：令c n =b n －1，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++22111n n n n n a a a a c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=112121121221n n n n 121121+--=n n ， b 1+b 2+…+b n －n =c 1+c 2+…+c n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211215131311n n 1211+-=n ． ∴()11211lim lim 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+++∞→∞→n n b b b n n n。
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1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 011limcot ()sin x x x x→-=_____________. (2) 曲面23zz e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3) 设sin xx u e y -=,则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4) 设区域D 为222x y R +≤,则2222()Dx y dxdy a b +=⎰⎰_____________.(5) 已知11(1,2,3),(1,,)23αβ==,设TA αβ=,其中T α是α的转置,则nA =_________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 设4222sin cos 1x M xdx x ππ-=+⎰,3422(sin cos )N x x dx ππ-=+⎰,23422(sin cos )P x x x dx ππ-=-⎰, 则 ( )(A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N <<(2) 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数0λ>,且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑ ( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (4) 2tan (1cos )lim2ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中220a c +≠,则必有 ( )(A) 4b d = (B) 4b d =- (C) 4a c = (D) 4a c =-(5) 已知向量组1234αααα、、、线性无关,则向量组 ( ) (A) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα+线性无关(B) 12αα-、23αα-、34αα-、41αα-线性无关(C) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα-线性无关 (D) 12αα+、23αα+、34αα-、41αα-线性无关三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)(1)设2221cos(),cos(),t x t y t t udu ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰ 求dy dx 、22d y dx在t =. (2) 将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数. (3) 求sin 22sin dxx x +⎰.四、(本题满分6分)计算曲面积分2222Sxdydz z dxdy x y z +++⎰⎰,其中S 是由曲面222x y R +=及两平面,z R = (0)z R R =->所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续导数,(0)0,(0)1f f '==,且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,且0()lim0x f x x→=,证明级数 11()n f n∞=∑绝对收敛.七、(本题满分6分)已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕z 轴旋转一周所围成的旋转曲面为S .求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、(本题满分8分)设四元线性齐次方程组()I 为12240,0,x x x x +=⎧⎨-=⎩ 又已知某线性齐次方程组()II 的通解为12(0,1,10)(1,2,2,1)k k +-.(1) 求线性方程组()I 的基础解系；(2) 问线性方程组()I 和()II 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、(本题满分6分)设A 为n 阶非零方阵,*A 是A 的伴随矩阵,T A 是A 的转置矩阵,当*TA A =时,证明||0A ≠.十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)(1) 已知A 、B 两个事件满足条件()()P AB P AB =,且()P A p =,则()P B =__________. (2) 设相互独立的两个随机变量X 、Y 具有同一分布律,且X 的分布律为则随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为_______.十一、(本题满分6分)已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4)N ,X 与Y 的相关系数12XY ρ=-,设32X YZ =+,(1) 求Z 的数学期望()E Z 和方差()D Z ； (2) 求X 与Z 的相关系数XZ ρ； (3) 问X 与Z 是否相互独立？为什么？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】16【解析】原式变形后为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式20cos (sin )limsin x x x x x x →-=300sin limcos lim x x x xx x→→-=⋅ 2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→-===. (由重要极限0sin lim 1x xx→=) (2)【答案】240x y +-=【解析】所求平面的法向量n 为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量l ,取n l =,又平面过已知点(1,2,0)M .已知平面的法向量(,,)A B C 和过已知点000(,,)x y z 可唯一确定这个平面：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=.因点(1,2,0)在曲面(,,)0F x y z =上.曲面方程(,,)23zF x y z z e xy =-+-. 曲面在该点的法向量{}{}{}(1,2,0)(1,2,0),,2,2,14,2,022,1,0z F F F n y x e x y z ⎧⎫∂∂∂ ==-==⎨⎬∂∂∂⎩⎭, 故切平面方程为 2(1)(2)0x y -+-=, 即 240x y +-=.(3)【答案】22eπ【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求u y ∂∂,再求u x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭. 2cos x u x xe y y y-∂=-∂,()2221112(2,)(2,)2cos x y x x u u uxe x x y y x x y xπππππ-===⎛⎫∂∂∂∂∂===- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭2222((1)cos )0xx e x x e πππ-==--+=.(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (4)【答案】42211()4R a bπ+ 【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算： 原式2222222322220000cos sin cos sin RR d r rdr d r dr a b a b ππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰.注意：22220cos sin d d ππθθθθπ==⎰⎰,则 原式4422221111144R R a b a b ππ⎛⎫⎛⎫=+⋅=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (5)【答案】111123232133312n -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 1111,,23233Tβα⎡⎤⎛⎫⎢⎥== ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦是一个数,而 11123111221,,2123333312TA αβ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦,(是一个三阶矩阵)于是,()()()()()()()n T T T T T T T TA αβαβαβαβαβαβαβαβ==11111232332133312n T n αβ--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M =,且由定积分的性质,如果在区间[],a b 上,被积函数()0f x ≥,则()0 ()baf x dx a b ≥<⎰.所以 4202cos 0N xdx π=>⎰, 4202cos 0P xdx N π=-=-<⎰.因而 P M N <<,应选(D). (2)【答案】(D)【解析】(,)f x y 在点00(,)x y 连续不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 存在偏导数00(,),x f x y '00(,)y f x y '.反之,(,)f x y 在点00(,)x y 存在这两个偏导数00(,),x f x y '00(,)y f x y '也不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 连续,因此应选(D).二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数存在和在点00(,)x y 处连续并没有相关性. (3)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因2222111112222n n a a n n λ≤+<++, (第一个不等式是由2210,0,()2a b ab a b ≥≥≤+得到的.) 又21nn a ∞=∑收敛,2112n n ∞= ∑收敛,(此为p 级数：11p n n∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散.)所以2211122n n a n ∞=+∑收敛,由比较判别法,得1n ∞=收敛.故原级数绝对收敛,因此选(C). (4)【答案】(D)【解析】因为 22211cos (),1()2x xx o x e x o x --=-=,故 tan (1cos )(0)a x b x ax a +-≠,2ln(12)(1)2 (0)x c x d e cx c --+--≠,因此,原式左边0lim222x ax acx c→====--原式右边,4a c ⇒=-.当0,0a c =≠时,极限为0；当0,0a c ≠=时,极限为∞,均与题设矛盾,应选(D). 【相关知识点】1.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim.()x l x αβ= （1） 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； （2） 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；（3） 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=.若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. 2. 无穷小量的性质：当0x x →时,(),()x x αβ为无穷小,则()()()()(())x x x x o x αβαββ⇔=+.(5)【答案】(C)【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式. (A)：由于()()()()122334410αααααααα+-+++-+=,所以(A)线性相关. (B)：由于()()()()122334410αααααααα-+-+-+-=,所以(B)线性相关.对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由α的系数构成的行列式,即100111002001100011-=≠,由行列式不为0,知道(C)线性无关.故应选(C). 当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由12233441()()()()0αααααααα+-++-+-=,知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C). 【相关知识点】12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=可以由111,,,,i i s αααα-+线性表出.12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=均不能由111,,,,i i s αααα-+线性表出.三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)(1)【解析】dy dy dt dydx dt dt dx dt dx =⋅=222221cos 2sin cos 22(0),2sin t t t t t t t y t t t x t t--⋅'===>'- 同理 2()12sin x txx t y y x t t''''=='-, 代入参数值t =则xt y '=, xxt y ''=【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. 2.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.(2)【解析】111()ln(1)ln(1)arctan 442f x x x x x =+--+-. 先求()f x '的展开式.将()f x 微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数展开.所以由2(1)(1)(1)(1)1,2!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++(11)x -<<该级数在端点1x =±处的收敛性,视α而定.特别地,当1α=-时,有2311(1),1n n x x x x x =-+-++-++ (11)x -<< 2311,1n x x x x x =++++++- (11)x -<< 得 2221111111111()114141212121f x x x x x x '=++-=+-+-+-+44401111(||1)1n n n n x x x x ∞∞===-=-=<-∑∑, 积分,由牛顿-莱布尼茨公式得4140011()(0)() (||1)41n xx nn n x f x f f x dx t dt x n +∞∞=='=+==<+∑∑⎰⎰.(3)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin 22sin cos ααα=⋅,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得sin 22sin 2sin (cos 1)dx dxx x x x =++⎰⎰22sin 11cos 2sin (cos 1)2(1)(1)xdx x u du x x u u ==-+-+⎰⎰ (22sin 1cos x x =-)221(1)(1)1112()4(1)(1)811(1)u u du du u u u u u ++-=-=-++-+-++⎰⎰12ln |1|ln |1|8(1)u u C u ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦, 其中C 为任意常数.方法2：换元cos x u =后,有原式22sin 12sin (cos 1)2sin (cos 1)2(1)(1)dx xdx dux x x x u u ===-++-+⎰⎰⎰.用待定系数法将被积函数分解:221(1)(1)11(1)A B Du u u u u =++-+-++22()(2)()(1)(1)A B u A D u A B D u u -+-+++=-+,1120,421A B A D A B D A B D -=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎪++=⎩.于是,2111212()ln 1ln 1811(1)81du u u C u u u u ⎡⎤-++=--+++⎢⎥-+++⎣⎦⎰原式＝ ()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦.四、(本题满分6分)【解析】求第二类曲面积分的基本方法:套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若∑垂直yOz 平面,则0Pdydz ∑=⎰⎰.化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.方法1：注意 22220Sz dxdy x y z =++⎰⎰,(因为S 关于xy 平面对称,被积函数关于z 轴对称) 所以 222SxdydzI x y z =++⎰⎰. S 由上下底圆及圆柱面组成.分别记为123,,S S S . 12,S S 与平面yOz 垂直⇒122222220s s xdydz xdydzx y z x y z ==++++⎰⎰⎰⎰. 在3S 上将222x y R +=代入被积表达式⇒322s xdydzI R z =+⎰⎰. 3S 在yz 平面上投影区域为:,yz D R y R R z R -≤≤-≤≤,在3S 上,x =3S 关于yz 平面对称,被积函数对x 为奇函数,可以推出22002222yzR R D dz I R z==⨯⨯ +⎰⎰ 2201arctan 42Rz R R R R ππ1=8⋅⋅=.方法2：S 是封闭曲面,它围成的区域记为Ω,记 22SxdydzI R z =+⎰⎰. 再用高斯公式得 222222()1R R D z x dxdyI dV dV dz x R z R z R z -ΩΩ∂⎛⎫=== ⎪∂+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 222201122RRdz R R z ππ==+⎰(先一后二的求三重积分方法)其中()D z 是圆域：222x y R +≤.【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.五、(本题满分9分)【解析】由全微分方程的条件,有2[()()][()]xy x y f x y f x x y y x∂∂'+-=+∂∂, 即 22()()2x xy f x f x xy ''+-=+,亦即 2()()f x f x x ''+=.因而是初值问题 20,0,1,x x y y x y y ==''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩ 的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=的根为1,2r i =±,原方程右端202x x e x =⋅中的0λ=,不同于两个特征根,所以方程有特解形如 2Y Ax Bx C =++. 代入方程可求得 1,0,2A B C ===,则特解为22x -.由题给(0)0,(0)1f f '==,解得 2()2cos sin 2f x x x x =++-.()f x 的解析式代入原方程,则有22[2(2cos sin )][22sin cos ]0xy y x x y dx x y x x x dy +-+++-+=.先用凑微分法求左端微分式的原函数：222211()2()(2sin cos )(2sin cos )022y dx x dy ydx xdy yd x x x x dy +++----=, 221(2(cos 2sin ))02d x y xy y x x ++-=. 其通解为 2212(cos 2sin )2x y xy y x x C ++-= 其中C 为任意常数.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分8分) 【解析】0()lim0x f x x→=表明0x →时()f x 是比x 高阶的无穷小,若能进一步确定()f x 是x 的p 阶或高于p 阶的无穷小,1,p >从而1()f n也是1n的p 阶或高于p 阶的无穷小,这就证明了级数11()n f n∞=∑绝对收敛. 方法一：由0()lim0x f x x→=及()f x 的连续性得知(0)0,(0)0f f '==,再由()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则,20()lim x f x x →为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有2000()()()1lim lim lim (0)222x x x f x f x f x f x x →→→'''''=== 2()1lim(0)2x f x f x →''⇒=. 由函数极限与数列极限的关系 21()1lim(0)2n f nf n →+∞''⇒=. 因211n n ∞=∑收敛11()n f n ∞=⇒∑收敛,即 11()n f n ∞=∑绝对收敛.方法二：由0()lim0x f x x→=得知(0)0,(0)0f f '==,可用泰勒公式来实现估计.()f x 在点0x =有泰勒公式：2211()(0)(0)()()(01,[,])22f x f f x f x x f x x x θθθδδ'''''= ++=<<∈- 因()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,0,()f x δ''⇒∃>在[,]x δδ∈-有界,即0M ∃>,有|()|,[,]f x M x δδ''≤∈-2211()(),[,]22f x f x x Mx x θδδ''⇒=≤∈-. 对此0δ>,,N n N ∃>时,211110()2f M n n nδ<<⇒≤. 又211n n ∞=∑收敛11()n f n ∞=⇒∑收敛,即 11()n f n ∞=∑绝对收敛.【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则⑴ 当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；⑵ 当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；⑶ 当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.七、(本题满分6分)【解析】方法1：用定积分.设高度为z 处的截面z D 的面积为()S z ,则所求体积1()V S z dz =⎰.,A B 所在的直线的方向向量为()()01,10,101,1,1---=-,且过A 点,所以,A B 所在的直线方程为1111x y z-== - 或 1x z y z =-⎧⎨=⎩. 截面z D 是个圆形,其半径的平方 22222(1)R x y z z =+=-+,则面积222()[(1)]S z R z z ππ==-+,由此 1220[(1)]V z z dz π=-+⎰()120122z z dz π=-+⎰123023z z z π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π=.方法2：用三重积分.2123V dV d dz ππθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰,或者 1122[(1)]zD V dV dz d z z dz σπΩ===-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()120122z z dz π=-+⎰123023z z z π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π=.八、(本题满分8分)【解析】(1)由已知,()I 的系数矩阵,11000101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.由于()2,n r A -=所以解空间的维数是2.取34,x x 为自由变量,分别令()()()34,1,0,0,1x x =,求出0Ax =的解. 故()I 的基础解系可取为 (0,0,1,0),(1,1,0,1)-. (2)方程组()I 和()II 有非零公共解.将()II 的通解 1221231242,2,2,x k x k k x k k x k =-=+=+=代入方程组()I ,则有212121222020k k k k k k k k -++=⎧⇒=-⎨+-=⎩. 那么当120k k =-≠时,向量121(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)k k k +-=---是()I 与()II 的非零公共解.九、(本题满分6分)【解析】证法一：由于 *TA A =,根据*A 的定义有(,1,2,,)ij ij A a i j n =∀=L ,其中ij A 是行列式||A 中ij a 的代数余子式.由于0A ≠,不妨设0ij a ≠,那么2222112212||0ij i i i i in in i i in A a A a A a A a a a a =+++=+++≥>L L ,故 ||0A ≠.证法二：(反证法)若||0A =,则*TAA AA ==||0A E =.设A 的行向量为(1,2,,)i i n α=L ,则 222120T i i i i in a a a αα=+++=L (1,2,,)i n =L .于是 12(,,,)0i i i in a a a α==L (1,2,,)i n =L . 进而有0A =,这与A 是非零矩阵相矛盾.故||0A ≠.十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)(1)【解析】利用随机事件的概率运算性质进行化简.由概率的基本公式(广义加法公式),有()()1()P AB P A B P A B ==-U U1[()()()]P A P B P AB =-+- 1()()()P A P B P AB =--+.因题目已知 ()()P AB P AB =,故有()()1P A P B +=,()1()1P B P A p =-=-.(2)【解析】由于X 、Y 相互独立且同分布,只能取0、1两个数值,易见随机变量{}max ,Z X Y =只取0与1两个可能的值,且{}{}{}0max ,0P Z P X Y ==={}{}{}10,0004P X Y P X P Y =====⋅==,{}{}31104P Z P Z ==-==.所以随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为：十一、(本题满分6分)【解析】此题的第一小问是求数学期望()E Z 和方差()D Z ,是个常规问题；(2)求相关系数XZ ρ,关键是计算X 与Z 的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.(1) 由2(1,3)X N ,2(0,4)Y N ,知()1,()9,()0,()16E X D X E Y D Y ====.由数学期望和方差的性质：()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()2Cov(,)D aX bY c a D X b D Y ab X Y ++=++,其中,,a b c 为常数. 得 111,323EZ EX EY =+=111Cov(,)943DZ DX DY X Y =++111916943XY ρ=⨯+⨯+115()34 3.32=+⨯-⨯⨯=(2) 因为11Cov(,)Cov(,)32X Z X X Y =+11Cov(,)Cov(,)32X X X Y =+2113(6)032=⋅+-= 所以 0XZ ρ==.(3) 由于(,)X Y 服从二维正态分布,则其线性组合构成的随机变量也服从二维正态分布,而32X YZ =+,0X X Y =+,故X 和Z 都是其线性组合,则(,)X Z 服从二维正态分布,根据 0XZ ρ==,所以X 与Z 是相互独立的.。
数学试卷94年普通高等国统一考试.理科数学试题及答案
1994年高校招生全国数学统一考试(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ｉ卷(选择题共65分)一、选择题(本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集Ｉ=｛0,1,2,3,4｝,集合A=｛0,1,2,3｝,集合B=｛2,3,4｝,则A.｛0｝B.｛0,1｝C.｛0,1,4｝D.｛0,1,2,3,4｝2.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)3.极坐标方程ρ=cos(π/4-θ)所表示的曲线是A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆4.设θ是第二象限的角,则必有A.tg(θ/2)＞ctg(θ/2)B.tg(θ/2)＜ctg(θ/2)C.sin(θ/2)＞cos(θ/2)D.sin(θ/2)＜cos(θ/2)5.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成A.511个B.512个C.1023个D.1024个6.在下列函数中，以π/2为周期的函数是A.y=sin2x+cos4xB.y=sin2xcos4xC.y=sin2x+cos2xD.y=sin2xcos2x7.已知正六棱台的上,下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为A.32B.28C.24D.208.设F1和F2为双曲线x2/4-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是A.1B./2C.2D.9.如果复数Z满足│Z+i│+│Z-i│=2,那么│Z+i+1│最小值是A.1B.C.2D.10.有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种11.对于直线m、n和平面α、β,α⊥β的一个充分条件是12.设函数f(x)=1-(-1≤x≤0)，则函数y=f-1(x)的图象是13.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2,则球面面积是A.16π/9B.8π/3C.4πD.64π/914.函数y=arccos(sinx)(-π/3＜x＜2π/3)的值域是A.(π/6,5π/6)B.[0,5π/6)C.(π/3,2π/3)D.(π/6,2π/3)15.定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和.如果f(x)=lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题(本大题共5小题，共6个空格；每空格4分，共24分．把答案填在题中横线上)(16) 在(3－x)7的展开式中，x5的系数是(用数字作答)(17) 抛物线y 2=8－4x 的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是(18) 已知sin θ +cos θ =51，θ∈(0，π)，则ctg θ的值是_____________ (19) 设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥顶点到直线AB 的距离为3，AB 和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为_________(20) 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…a n ，共n 个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a 是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a 1，a 2，…，a n 推出的a =三、解答题(本大题共5小题，共61分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)(21) (本小题满分11分) 已知z =1+i ．(1)设ω=z 2+3z －4，求ω的三角形式；(2)如果i z z baz z -=+-++1122，求实数a ，b 的值． (22) (本小题满分12分) 已知函数f (x )=tg x ，x ∈(0，2π)．若x 1，x 2∈(0，2π)，且x 1≠x 2，证明21[f (x 1)+f (x 2)]>f (221x x +)(23) (本小题满分12分)如图，已知A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． (1)证明AB 1∥平面DBC 1；(2)假设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角α的度数．(24) (本小题满分12分)已知直线l 过坐标原点，抛物线C 顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上．若点)0,1(-A 和点B (0，8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．(25) (本小题满分14分)设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项．(1)写出数列{a n }的前3项；(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)； (3)令()N ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++n a a a a b n n n n n 1121，求().lim 21n b b b n n -+++∞→1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．D 7．B 8．A 9．A 10．C 11．C 12．B 13．D 14．B 15．C二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)16．－189 17．x =3，(x －2)2+y 2=1 18．43- 19． π322 20．()n a a a n+++ 211三、解答题21．本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力． 解：(1)由z ＝1+i ，有 ω=z 2+3z －4 =(1+i )2+3()i +1－4 =2i +3(1－i )－4=－1－i ，ω的三角形式是⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ45sin 45cos 2i ． (2)由z =1+i ，有()()()()1111112222++-+++++=+-++i i b i a i z z b a z z =()()ii a b a 2+++()()i b a a +-+=2 由题设条件知(a +2)－(a +b )i =1－i ． 根据复数相等的定义，得⎩⎨⎧-=+-=+1)(12b a a解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a22．本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力． 证明：tg x 1+tg x 2=2211cos sin cos sin x x x x + 212121cos cos sin cos cos sin x x x x x x +=()2121cos cos sin x x x x +=()()()212121cos cos sin 2x x x x x x -+++=∵x 1，x 2∈(0，2π)，x 1≠x 2， ∴2sin(x 1+x 2)>0，cos x 1cos x 2>0，且0<cos (x 1－x 2)<1， 从而有0<cos (x 1+x 2)+cos (x 1－x 2)<1+cos (x 1+x 2)， 由此得tg x 1+tg x 2>()()2121cos 1sin 2x x x x +++=，∴21( tg x 1+tg x 2)>tg 221x x +，即21[f (x 1)+f (x 2)]>f (221x x +)23．本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力．(1)证明：∵A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，∴四边形B 1BCC 1是矩形． 连结B 1C 交BC 1于E ，则B 1E =EC ．连结DE ． 在△AB 1C 中，∵AD =DC ，∴DE ∥AB 1．又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1．(2)解：作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF ⊥面B 1BCC 1，连结EF ，则EF 是ED 在平面B 1BCC 1上的射影．∵AB 1⊥BC 1，由(1)知AB 1∥DE ，∴DE ⊥BC 1，则BC 1⊥EF ，∴∠DEF 是二面角α的平面角． 设AC =1，则DC =21．∵△ABC 是正三角形，∴在Rt △DCF 中， DF =DC ·sin C =43，CF =DC ·cos C =41．取BC 中点G ．∵EB =EC ，∴EG ⊥BC ． 在Rt △BEF 中，EF 2=BF ·GF ，又BF =BC －FC =43，GF =41， ∴EF 2=43·41，即EF =43．∴tg ∠DEF =14343==EF DF ．∴∠DEF =45°． 故二面角α为45°．24．本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质，解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力．解法一：依题设抛物线C 的方程可写为y 2=2px (p >0)，且x 轴和y 轴不是所求直线，又l 过原点，因而可设l 的方程为y =kx (k ≠0)．①设A '、B '分别是A 、B 关于l 的对称点，因而A 'A ⊥l ，直线A 'A 的方程为()11+-=x ky ②由①、②联立解得AA '与l 的交点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-11122k k k ，． 又M 为AA '的中点，从而点A '的坐标为x A '=111112222+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k k k ， y A '=1201222+-=+⎪⎭⎫⎝⎛+-k k k k ． ③ 同理得点B '的坐标为x B '=1162+k k， y B '= ()11822+-k k ． ④ 又A '、B '均在抛物线y 2=2px (p >0)上，由③得112122222+-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k k p k k ，由此知k ≠±1， 即 1242-=k k p ⑤同理由④得()11621182222+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k k p k k ． 即 ()()kk k p 112222+-=． 从而 1242-k k =()()kk k 112222+-，整理得 k 2－k －1=0． 解得.25125121-=+=k k ， 但当251-=k 时，由③知055<-='A x ， 这与A '在抛物线y 2=2px (p >0)上矛盾，故舍去2512-=k ． 设251+=k ，则直线l 的方程为x y 251+=．将251+=k 代入⑤，求得552=p ． 所以直线方程为x y 251+=． 抛物线方程为x y 5542=． 解法二：设点A 、B 关于l 的对称点分别为A '(x 1、y 1)、B '(x 2，y 2)，则|OA '|=|OA |=1，|OB '|=|OB |=8．设由x 轴正向到OB '的转角为α，则x 2=8cos α，y 2=8s in α． ①因为A '、B '为A 、B 关于直线l 的对称点，而∠BOA 为直角，故∠B 'OA '为直角，因此 x 1=cos ⎪⎭⎫⎝⎛-2πα=sin α，y 1=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πα=－cos α， ② 由题意知x 1>0，x 2>0，故α为第一象限角． 因为A '、B '都在抛物线y 2=2px 上，将①、②代入得cos 2α=2p ·sin α，64sin 2α=2p ·8cos α．∴8sin 3α=cos 3α， ∴2sin α=cos α， 解得 52cos 51sin ==αα，．将52cos 51sin ==αα，代入cos 2α=2p sin α得552sin 2cos 2==ααp ，∴抛物线C 的方程为x y 5542=． 因为直线l 平分∠B 'OB ，故l 的斜率⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=42221πααπαtg tg k 251sin 1cos 2cos 12sin +=-=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ααπαπα ∴直线l 的方程为x y 215+=． 25．本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题的能力．解：(1)由题意，当n =1时有11222S a =+，S 1=a 1， ∴11222a a =+， 解得a 1=2．当n =2时有22222S a =+，S 2=a 1+ a 2，a 1=2代入，整理得 (a 2－2)2=16．由a 2>0，解得 a 2=6． 当n =3时有33222S a =+，S 3=a 1+ a 2+ a 3，将a 1=2，a 2=6代入，整理得 (a 3－2)2=64．由a 3>0，解得 a 3=10． 故该数列的前3项为2，6，10．(2)解法一：由(1)猜想数列{a n }有通项公式a n =4n －2． 下面用数学归纳法证明数列{ a n }的通项公式是a n =4n －2 (n ∈N )．①当n =1时，因为4×1－2=2，又在(1)中已求出a 1=2，所以上述结论成立． ②假设n =k 时结论成立，即有a k =4k －2．由题意，有k k S a 222=+， 将a k =4k －2代入上式，得2k = k S 2，解得S k =2k 2． 由题意，有11222++=+k k S a ，S k +1=S k +a k +1， 将S k =2k 2代入，得2122⎪⎭⎫ ⎝⎛++k a =2(a k +1+2k 2)，整理得21+k a －4 a k +1+4－16 k 2=0． 由a k +1>0，解得a k +1=2+4k ．所以a k +1=2+4k =4(k +1)－2．这就是说，当n =k +1时，上述结论成立．根据①、②，上述结论对所有的自然数n 成立． 解法二：由题意，有()N n S a n n ∈=+222，整理得S n =81(a n +2)2， 由此得 S n +1 =81(a n +1+2)2， ∴a n +1= S n +1－S n =81[(a n +1+2)2－(a n +2)2]， 整理得(a n +1+ a n )( a n +1－a n －4)=0，由题意知 a n +1+a n ≠0，∴a n +1－a n =4．即数列{ a n }为等差数列，其中a 1=2，公差d =4．∴a n =a 1+(n －1)d =2+4(n －1)， 即通项公式为a n =4n －2．(3)解：令c n =b n －1，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++22111n n n n n a a a a c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=112121121221n n n n 121121+--=n n ， b 1+b 2+…+b n －n =c 1+c 2+…+c n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211215131311n n 1211+-=n ．∴()11211lim lim 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+++∞→∞→n n b b b n n n 古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
1994考研数学一真题及参考答案详解
+ y ≤ R sin xcos 4 xdx , N = ⎰ 2 (sin 3 x + cos 4 x)dx , P = ⎰ 2 ( x 2 sin 3 x - cos 4 x)dx ,(3)设常数 λ > 0 ,且级数 ∑ a 2 收敛,则级数 ∑(-1)n1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1) limcot x( x →01 1- ) = _____________.sin x x(2)曲面 z - e z + 2 x y = 3 在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.x∂ 2u 1(3)设 u = e - x sin,则在点 (2, ) 处的值为_____________.y∂x ∂yπ(4)设区域 D 为 x 22 2,则 ⎰⎰ ( Dx 2 y 2 + a 2 b 2 )dxdy = _____________.(5)已知 α = (1,2,3), β = (1,1 , 1) ,设 A = α T β ,其中α T 是 α 的转置,则 A n = _________.2 3二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)π (1)设 M =⎰ 2-π 1 + x 2 2π π π π- -2 2则()(A) N < P < M (B) M < P < N (C) N < M < P (D) P < M < N(2)二元函数 f ( x , y) 在点 ( x , y ) 处两个偏导数 f ' ( x , y ) 、 f ' ( x , y ) 存在是 f ( x , y) 在该点连续的() 0 0xy(A)充分条件但非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件∞ ∞ n n =1 n =1(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与 λ 有关| a | nn 2 + λ()(4) lim x →0 a tan x + b (1- cos x) c ln(1- 2 x ) + d (1- e - x 2)= 2 ,其中 a 2 + c 2 ≠ 0 ,则必有()(A) b = 4d (B) b = -4d(C) a = 4c (D) a = -4c(5)已知向量组α 、α 、α 、α 线性无关,则向量组()1 234(A) α + α 、 α + α 、 α + α 、 α + α 线性无关1 2233441(B) α - α 、 α - α 、 α - α 、 α - α 线性无关1 2233441(C) α + α 、 α + α 、 α + α 、 α - α 线性无关1 2233441(D) α + α 、 α + α 、 α - α 、 α - α 线性无关12233441⎪ y = t cos(t 2) - ⎰ td 2 y ∑ 设四元线性齐次方程组 (I ) 为 ⎨ 又已知某线性齐次方程组 (II ) 的通解为 x - x= 0, ⎩三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.)⎧ x = cos(t 2 ),⎪(1)设 ⎨ ⎩1 2 1 2 u d yπcos udu , dx dx 2 2求 、 在 t =的值.1 1 + x 1(2)将函数 f ( x ) = ln + arctan x - x 展开成 x 的幂级数.4 1 - x 2(3)求 ⎰dx sin 2 x + 2sin x .四、(本题满分 6 分)xdydz + z 2dxdy计算曲面积分 ⎰⎰ ,其中 S 是由曲面 x 2 + y 2 = R 2 及两平面 z = R,x 2 + y 2 + z 2 Sz = - R (R > 0) 所围成立体表面的外侧.五、(本题满分 9 分)设 f ( x ) 具有二阶连续导数, f (0) = 0, f '(0) = 1 ,且[ x y( x + y) - f ( x ) y]dx + [ f '( x ) + x 2 y]dy = 0 为一全微分方程,求 f ( x ) 及此全微分方程的通解.六、(本题满分 8 分)设 f ( x ) 在点 x = 0 的某一领域内具有二阶连续导数,且 lim x →0f ( x ) x= 0 ,证明级数∞n =1 1f ( ) 绝对收敛.n七、(本题满分 6 分)已知点 A 与 B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段 AB 绕 z 轴旋转一周所围成的旋转曲面为 S .求由S 及两平面 z = 0, z = 1所围成的立体体积.八、(本题满分 8 分)⎧ x + x = 0,12 2 4k (0,1,10) + k (-1,2, 2,1) .1 2(1)求线性方程组 (I ) 的基础解系；(2)问线性方程组 (I ) 和 (II ) 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、(本题满分 6 分)设 A 为 n 阶非零方阵, A * 是 A 的伴随矩阵, A T 是 A 的转置矩阵,当 A * = A T 时,证明| A |≠ 0 .十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)=P(AB),且P(A)=p,则P(B)=__________.原式 = lim cos x( x - sin x) x →0 x →0 x →02 精心整理(2)设相互独立的两个随机变量 X 、 Y 具有同一分布律,且 X 的分布律为则随机变量 Z = max {X , Y }的分布律为_______.十一、(本题满分 6 分)已知随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布,且 X 和 Y 分别服从正态分布 N (1,32 ) 和N (0, 42 ) , X 与 Y的相关系数 ρXY1 X Y = - ,设 Z = + ,2 3 2(1)求 Z 的数学期望 E (Z ) 和方差 D(Z ) ；(2)求 X 与 Z 的相关系数 ρ XZ ；(3)问 X 与 Z 是否相互独立？为什么？1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】16【解析】原式变形后为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点 0 处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有x - sin x= limcos x ⋅ limx →0 x sin 2 x x 3 1 - cos x sin x 1 sin x= lim = lim = .(由重要极限 lim = 1 )x →0 3x 2 x →0 6 x 6 x(2)【答案】 2 x + y - 4 = 0【解析】所求平面的法向量 n 为平行于所给曲面在点 (1,2,0) 处法线方向的方向向量 l ,取 n = l ,又平面过已知点 M (1,2,0) .已知平面的法向量 ( A, B, C ) 和过已知点 ( x , y , z ) 可唯一确定这个平面：0 0A( x - x ) + B( y - y ) + C ( z - z ) = 0 .0 0因点 (1,2,0) 在曲面 F ( x , y , z ) = 0 上.曲面方程 F ( x , y , z) = z - e z + 2 x y - 3 .曲面在该点的法向量⎧ ∂F ∂F ∂F ⎫n =⎨ , , ⎬⎩ ∂x ∂y ∂z ⎭(1,2,0) = { y , 2 x ,1 - e z } = {4, 2,0}= 2 {2,1,0}, (1,2,0)故切平面方程为 2( x - 1) + ( y - 2) = 0 ,即 2 x + y - 4 = 0 .(3)【答案】 π ∂x ⎝∂y ⎭2 e2 .= + = f ' + f ' .4 R 4 ( 原式 =⎰π d θ ⎰rdr = ⎰ 2π ⎪ d θ ⋅ ⎰ r 3dr . 注意：⎰ π cos⎛ cos 2 θ ⎝ a 2b 2 ⎭ 则原式 =⎛ 1⎪ π ⋅ R 4 = R 4⎪ .1 2(5)【答案】 3n -1 2 1⎢3 3 ⎣ 精心整理2e 2【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求∂u∂y∂ ⎛ ∂u ⎫⎪ .∂u x x=- e - x cos ,∂y y y,再求= (-π 2e - x (1- x)cos π x)x =2+ 0 =π 2(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u = ϕ( x , y), v = ψ ( x , y) 都在点 ( x , y) 具有对 x 及对 y 的偏导数,函数 z = f (u , v ) 在对应点 (u , v) 具有连续偏导数,则复合函数z = f (ϕ( x , y),ψ ( x , y)) 在点 ( x , y) 的两个偏导数存在,且有∂z∂z ∂u ∂z ∂v ∂u ∂v = + = f ' + f ' ； ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x 1 ∂x 2 ∂x∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂u ∂v∂y ∂u ∂y ∂v ∂y 1 ∂y 2 ∂y(4)【答案】 π1 1+ ) a 2 b 2【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：2 02⎛ cos 2 θ sin 2 θ ⎫ sin 2 θ ⎫ R2 R r 2 + ⎪ + ⎝ a 2 b 2 ⎭ 0 00 0θ d θ = ⎰ 2π sin 2 θ d θ = π ,⎝ a 2 + 1 ⎫ 1 π ⎛ 1 1 ⎫ b 2 ⎭ 4 4 ⎝ a2b 2 ⎭ +⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1⎢ 2 1 ⎤ 3 ⎥ ⎥ 2 ⎥ 3 ⎥ ⎥ 1 ⎥⎥⎦【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 βα T = 1, , ⎪ ⎢2⎥ = 3 是一个数,1 2而 A = α T β = ⎢2⎥ 1, , ⎪ = 21 ⎢3 3⎣ ⎣ 1 2 ⎢3 3 ⎣cos xdx > 0 , P = -2⎰ 2 cos 4 xdx = - N < 0 .2n 2 + λ⎡1⎤⎛ 1 1 ⎫⎢ ⎥ ⎝ 2 3 ⎭⎢⎣3⎥⎦于是,⎢⎡1⎤ ⎢ ⎢ ⎥⎛ 1 1 ⎫ ⎢ ⎝ 2 3 ⎭ ⎢ ⎢3⎥⎦ ⎢ ⎡ 1⎢ 21 ⎤3 ⎥ ⎥ 2 ⎥ 3 ⎥⎥ 1 ⎥⎥⎦,(是一个三阶矩阵)⎡ 1 ⎢ ⎢= 3n -1α T β = 3n -1 ⎢21 ⎢ ⎢ ⎢2 1 ⎤3 ⎥ ⎥ 2 ⎥ 3 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥⎦.二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为 0,故 M = 0 ,且由定积分的性质,如果在区间 [a, b ]上,被积函数 f ( x ) ≥ 0 ,则 ⎰ππ所以 N = 2⎰4b af ( x )dx ≥ 0 ( a < b ) .因而 P < M < N ,应选(D).(2)【答案】(D)【解析】 f ( x , y) 在点 ( x , y ) 连续不能保证 f ( x , y) 在点 ( x , y ) 存在偏导数 f '( x , y ),0 0xf '( x , y ) .反之, f ( x , y) 在点 ( x , y ) 存在这两个偏导数 f '( x , y ), f '( x , y ) 也不能保证 f ( x , y) 在点y0 0 0 0 x 0 0 y 0 0( x , y ) 连续,因此应选(D).0 0二元函数 f ( x , y) 在点 ( x , y ) 处两个偏导数存在和在点 ( x , y ) 处连续并没有相关性. 0 0(3)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因(-1)n | a |1 1 1 1 1 n ≤ a2 + < a 2 + ,2 n 2 n 2 + λ 2 n 2n 21 (第一个不等式是由 a ≥ 0, b ≥ 0, ab ≤(a 2 + b 2 ) 得到的.)2又 ∑ a 收敛, ∑ 收敛,(此为 p 级数： ∑ 2 2n n 2 + λn x 2= o ( x ),1 - e - x 2∞∞2 n n =1n =112n 2∞ n =11 n p 当 p > 1 时收敛；当 p ≤ 1 时发散.)∞1 1∞ (-1)n | a | 所以 ∑a 2 + 收敛,由比较判别法,得 ∑ 收敛.n 2 n =1 n =1故原级数绝对收敛,因此选(C). (4)【答案】(D)【解析】因为1 - cos x故 a tan x + b (1- cos x)1 2 x 2 = o ( x) ,ax ( a ≠ 0) ,c ln(1- 2x) +d (1-e - x 2) -2cx (c ≠ 0) ,因此,原式左边 = lim x →0 ax a= = 2 = 原式右边, ⇒ a = -4c .-2cx -2c当 a = 0, c ≠ 0 时,极限为 0；当 a ≠ 0, c = 0 时,极限为 ∞ ,均与题设矛盾,应选(D).【相关知识点】1.无穷小的比较：设在同一个极限过程中, α ( x ), β ( x ) 为无穷小且存在极限 l im α (x)= l.β ( x )（1） 若 l ≠ 0, 称 α ( x ), β ( x ) 在该极限过程中为同阶无穷小；（2） 若 l = 1, 称 α ( x ), β ( x ) 在该极限过程中为等价无穷小,记为 α ( x )（3） 若 l = 0, 称在该极限过程中α ( x ) 是 β ( x ) 的高阶无穷小,记为α ( x ) = o (β ( x ) ).若 lim α (x)不存在(不为 ∞ ),称 α ( x ), β ( x ) 不可比较.β ( x )2.无穷小量的性质：当 x → x 时, α ( x ), β ( x ) 为无穷小,则α ( x ) β ( x ) ⇔ α ( x ) = β ( x ) + o (β ( x )) .(5)【答案】(C)【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式.β ( x ) ；(A)：由于 (α + α 12)- (α + α )+ (α + α )- (α + α ) = 0 ,所以(A)线性相关.2 3 3 4 4 1(B)：由于 (α - α 12)+ (α - α )+ (α - α )+ (α - α ) = 0 ,所以(B)线性相关.2 3 3 4 4 1对于(C),实验几组数据不能得到 0 时,应立即计算由α 的系数构成的行列式,即(1)【解析】 dy 2 ,xx t = πln(1+ x) - ln(1- x) + 精心整理1 0 0 -1 1 1 0 00 1 1 0= 2 ≠ 0 ,0 0 11由行列式不为 0,知道(C)线性无关.故应选(C). 当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由(α + α ) - (α + α ) + (α - α ) + (α - α ) = 0 ,1 2233441知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C).【相关知识点】α ,α ,,α 线性相关的充分必要条件是存在某α (i = 1,2,, s) 可以由1 2siα , α ,α , 1 i -1i +1,α 线性表出.sα ,α , 12,α 线性无关的充分必要条件是任意一个α (i = 1,2,s i, s) 均不能由α , α ,α , 1 i -1i +1,α 线性表出.s三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.)dy dt dy = ⋅ =dx dt dx d tdx y '= t = dt x 't1cos t 2 - 2t 2 sin t 2 - 2t -2t sin t 2cos t 2 ⋅ 2t= t (t > 0),同理 y '' = xx ( y ' )' 1x t = ,x ' -2t sin t 2t代入参数值 t =π则 y 'x t =π =2π2, y ''2=- 12π.【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果 u = g ( x ) 在点 x 可导,而 y = f ( x ) 在点 u = g ( x ) 可导,则复合函数y = f [g ( x )]在点 x 可导,且其导数为dydydy du= f '(u ) ⋅ g '( x ) 或 = ⋅ . dx dx du dx2.对积分上限的函数的求导公式：若 F (t ) = ⎰β (t ) f ( x )dx , α (t ) , β (t ) 均一阶可导,则α (t )F '(t ) = β '(t ) ⋅ f [β (t )]- α'(t ) ⋅ f [α (t )].(2)【解析】 f ( x ) = 1 11arctan x - x .4 4 2先求 f '( x ) 的展开式.将 f ( x ) 微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数展开.所以由该级数在端点 x = ±1 处的收敛性,视 α 而定.特别地,当 α = -1 时,有得 f '( x ) = 1 1 = - 1 = ∑ x 4n - 1 = ∑ x 4n (| x |< 1) ,f ( x ) = f (0) + ⎰ xf '( x )dx = ∑ ⎰ xt 4n d t = ∑= ⎢ln (1 - cos x )- ln (1 + cos x )+ ⎦= ⎰ =- ⎰⇒ ⎨2 A - D = 0 ⇒ A = B = , D = .⎪ A + B + D = 1= ⎢ln (1 - cos x )- ln (1 + cos x )+ + C . ⎢ ⎥精心整理1 1 1 1 1 1 1 1+ + - 1 = + - 14 1 + x 4 1 - x 2 1 + x 2 2 1 - x 2 2 1 + x 21∞ ∞ 1 - x 4n =0 n =1积分,由牛顿-莱布尼茨公式得∞ ∞n =1n =1x 4n +14n + 1(| x |< 1) .(3)【解析】方法 1：利用三角函数的二倍角公式 s in 2α = 2sin α ⋅ cos α ,并利用换元积分,结合拆项法求积分, 得(sin 2 x = 1 - cos 2 x )1 ⎡2 ⎤ 8 ⎣ 1 + cos x ⎥其中 C 为任意常数.方法 2：换元 cos x = u 后,有+ C ,原式 = ⎰dx sin xdx 1 du2sin x(cos x + 1) 2sin 2 x(cos x + 1) 2 (1- u )(1+ u )2 .用待定系数法将被积函数分解:( A - B)u 2 + (2 A - D)u + ( A + B + D) = ,(1- u )(1+ u )2⎧ A - B = 0⎪1 1 42 ⎩于是, 原式＝ - 1⎰ ( 1 + 1 + 2 )du = 1 ⎡ln 1 - u - ln 1 + u + 2 ⎤+ C8 1 - u 1 + u (1+ u )2 8 ⎣1 + u ⎦1 ⎡2 ⎤ 8 ⎣ 1 + cos x ⎥⎦四、(本题满分 6 分)【解析】求第二类曲面积分的基本方法:套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若 ∑ 垂直 yOz 平面,则⎰⎰ P dydz = 0 .化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.∑先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.方法 1：注意 ⎰⎰Sz 2dxdy x 2 + y 2 + z 2= 0 ,(因为 S 关于 xy 平面对称,被积函数关于 z 轴对称)⎰⎰ = ⎰⎰ ⎰⎰⎰ ∂ ⎛ dV = ⎰⎰⎰ dV = ⎰ R dz ⎰⎰ ∂x ⎝ R 2 + z 2 ⎭ R 2 + z 2 R 2 + z 2 ⎪ [ x y( x + y) - f ( x ) y] = [ f '( x ) + x 2y] , ⎪⎩ y 精心整理所以 I = ⎰⎰Sx dydz x 2 + y 2 + z 2.S 由上下底圆及圆柱面组成.分别记为 S , S , S . S , S 与平面 yOz 垂直 ⇒1 2312xdydz xdydzx 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 s 1s 2= 0 .在 S 上将 x 2 + y 2 = R 2 代入被积表达式 ⇒ I = 3 ⎰⎰s 3xdydz R 2 + z 2.S 在 yz 平面上投影区域为 D : - R ≤ y ≤ R, - R ≤ z ≤ R ,在 S 上, x = ± R 2 - y 2 , S 关于 yz 平面对称,被积3 yz3 3函数对 x 为奇函数,可以推出π1z R 1R 2 ⋅ arctan= π 2 R . = 8⋅4RR2方法 2： S 是封闭曲面,它围成的区域记为 Ω ,记 I =⎰⎰Sx dydz R 2 + z 2.再用高斯公式得 I =x ⎫ 1 dxdy ⎪- RΩ Ω D( z )= 2π R2 ⎰ R 01 1dz = π 2 R (先一后二的求三重积分方法)R 2 + z 2 2其中 D( z ) 是圆域： x 2 + y 2 ≤ R 2 .【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域 Ω 是由分片光滑的闭曲面 ∑ 所围成,函数P( x , y , z) 、 Q( x , y , z) 、 R( x , y , z) 在 Ω 上具有一阶连续偏导数,则有或 ⎰⎰⎰⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎫dv = ⎰⎰ (P cos α + Q cos β + R cos γ )dS , ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎭ Ω ∑这里 ∑ 是 Ω 的整个边界曲面的外侧, cos α 、 cos β 、 cos γ 是 ∑ 在点 ( x , y , z) 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式. 五、(本题满分 9 分)【解析】由全微分方程的条件,有∂ ∂∂y ∂x即 x 2 + 2 x y - f ( x ) = f ''( x ) + 2 x y ,亦即 f ''( x ) + f ( x ) = x 2 .⎧⎪ y '' + y = x 2 ,因而是初值问题 ⎨的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程为= 0, y '= 1,x =0x =0r2+1=0的根为r=±i,原方程右端x2=e0x⋅x2中的λ=0,不同于两个特征根,所以方程有特解形如1,2Y=Ax2+Bx+C.代入方程可求得A=1,B=0,C=2,则特解为x2-2.由题给f(0)=0,f'(0)=1,解得f(x)=2cos x+sin x+x2-2.f(x)的解析式代入原方程,则有[x y2+2y-(2cos x+sin x)y]dx+[x2y+2x-2sin x+cos x]dy=0.先用凑微分法求左端微分式的原函数：11(y2dx2+x2dy2)+2(ydx+xdy)-y d(2sin x-cos x)-(2sin x-cos x)dy=0,221d(x2y2+2x y+y(cos x-2sin x))=0.21其通解为x2y2+2x y+y(cos x-2sin x)=C其中C为任意常数.2【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y*(x)是二阶线性非齐次方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0的通解,则y=Y(x)+y*(x)是非齐次方程的通解.2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即y''+P(x)y'+Q(x)y=0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程变为y''+py'+qy=0.其特征方程写为r2+pr+q=0,在复数域内解出两个特征根r,r；12分三种情况：(1)两个不相等的实数根r,r,则通解为y=C e rx1+C e r2x;1212(2)两个相等的实数根r=r,则通解为y=(C+C x)e rx1;1212(3)一对共轭复根r1,2=α±iβ,则通解为y=eαx(C cosβx+C sinβx).其中C,C为常数.12123.对于求解二阶线性非齐次方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解y*(x),可用待定系数法,有结论如下：如果f(x)=P(x)eλx,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y*(x)=x k Q(x)eλxm m的特解,其中Q(x)是与P(x)相同次数的多项式,而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程m m的重根依次取0、1或2.如果f(x)=eλx[P(x)cosωx+P(x)sinωx],则二阶常系数非齐次线性微分方程l nl 无穷小, p > 1,从而 f ( ) 也是 的 p 阶或高于 p 阶的无穷小,这就证明了级数 ∑ f ( ) 绝对收敛.∑ 1收敛 ⇒ ∑ f ( ) 收敛,即 ∑ f ( ) 绝对收敛.∞ ⇒ f ( x ) = 1 ∑ 1 收敛 ⇒ ∑ f ( )收敛,即 ∑ f ( ) 绝对收敛.∞∑设 ∑uy '' + p ( x ) y ' + q ( x ) y = f ( x ) 的特解可设为y * = x k e λx [ R (1) ( x ) cos ω x + R (2) ( x )sin ω x ] ,mm其中 R (1) ( x ) 与 R (2) ( x ) 是 m 次多项式, m = max { , n },而 k 按 λ + i ω (或 λ - i ω )不是特征方程的根、或是特征mm方程的单根依次取为 0 或1 . 六、(本题满分 8 分)【解析】lim x →0f ( x ) x= 0 表明 x → 0 时 f ( x ) 是比 x 高阶的无穷小,若能进一步确定 f ( x ) 是 x 的 p 阶或高于 p 阶的1 1 ∞ 1n n nn =1方法一：由 lim x →0f ( x ) x= 0 及 f ( x ) 的连续性得知 f (0) = 0, f '(0) = 0 ,再由 f ( x ) 在点 x = 0 的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则, lim x →0 洛必达法则,有f ( x ) x 2为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点 0 处导数都存在,连续运用两次⇒ lim x →0f ( x ) 1= f ''(0) .x 2 2由函数极限与数列极限的关系 ⇒ lim n →+∞1f ( ) n 1= f ''(0) .1 2 n 2因 ∞ n =1 n2 ∞ 1 1n n n =1 n =1方法二：由 limx →0f ( x ) x= 0 得知 f (0) = 0, f '(0) = 0 ,可用泰勒公式来实现估计. f ( x ) 在点 x = 0 有泰勒公式：因 f ( x ) 在点 x = 0 的某一领域内具有二阶连续导数,⇒ ∃δ > 0, f ''( x ) 在 x ∈ [-δ , δ ] 有界,即 ∃M > 0 ,有 | f ''( x ) |≤ M , x ∈[-δ , δ ]1f ''(θ x) x 2 ≤ Mx 2 , x ∈[-δ , δ ] .2 2对此 δ > 0 , ∃N , n > N 时, 0 < 1 1 1 1 < δ ⇒ f ( ) ≤ M n n 2 n 2.又∞ ∞ 1 1n 2 nnn =1 n =1 n =1【相关知识点】正项级数的比较判别法：∞ ∞n =1 n =1n都是正项级数,且lim n →∞ vn = A, 则 un⑴ 当 0 < A < +∞时, ∑ u∑v⑵ 当 A = 0 时,若 ∑ u 收敛,则 ∑ v 收敛；若 ∑ v 发散,则 ∑ u 发散；∑u∑ v∑u∑v设高度为 z 处的截面 D 的面积为 S ( z ) ,则所求体积V = ⎰ S ( z )dz .]dz = π ⎰ (1 - 2 z + 2 z )dz = π z - z由此V = ⎰ π [(1- z) + z222 + z3 ⎪ =.或者V =⎰⎰⎰ d V = ⎰ dz ⎰⎰ d σ = ⎰ π [(1- z)= π z - z 2 + z 3 ⎪ = .【解析】(1)由已知, (I ) 的系数矩阵, A = ⎢⎡1 1 0 0 ⎤3 ⎦ 精心整理∞n =1 ∞n =1n 同时收敛或同时发散；∞ ∞∞∞nnnnn =1n =1n =1n =1⑶ 当 A = +∞ 时,若 ∞ ∞ ∞ ∞n 发散.n =1 n =1 n =1 n =1七、(本题满分 6 分)【解析】方法 1：用定积分.1zA, B 所在的直线的方向向量为 (0 -1,1 - 0,1- 0) = (-1,1,1) ,且过 A 点,所以 A, B 所在的直线方程为 x - 1 y z ⎧ x = 1 - z= = 或 ⎨-1 1 1 ⎩ y = z.截面 D 是个圆形,其半径的平方 R 2 = x 2 + y 2 = (1- z )2 + z 2 ,则面积zS ( z ) = π R 2 = π [(1- z )2 + z 2 ] ,11⎛2 ⎫ 1 2π2⎝3⎭3方法 2：用三重积分.V = ⎰⎰⎰ dV = ⎰2πd θ ⎰1dz ⎰Ω11+ z 2 ]dz2DzΩ⎛ 2 ⎫ 1 2π⎝ ⎭3 0八、(本题满分 8 分). ⎣0 1 0 -1⎥由于 n - r ( A ) = 2, 所以解空间的维数是 2.(1- z )2 + z 2rdr =2π3,取 x , x 为自由变量,分别令 (x , x 343 4) = (1,0 ), (0,1) ,求出 Ax = 0 的解.故 (I ) 的基础解系可取为 (0,0,1,0),( -1,1,0,1) .(2)方程组 (I ) 和 (II ) 有非零公共解.⎨ ij精心整理将 (II ) 的通解 x = -k , x = k + 2k , x = k + 2k , x = k 代入方程组 (I ) ,则有1 221231242⎧-k + k + 2k = 02 1 2 ⎩k 1 + 2k 2 - k 2 = 0⇒ k = -k . 1 2那么当 k = -k ≠ 0 时,向量 k (0,1,1,0) + k (-1,2, 2,1) = k (1,-1,-1,-1) 是 (I ) 与 (II ) 的非零公共解. 1 2121九、(本题满分 6 分)【解析】证法一：由于 A * = A T ,根据 A * 的定义有A = a (∀i, j = 1,2,L , n) ,其中 A 是行列式 | A | 中 a 的代数余子式.ijij ij ij由于 A ≠ 0 ,不妨设 a ≠ 0 ,那么ij| A |= a A + a A + L + a A = a 2 + a 2 + L + a 2 ≥ a 2 > 0 ,i1 i1 i 2 i 2in ini1i 2in故 | A |≠ 0 .证法二：(反证法)若 | A |= 0 ,则 AA * = AA T = | A | E = 0 .设 A 的行向量为α (i = 1,2,L , n) ,则 α α T = a 2 + a 2 + L + a 2 = 0 (i = 1,2,L , n ) .i i ii1i 2in于是 α = (a , a ,L , a ) = 0 (i = 1,2,L , n ) .i i1i 2in进而有 A = 0 ,这与 A 是非零矩阵相矛盾.故 | A |≠ 0 .十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.)(1)【解析】利用随机事件的概率运算性质进行化简.由概率的基本公式(广义加法公式),有= 1 - P( A) - P( B ) + P( AB) .因题目已知 P( AB) = P( AB ) ,故有P( A ) + P( B ) = 1 , P( B ) = 1 - P( A ) = 1 - p .(2)【解析】由于 X 、 Y 相互独立且同分布,只能取 0、1 两个数值,易见随机变量Z = max {X , Y }只取 0 与 1 两个可能的值,且P {Z = 0}= P {max {X ,Y }= 0}= P {X = 0,Y = 0}= P {X = 0}⋅ P {Y = 0}=P {Z = 1}= 1 - P {Z = 0}=3.4所以随机变量 Z = max {X , Y }的分布律为：01十一、(本题满分 6 分)1 4,得EZ=1DX,)Z=X精心整理【解析】此题的第一小问是求数学期望E(Z)和方差D(Z),是个常规问题；(2)求相关系数ρZ的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.(1)由X N(1,32),Y N(0,42),知E(X)=1,D(X)=9,E(Y)=0,D(Y)=16.由数学期望和方差的性质：E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c,D(aX+bY+c)=a2D(X)+b2D(Y)+2ab Cov(X,Y),其中a,b,c为常数.11EX+EY=,32311(2)因为Cov(X,Z)=Cov(X,X+Y)32XZ,关键是计算X与所以ρXZ=Cov(XDZ=0.(3)由于(X,Y)服从二维正态分布,则其线性组合构成的随机变量也服从二维正态分布,而Y+,X=X+0Y,故X和Z都是其线性组合,则(X,Z)服从二维正态分布,根据32ρXZ =Cov(X,Z)DX DZ=0,所以X与Z是相互独立的.。
1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题
1994年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集I={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则(A){0} (B){0,1} (C){0,1,4} (D){0,1,2,3,4}【】[Key] 一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)1.C(2)如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是(A)(0,+∞) (B)(0,2) (C)(1,+∞) (D)(0,1)【】[Key] 2.D(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆【】[Key] 3.D(4)设θ是第二象限的角,则必有【】[Key] 4.A(5)某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成(A)511个(B)512个(C)1023个(D)1024个【】[Key] 5.B(A)y=sin2x+cos4x (B)y=sin2xcos4x(C)y=sin2x+cos2x (D)y=sin2xcos2x【】[Key] 6.D(7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为【】[Key] 7.B∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是【】[Key] 8.A(9)如果复数z满足│z+i│+│z-i│=2,那么│z+i+1│的最小值是【】[Key] 9.A(10)有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有(A)1260种(B)2025种(C)2520种(D)5040种【】[Key] 10.C(11)对于直线m、n和平面α、β,α⊥β的一个充分条件是【】[Key] 11.C【】[Key] 12.B(13)已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是【】[Key] 13.D【】[Key] 14.B(15)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,如果f(x)=lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么【】[Key] 15.C第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题(本大题共5小题,共6个空格;每空格4分,共24分.把答案填在题中横线上)16.在(3-x)7的展开式中,x5的系数是.(用数字作答)17.抛物线y2=8-4x的准线方程是,圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是.19.设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2,圆锥顶点到直线AB的20.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2,…a n,共n个数据,我们规定所测量物理量的"最佳近似值"a是这样一个量:与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.依此规定,从a1,a2,…,a n推出的a= .[Key] 二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)三、解答题(本大题共5小题,共61分;解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)21.(本小题满分11分)已知z=1+i.[Key] 三、解答题21.本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力.解:(1)由z＝1+i,有ω的三角形式是(2)由z=1+i,有由题设条件知(a+2)-(a+b)i=1-i.22.(本小题满分12分)[Key] 22.本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力. 证明:且0<cos(x1-x2)<1,从而有0<cos(x1+x2)+cos(x1-x2)<1+cos(x1+x2),23.(本小题满分12分)如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.(1)证明AB1∥平面DBC1;(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.[Key] 23.本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.(1)证明:∵A1B1C1-ABC是正三棱柱,∴四边形B1BCC1是矩形.连结B1C交BC1于E,则B1E=EC.连结DE.在△AB1C中,∵AD=DC,∴DE∥AB1.∴AB1∥平面DBC1.(2)解:作DF⊥BC,垂足为F,则DF⊥面B1BCC1,连结EF,则EF是ED在平面B1BCC1上的射影.∵AB1⊥BC1,由(1)知AB1∥DE,∴DE⊥BC1,则BC1⊥EF,∴∠DEF是二面角α的平面角.∵△ABC是正三角形,∴在Rt△DCF中,取BC中点G.∵EB=EC,∴EG⊥BC.在Rt△BEF中,∴∠DEF=45°.故二面角α为45°.24.(本小题满分12分)已知直线l过坐标原点,抛物线C顶点在原点,焦点在x轴正半轴上.若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程.[Key] 24.本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质,解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力.解法一:依题设抛物线C的方程可写为y2=2px (p>0),且x轴和y轴不是所求直线,又l过原点,因而可设l的方程为y=kx (k≠0). ①设A'、B'分别是A、B关于l的对称点,因而A'A⊥l,直线A'A的方程为②又M为AA'的中点,从而点A'的坐标为③同理得点B'的坐标为④又A'、B'均在抛物线y2=2px(p>0)上,由③得.,整理得k2-k-1=0.所以直线方程为抛物线方程为解法二:设点A、B关于l的对称点分别为A'(x1、y1)、B'(x2,y2),则│OA'│=│OA│=1,│OB'│=│OB│=8.设由x轴正向到OB'的转角为α,则x2=8cosα,y2=8sinα. ①因为A'、B'为A、B关于直线l的对称点，而∠BOA为直角,故∠B'OA'为直角,因此由题意知x1>0,x2>0,故α为第一象限角.因为A'、B'都在抛物线y2=2px上,将①、②代入得cos2α=2p·sinα,64sin2α=2p·8cosα.∴8sin3α=cos3α,∴2sinα=cosα,因为直线l平分∠B'OB,故l的斜率25.(本小题满分14分)设{a n}是正数组成的数列,其前n项和为S n,并且对于所有的自然数n,a n与2的等差中项等于S n 与2的等比中项.(1)写出数列{a n}的前3项;(2)求数列{a n}的通项公式(写出推证过程);[Key] 25.本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题的能力.解得a1=2.(a2-2)2=16.由a2>0,解得a2=6.(a3-2)2=64.由a3>0,解得a3=10.故该数列的前3项为2,6,10.(2)解法一:由(1)猜想数列{a n}有通项公式a n=4n-2.下面用数学归纳法证明数列{a n}的通项公式是a n=4n-2 (n∈N).①当n=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出a1=2,所以上述结论成立.②假设n=k时结论成立,即有a k=4k-2.由题意,有S k=2k2.由题意,有由a k+1>0,解得a k+1=2+4k.所以a k+1=2+4k=4(k+1)-2.这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.由题意知a n+1+a n≠0,∴a n+1-a n=4.即数列{a n}为等差数列,其中a1=2,公差d=4.∴a n=a1+(n-1)d=2+4(n-1),即通项公式为a n=4n-2.(3)解:令c n=b n-1,则。
1994年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题及答案
细菌由 1 个可繁殖成
A.511 个
B.512 个
C.1023 个
D.1024 个
6.在下列函数中，以π/2 为周期的函数是
A.y=sin2x+cos4x
B.y=sin2xcos4x
C.y=sin2x+cos2x
D.y=sin2xcos2x
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7.已知正六棱台的上,下底面边长分别为 2 和 4,高为 2,则其体积为
A.16π/9
B.8π/3
C.4π
D.64π/9
14.函数 y=arccos(sinx)(-π/3＜x＜2π/3)的值域是
A.(π/6,5π/6) B.[0,5π/6)
C.(π/3,2π/3) D.(π/6,2π/3)
15.定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x) 之和.如果 f(x)=lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么
3.极坐标方程ρ=cos(π/4-θ)所表示的曲线是
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
4.设θ是第二象限的角,则必有
A.tg(θ/2)＞ctg(θ/2)
B.tg(θ/2)＜ctg(θ/2)
C.sin(θ/2)＞cos(θ/2)
D.sin(θ/2)＜cos(θ/2)
5.某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过 3 个小时,这种
(1)设ω=z2+3 z －4，求ω的三角形式；
(2)如果
z 2 az b z2 z 1
1
i
，求实数
a，b
的值．
(22) (本小题满分 12 分)
1994考研数学一真题及答案解析
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 011limcot ()sin x x x x→-=_____________. (2) 曲面23zz e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3) 设sin xx u e y -=,则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4) 设区域D 为222x y R +≤,则2222()Dx y dxdy a b +=⎰⎰_____________.(5) 已知11(1,2,3),(1,,)23αβ==,设TA αβ=,其中T α是α的转置,则nA =_________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 设4222sin cos 1x M xdx x ππ-=+⎰,3422(sin cos )N x x dx ππ-=+⎰,23422(sin cos )P x x x dx ππ-=-⎰, 则 ( )(A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N <<(2) 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数0λ>,且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑ ( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (4) 2tan (1cos )lim2ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中220a c +≠,则必有 ( )(A) 4b d = (B) 4b d =- (C) 4a c = (D) 4a c =-(5) 已知向量组1234αααα、、、线性无关,则向量组 ( ) (A) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα+线性无关(B) 12αα-、23αα-、34αα-、41αα-线性无关(C) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα-线性无关 (D) 12αα+、23αα+、34αα-、41αα-线性无关三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)(1)设2221cos(),cos(),t x t y t t udu ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰ 求dy dx 、22d y dx在t =. (2) 将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数. (3) 求sin 22sin dxx x +⎰.四、(本题满分6分)计算曲面积分2222Sxdydz z dxdy x y z +++⎰⎰,其中S 是由曲面222x y R +=及两平面,z R = (0)z R R =->所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续导数,(0)0,(0)1f f '==,且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,且0()lim0x f x x→=,证明级数 11()n f n∞=∑绝对收敛.七、(本题满分6分)已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕z 轴旋转一周所围成的旋转曲面为S .求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、(本题满分8分)设四元线性齐次方程组()I 为12240,0,x x x x +=⎧⎨-=⎩ 又已知某线性齐次方程组()II 的通解为12(0,1,10)(1,2,2,1)k k +-.(1) 求线性方程组()I 的基础解系；(2) 问线性方程组()I 和()II 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、(本题满分6分)设A 为n 阶非零方阵,*A 是A 的伴随矩阵,T A 是A 的转置矩阵,当*T A A =时,证明||0A ≠.十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)(1) 已知A 、B 两个事件满足条件()()P AB P AB =,且()P A p =,则()P B =__________. (2) 设相互独立的两个随机变量X 、Y 具有同一分布律,且X 的分布律为则随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为_______.十一、(本题满分6分)已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4)N ,X 与Y 的相关系数12XY ρ=-,设32X YZ =+,(1) 求Z 的数学期望()E Z 和方差()D Z ； (2) 求X 与Z 的相关系数XZ ρ； (3) 问X 与Z 是否相互独立？为什么？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】16【解析】原式变形后为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式20cos (sin )limsin x x x x x x →-=300sin limcos lim x x x xx x→→-=⋅ 2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→-===. (由重要极限0sin lim 1x xx→=) (2)【答案】240x y +-=【解析】所求平面的法向量n 为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量l ,取n l =,又平面过已知点(1,2,0)M .已知平面的法向量(,,)A B C 和过已知点000(,,)x y z 可唯一确定这个平面：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=.因点(1,2,0)在曲面(,,)0F x y z =上.曲面方程(,,)23zF x y z z e xy =-+-. 曲面在该点的法向量{}{}{}(1,2,0)(1,2,0),,2,2,14,2,022,1,0z F F F n y x e x y z ⎧⎫∂∂∂ ==-==⎨⎬∂∂∂⎩⎭, 故切平面方程为 2(1)(2)0x y -+-=, 即 240x y +-=.(3)【答案】22eπ【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求u y ∂∂,再求u x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭. 2cos x u x xe y y y-∂=-∂,()2221112(2,)(2,)2cos x y x x u u uxe x x y y x x y xπππππ-===⎛⎫∂∂∂∂∂===- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭2222((1)cos )0xx e x x e πππ-==--+=.(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (4)【答案】42211()4R a bπ+ 【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算： 原式2222222322220000cos sin cos sin RR d r rdr d r dr a b a b ππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰.注意：22220cos sin d d ππθθθθπ==⎰⎰,则 原式4422221111144R R a b a b ππ⎛⎫⎛⎫=+⋅=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (5)【答案】111123232133312n -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 1111,,23233Tβα⎡⎤⎛⎫⎢⎥== ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦是一个数,而 11123111221,,2123333312TA αβ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦,(是一个三阶矩阵)于是,()()()()()()()n T T T T T T T T A αβαβαβαβαβαβαβαβ==L L 11111232332133312n T n αβ--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M =,且由定积分的性质,如果在区间[],a b 上,被积函数()0f x ≥,则()0 ()baf x dx a b ≥<⎰.所以 422cos 0N xdx π=>⎰, 4202cos 0P xdx N π=-=-<⎰.因而 P M N <<,应选(D). (2)【答案】(D)【解析】(,)f x y 在点00(,)x y 连续不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 存在偏导数00(,),x f x y '00(,)y f x y '.反之,(,)f x y 在点00(,)x y 存在这两个偏导数00(,),x f x y '00(,)y f x y '也不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 连续,因此应选(D).二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数存在和在点00(,)x y 处连续并没有相关性. (3)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因2222111112222n n a a n n λ≤+<++, (第一个不等式是由2210,0,()2a b ab a b ≥≥≤+得到的.) 又21nn a ∞=∑收敛,2112n n ∞= ∑收敛,(此为p 级数：11p n n∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散.)所以2211122n n a n ∞=+∑收敛,由比较判别法,得1n ∞=收敛.故原级数绝对收敛,因此选(C). (4)【答案】(D)【解析】因为 22211cos (),1()2x x x o x e x o x --=-=::, 故 tan (1cos ) (0)a x b x ax a +-≠:,2ln(12)(1)2 (0)x c x d e cx c --+--≠:,因此,原式左边0lim222x ax acx c→====--原式右边,4a c ⇒=-.当0,0a c =≠时,极限为0；当0,0a c ≠=时,极限为∞,均与题设矛盾,应选(D). 【相关知识点】1.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim.()x l x αβ= （1） 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小；（2） 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ:； （3） 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=.若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. 2. 无穷小量的性质：当0x x →时,(),()x x αβ为无穷小,则()()()()(())x x x x o x αβαββ⇔=+:.(5)【答案】(C)【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式. (A)：由于()()()()122334410αααααααα+-+++-+=,所以(A)线性相关. (B)：由于()()()()122334410αααααααα-+-+-+-=,所以(B)线性相关.对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由α的系数构成的行列式,即100111002001100011-=≠,由行列式不为0,知道(C)线性无关.故应选(C). 当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由12233441()()()()0αααααααα+-++-+-=,知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C).【相关知识点】12,,,s αααL 线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=L 可以由111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.12,,,s αααL 线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=L 均不能由111,,,,i i s αααα-+L L 线性表出.三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)(1)【解析】dy dy dt dydx dt dt dx dt dx =⋅=222221cos 2sin cos 22(0),2sin t t t t t t t y t t t x t t--⋅'===>'- 同理 2()12sin x txx t y y x t t''''=='-, 代入参数值t =则xt y '=xxt y ''=【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. 2.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.(2)【解析】111()ln(1)ln(1)arctan 442f x x x x x =+--+-. 先求()f x '的展开式.将()f x 微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数展开.所以由2(1)(1)(1)(1)1,2!!n n x x x x n ααααααα---++=+++++L L L (11)x -<<该级数在端点1x =±处的收敛性,视α而定.特别地,当1α=-时,有2311(1),1n n x x x x x =-+-++-++L L (11)x -<< 2311,1n x x x x x =++++++-L L (11)x -<< 得 2221111111111()114141212121f x x x x x x '=++-=+-+-+-+44401111(||1)1n n n n x x x x ∞∞===-=-=<-∑∑, 积分,由牛顿-莱布尼茨公式得4140011()(0)() (||1)41n xx nn n x f x f f x dx t dt x n +∞∞=='=+==<+∑∑⎰⎰.(3)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin 22sin cos ααα=⋅,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得sin 22sin 2sin (cos 1)dx dxx x x x =++⎰⎰22sin 11cos 2sin (cos 1)2(1)(1)xdx x u du x x u u ==-+-+⎰⎰ (Q 22sin 1cos x x =-)221(1)(1)1112()4(1)(1)811(1)u u du du u u u u u ++-=-=-++-+-++⎰⎰12ln |1|ln |1|8(1)u u C u ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦, 其中C 为任意常数.方法2：换元cos x u =后,有原式22sin 12sin (cos 1)2sin (cos 1)2(1)(1)dx xdx dux x x x u u ===-++-+⎰⎰⎰.用待定系数法将被积函数分解:221(1)(1)11(1)A B Du u u u u =++-+-++22()(2)()(1)(1)A B u A D u A B D u u -+-+++=-+,1120,421A B A D A B D A B D -=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎪++=⎩.于是,2111212()ln 1ln 1811(1)81du u u C u u u u ⎡⎤-++=--+++⎢⎥-+++⎣⎦⎰原式＝ ()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦.四、(本题满分6分)【解析】求第二类曲面积分的基本方法:套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若∑垂直yOz 平面,则0Pdydz ∑=⎰⎰.化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.方法1：注意 22220Sz dxdy x y z =++⎰⎰,(因为S 关于xy 平面对称,被积函数关于z 轴对称) 所以 222SxdydzI x y z =++⎰⎰. S 由上下底圆及圆柱面组成.分别记为123,,S S S . 12,S S 与平面yOz 垂直⇒122222220s s xdydz xdydzx y z x y z ==++++⎰⎰⎰⎰. 在3S 上将222x y R +=代入被积表达式⇒322s xdydzI R z =+⎰⎰. 3S 在yz 平面上投影区域为:,yz D R y R R z R -≤≤-≤≤,在3S 上,x =3S 关于yz 平面对称,被积函数对x 为奇函数,可以推出22002222yzR R D dz I R z==⨯⨯ +⎰⎰ 2201arctan 42Rz R R R R ππ1=8⋅⋅=.方法2：S 是封闭曲面,它围成的区域记为Ω,记 22SxdydzI R z =+⎰⎰. 再用高斯公式得 222222()1R R D z x dxdyI dV dV dz x R z R z R z -ΩΩ∂⎛⎫=== ⎪∂+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 222201122RRdz R R z ππ==+⎰(先一后二的求三重积分方法)其中()D z 是圆域：222x y R +≤.【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò 或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.五、(本题满分9分)【解析】由全微分方程的条件,有2[()()][()]xy x y f x y f x x y y x∂∂'+-=+∂∂, 即 22()()2x xy f x f x xy ''+-=+,亦即 2()()f x f x x ''+=.因而是初值问题 20,0,1,x x y y x y y ==''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩ 的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=的根为1,2r i =±,原方程右端202x x e x =⋅中的0λ=,不同于两个特征根,所以方程有特解形如 2Y Ax Bx C =++. 代入方程可求得 1,0,2A B C ===,则特解为22x -.由题给(0)0,(0)1f f '==,解得 2()2cos sin 2f x x x x =++-.()f x 的解析式代入原方程,则有22[2(2cos sin )][22sin cos ]0xy y x x y dx x y x x x dy +-+++-+=.先用凑微分法求左端微分式的原函数：222211()2()(2sin cos )(2sin cos )022y dx x dy ydx xdy yd x x x x dy +++----=, 221(2(cos 2sin ))02d x y xy y x x ++-=. 其通解为 2212(cos 2sin )2x y xy y x x C ++-= 其中C 为任意常数.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分8分) 【解析】0()lim0x f x x→=表明0x →时()f x 是比x 高阶的无穷小,若能进一步确定()f x 是x 的p 阶或高于p 阶的无穷小,1,p >从而1()f n也是1n的p 阶或高于p 阶的无穷小,这就证明了级数11()n f n∞=∑绝对收敛. 方法一：由0()lim0x f x x→=及()f x 的连续性得知(0)0,(0)0f f '==,再由()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则,20()lim x f x x →为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有2000()()()1lim lim lim (0)222x x x f x f x f x f x x →→→'''''=== 2()1lim(0)2x f x f x →''⇒=. 由函数极限与数列极限的关系 21()1lim(0)12n f nf n →+∞''⇒=. 因211n n ∞=∑收敛11()n f n ∞=⇒∑收敛,即 11()n f n ∞=∑绝对收敛.方法二：由0()lim0x f x x→=得知(0)0,(0)0f f '==,可用泰勒公式来实现估计.()f x 在点0x =有泰勒公式：2211()(0)(0)()()(01,[,])22f x f f x f x x f x x x θθθδδ'''''= ++=<<∈- 因()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,0,()f x δ''⇒∃>在[,]x δδ∈-有界,即0M ∃>,有|()|,[,]f x M x δδ''≤∈-2211()(),[,]22f x f x x Mx x θδδ''⇒=≤∈-. 对此0δ>,,N n N ∃>时,211110()2f M n n nδ<<⇒≤. 又211n n ∞=∑收敛11()n f n ∞=⇒∑收敛,即 11()n f n ∞=∑绝对收敛.【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则⑴ 当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；⑵ 当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；⑶ 当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.七、(本题满分6分)【解析】方法1：用定积分.设高度为z 处的截面z D 的面积为()S z ,则所求体积1()V S z dz =⎰.,A B 所在的直线的方向向量为()()01,10,101,1,1---=-,且过A 点,所以,A B 所在的直线方程为1111x y z-== - 或 1x z y z =-⎧⎨=⎩. 截面z D 是个圆形,其半径的平方 22222(1)R x y z z =+=-+,则面积222()[(1)]S z R z z ππ==-+,由此 1220[(1)]V z z dz π=-+⎰()120122z z dz π=-+⎰123023z z z π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π=.方法2：用三重积分.2123V dV d dz ππθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰,或者 1122[(1)]zD V dV dz d z z dz σπΩ===-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()120122z z dz π=-+⎰123023z z z π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π=.八、(本题满分8分)【解析】(1)由已知,()I 的系数矩阵,11000101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.由于()2,n r A -=所以解空间的维数是2.取34,x x 为自由变量,分别令()()()34,1,0,0,1x x =,求出0Ax =的解. 故()I 的基础解系可取为 (0,0,1,0),(1,1,0,1)-. (2)方程组()I 和()II 有非零公共解.将()II 的通解 1221231242,2,2,x k x k k x k k x k =-=+=+=代入方程组()I ,则有212121222020k k k k k k k k -++=⎧⇒=-⎨+-=⎩. 那么当120k k =-≠时,向量121(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)k k k +-=---是()I 与()II 的非零公共解.九、(本题满分6分)【解析】证法一：由于 *TA A =,根据*A 的定义有(,1,2,,)ij ij A a i j n =∀=L ,其中ij A 是行列式||A 中ij a 的代数余子式.由于0A ≠,不妨设0ij a ≠,那么2222112212||0ij i i i i in in i i in A a A a A a A a a a a =+++=+++≥>L L ,故 ||0A ≠.证法二：(反证法)若||0A =,则*TAA AA ==||0A E =.设A 的行向量为(1,2,,)i i n α=L ,则 222120T i i i i in a a a αα=+++=L (1,2,,)i n =L .于是 12(,,,)0i i i in a a a α==L (1,2,,)i n =L . 进而有0A =,这与A 是非零矩阵相矛盾.故||0A ≠.十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)(1)【解析】利用随机事件的概率运算性质进行化简.由概率的基本公式(广义加法公式),有()()1()P AB P A B P A B ==-U U1[()()()]P A P B P AB =-+- 1()()()P A P B P AB =--+.因题目已知 ()()P AB P AB =,故有()()1P A P B +=,()1()1P B P A p =-=-.(2)【解析】由于X 、Y 相互独立且同分布,只能取0、1两个数值,易见随机变量{}max ,Z X Y =只取0与1两个可能的值,且{}{}{}0max ,0P Z P X Y ==={}{}{}10,0004P X Y P X P Y =====⋅==, {}{}31104P Z P Z ==-==. 所以随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为：十一、(本题满分6分)【解析】此题的第一小问是求数学期望()E Z 和方差()D Z ,是个常规问题；(2)求相关系数XZ ρ,关键是计算X 与Z 的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.(1) 由2(1,3)X N :,2(0,4)Y N :,知()1,()9,()0,()16E X D X E Y D Y ====.由数学期望和方差的性质：()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()2Cov(,)D aX bY c a D X b D Y ab X Y ++=++,其中,,a b c 为常数.得 111,323EZ EX EY =+= 111Cov(,)943DZ DX DY X Y =++111916943XY ρ=⨯+⨯+115()34 3.32=+⨯-⨯⨯=(2) 因为11Cov(,)Cov(,)32X Z X X Y =+11Cov(,)Cov(,)32X X X Y =+2113(6)032=⋅+-= 所以 0XZ ρ==.(3) 由于(,)X Y 服从二维正态分布,则其线性组合构成的随机变量也服从二维正态分布,而32X YZ =+,0X X Y =+,故X 和Z 都是其线性组合,则(,)X Z 服从二维正态分布,根据 0XZ ρ==,所以X 与Z 是相互独立的.。
[VIP专享]1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
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1) B2Ak+22+12=+15+c51mc+=5m=2c111++m+12+21+++2=12=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
(B) M P N (D) P M N
()
(2)
二元函数
f
(x,
y)
在点 (x0 ,
y0 )
处两个偏导数
f
x
(
x0
,
y0 )
、
f
y
(
x0
,
y0 ) 存在是
1) B2Ak+22+1=2+15+c51mc+=m5=21c11+m++12+2+1++=212=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
计算曲面积分
四、(本题满分 6 分)
.
(3) 求
sin 2x 2sin x
dx
(2) 将函数 f (x) 1 ln 1 x 1 arctan x x 展开成 x 的幂级数. 4 1 x 2
1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
(1) lim cot x( 1 1 ) _____________.
x0
sin x x
(2) 曲面 z ez 2xy 3 在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.
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(5) 已知向量组1、2、3、4 线性无关,则向量组
()
(A) 1 2 、2 3 、3 4 、4 1 线性无关
(B) 1 2 、2 3 、3 4 、4 1 线性无关 (C) 1 2 、2 3 、3 4 、4 1 线性无关 (D) 1 2 、2 3 、3 4 、4 1 线性无关
x0 x sin2 x
x0
x x0
3
lim 1 cos x lim sin x 1 .
x0 3x2
x0 6x 6
(由重要极限 lim sin x 1 ) x0 x
(2)【答案】 2x y 4 0
【解析】所求平面的法向量 n 为平行于所给曲面在点 (1,2,0) 处法线方向的方向向量 l ,
()
(2)
二元函数
f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处两个偏导数
f
x
(
x0
,
y0
)
、
f
y
(
x0
,
y0
)
存在是
f (x, y) 在
该点连续的 (A) 充分条件但非必要条件 (C) 充分必要 既非充分条件又非必要条件
(3) 设常数 0 ,且级数 an2 收敛,则级数 (1)n
n1
n1
| an | n2
()
(A) 发散 (C) 绝对收敛
(B) 条件收敛
(D) 收敛性与 有关
(4)
lim
x0
a tan x b(1 cos x) c ln(1 2x) d (1 ex2
)
2
,其中 a2
c2
0 ,则必有
()
(A) b 4d (C) a 4c
(B) b 4d (D) a 4c
取 n l ,又平面过已知点 M (1,2,0) .
二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
(1) 设 M
2 2
sin x 1 x2
cos4
xdx
,
N
2
(sin3
x
cos4
x)dx
,
P
2
2
(
x2
sin3
x
cos4
x)dx
,
2
则
(A) N P M (C) N M P
(B) M P N (D) P M N
十一、(本题满分 6 分)
已知随机变量 ( X ,Y ) 服从二维正态分布,且 X 和Y 分别服从正态分布 N (1, 32 ) 和
N (0, 42 ) ,
X
与Y
的相关系数 XY
1 ,设 Z 2
X 3
Y 2
,
(1) 求 Z 的数学期望 E(Z ) 和方差 D(Z ) ；
(2) 求 X 与 Z 的相关系数 XZ ； (3) 问 X 与 Z 是否相互独立？为什么？
k1(0,1,10) k2 (1, 2, 2,1) .
(1) 求线性方程组 () 的基础解系；
(2) 问线性方程组 () 和 () 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没
有,则说明理由.
九、(本题满分 6 分)
设 A 为 n 阶非零方阵, A* 是 A 的伴随矩阵, AT 是 A 的转置矩阵,当 A* AT 时,证明 | A | 0 .
[xy(x y) f (x) y]dx [ f (x) x2 y]dy 0 为一全微分方程,求 f (x) 及此全微分方程的
通解.
六、(本题满分 8 分)
设 f (x) 在点 x 0 的某一领域内具有二阶连续导数,且 lim f (x) 0 ,证明级数 x0 x
1
f ( ) 绝对收敛. n1 n
1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
1
(1)【答案】
6
【解析】原式变形后为“ 0 ”型的极限未定式,又分子分母在点 0 处导数都存在,所以连 0
续应用两次洛必达法则,有
原式 lim cos x(x sin x) lim cos x lim x sin x
三、(本题共 3 小题, 每小题 5 分,满分 15 分.)
x cos(t2 ),
(1)
设
y
t
cos(t
2
)
1 t 2 cos udu,
12u
求 dy 、 d 2 y 在 t dx dx2
的值.
2
(2) 将函数 f (x) 1 ln 1 x 1 arctan x x 展开成 x 的幂级数. 4 1 x 2
(3) 设 u ex sin x ,则 2u 在点 (2, 1 ) 处的值为_____________.
y xy
(4)
设区域 D 为 x2
y2
R2 ,则
D
x2 (a2
y2 b2 )dxdy
_____________.
(5) 已知 (1, 2, 3), (1, 1 , 1) ,设 A T ,其中 T 是 的转置,则 An _________. 23
十、填空题(本题共 2 小题, 每小题 3 分,满分 6 分.)
(1) 已知 A 、 B 两个事件满足条件 P( AB) P( AB) ,且 P( A) p ,则 P(B) __________. (2) 设相互独立的两个随机变量 X 、Y 具有同一分布律,且 X 的分布律为
X
0
1
1
1
P
2
2
则随机变量 Z maxX ,Y 的分布律为_______.
七、(本题满分 6 分)
已知点 A 与 B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段 AB 绕 z 轴旋转一周所围成 的旋转曲面为 S .求由 S 及两平面 z 0, z 1所围成的立体体积.
八、(本题满分 8 分)
设四元线性齐次方程组
()
为
x1
x2
x2 x4
0, 0,
又已知某线性齐次方程组 () 的通解为
1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
(1) lim cot x( 1 1 ) _____________.
x0
sin x x
(2) 曲面 z ez 2xy 3 在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.
dx
(3) 求
.
sin 2x 2sin x
四、(本题满分 6 分)
计算曲面积分 xdydz z2dxdy ,其中 S 是由曲面 x2 y2 R2 及两平面 z R, S x2 y2 z2 z R(R 0) 所围成立体表面的外侧.
五、(本题满分 9 分)
设 f (x) 具有二阶连续导数, f (0) 0, f (0) 1 ,且