数值分析1-1-0
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数值分析实验报告2
实验报告实验项目名称函数逼近与快速傅里叶变换实验室数学实验室所属课程名称数值逼近实验类型算法设计实验日期班级学号姓名成绩512*x^10 - 1280*x^8 + 1120*x^6 - 400*x^4 + 50*x^2 - 1并得到Figure，图像如下：实验二：编写程序实现[-1,1]上n阶勒让德多项式，并作画（n=0,1，…，10 在一个figure中）。
要求：输入Legendre(-1,1,n)，输出如a n x n+a n-1x n-1+…多项式。
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现勒让德多项式的程序代码如下：function Pn=Legendre(n,x)syms x;if n==0Pn=1;else if n==1Pn=x;else Pn=expand((2*n-1)*x*Legendre(n-1)-(n-1)*Legendre(n-2))/(n);endx=[-1:0.1:1];A=sym2poly(Pn);yn=polyval(A,x);plot (x,yn,'-o');hold onend在command Windows中输入命令：Legendre（10），得出的结果为：Legendre(10)ans =(46189*x^10)/256 - (109395*x^8)/256 + (45045*x^6)/128 - (15015*x^4)/128 + (3465*x^2)/256 - 63/256并得到Figure，图像如下：实验三：利用切比雪夫零点做拉格朗日插值，并与以前拉格朗日插值结果比较。
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现拉格朗日插值多项式的程序代码如下：function [C,D]=lagr1(X,Y)n=length(X);D=zeros(n,n);D(:,1)=Y';for j=2:nfor k=j:nD(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));endendC=D(n,n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k)));m=length(C);C(m)= C(m)+D(k,k);end在command Windows 中输入如下命令：clear,clf,hold on;k=0:10;X=cos(((21-2*k)*pi)./22); %这是切比雪夫的零点Y=1./(1+25*X.^2);[C,D]=lagr1(X,Y);x=-1:0.01:1;y=polyval(C,x);plot(x,y,X,Y,'.');grid on;xp=-1:0.01:1;z=1./(1+25*xp.^2);plot(xp,z,'r')得到Figure ，图像如下所示：比较后发现，使用切比雪夫零点做拉格朗日插值不会发生龙格现象。
数值分析第一章PPT
1.1.2 计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析 数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学 科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数 值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天， 需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计 算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
数值分析1-误差及有效数字
（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=
1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1
1
0
x n-1dx
x n
n
1
0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
数值分析
第一章 数值分析与科学计算引论1,1 数值分析的对象、作用与特点用计算机求解科学技术问题通常经历一下步骤： (1).根据实际问题建立数学模型。
(2).由数学模型给出数值计算方法。
(3).根据计算方法编制算法程序（数学软件）在计算机上算出结果。
数值分析的特点：第一， 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。
第二， 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要进行误差分析。
第三， 要有好的计算复杂性。
第四， 要有数值实验。
1.2 数值计算的误差1.数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。
2.用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。
3.设x 为准确值，*x 为x 的一个近似值，称x x e -=**为近似值的绝对误差，简称误差。
4.*e 的绝对值不超过*ε，*ε叫做近似值的误差限。
5.误差*e 与准确值x 得比值xx x x e -=**称为近似值*x 的相对误差，记作*r e 。
6.相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，记作*r ε，即***xrεε=。
7.若近似值*x 的误差限是某一单位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说*x 有n 位有效数字。
它可表示为)1010(10)1(121*---⨯++⨯+⨯±=n n m a a a x ，其中),,2,1(n i a i =是0到9中的一个数字，m a ,01≠为整数，且1*1021+-⨯≤-n m x x 。
8.设近似数*x 表示为)1010(10)1(121*---⨯++⨯+⨯±=n n m a a a x ，其中),,2,1(n i a i =是0到9中的一个数字，m a ,01≠为整数。
若*x 具有n 为有效数字，则其相对误差限)1(1*1021--⨯≤n r a ε；反之，若*x 的相对误差限)1(1*10221--⨯+≤n r a ε，则*x 至少具有n 为有效数字。
数值分析课件1
提出数值问题
数值问题是指有限个输入数据（问题 的自变量、原始数据）与有限个输出数据 （待求解数据）之间函数关系的一个明确 无歧义的描述。这正是数值分析所研究的 对象。
数值问题举例
dy = x +y2 dx y ( 0) = y 0 x ∈ [0, 1]
是用一阶常微分方程初值问题表示的 数学模型，要求无穷多个输出，因而它不是 数值问题 。但当我们要求出有限个点处函 数值的近似值时，便成为一数值问题。
设计高效可靠的算法
计算方法的任务之一就是提供求得数值问 题近似解的方法—算法。
算法：指把对数学问题的解法归结为只有 加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序 的完整而准确的描述。
算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收 敛性、稳定性、误差估计等几个方面。这些是
数值分析研究的第二个任务。
一个算法在保证可靠的大前提下再评价其 优劣才是有价值的。 算法的优劣评价：可靠算法的优劣，应该考 虑其时间复杂度（计算机运行时间）、空间 复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及 逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护 ）。这是数值分析研究的第三个任务。
e − e = (e − en ) + (en − e)
* *
二、误差的度量
1) 2) 3) 4)
绝对误差 相对误差 有效数字 各种度量之间的关系
1. 绝对误差
绝对误差定义：近似值减准确值
* ∆
x − x= e( x * ) * * e ( x ) 在不引起混淆时， 简记 为 e 。
• 绝对误差限：
位有效数字。如 A = sin 29 20′ = 0.4900 设其近似值a=0.484，其相对误差为：
0.4900 − 0.484 1 = 0.012397 < 0.0125 = × 101− 2 0.484 2× 4
数值分析课件 第一章 绪论
1 e 0 1 x n e 0 d I n x 1 e 0 1 x n e 1 d x e 1 1 ( ) I n n n 1 1
公式一：I n 1 e [ x n e x 1 0 n 0 1 x n 1 e x d x ] 1 n I n 1
I01 e 01exdx11 e0.63212 记为0I5 0* 6 此公式精确成
初始的小扰动 |E 0|0.51 0 8迅速积累，误差呈递增趋势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n 1 I n 1 n 1 ( 1 I n )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注 意在e此理(N 公论1 式上1)与等公价IN 式。一N 1 1
)
0 .0 6 6 8 7 0 2 2 0
I
12
1 (1 13
I
13
)
0 .0 7 1 7 7 9 2 1 4
I
11
1 (1 12
I
12
)
0 .0 7 7 3 5 1 7 3 2
I
10
1 11
(1
I
11
)
0 .0 8 3 8 7 7 1 1 5
I
1
1 2
(1
I
2
)
0 .3 6 7 8 7 9 4 4
0
2! 3! 4!
11/1e111 e1 x 2d1x11 1 3 2! 50 3! 7 4! 9
取 01ex2dxS4 ,
S4
R4 /* Remainder */
则 R 44 1 !1 9 由 留5 1 !下1 部1 分1 称为截断误差 /* Truncation Error */
数值分析-第一章全部
如果一个近似值是由精确值经四舍五入得 到的，那么，从这个近似值的末尾数向前数 起直到再无非零数字止，所数到的数字均为 有效数字
一般来说，绝对误差与小数位数有关， 相对误差与有效数字位数有关
定理 1.7
E
2 1.4142
就是舍入误差。
1.41421351.4142 0.0000135
模型和观测两种误差不在本课程的讨论范围 这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截 断误差将结合具体算法讨论
分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差
研究计算结果的误差是否满足精度要求就是： 误差估计问题
x2
x2
x 2
截 断 误 差
0 1
3. 观测误差 初始数据大多数是由观测而得到的。由于观 测手段的限制，得到的数据必然有误差 4. 舍入误差 以计算机为工具进行数值运算时，由于计算 机的字长有限，原始数据在计算机上的表示往往会有误差，在 计算过程中也可能产生误差 产生的误差 例如， 用1.4142近似代替 2 ，
a 10 k 0. a1a2 an
（1-14）
其中 ai(i=1,2,…,n)是0到9中的 可以是有限或无限小数形式， 一个数字，a1 0, k为整数，n为正整数，如果其绝对误差界
1 x a 10 k n 2
则称a为x的具有n位有效数字的近似值。
（1-15）
有 对于 e 2.71828182，下面的各个值的有效数字的位数。 效 1 取 a 2.718 10 0.2718，其绝对误差界为 数 1 3 k n 3 n 4, 10 ， 字 e a 0.0003 2 位 a 是 e 的具有4位有效字的近似值。 数 1 与 取 a1 2.7182 10 0.27182 , 其绝对误差界为 小 1 3 10 ， e a1 0.00009 数 2 点 故 a1是 e 的具有4位有效数字的近似值。 的 取 a 0.02718 10 1 0.2718 作为 x 0.0271828182 位 的近似值， 1 臵 x a 0.000002 10 5 k n 5 n 4 。 2 无 也具有4位有效数字。 关
数值分析1.1
3. 数值分析的特点 (1)面向计算机，要根据计算机特点 设计切实可行的有效算法. (2) 有可靠的理论分析，能任意逼 近并达到精度要求，对近似计算 要保证收敛性和数值稳定性.
(3) 要有好的计算复杂性，时间复 杂性好是指节省时间，空间复杂 性好是指节省存贮量，这也是建 立算法要研究的问题. (4) 要有数值试验，即任何一个算 法除了从理论上要满足上述三点 外，还要通过数值试验证明是行 之有效的.
2.0001-1.9999
=0.0002 =0.02%
但对应的解为
x1 1 x2 1
x1 3 x 2 1
由此看出系数矩阵完全相同，而常数项矩 阵有微小差别的方程组，其解竟然相差得 很大！ 解的最大误差= 2 = 200%
据说，美军 1910 年的一次部队的命令传递是这样的: 营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个 地区看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。命令所有士兵着 野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下 雨的话，就在礼堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。 值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场 上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂， 这一罕见的现象将在那里出现。 连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身 穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命 令，这种命令每隔76年才会出现一次。 排长对班长: 明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这 是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野 战服到操场上去。 班长对士兵: 在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将在 营长的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场 前往礼堂。
数值分析实验报告1
end
p
得到m=(00)T
即M0=0 ;M1=;M2=;M3=;M4=0
则根据三次样条函数定义，可得：
S(x)=
接着，在Command Window里输入画图的程序代码，
下面是画牛顿插值以及三次样条插值图形的程序：
x=[ ];
y=[ ];
plot(x,y)
hold on
for i=1:1:5
y(i)= *(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)
Pn=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+ f[x0,x1,x2](x-x0) (x-x1)+···+ f[x0,x1，···xn](x-x0) ···(x-xn-1)
我们要知道牛顿插值多项式的系数，即均差表中得部分均差。
在MATLAB的Editor中输入程序代码，计算牛顿插值中多项式系数的程序如下：
【实验原理】
《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，包括：牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的相应算法和相关性质。
【实验环境】（使用的软硬件）
软件：
MATLAB 2012a
硬件：
电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A笔记本电脑
操作系统：Windows 8 专业版
处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 @
实验内容：
【实验方案设计】
第一步，将书上关于三种插值方法的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值求解不同的问题。
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。
p
得到m=(00)T
即M0=0 ;M1=;M2=;M3=;M4=0
则根据三次样条函数定义，可得：
S(x)=
接着，在Command Window里输入画图的程序代码，
下面是画牛顿插值以及三次样条插值图形的程序：
x=[ ];
y=[ ];
plot(x,y)
hold on
for i=1:1:5
y(i)= *(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)
Pn=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+ f[x0,x1,x2](x-x0) (x-x1)+···+ f[x0,x1，···xn](x-x0) ···(x-xn-1)
我们要知道牛顿插值多项式的系数，即均差表中得部分均差。
在MATLAB的Editor中输入程序代码，计算牛顿插值中多项式系数的程序如下：
【实验原理】
《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，包括：牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的相应算法和相关性质。
【实验环境】（使用的软硬件）
软件：
MATLAB 2012a
硬件：
电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A笔记本电脑
操作系统：Windows 8 专业版
处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 @
实验内容：
【实验方案设计】
第一步，将书上关于三种插值方法的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值求解不同的问题。
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。
数值分析讲义
由于除数很小,将导致商很大,有可能出现“溢出”现 象另外. ,设x* ,y* 的近似值分别为x,y，则z=x÷y是z*=x*÷y*
的近似值.此时，z的绝对误差满足估计式
e(z) z* z (x* x) y x( y y* ) y e(x) x e( y)
yy*
y2
可见,若除数太小,则可能导致商的绝对误差很大。
n k, k 1,...2,1
类似地可得
Ik
I
* k
(1) nk
k!( n!
I
n
I
* n
)
,
k n, n 1,...,1,0
可见，近似误差Ik-I*k是可控制的，算法是数值稳定的。
例如，由于
e 1 10
01 x9e1dx
I9
01 x9dx
1 10
取近似值 I9
1 (e1 1 ) 0.0684 2 10 10
§3 绝对误差、相对误差和有效数字
设x是精确值x*的一个近似值，记 e=x*-x
称e为近似值x的绝对误差，简称误差。如果满足 |e|≤
则称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。 精确值x* 、近似值x和误差限之间满足： x-≤x*≤x+
通常记为 x*=x±
绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如
随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算 物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等 各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数 值分析方法。
§2 误差的来源和分类
误 1.差模是型描误述差数值数计学算模之型中通近常似是值由的实精际确问程题度抽，象在得数到值的， 计一般算带中有十误分差重，要这，种误误差差按称来为源模可型分误为差模。型误差、观测误差、 截断误2.差观和测舍误入差误差数四学种模。型中包含的一些物理参数通常是 通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观 测误差。
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6
一、计算物理概述
2、已取得的重大成果 （1）天体力学的三体问题：解方程组 （2）核反应堆的设计运行：中子的输运 （3）受控热核反应：带电粒子在磁场中的运动
7
一、计算物理概述
3、计算物理在物理学研究中的应用 （1）计算机数值处理 ； （2）计算机符号运算；
（3）计算机模拟 ；
（4）计算机实时控制
5
一、计算物理概述
1、起源：
尽管当今著名流行软件如Maple、Matlab、 Mathematica等已将传统的计算方法中绝大多数内 容设计成了函数，简单调用之后便可以得到运行 结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性， 以及 算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设 计适合于自己特定问题的算法，因而掌握计算物 理方法的思想和内容是至关重要的。
* k
且
| e || x x | 0.5 10
*
*
mn
则便说 近似值 x 具有 n 位有效数字
24
三、有效数字
例3.
求下列四舍五入近似值的有效数字个数.
x 3587.64 0.358764 10
*
4
1 1 2 若 x x 10 10 46 2 2 * 则 x 3587.64具有6位有效数字.
计算物理
湖北大学 物理学与电子技术学院
1
绪 论
一、计算物理概述 计算物理是随着电子计算机的出现而发展 起来的一门新兴的边缘学科。 它也是以计算机及计算机技术为工具和手段， 运用计算科学所提供的各种方法,解决复杂物理 问题的一门应用学科。 计算物理是物理、数学、计算机三体的结合。
2
一、计算物理概述
x 3 x 5 x7 sin x x 3! 5! 7! x2 x3 x4 ln(1 x) x 2! 3! 4! 若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 15 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差
一、误差的种类及来源
4.舍入误差 因计算机受到机器字长的限制,它所能表示 的数据只能有一定的有限位数,如按四舍 五入规则取有限位数,由此引起的误差
1 a 1 a
0.01581
结果有4位效数字
29
四、选用及设计算法时,应注意以下原则
4. 提高算法效率问题 (1) 尽量减少运算次数
对多项式 p( x ) an x n an 1 x n 1 a1 x a0
直接逐项求和计算,有: 1 1 2 n n(n 1 )次乘法,n次加法 2
27
四、选用及设计算法时,应注意以下原则
3. 作减法时应避免相近数相减 两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失
由于
1 cos 0.01 4.999958 10 5 2 x 1 cos x 2 sin 2 5 2 0.01 4.999958333 10 2 sin 2
为近似值x*的 相对误差限
19
二、误差和误差限
相对误差限
r
e( x * ) x * x * er ( x* ) * x x*
|x|
绝对误差限 往往未知 代替相对误差 代替相对误差限
* r
|x |
*
*
因此
x 15 ( x ) 2
*
y * 1000
( y* ) 5
3.14159265
2 1.414213562
1 1 0.166666666 3! 6
3.1415927
2 1.4142136
1 0.16666667 3!
16
一、误差的种类及来源
数值计算中误差都是难以避免的.数学模型一旦建立, 进入具体计算时所考虑和分析的就是 截断误差和舍入误差 经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得惊人, 因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象.
2.观测误差 在建模和具体运算过程中所用的数据往 往是通过观察和测量得到的,由于精度的 限制,这些数据一般是近似的,即有误差
14
一、误差的种类及来源
3.截断误差 由于用计算机只能作有限次算术运算和逻 辑运算,因此要将有些需用极限或无穷过程 进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这 就带来误差. x2 x3 如: Taylor展开 ex 1 x 2! 3!
4
(大数 4 0.1234 将小数吃了 10 )
而如果将小数放在前面计算
0.4987 0.4896 0.4697 0.4012 10 0.1234
4
10 4 0.1236
在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加, 如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法.
设a 10 , k 10, c a, 则 (a k ) c 0
12
但 (a c) k 10
26
四、选用及设计算法时,应注意以下原则
2. 防止大数“吃掉”小数保护重要的物理参数 （2）假如作一个有效数字为4位的连加运算：
10 4 0.1234 0.4987 0.4896 0.4697 0.4012 10 0.1234
*
8位有效数字
23
3.1415
*
0.000092
0.5 103 4位有效数字
三、有效数字
2.有效数字与误差限关系
x的近似值x*的下列形式称为规格化形式：
x 0.a1a2 an 10
*
m
a1 0
如果 x 0.a1a2 an 10 是对x的第n 1位数 四舍五入得到的近似值,
y 1000
哪个更精确? 3.相对误差
( y ) 5
*
设x为准确值,x 为x的一个近似值,称
*
relative e( x * ) x * x * er ( x ) error x x 可简记为er . 为近似值x*的相对误差, x* x 4.相对误差限 * * er ( x ) r (x ) r x
使用秦九韶算法
p( x) ((( an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
2 (x ) 13.33% 15 5 * * r ( y ) 0.5% 1000 20
* r *
二、误差和误差限
例1. 若π 经四舍五入取小数点后3,5,7位数的近似值, 求绝对误差限ε.
3.141 592 65 | * | 解:
3.142
11
四、要求和教学安排
1. 平时成绩占40%(包括考勤和作业) 期末笔试占60%.
2. 作业要求:
（1）专业、姓名、学号
（2）题目、所采用方法及公式
（3）程序流程图
（4）程序清单及运行结果
12
第一章 误差
本章要点: 绝对误差(限)和相对误差(限) 有效数字位数及其与误差的关系 选用和设计计算法时应注意的问题
在算法设计中,若可能出现两个相近数相减,则改变 计算公式,如使用三角变换、有理化等等
28
四、选用及设计算法时,应注意以下原则
3. 作减法时应避免相近数相减 如：
x a 1 a , a 1000
31.64 31.62 0.02
结果只有1位效数字 若使： x a 1 a
5.误差限的传播与估计 和、差的 (绝对 )误差限等于各数的(绝对 )误 差限之和; 积、（商）的相对误差限等于各数的相对 误 差限之和（差）。
22
三、有效数字
1、定义： x* 作为x的近似值,其绝对误差的绝对值不 若
超过某一位数字的半个单位,而该位数字到 x 的第 一位非零数字共有n位,则称用x* 近似x时具有n位 * 有效数字,简称x 有n位有效数字.
8
一、计算物理概述
计算物理是计算机在自然科学的应用中发 展较早的学科之一。虽然它的研究对象是物理 学，但是它的研究方法可以推广到其他自然科 学领域，甚至包括社会科学、思维科学、决策 和管理科学等社会科学领域。计算物理学研究 的一些特点和优点，甚至它的一些研究成果都 可以去支持这些领域的工作。毫无疑问，它的 发展对自然科学和社会科学领域的计算机应用 研究起着极大的推动作用。
一、计算物理概述
1、起源：
• 计算物理的物质基础是计算机； • 计算物理的关键技术是“计算方法”和 “程序设计”; • 计算物理发展的原始动力是美国核武器研 制的刺激。
4
一、计算物理概述
1、起源：
作为一门课程“计算物理”始于20世纪80年 代初美国哈佛大学等校，80年代中期我国许多院 校纷纷开设了此课。 1998年教育部物理学与天文学教学指导委员 会建议将“计算物理”作为物理类研究生基础课之 一。1999 年重申这个建议。2004 年建议将“计算 物理基础”设为物理类本科必修课。 科学计算能力是信息时代物理系学生必备素 质之一，开设计算物理课程势在必行，搞好科学 计算教育刻不容缓。
0.9 0.4783 7 1 1
7
0.915 0.20689 115 1
1.17 1.94872
1.115 4.17725
13
第一章 误差
一、误差的种类及来源
1.模型误差
在建立数学模型过程中,要将复杂的现 象抽象归结为数学模型,往往要忽略一 些次要因素的影响,而对问题作一些简 化,因此和实际问题有一定的区别.
9
二、计算物理处理问题的特点
1.理论
2.实验
方程
数据
计算物理 计算物理
结论 结果
理论分析 实验检验
3.采用的方法: 传统的计算方法 + 赋有特色的新方法 4.思想: 离散化; 线性化; 微分方程 代数方程.