数据结构 期末习题3

习题
7.1 选择题
1、在一个图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的（B）倍。

A、1
B、2
C、3
D、4
2、对于有n个顶点和e条边的有向图和无向图，若采用边集数组表示，则存于数组的边数为（D）条。

A、n ，n
B、n，e
C、2n，2e
D、e，e
3、对用邻接矩阵表示的图进行任一种遍历时，其时间复杂度为（A）。

A、O（n2）
B、O（e）
C、O（n）
D、O（n+e）
4、n个顶点的强连通图至少有（ A ）边。

A、n
B、n-1
C、n+1
D、n (n-1)
5、在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的（B）倍；在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点出度之和的（C）倍。

A、1/2
B、2
C、1
D、4
7.2 填空题
1、设无向图G的顶点数为n，图G最少有（0）边；最多有（n(n-1)/2）条边。

若G为有向图，则图G最少有（0）边，最多有（n(n-1)）边。

具有n个顶点的无向完全图，边的总数为（n(n-1)/2）；而具有n个项点的有向完全图，边的总数为（n(n-1)）。

2、在一个图G的邻接表表示中，每个顶点的邻接表中所含的结点数，对于有向图而言等于该顶点的（出度）；而对于无向图而言等于该顶点的（度）。

3、采用邻接表存储的图的深度优先遍历算法类似于二叉树的（先根）遍历；广度优先遍历算法类似于二叉树的（按层）遍历。

4、一个具有n个顶点的无向图中，要连通全部顶点至少需要（n-1）条边；若是有向图，至少需要（n）条边。

5、在无向图G的邻接矩阵A中，若A[i][j]=1，则A[j][i]=（1）。

7.3 应用题
1、对于下面所示的图（a）和（b），求出：
（a）（b）
图7-20
（1）每一个图的二元组表示，对于带权图，可将边的权写在该边的后面；
答：（a）图Ga=(V,E)
V={0,1,2,3,4}
E={(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(2,1),(2,3),(3,4)}
（b）图Gb=(V,E)
V={0,1,2,3,4}
E={<0,1>,<0,3>,<1,0>,<2,0>,<2,1>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}
（2）在（a ）中的每个顶点的度，以及每个顶点的所有邻接点和所有边； 答： 0：度为4；邻接点1，2，3，4；边(0,1),(0,2),(0,3),(0,4)
1：度为2；邻接点0，2；边(0,1),(1,2)
2：度为3；邻接点0，1，3；边(0,2),(1,2) ,(3,2) 3：度为3；邻接点0，2，4；边(0,3),(3,2) ,(3,4) 4：度为2；邻接点0，3；边(0,4),(3,4)
（3）在（b ）中的每个顶点的入度、出度和度，以及每个顶点的所有入边和出边； 答： 0：入度2；出度2；度4；入边<1,0>,<2,0>；出边<0,1>,<0,3>
1：入度2；出度1；度3；入边<0,1>,<2,1>；出边<1,0>
2：入度0；出度4；度4；入边无；出边<2,0>,<2,1>,<2,3>,<2,4> 3：入度2；出度1；度3；入边<0,3>,<2,3>；出边<3,4> 4：入度2；出度0；度2；入边<2,4>,<3,4>；出边无 （4）在（a ）中从0到4的所有简单路径及相应路径长度； 答：（04）1，（034）2，（0234）3，（01234）4
（5）在（b ）中从0到4的所有简单路径及相应的带权路径长度； 答：（034）2
2、如图所示有向图，采用dijkstra 算法求出从顶点0到其它顶点的最短路径，并说明整个计算过程。

图7-21
解：
（1）选<0,1>4 （2）选<1,2>1
（3）选<2,5>4 （4）选<0,3>6
（5）选<1,4>7 （6）选<5,6>8或选<4,6>6
3、写出上图的一种拓扑序列，若在它的邻接表存储结构中，每个顶点邻接表中的边结点都是按照终点序号从大到小链接的，则按此给出惟一一种拓扑序列。

解：任意的拓扑序列为：0312456 惟一拓扑序列为：0132456
4、对图7-20中所示图分别写出深度优先遍历和广度优先遍历的项点序列。

如果确定图以邻接矩阵存储，则得到的遍历顶点序列是什么？
解：深度优先遍历：（a）01234 02341 （b）01342 03412
广度优先遍历：（a）01234 04321 （b）01342 03142
邻接矩阵存储时：
深度优先遍历：（a）01234 （b）01342
广度优先遍历：（a）01234 （b）01342
5、对图7-21中所示图分别用克鲁斯卡尔算法和普里姆算法（从顶点2开始）求出其最小生成树。

解：用克鲁斯卡尔算法
（2）选(2,3)2，无需修改（3）选(1,0)4，无需修改
（6）选(4,6)6，结束
7.4 算法题（不做要求）
1、在邻接表的存储结构上，实现图的深度优先搜索和广度优先搜索。

2、假定图采用邻接矩阵表示，编写出进行深度优先搜索遍历的非递归算法。

3、根据下图，编写一个完整的程序实现下列功能：
（1）建立图的邻接表； （2）输出图的拓扑序列。

4、编写一个判别以邻接表方式存储的有向图G 中是否存在由顶点v i 到顶点v j 的路径的算法。

5、设计一个求出无向图的连通分量个数的算法。