全国卷全国卷导数合集(试题)(2020年整理).pptx
理科数学全国卷1(2020年整理).pptx
2
4
4
y=f(x)图像的对称轴，且 f(x)在 1π8，356π单调，则 ω 的最大值为
（A）11
（B）9
（C）7
（D）5
【参考答案】B【解析】因为
x=
π 4
为
f(x)的零点，所以
πω 4
φ
k
1π
，因为
x
π 4
为
y=f(x)图像的对称轴，所以
π 4
ω
φ
2k21
π ，两式作差，可得ω 2
2k
2 k
11
（13）设向量 a (m,1) ， b (1,2) ，且，则 m
学海无 涯
2
2
2
【参考答案】﹣2【解析】 a b 1 m2 9 ， a b m2 11 4
所以可解得 m=﹣2
（14） (2x x )5 的展开式中， x3 的系数是
（用数字填写答案）
【参考答案】10【解析】二项展开式Tk 1
线 m∥直线 BD ，直线 n∥直线 A1B，做辅助线 A1D，可构成正方体 ABCD﹣
A1B1C1D1 中的一个等边 ΔA1BD，所以 m，n 成角为 600，所以sin 600
3 2
（12）已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω﹥0，|φ|≤ π )，x= π 为 f(x)的零点， x π 为
2
2
2
1
执行第二步：x2=0，y2=1，n2=2， x3 x2
n2 1 1 ， 22
y3 n2y2 2
判断 x2 y2 36？（否），n n 1 3
3
3
3
2
执行第三步：x3= 1 2
，y3=2，n3=3， x4
(2020年整理)全国卷全国卷导数合集(试题).doc
（一） 导数的极最值问题1.(XXXX 新课标Ⅱ）设函数2()mx f x e x mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；(Ⅱ)若对于任意1x ，2x [1,1]∈-，都有12|()()|f x f x -1e -≤，求m 的取值范围．2.（XXXX 新课标Ⅰ）设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线斜率为0．（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01,x ≥使得()01a f x a <-，求a 的取值范围．3.（XXXX 新课标Ⅰ）已知函数，曲线()y f x =在点处切线方程为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值．2()()4x f x e ax b x x =+--(0,(0))f 44y x =+,a b ()f x ()f x4.（XXXX 新课标Ⅱ）已知函数．（Ⅰ）求的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线()y f x =的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围．5.（XXXX 新课标2）已知函数()ln (1)f x x a x =+-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围．（二） 导数的恒成立问题1.(XXXX 全国卷Ⅲ)已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-．(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； 2()x f x x e-=()f x l l x(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a ．2. （XXXX 新课标）设函数()2x f x e ax =--．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值．3.（XXXX 新课标）已知函数ln ()1a x b f x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-．4. （XXXX 新课标）设函数2()(1)x f x x e ax =--．（Ⅰ）若12a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．。
2020年高考数学(理)真题与模拟题分类训练 专题03 导数及其应用(学生版)
专题03 导数及其应用1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+2．【2020年高考全国III 卷理数】若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为 A ．y =2x +1 B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +123．【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________．4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2()e x f x ax x =+-.(1)当a =1时，讨论f (x )的单调性； (2)当x ≥0时，f (x )≥12x 3+1，求a 的取值范围. 5．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2() sin sin2f x x x =．(1)讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；(2)证明：()f x ≤； (3)设*n ∈N ，证明：2222sin sin 2sin 4sin 234nn nx x xx ≤．6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． (1)求B ．(2)若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．7．【2020年高考天津】已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数．(Ⅰ)当6k =时，(i)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (ii)求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； (Ⅰ)当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-． 8．【2020年高考北京】已知函数2()12f x x =-．(Ⅰ)求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；(Ⅰ)设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．9．【2020年高考浙江】已知12a <≤，函数()e x f x x a =--，其中e=2.71828…是自然对数的底数．(Ⅰ)证明：函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点； (Ⅰ)记x 0为函数()y f x =在(0,)+∞上的零点，证明：(Ⅰ)0x ≤≤；(Ⅰ)00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．10．【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米． (1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．.桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0)，问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？11．【2020年高考江苏】已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．(1)若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； (2)若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；(3)若()422342() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤．12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．(1)当e a =时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．1．【2020·湖北省高三其他(理)】已知函数()2sin()ln (0,1)6xf x a x x a a a π=+->≠，对任意1x ，2[0x ∈，1]，不等式21|()()|2f x f x a --恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．2[e ，)+∞ B ．[e ，)+∞ C ．(e ，2e ]D ．2(e,e )2．【2020·四川省南充高级中学高三月考(理)】已知P 是曲线1C ：e x y =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是 A ．ln 212- B ．ln 212+C ．2D ．3．【2020·河南省高三月考(理)】设函数()f x '是函数()()f x x ∈R 的导函数，当0x ≠时，()()30f x f x x'+<，则函数()()31g x f x x =-的零点个数为A ．3B ．2C ．1D ．04．【2019·河北省高三月考(理)】若函数()212ln 2f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是 A ．1a > B ．10a -<<C ．1a <D ．01a <<5．【黑龙江省2020届高三理科5月数学模拟试卷】已知定义域为R 的函数f (x )满足()11'4022f f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，，其中f ′(x )为f (x )的导函数，则不等式f (sin x )﹣cos2x ≥0的解集为 A ．2233k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，，B ．2266k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，，C ．22233k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，，D ．52266k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，，6．【2020届四川省宜宾市高三高考适应性考试(三诊)数学(理科)试题】已知函数()()2e 31xf x x x =-+，则关于x 的方程()()25e 0f x mf x +-=⎡⎤⎣⎦(m ∈R )的实根个数为 A ．3 B ．3 或4C ．4或 5D ．3或 57．【湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测(理)】已知π4ln3a =，π3ln 4b =，34ln πc =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．c b a << B ．b c a << C ．b a c <<D ．a b c <<8．【甘肃省天水市一中2020届高三第一次模拟考试(理)】设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2f x f x '+>，()02020f =，则不等式()e 2e 2018xxf x >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为A ．()0,+∞B ．()2018,+∞C ．()2020,+∞D ．()(),02018,-∞+∞9．【2020届山西省高三高考考前适应性测试数学(理)试题】已知函数()log xa x x f a-=+(其中0a >且1a ≠)有零点，则实数a 的最小值是______.10．【2020·湖北省高三其他(理)】函数()e x f x x =(其中e 2.71828=)的图象在(0,0)处的切线方程是_____．11．【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】函数ln y x =在1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线在y 轴上的截距为____________．12．【2019·天津市静海区大邱庄中学高三月考】已知11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有2个不同的实根，实数a 取值范围__________________.13．【2020·天津市武清区杨村第一中学高三开学考试】已知函数21()sin cos 2f x x x x ax =++，[,]x ∈-ππ (1)当0a =时，求()f x 的单调区间； (2)当0a >，讨论()f x 的零点个数；14．【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】已知函数()eln f x x ax =-，()22x g x x =-.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若存在直线()y h x =，使得对任意的()0,x ∈+∞，()()h x f x ≥，对任意的x ∈R ，()()g x h x ≥，求a 的取值范围.15．【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】设函数2()ln ,f x a x x ax a =++∈R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在极值，对于任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 16．【2020·南昌市八一中学高三三模(理)】已知函数()(1)ln(1)f x x x =++，2()cos 2x g x ax x x =+-.(1)当0x ≥时，总有2()2x f x mx +，求m 的最小值；(2)对于[]0,1中任意x 恒有()()f x g x ≤，求a 的取值范围.17．【2020·河北省衡水中学高三其他(理)】已知函数()2ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202ef x --<<.18．【2019·山东省实验中学高三月考】已知函数：()()21ln ,e 12x f x x a x a g x x =--=-- (I)当[]1,e x ∈时，求()f x 的最小值；(II)对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =，求实数a 的取值范围． 19．【2020·河北新乐市第一中学高三其他】设函数()2e e xf x ax x b =--+，其中e 为自然对数的底数．(1)若曲线()f x 在y 轴上的截距为1-，且在点1x =处的切线垂直于直线12y x =，求实数a ，b 的值； (2)记()f x 的导函数为()g x ，求()g x 在区间[]0,1上的最小值()h a ．20．【2020·山东省高三其他】已知函数()()ln f x a x b =+.(1)若1a =，0b =，求()f x 的最大值； (2)当0b >时，讨论()f x 极值点的个数.21．【2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模(理)】设函数()ln e xf x x x a =-，()p x kx =，其中a ∈R ，e 是自然对数的底数．(1)若()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，求a 的取值范围；(2)若()1()x lnx f x ϕ=+-′，(1)e ϕ=，函数()x ϕ与函数()p x 的图象交于()11,A x y ，()22,B x y ，且AB 线段的中点为()00,P x y ，证明：()()001x p y ϕ<<．22．【山东师范大学附属中学2020届高三年级学习质量评估考试数学试题】已知函数21()e ln (,ax f x x b x ax a b +=⋅--∈R ).(1 )若b =0，曲线f (x )在点(1, f (1)) 处的切线与直线y = 2x 平行,求a 的值; (2)若b =2，且函数f (x )的值域为[2,),+∞求a 的最小值.23．【2020届河南省开封市第五中学高三第四次教学质量检测数学(理)试卷】已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，()ln g x b x x =-的最大值为1e． (1)求实数b 的值；(2)当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；(3)当0a =时，令()()()22ln 2F x f x g x x =+++，是否存在区间[],(1m n ⊆，)+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域为()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．。
2020年全国卷1函数与导数压轴题一题多解,深度解析
全国卷1导数题一题多解，深度解析1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析已知函数2()e xf x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.。
2.2020年 全国卷1文科数学第20题的解析已知函数()(2)xf x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.。
3. 2020年新高考1卷（山东考卷）第21题已知函数1()eln ln x f x a x a -=-+（1）.当a=e 时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围城的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围。
1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析已知函数2()e xf x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.。
解析：（1） 单调性，常规题，a 已知，求一个特定函数f(x)的单调性。
若一次求导不见底，则可二次或多次清仓，即二次求导或多次求导，然后逐层返回。
通常二次求导的为多。
（2） 恒成立，提高题，在恒成立情况下，求参数的取值范围。
常常是把恒成立化成最值问题。
由于这里的a 只在一项中出现，故可以优先考虑分离参数法。
这里介绍了两种方法。
解：（1） 当a=1时， 2()e xf x x x =+-，定义域为R ，'()e 21x f x x =+-，易知f ’(x)是单调递增函数。
而f ’(0)=0，∴ 当x ∈（-∞，0），f ’(x)＜0 当x ∈（0,+∞），f ’(x)＞0∴当x ∈（-∞，0），f(x)单调递减；当x ∈（0,+∞），f(x)单调递增。
（2）解法一 ，分离参数法 当x ≥0时，31()12f x x ≥+ ，即231()e 12x f x ax x x =+≥+- 当x=0时，上式恒成立，此时a ∈R 。
2020年全国卷1函数与导数压轴题一题多解,深度解析
全国卷1导数题一题多解，深度解析1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析已知函数f(x) = e x +ax2-x.(1)当时，讨论/(x)的单调性：(2)当.总0时，.f(X)>yA J+l,求“的取值范囤.。
2. 2020年全国卷1文科数学第20题的解析已知函数f(x) = e x-a(x + 2)・(1)当“ =1时,讨论/(x)的单调性：(2)若/(x)有两个零点，求"的取值范围・。
3. 2020年新高考1卷(山东考卷)第21题已知函数f (%) = - In x + In a(1).当a=e时，求曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的切线与两坐标轴围城的三角形的面积;(2)若f(x) > 1,求a的取值范围。
1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析已知函数f(x) = e x +ax2-x.(1)当时，讨论/(x)的单调性：(2 )当XR时，./'(X)>y A J+1 ,求"的取值范围・。
解析：(1)单调性，常规题，a已知，求一个特左函数f(x)的单调性。
若一次求导不见底，则可二次或多次淸仓，即二次求导或多次求导，然后逐层返回。
通常二次求导的为多。
(2)怛成立，提髙题，在恒成立情况下，求参数的取值范囤。
常常是把恒成立化成最值问题。
由于这里的a只在一项中出现，故可以优先考虑分离参数法。
这里介绍了两种方法。
解：(1)当a=l 时，/(x) = c'+F_x,定义域为R,/'(x) = 7+2%-1,易知f，(x)是单调递增函数。
而f' (0)=0,.・.当xG (-8, 0), f，(x)V0当xW (O,+8), f (x)>0•当xW (-8, 0), f(x)单调递减：当xW (0,+8), f(x)单调递增。
2—.V+ JV +1 — K (A* — 2)(—x" + x +1 — 0*)令g(x)= --------- ；---- ，则gd)=—丄「 --------------------X X再令//(x) = -x2+x + l-，2到了这里发现，由(1)可得的e x+x2-x>\(x>0),不能引用。
全国五年高考真题导数及其应用 解析版
专题03 导数及其应用【2020年】1.（2020·新课标Ⅰ）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =+【答案】B 【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 2.（2020·新课标Ⅲ）若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12 C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D【解析】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +==， 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 【2019年】1．（2019·全国Ⅲ卷】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．2．（2019·天津卷）已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立， 令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.3．（2019浙江卷）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴0且，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b （a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．4．（2019·全国Ⅰ卷）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 5．（2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ .【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-得02x =02x =-∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=4=.故答案为4．6．（2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点()00,A x y ，则00ln y x =. 又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-， 即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增， 注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =，故点A 的坐标为()e,1.7．（2019·北京卷）设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0x xa -++=对任意的x 恒成立， 则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤， 即实数a 的取值范围是(],0-∞. 【2018年】1．（2018·全国Ⅰ卷）设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.故选D.2．（2018·全国Ⅱ卷）函数()2 e e xxf xx--=的图像大致为【答案】B【解析】()()()2e e0,,x xx f x f x f xx--≠-==-∴为奇函数，舍去A；()11e e0f-=->，∴舍去D；()()()()()243e e e e22e2e,x x x x x xx x x xf xx x---+---++=='2x∴>时，()0f x'>，()f x单调递增，舍去C.因此选B.3．（2018·全国Ⅲ卷）函数422y x x=-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得22x <-或202x <<，此时函数单调递增， 由()0f x '<得22(21)0x x ->，得22x >或202x -<<，此时函数单调递减，排除C.故选D.4．（2018·全国Ⅱ卷）曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 【答案】【解析】则所求的切线方程为.5．（2018·全国Ⅲ卷）曲线()1e xy ax =+在点()0,1处的切线的斜率为2-，则a =________． 【答案】-3【解析】()e 1e xxy a ax =++'，则0|12x y a ='=+=-，所以.6．（2018·全国Ⅰ卷）已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】【解析】，所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.7．（2018·江苏卷）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________． 【答案】–3【解析】由()2620f x x ax =-='得0x =或3a x =， 因为函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033a a f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 因此32210,33a a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得3a =.从而函数()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，所以()()max 0,f x f =()()(){}()min min 1,11f x f f f =-=-，则()()max min f x f x +=()()0+114 3.f f -=-=- 故答案为-3. 【2017年】1．（2017·全国Ⅲ卷）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e1eeee e x x x x x x g x ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 2．（2017·全国Ⅱ卷）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-， 因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-， 令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-.故选A ．3．（2017·浙江卷）函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．11．（2017·江苏卷）已知函数31()2e e x xf x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若(1)f a -+2(2)0f a ≤，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1[1,]2- 【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数， 因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅，所以函数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤， 解得112a -≤≤， 故实数a 的取值范围为1[1,]2-．12．（2017·山东卷）若函数e ()x f x （e 2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -= ②()3x f x -= ③3()f x x = ④2()2f x x =+ 【答案】①④ 【解析】①ee ()e 2()2x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②ee ()e 3()3x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； ③3e ()e x x f x x =⋅，令3()e x g x x =⋅，则322()e 3e e (3)x x xg x x x x x '=⋅+⋅=+，∴当3x >-时，()0g x '>，当3x <-时，()0g x '<，∴3e ()e x x f x x =⋅在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，故3()f x x =不具有M 性质；④2e ()e (2)x x f x x =+，令2()e (2)x g x x =+，则22()e (2)2e e [(1)1]0x x x g x x x x '=++=++>，则2e ()e (2)x x f x x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．【2016年】1. 【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x =（B ）ln y x = （C ）e x y = （D ）3y x =【答案】A【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos 0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =图象存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,x y x y y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A 。
导数及其应用选择题、填空题 高考真题
B． y x
C． y 2x
D． y x
【答案】D 【解析】因为函数 ( )是奇函数，所以 − 1 = 0，解得 = 1，所以 ( ) = 3 + ， '( ) = 3 2 +1， 所以 '(0) = 1, (0) = 0 ， 所以曲线 = ( )在点(0,0)处的切线方程为 − (0) = '(0) ，化简可得 = . 故选 D. 【名师点睛】该题考查的是有关曲线 = ( )在某个点( 0, ( 0))处的切线方程的问题， 在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不 存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得 '( )， 借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
【答案】4
【解析】由
y
x
4 (x x
0) ，得 y 1
4 x2
，
设斜率为 1的直线与曲线
y
x
4 x
(x
0)
切于 (x0 ,
x0
4 x0
)
，
由1
4 x02
1 得 x0
2 （ x0 2 舍去），
∴曲线 y x 4 (x 0) 上，点 P( 2, 3 2) 到直线 x y 0 的距离最小，最小值为 x
y＝f（x）﹣ax﹣b
在（﹣∞，0）
y f (x) ax b 恰有 3 个零点，则
A．a<–1，b<0
B．a<–1，b>0
上有一个零点，在[0，+∞）上有 2 个零点， 如图：
C．a>–1，b<0
D．a>–1，b>0
【答案】C
2020年高考数学导数题(含答案)
2020年高考数学导数题卷一理科 21.(12分)已知函数f (x )=e x +ax 2-x.(1)当a=1时,讨论f (x )的单调性;(2)当x ≥0时,f (x )≥12x 3+1,求a 的取值范围.21.解 (1)当a=1时,f (x )=e x +x 2-x ,f'(x )=e x +2x -1. 故当x ∈(-∞,0)时,f'(x )<0;当x ∈(0,+∞)时,f'(x )>0. 所以f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)f (x )≥12x 3+1等价于(12x 3-ax 2+x +1)e -x ≤1. 设函数g (x )=(12x 3-ax 2+x +1)e -x (x ≥0), 则g'(x )=- 12x 3-ax 2+x+1-32x 2+2ax -1e -x =-12x [x 2-(2a+3)x+4a+2]e -x =-12x (x -2a -1)(x -2)e -x .①若2a+1≤0,即a ≤-12,则当x ∈(0,2)时,g'(x )>0.所以g (x )在(0,2)单调递增,而g (0)=1, 故当x ∈(0,2)时,g (x )>1,不合题意.②若0<2a+1<2,即-12<a<12,则当x ∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时,g'(x )<0;当x ∈(2a+1,2)时,g'(x )>0.所以g (x )在(0,2a+1),(2,+∞)单调递减,在(2a+1,2)单调递增.由于g (0)=1,所以g (x )≤1当且仅当g (2)=(7-4a )e -2≤1,即a ≥7-e 24.所以当7-e 24≤a<12时,g (x )≤1. ③若2a+1≥2,即a ≥12,则g (x )≤12x 3+x+1e -x .由于0∈7-e 24,12,故由②可得(12x 3+x +1)e -x ≤1.故当a ≥12时,g (x )≤1. 综上,a的取值范围是[7-e 24,+∞).卷一文科15.曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .15.y=2x 设切点坐标为(x 0,y 0).对y=ln x+x+1求导可得y'=1x +1. 由题意得,1x 0+1=2,解得x 0=1,故y 0=ln 1+1+1=2,切线方程为y -2=2(x -1),即y=2x.20.(12分)已知函数f (x )=e x -a (x+2).(1)当a=1时,讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )有两个零点,求a 的取值范围.20.解 (1)当a=1时,f (x )=e x -x -2,则f'(x )=e x -1. 当x<0时,f'(x )<0;当x>0时,f'(x )>0.所以f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)f'(x )=e x -a.当a ≤0时,f'(x )>0,所以f (x )在(-∞,+∞)单调递增,故f (x )至多存在1个零点,不合题意. 当a>0时,由f'(x )=0可得x=ln a.当x ∈(-∞,ln a )时,f'(x )<0;当x ∈(ln a ,+∞)时f'(x )>0.所以f (x )在(-∞,ln a )单调递减,在(ln a ,+∞)单调递增,故当x=ln a 时,f (x )取得最小值,最小值为f (ln a )=-a (1+ln a ).①若0<a ≤1e ,则f (ln a )≥0,f (x )在(-∞,+∞)至多存在1个零点,不合题意. ②若a>1e ,则f (ln a )<0.由于f (-2)=e -2>0,所以f (x )在(-∞,ln a )存在唯一零点. 由(1)知,当x>2时,e x -x -2>0, 所以当x>4且x>2ln(2a )时,f (x )=e x2·e x2-a (x+2)>e ln(2a )·(x2+2)-a (x+2)=2a>0. 故f (x )在(ln a ,+∞)存在唯一零点. 从而f (x )在(-∞,+∞)有两个零点. 综上,a 的取值范围是(1e ,+∞).卷二理科 21.(12分)已知函数f (x )=sin 2x sin 2x.(1)讨论f (x )在区间(0,π)的单调性; (2)证明:|f (x )|≤3√38; (3)设n ∈N*,证明:sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤3n4n.21.(1)解 f'(x )=cos x (sin x sin 2x )+sin x (sin x sin 2x )' =2sin x cos x sin 2x+2sin 2x cos 2x =2sin x sin 3x.当x ∈(0,π3)∪(2π3,π)时,f'(x )>0;当x ∈(π3,2π3)时,f'(x )<0. 所以f (x )在区间(0,π3),(2π3,π)单调递增,在区间π3,2π3单调递减.(2)证明 因为f (0)=f (π)=0,由(1)知,f (x )在区间[0,π]的最大值为f (π3)=3√38,最小值为f (2π3)=-3√38. 而f (x )是周期为π的周期函数,故|f (x )|≤3√38. (3)证明 由于(sin 2x sin 22x …sin 22nx )32=|sin 3x sin 32x …sin 32n x|=|sin x||sin 2x sin 32x …sin 32n -1x sin 2n x||sin 22n x| =|sin x||f (x )f (2x )…f (2n -1x )||sin 22n x| ≤|f (x )f (2x )…f (2n -1x )|, 所以sin 2x sin 22x …sin 22n x ≤(3√38)2n 3=3n4n .卷二文科 21.(12分)已知函数f (x )=2ln x+1.(1)若f (x )≤2x+c ,求c 的取值范围; (2)设a>0,讨论函数g (x )=f (x )-f (a )x -a的单调性. 21.解 设h (x )=f (x )-2x -c ,则h (x )=2ln x -2x+1-c , 其定义域为(0,+∞),h'(x )=2x-2.(1)当0<x<1时,h'(x )>0;当x>1时,h'(x )<0.所以h (x )在区间(0,1)单调递增,在区间(1,+∞)单调递减.从而当x=1时,h (x )取得最大值,最大值为h (1)=-1-c.故当且仅当-1-c ≤0,即c ≥-1时,f (x )≤2x+c. 所以c 的取值范围为[-1,+∞).(2)g (x )=f (x )-f (a )x -a=2(lnx -lna )x -a,x ∈(0,a )∪(a ,+∞). g'(x )=2(x -ax +lna -lnx )(x -a )2=2(1-a x +ln ax )(x -a )2.取c=-1得h (x )=2ln x -2x+2,h (1)=0,则由(1)知,当x ≠1时,h (x )<0,即1-x+ln x<0.故当x ∈(0,a )∪(a ,+∞)时,1-ax +ln ax <0,从而g'(x )<0.所以g (x )在区间(0,a ),(a ,+∞)单调递减. 卷三理科 21.(12分)设函数f (x )=x 3+bx+c ,曲线y=f (x )在点12,f (12)处的切线与y 轴垂直.(1)求b ;(2)若f (x )有一个绝对值不大于1的零点,证明:f (x )所有零点的绝对值都不大于1.21.(1)解 f'(x )=3x 2+b ,依题意得f'(12)=0,即34+b=0. 故b=-34.(2)证明 由(1)知f (x )=x 3-34x+c ,f'(x )=3x 2-34. 令f'(x )=0,解得x=-12或x=12. f'(x )与f (x )-∞,-12-12,1212,+∞ 因为f (1)=f (-12)=c+14,所以当c<-14时,f (x )只有大于1的零点.因为f (-1)=f (12)=c -14,所以当c>14时,f (x )只有小于-1的零点. 由题设可知-14≤c ≤14.当c=-14时,f (x )只有两个零点-12和1. 当c=14时,f (x )只有两个零点-1和12.当-14<c<14时,f (x )有三个零点x 1,x 2,x 3,且x 1∈-1,-12,x 2∈-12,12,x 3∈12,1.综上,若f (x )有一个绝对值不大于1的零点,则f (x )所有零点的绝对值都不大于1. 卷三文科 20.(12分)已知函数f (x )=x 3-kx+k 2. (1)讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )有三个零点,求k 的取值范围.20.解 (1)f'(x )=3x 2-k.当k=0时,f (x )=x 3,故f (x )在(-∞,+∞)单调递增;当k<0时,f'(x )=3x 2-k>0,故f (x )在(-∞,+∞)单调递增.当k>0时,令f'(x )=0,得x=±√3k3.当x ∈-∞,-√3k3时,f'(x )>0; 当x ∈-√3k 3,√3k3时,f'(x )<0;当x ∈√3k3,+∞时,f'(x )>0.故f (x )在-∞,-√3k3,√3k3,+∞单调递增,在-√3k 3,√3k3单调递减.(2)由(1)知,当k ≤0时,f (x )在(-∞,+∞)单调递增,f (x )不可能有三个零点. 当k>0时,x=-√3k3为f (x )的极大值点,x=√3k3为f (x )的极小值点.此时,-k -1<-√3k3<√3k3<k+1且f (-k -1)<0,f (k+1)>0,f (-√3k3)>0.根据f (x )的单调性,当且仅当f (√3k3)<0,即k 2-2k √3k9<0时,f (x )有三个零点,解得k<427.因此k 的取值范围为0,427.山东卷 21.(12分)已知函数f (x )=a e x -1-ln x+ln a.(1)当a=e 时,求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若f (x )≥1,求a 的取值范围.21.解f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=a e x -1-1x .(1)当a=e 时,f (x )=e x -ln x+1,f'(1)=e -1,曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -(e +1)=(e -1)(x -1),即y=(e -1)x+2.直线y=(e -1)x+2在x 轴,y 轴上的截距分别为-2e -1,2.因此所求三角形的面积为2e -1. (2)由题意a>0,当0<a<1时,f (1)=a+ln a<1. 当a=1时,f (x )=e x -1-ln x ,f'(x )=e x -1-1x .当x ∈(0,1)时,f'(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0.所以当x=1时,f (x )取得最小值,最小值为f (1)=1,从而f (x )≥1. 当a>1时,f (x )=a e x -1-ln x+ln a ≥e x -1-ln x ≥1. 综上,a 的取值范围是[1,+∞). 天津卷 20.(16分)已知函数f (x )=x 3+k ln x (k ∈R ),f'(x )为f (x )的导函数. (1)当k=6时,①求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;②求函数g (x )=f (x )-f'(x )+9x 的单调区间和极值;(2)当k ≥-3时,求证:对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,有f '(x 1)+f '(x 2)2>f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2. 20.(1)解①当k=6时,f (x )=x 3+6ln x ,故f'(x )=3x 2+6x.可得f (1)=1,f'(1)=9,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -1=9(x -1),即y=9x -8.②依题意,g (x )=x 3-3x 2+6lnx+3x ,x ∈(0,+∞).从而可得g'(x )=3x2-6x+6x −3x 2,整理可得g'(x )=3(x -1)3(x+1)x 2.令g'(x )=0,解得x=1.当x 变化时,g'(x ),g (x )所以,函数g (x )的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);g (x )的极小值为g (1)=1,无极大值.(2)证明由f (x )=x 3+k ln x ,得f'(x )=3x 2+kx . 对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,令x1x 2=t (t>1),则(x 1-x 2)[f'(x 1)+f'(x 2)]-2[f (x 1)-f (x 2)]=(x 1-x 2)3x 12+k x 1+3x 22+kx2-2x 13−x 23+k ln x1x 2=x 13−x 23-3x 12x 2+3x 1x 22+kx 1x 2−x 2x 1-2k ln x1x 2=x 23(t 3-3t 2+3t -1)+k t -1t -2ln t .①令h (x )=x -1x -2ln x ,x ∈[1,+∞). 当x>1时,h'(x )=1+1x 2−2x=(1-1x )2>0,由此可得h (x )在[1,+∞)单调递增,所以当t>1时,h (t )>h (1),即t -1t-2ln t>0. 因为x 2≥1,t 3-3t 2+3t -1=(t -1)3>0,k ≥-3,所以,x 23(t 3-3t 2+3t -1)+k t -1t -2ln t ≥(t 3-3t 2+3t -1)-3t -1t -2ln t =t 3-3t 2+6ln t+3t -1.② 由(1)②可知,当t>1时,g (t )>g (1),即t 3-3t 2+6ln t+3t >1,故t 3-3t 2+6ln t+3t -1>0. ③由①②③可得(x 1-x 2)[f'(x 1)+f'(x 2)]-2[f (x 1)-f (x 2)]>0. 所以,当k ≥-3时,对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,有f '(x 1)+f '(x 2)2>f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2.。
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学海无 涯 (2)若 f (x) 在 (0, ) 只有一个零点，求 a
2.（XXXX 新课标Ⅰ）已知函数 f (x) ae2x (a 2)ex x ．
(1)讨论 f (x) 的单调性； (2)若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围．
3.(XXXX 年全国Ⅰ) 已知函数 f (x) (x 2)ex a(x 1)2 有两个零点． I. 求 a 的取值范围；
(Ⅰ)当 a 4 时，求曲线 y f (x) 在 1, f (1) 处的切线方程； (Ⅱ)若当 x 1, 时， f (x)＞0 ，求 a 的取值范围.
（三） 导数的零点问题
1.(XXXX 全国卷Ⅱ)已知函数 f (x) ex ax2 ． (1)若 a 1，证明：当 x ≥ 0 时， f (x)≥1
(1)若 a 0 ，证明：当 1 x 0 时， f (x) 0 ；当 x 0 时， f (x) 0 ；
学海无 涯 (2)若 x 0 是 f (x) 的极大值点，求 a ．
2. （XXXX 新课标）设函数 f (x) ex ax 2 ．
（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间； （Ⅱ）若 a 1， k 为整数，且当 x 0 时， (x k) f (x) x 1 0 ，求 k 的最大值．
2 （Ⅱ）若当 x ≥ 0 时 f (x)≥0 ，求 a 的取值范围．
学海无 涯
5. （XXXX 新课标Ⅱ）设 (x) 的单调性； (2)当 x ≥ 0 时， f (x) ≤ax 1，求 a 的取值范围
．
6. （XXXX 年全国 II 卷）已知函数 f (x) (x 1)ln x a(x 1) .
2.（XXXX 新课标Ⅰ）设函数 f x a ln x 1 a x2 bx a 1 ，曲线 y f (x) 在点
2 (1, f (1))处的切线斜率为 0．
（Ⅰ）求 b ；
（Ⅱ）若存在 x0 1, 使得 f x0
a ，求 a 的取值范围． a 1
3.（XXXX 新课标Ⅰ）已知函数 f (x) ex (ax b) x2 4x ，曲线 y f (x) 在点(0, f (0)) 处切线方程为 y 4x 4 ．
e
4.（XXXX 全国卷Ⅲ）已知函数 f (x) ax2 x1 ． ex
(1)求曲线 y f (x) 在点(0, 1) 处的切线方程； (2)证明：当 a ≥1时， f (x) e ≥ 0 ．
5.（XXXX 新课标Ⅲ）已知函数 f (x) ln x ax2 (2a 1)x ． (1)讨论 f (x) 的单调性； (2)当 a 0 时，证明 f (x) ≤ 3 2 ．
（Ⅰ）求 a,b 的值； （Ⅱ）讨论 f (x) 的单调性，并求 f (x) 的极大值．
学海无 涯 4.（XXXX 新课标Ⅱ）已知函数 f (x) x2e x ． （Ⅰ）求 f (x) 的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线 y f (x) 的切线l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围．
记 | f (x) | 的最大值为 A ． （Ⅰ）求 f (x) ；（Ⅱ）求 A ；（Ⅲ）证明|f (x)|≤2A ．
学海无 涯
3.（XXXX 全国卷Ⅰ）已知函数 f (x) aex ln x 1． (1)设 x 2 是 f (x) 的极值点．求 a ，并求 f (x) 的单调区间； (2)证明：当 a ≥ 1 时， f (x) ≥ 0 ．
a
（四） 导数的不等式问题
1.（XXXX 新课标Ⅲ）已知函数 f (x) x 1 a ln x ．
(1)若 f (x)≥0 ，求 a 的值；
(2)设 m 为整数，且对于任意正整数n ， (1
1)(1 2
1 22
)
(1
21n) m ，求 m 的最小值．
2.(XXXX 年全国Ⅲ) 设函数 f (x) cos 2x ( 1)(cos x 1) ，其中 0 ，
3.（XXXX 新课标）已知函数 f (x) a ln x b ，曲线 y f (x) 在点(1, f (1))处的切线方程
x 1 x 为 x 2y 3 0． （Ⅰ）求 a ， b 的值； （Ⅱ）证明：当 x 0 ，且 x 1 时， f (x) ln x ．
x 1
4. （XXXX 新课标）设函数 f (x) x(ex 1) ax2 ． （Ⅰ）若 a 1 ，求 f (x) 的单调区间；
5. （XXXX 全国卷Ⅱ）已知函数 f (x) 1 x3 a(x2 x 1) ． 3
( 1 ) 若 a 3，求 f (x) 的单调区间； (2)证明： f (x) 只有一个零点．
学海无 涯
6. （XXXX 新课标 1）设函数 f x e2x a ln x ． （Ⅰ）讨论 f x 的导函数 f x 零点的个数； （Ⅱ）证明：当 a 0 时 f x≥ 2a a ln 2 ．
学海无 涯
（一） 导数的极最值问题
1.(XXXX 新课标Ⅱ）设函数 f (x) emx x2 mx ． (Ⅰ)证明： f (x) 在 (,0) 单调递减，在 (0,) 单调递增； (Ⅱ)若对于任意 x1 ， x2 [1,1]，都有| f (x1) f (x2 ) | ≤ e 1，求 m 的取值范围．
II. 设 x1 ， x2 是 f (x) 的两个零点，证明： x1 x2 2 ．
4.（XXXX 新课标Ⅱ）已知函数 f (x) x3 3x2 ax 2 ，曲线 y f (x) 在点（0，2）处的 切线与 x 轴交点的横坐标为－2．
（Ⅰ）求 a ； （Ⅱ）证明：当 k 1 时，曲线 y f (x) 与直线 y kx 2 只有一个交点
5.（XXXX 新课标 2）已知函数 f (x) ln x a(1 x) ． （Ⅰ）讨论 f (x) 的单调性； （Ⅱ）当 f (x) 有最大值，且最大值大于2a 2 时，求 a 的取值范围．
（二） 导数的恒成立问题 1.(XXXX 全国卷Ⅲ)已知函数 f (x) (2 x ax2 ) ln(1 x) 2x ．