【数学】河南省南阳市2019-2020学年高一下学期期末考试试题

河南省南阳市2019-2020学年高一下学期期末考试试题
【参考答案】
一、选择题
1-6 DBCABB 7-12 BDCADC 二、填空题
13.31 14.9 15.3
5 16.
[)2,+∞
三、解答题 17、解：（1）
a 与
b 的夹角为45︒，
•cos 4511a b a b ∴=︒=⨯=.………………………………………………2分
222(2)()221122a b a b a a b b ∴-⋅+=+⋅-=+
-=+ .……………………… 5分
（2）
向量ka b +与ka b -的夹角为钝角，
∴（ka b +）（ka b -）<0，且不能反向共线，………………………………………7分 0122
2
2<-=-∴→→k b a k ，解得11,0k k -<<≠
∴实数k 的取值范围是{k |-11k <<且0k ≠ } .………………………………………10分
18、解：（1）补充表格：
…………………………………………………………4分（每空1分） 由最大值为2，最小值为-2，可知A=2.
又
,23652212T πππωπ=-=⋅=故2=ω
再根据五点作图法，
可得
,23
2π
ϕπ
=
+⋅
得
6π
ϕ-
=，故)62sin(2)(π
-=x x f .………6分
将函数)(x f y =的图像向左平移4π
个单位后，可得到 )
32sin(2]6)4(2sin[2π
ππ+=-+=x x y 的图像，
再将得到图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数
)321(sin 2)(π+==x x g y 的图像(也可写成)
621(c 2)(π
-==x os x g y ). ………8分
已知函数x y sin =的单调递减区间为)(232,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡
++ππππ
故令2323212
2ππππ
π+≤+≤
+
k x k ，求得3
7434π
πππ+≤≤+k x k 故)(x g 的单调递减区间为)(374,34Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡
++ππππ.………………………12分
19.解：(1)
245683040605070
5,
50
5
5x y ++++++++=
==
= ………2分
5
1
5
2
2
1
13805550
ˆ 6.5145555
i i
i i
i x y nx y
b
x
nx ==-⋅-⨯⨯==
=-⨯⨯-∑∑ ……………………………………4分
a 50 6.5517.5y bx =-=-⨯=，
因此，所求回归直线方程为： 6.517.5y x =+. …………………………………6分 (2)
记事件A 为：所取两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5， 从两组数据中任取两组数据基本事件包括：
()()()()()()()()()
30,4030,6030,5030,7040,6040,5040,7060,5060,7050,(7)0，，，，，，，，，共10个， ……………………………………………………………………………9分
其中事件A 包括：
()()()30,4030,7040,70，，共3个，所以
103)(==
n m A P .
即两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率为3
10 .……………12分
20.解：（1）(
)sin 222sin 23f x x x x π⎛
⎫
=+=+
⎪⎝
⎭
………………………3分 令()23
2
x k k π
π
π+
=+
∈Z ，()f x 的对称轴为()212k x k ππ
=
+∈Z
………4分 最小正周期22
T π
π== ……………………………………………………………5分 （2）当50,
12x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，72,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，……………………………………7分 因为sin y x =在32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，单调递增，在726ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，单调递减，
在2
x π
=
取最大值，在76
x π
=
取最小值 ……………………………………………9分 所以1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤
+
∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，
所以()[]
1,2f x ∈- ………………………………………………………………12分
21.解：（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：
……………………2分
（2）中位数的估计值：
由50.0250.02450.0260.350.5⨯+⨯+⨯=<，
0.3550.0360.530.5+⨯=>
所以中位数位于区间[)2530，中，
设中位数为x ，则
()0.35250.0360.5
x +-⨯=，
解得29.2x ≈．即样本中位数是29.2. …………………………………………6分 （3）依题意可知，休闲跑者共有()50.0250.024*******⨯+⨯⨯=人，
核心跑者
()50.02650.03650.04450.0301000680⨯+⨯+⨯+⨯⨯=人，
精英跑者1000220680100--=人， 所以该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要
220250068040001004500
3720
1000⨯+⨯+⨯=元．
即该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要3720元……………………………12分
22.解：（1）由题意知,,A B C 三点满足12
33OC OA OB
=+， 可得2()3OC OA OB OA -=-，所以22
()
33AC AB AC CB ==+，
即12
33AC CB
=即2AC CB =，
则2AC CB
=，所以||
2||AC CB =…………………….…………4分
（2）由题意，
函数2222()2||1cos cos 2cos 333f x OA OC m AB x x m x
⎛⎫⎛
⎫=•-+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22(cos )1x m m =-+-………………………………………………………………6分
因为
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦，所以cos [0,1]x ∈， 当0m <时，当cos 0x =时，()f x 取得最小值()1g m =，
当01m ≤≤时，当cos x m =时，()f x 取得最小值2
()1g m m =-，
当1m 时，当cos 1x =时，()f x 取得最小值()22g m m =-，
综上所述，21
0()101
221m g m m m m m <⎧⎪
=-≤≤⎨⎪->⎩
，…………………………………………10分
易得函数
()
g m 的最大值为1.………………………………………………………12分。