高中数学必修四训练题
高中数学必修四试题
高中数学必修四试题高中数学必修四试题篇一、选择题1. 平面直角坐标系上点P(x,y)的坐标确定为:A. (-y,x)B. (y,-x)C. (-x,-y)D. (x,y)2. 下列四个集合不相等的是:A. {1,2,3,4}B. {2,3,6}C. {2,3,4,5}D. {3,4,5,6}3. 若对任意的实数x，都有a^2-b^2x^2>0，则a和b之间的关系是:A. a>bB. a<bC. a=±bD. a≠b4. 已知a+1/a=2，求a^3+1/a^3的值为:A. 0B. 2C. 4D. 65. 用分段函数表示如下图形:1|1----2| 3-----6|4A. f(x)={1，1<x≤2；x-1，2<x≤4；6-x，4<x<6}B. f(x)={1，1<x<2；x-1，2≤x≤4；6-x，4<x<6}C. f(x)={1，1≤x<2；x-1，2≤x≤4；6-x，4<x≤6}D. f(x)={1，1<x<2；x-1，2<x<4；6-x，4≤x<6}二、填空题1. 若a:b=3:4，b:c=5:7，则a:c=___:___。
2. 已知向量a=2i-j，b=i+j，则a+b=___，a-b=___。
3. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(-1)=___，f(2)=___。
4. 集合{1,2,3}的幂集为___。
5. 若log2=0.3010，log3=0.4771，则log6=___。
三、解答题1. 已知函数f(x)=3x^2-ax-a-3，当x=2时，f(x)取最小值-7，求a的值。
2. 已知向量a=2i-j，b=i+j，c=4i+5j，则a·b=___，|a|=___，c的单位向量为___。
3. 已知平面直角坐标系上四边形ABCD，AB=√10，BC=6，CD=√10，∠ABC=∠ADC=135°，求：(1) AC的坐标；(2) BD的中点坐标。
高中数学(人教A版)必修4第3章 三角恒等变换 测试题(含详解)
第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32B ．－32C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2， ∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案 B3．sin15°sin30°sin75°的值等于( ) A.14 B.34 C.18D.38解析 sin15°sin30°sin75° ＝sin15°cos15°sin30° ＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18. 答案 C4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22C.32D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65.答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D 7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°， ∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A ·tan B >1 B. tan A ·tan B <1 C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角． 则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22D.⎣⎡⎦⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝⎛⎭⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22； 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.335 B.45 C ．±35D ．±45解析 由sin(π－θ)＝2425，得sin θ＝2425.∵θ为第二象限的角，∴cos θ＝－725.∴cos θ2＝±1＋cos θ2＝± 1－7252＝±35. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665 B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．若1＋tan α1－tan α＝2012，则1cos2α＋tan2α＝______.解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝(tan α＋1)21－tan 2α＝1＋tan α1－tan α＝2012.答案 201214．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图像向右平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2·⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎡⎦⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数，故③正确． 由④得y ＝2cos2⎝⎛⎭⎫x －π24＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12，故④正确． 答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量， ∴⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169. 又∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3 ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫322－4×12 ＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－73， ∵x ∈R ，cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝－1时，f (x )有最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )有最小值－73.20．(12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解 (1)解法1：∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1， 从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.21．(12分)已知函数 f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6所以f (x )的最小正周期为π.(2)－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π6，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6时，即x ＝－π6，f (x )取得最小值－1.22．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加，得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.。
高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案
高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案A组1、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：（1）－265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°．答案：（1）95°，第二象限；（2）80°，第一象限；（3）236°50′，第三象限；（4）300°，第四象限．说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角．2、写出终边在x轴上的角的集合．答案：S={α|α=k·180°，k∈Z}．说明：将终边相同的角用集合表示．3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β写出来：（1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°；（5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°．答案：（1）{β|β=60°＋k·360°，k∈Z}，－300°，60°；（2）{β|β=－75°＋k·360°，k∈Z}，－75°，285°；（3）{β|β=－824°30′＋k·360°，k∈Z}，－104°30′，255°30′；（4）{β|β=475°＋k·360°，k∈Z}，－245°，115°；（5）{β|β=90°＋k·360°，k∈Z}，－270°，90°；（6）{β|β=270°＋k·360°，k∈Z}，－90°，270°；（7）{β|β=180°＋k·360°，k∈Z}，－180°，180°；（8）{β|β=k·360°，k∈Z}，－360°，0°．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合．说明：用角度制和弧度制写出各象限角的集合．5、选择题：（1）已知α是锐角，那么2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．小于180°的正角D ．第一或第二象限角 （2）已知α是第一象限角，那么2α是（ ）、 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角 答案：（1）C说明：因为0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°． （2）D说明：因为k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z ，所以180451802k k α︒<<︒+︒，k∈Z ．当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角． 6、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？答案：不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长．说明：了解弧度的概念． 7、把下列各角度化成弧度： （1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°．答案：（1）5π；（2）56π；（3）7312π-；（4）8π．说明：能进行度与弧度的换算．8、把下列各弧度化成度： （1）76π-；（2）103π-；（3）1.4；（4）23． 答案：（1）－210°；（2）－600°；（3）80.21°；（4）38.2°．说明：能进行弧度与度的换算． 9、要在半径OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，求圆心角∠AOB 是多少度（可用计算器，精确到1°）．答案：64°说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式．10、已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm ）．答案：14cm ．说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式．B 组1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的面积S 1．（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S 2，求S 1与S 2的比值； （2）要使S 1与S 2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到10°）？ 答案：（1）（略）（2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-，可得θ=0.618（2π－θ），则θ=0.764π≈140°．说明：本题是一个数学实践活动．题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：120.618SS =（黄金分割比）的道理．2、（1）时间经过4 h （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确？请说明理由． （提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合n 次，建立t 关于n 的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）答案：（1）时针转了－120°，等于23π-弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度 （2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数． 因为分针旋转的角速度为2(rad /min)6030ππ=， 时针旋转的角速度为2(rad/min)1260360ππ=⨯，所以()230360t n πππ-=，即72011t n =． 用计算机或计算器作出函数72011t n =的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．n u1 15． 981.82 16． 1047.3 17． 1112.7 18． 1178.2 19． 1243.6 20． 1309.1 21． 1374.5 22．1440.因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440（min ），所以144011n ≤，于是n≤22．故时针与分针一天内只会重合22次．说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析．在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论．3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是__________度，即__________rad ．如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10.5cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是__________．答案：864°，245π，151.2π cm． 说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式．当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864rad.205π⨯︒=︒= 由于大齿轮的转速为3r/s ，所以小齿轮周上一点每1s 转过的弧长是483210.5151.2(cm)20ππ⨯⨯⨯=． P20习题1.2A 组1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值：（1）173π-；（2）214π；（3）236π-；（4）1500°．答案：（1）1sin ,tan 22ααα===（2）sin tan 122ααα=-=-=；（3）1sin ,cos tan 2ααα===（4）1sin ,tan 2ααα=== 说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求．2、已知角α的终边上有一点的坐标是P （3a ，4a ），其中a≠0，求sinα，cosα，tanα的三角函数值．答案：当a ＞0时，434sin ,cos ,tan 553ααα===；当a ＜0时，434sin ,cos ,tan 553ααα=-=-=-．说明：根据定义求三角函数值． 3、计算：（1）6sin （－90°）＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°； （2）10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°；（3）22322costantan sin cos sin 2446663ππππππ-+-++；（4）2423sincos tan 323πππ+-． 答案：（1）－10；（2）15；（3）32-；（4）94-．说明：求特殊角的三角函数值．4、化简：（1）asin0°＋bcos90°＋ctan180°；（2）－p 2cos180°＋q 2sin90°－2pqcos0°；（3）223cos 2sincos sin 22a b ab ab ππππ-+-； （4）13tan 0cos sin cos sin 222m n p q r ππππ+---．答案：（1）0；（2）（p －q ）2；（3）（a －b ）2；（4）0．说明：利用特殊角的三角函数值化简．5、根据下列条件求函数3()sin()2sin()4cos 23cos()444f x x x x x πππ=++--++的值． （1）4x π=；（2）34x π=． 答案：（1）－2；（2）2．说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题． 6、确定下列三角函数值的符号：（1）sin186°； （2）tan505°； （3）sin7.6π； （4）23tan()4π-； （5）cos940°；（6）59cos()17π-． 答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负． 说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号． 7、确定下列式子的符号： （1）tan125°·sin273°；（2）tan108cos305︒︒；（3）5411sin cos tan 456πππ；（4）511cos tan 662sin 3πππ． 答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号． 8、求下列三角函数值（可用计算器）：（1）67sin()12π-； （2）15tan()4π-；（3）cos398°13′； （4）tan766°15′． 答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045．说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求出三角函数值． 9、求证：（1）角θ为第二或第三象限角当且仅当sinθ·tanθ＜0； （2）角θ为第三或第四象限角当且仅当cosθ·tanθ＜0； （3）角θ为第一或第四象限角当且仅当sin 0tan θθ>；（4）角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ＞0． 答案：（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0． 当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，tanθ＜0，则sinθ·tanθ＜0； 当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，则sinθ·tanθ＜0， 所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0． 再证如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．因为sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0， 当sinθ＞0且tanθ＜0时，角θ为第二象限角； 当sinθ＜0且tanθ＞0时，角θ为第三象限角，所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角． 综上所述，原命题成立． （其他小题略）说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号．10、（1）已知sin α=，且α为第四象限角，求cosα，tanα的值； （2）已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值； （3）已知3tan 4α=-，求sinα，cosα的值；（4）已知cosα=0.68，求sinα，tanα的值（计算结果保留两个有效数字）．答案：（1）1,2 （2）1212,135-；（3）当α为第二象限角时，34sin ,cos 55αα==-， 当α为第四象限角时，34sin ,cos 55αα=-=；（4）当α为第一象限角时，sinα=0.73，tanα=1.1，当α为第四象限角时，sinα=－0.73，tanα=－1.1． 说明：要注意角α是第几象限角．11、已知1sin 3x =-，求cosx ，tanx 的值．答案：当x 为第三象限角时，cos tan x x ==当x 为第四象限角时，cos tan 34x x ==- 说明：要分别对x 是第三象限角和第四象限角进行讨论．12、已知3tan 2απαπ=<<，求cosα－sinα的值．答案：11)2说明：角α是特殊角． 13、求证： （1）2212sin cos 1tan 1tan cos sin x x xxx x--=+-；（2）tan 2α－sin 2α=tan 2α·sin 2α；（3）（cosβ－1）2＋sin 2β=2－2cosβ；（4）sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2xcos 2x ．答案：（1）2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---===+-++左边； （2）222222222211cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x xxx x xxx-=-===左边；（3）左边=1－2cosβ＋cos 2β＋sin 2β=2－2cosβ；（4）左边=（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x·cos 2x=1－2sin 2x·cos 2x ．说明：还可以从右边变为左边，或对左右同时变形．可提倡一题多解，然后逐渐学会选择较为简单的方法．B 组1、化简（1＋tan 2α）cos 2α． 答案：1说明：根据同角三角函数的基本关系，将原三角函数式转化为正余弦函数式．2α为第二象限角． 答案：－2t anα说明：先变形，再根据同角三角函数的基本关系进行化简． 3、已知tanα=2，求sin cos sin cos αααα+-的值．答案：3说明：先转化为正切函数式． 4、从本节的例7可以看出，cos 1sin 1sin cos x x x x+=-就是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形．你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？答案：又如sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2x·cos 2x 也是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形；2211tan cos x x=+是sin 2x ＋cos 2x=1和sin tan cos xx x=的变形；等等． 说明：本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形．P29习题1.3A 组1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上： （1）cos210°=__________； （2）sin263°42′=__________； （3）cos()6π-=__________； （4）5sin()3π-=__________；（5）11cos()9π-=__________；（6）cos （－104°26′）=__________； （7）tan632°24′=__________； （8）17tan6π=__________． 答案：（1）－cos30°； （2）－sin83°42′ （3）cos 6π；（4）sin3π； （5）2cos 9π-；（6）－cos75°34′； （7）－tan87°36′； （8）tan6π-． 说明：利用诱导公式转化为锐角三角函数． 2、用诱导公式求下列三角函数值： （1）17cos()4π-； （2）sin （－1574°）； （3）sin （－2160°52′）； （4）cos （－1751°36′）；（5）cos1615°8′；（6）26sin()3π-．答案：（1）2；（2）－0.7193；（3）－0.0151；（4）0.6639；（5）－0.9964；（6）-说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．3、化简：（1）sin（－1071°）·sin99°＋sin（－171°）·sin（－261°）；（2）1＋sin（α－2π）·sin（π＋α）－2cos2（－α）．答案：（1）0；（2）－cos2α说明：先利用诱导公式转化为角α的三角函数，再进一步化简．4、求证：（1）sin（360°－α）=－sinα；（2）cos（360°－α）=cosα；（3）tan（360°－α）=－tanα．答案：（1）sin（360°－α）=sin（－α）=－sinα；（2）略；（3）略．说明：有的书也将这组恒等式列入诱导公式，但根据公式一可知，它和公式三等价，所以本教科书未将其列入诱导公式．B组1、计算：（1）sin420°·cos750°＋sin（－330°）·cos（－660°）；（2）tan675°＋tan765°－tan（－330°）＋tan（－690°）；（3）252525sin cos tan() 634πππ++-．答案：（1）1；（2）0；（3）0．说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．2、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）sin（5π－α）；（2）sin()2πα+；（3）3cos()2πα-； （4）tan()2πα-． 答案：（1）12； （2）3,,23,;2αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角（3）12-； （4）3,,3,αα⎧⎪⎨-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角.说明：先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系得解． P46习题1.4A 组1、画出下列函数的简图：（1）y=1－sinx ，x∈[0，2π]； （2）y=3cosx ＋1，x∈[0，2π]． 答案：（1）（2）说明：可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．（1）11cos ,23y x x π=-∈R ； （2）3sin(2),4y x x π=+∈R ；（3）31cos(),226y x x π=--∈R ； （4）11sin(),223y x x π=+∈R ．答案：（1）使y 取得最大值的集合是{x|x=6k ＋3，k∈Z }，最大值是32； 使y 取得最小值的集合是{x|x=6k ，k∈Z }，最大值是12； （2）使y 取得最大值的集合是{|,}8x x k k ππ=+∈Z ，最大值是3；使y 取得最小值的集合是3{|,}8x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是－3； （3）使y 取得最大值的集合是{|2(21),}3x x k k ππ=++∈Z ，最大值是32； 使y 取得最小值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最小值是32-； （4）使y 取得最大值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最大值是12；使y 取得最小值的集合是5{|4,}3x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是12-． 说明：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，研究所给函数的最大值、最小值性质．3、求下列函数的周期： （1）2sin 3y x =，x∈R ； （2）1cos 42y x =，x∈R ． 答案：（1）3π；（2）2π说明：可直接由函数y=Asin （ωx＋φ）和函数y=Acos （ωx＋φ）的周期2T πω=得解．4、利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1）sin103°15′与sin164°30′； （2）4744cos()cos()109ππ--与； （3）sin508°与sin144°；（4）cos760°与cos （－770°）． 答案：（1）sin103°15′＞sin164°130′； （2）4744cos()cos()109ππ->-； （3）sin508°＜sin144°；（4）cos760°＞cos （－770°）．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究． 5、求下列函数的单调区间： （1）y=1＋sinx ，x∈R ； （2）y=－cosx ，x∈R ． 答案：（1）当[2,2]22x k k ππππ∈-++，k∈Z 时，y=1＋sinx 是增函数；当3[2,2]22x k k ππππ∈++，k∈Z 时，y=1＋sinx 是减函数． （2）当x∈[（2k －1）π，2kπ]，k∈Z 时，y=－cosx 是减函数； 当x∈[2kπ，（2k ＋1）π]，k∈Z 时，y=－cosx 是增函数． 说明：利用正弦、余弦函数的单调性研究所给函数的单调性． 6、求函数tan()26y x π=-++的定义域．答案：{|,}3x x k k ππ≠+∈Z ．说明：可用换元法．7、求函数5tan(2),()3122k y x x k πππ=-≠+∈Z 的周期． 答案：2π． 说明：可直接由函数y=Atan （ωx＋φ）的周期T πω=得解． 8、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小： （1）13tan()tan()57ππ--与； （2）tan1519°与tan1493°； （3）93tan 6tan(5)1111ππ-与； （4）7tantan 86ππ与． 答案：（1）13tan()tan()57ππ->-；（2）tan1519°＞tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ>-；（4）7tantan 86ππ<． 说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．9、根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合：（1）1＋tanx≥0；（2）tan 0x ． 答案：（1）{|,}42x k x k k ππππ-+<+∈Z ≤；（2）{|,}32x k x k k ππππ+<+∈Z ≤．说明：只需根据正切曲线写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式． 10、设函数f （x ）（x∈R ）是以 2为最小正周期的周期函数，且x∈[0，2]时f （x ）=（x －1）2．求f （3），7()2f 的值．答案：由于f （x ）以2为最小正周期，所以对任意x∈R ，有f （x ＋2）=f （x ）．于是：f （3）=f （1＋2）=f （1）=（1－1）2=0；273331()(2)()(1)22224f f f =+==-=． 说明：利用周期函数的性质，将其他区间上的求值问题转化到区间[0，2]上的求值问题． 11、容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？ 对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．答案：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（kπ，0），k∈Z ．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k ππ=+∈Z ．由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0)2k ππ+，k∈Z ，对称轴的方程是x=kπ，k∈Z ；正切曲线的对称中心坐标为(,0)2k π，k∈Z ，正切曲线不是轴对称图形． 说明：利用三角函数的图象和周期性研究其对称性．B 组1、根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）sin )2x x ∈R ≥；（22cos 0()x x ∈R ≥． 答案：（1）2{|22,}33x k x k k ππππ++∈Z ≤≤； （2）33{|22,}44x k x k k ππππ-++∈Z ≤≤． 说明：变形后直接根据正弦函数、余弦函数的图象写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．2、求函数3tan(2)4y x π=--的单调区间． 答案：单调递减区间5(,),2828k k k ππππ++∈Z ． 说明：利用正切函数的单调区间求所给函数的单调区间．3、已知函数y=f （x ）的图象如图所示，试回答下列问题： （1）求函数的周期；（2）画出函数y=f （x ＋1）的图象；（3）你能写出函数y=f （x ）的解析式吗？答案：（1）2；（2）y=f （x ＋1）的图象如下；（3）y=|x －2k|，x∈[2k－1，2k ＋1]，k∈Z ．说明：可直接由函数y=f （x ）的图象得到其周期．将函数y=f （x ）的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=f （x ＋1）的图象．求函数y=f （x ）的解析式难度较高，需要较强的抽象思维能力．可先求出定义域为一个周期的函数y=f （x ），x∈[－1，1]的解析式为y=|x|，x∈[－1，1]，再根据函数y=f （x ）的图象和周期性，得到函数y=f （x ）的解析式为y=|x －2k|，x∈[2k－1，2k ＋1]，k∈Z ． P57习题1.5A 组1、选择题：（1）为了得到函数1cos()3y x =+，x∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动13个单位长度 D ．向右平行移动13个单位长度（2）为了得到函数cos5xy =，x∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（ ）、 A ．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的15倍，横坐标不变 （3）为了得到函数1cos 4y x =，x∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（ ）．A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变 答案：（1）C ；（2）A ；（3）D ．2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的可用计算器或计算机作图检验）：（1）14sin 2y x =，x∈R ； （2）1cos32y x =，x∈R ； （3）3sin(2)6y x π=+，x∈R ；（4）112cos()24y x π=-，x∈R ．答案：（1）（2）（3）（4）说明：研究了参数A 、ω、φ对函数图象的影响．3、不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）：（1）8sin()48xy π=-，x∈[0,＋∞）；（2）1sin(3)37y x π=+，x∈[0,＋∞）． 答案：（1）振幅是8，周期是8π，初相是8π-．先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度，得到函数1sin()8y x π=-，x∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数2sin()48x y π=-，x∈R的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到函数38sin()48x y π=-，x∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数8sin()48x y π=-，x∈[0，＋∞）的图象．（2）振幅是13，周期是23π，初相是7π．先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin()7y x π=+，x∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到函数2sin(3)7y x π=+，x∈R的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），得到函数31sin(3)37y x π=+，x∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数1sin(3)37y x π=+，x∈[0，＋∞）的图象．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin （ωx＋φ）的图象与正弦曲线的关系．4、图 1.5－1的电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是5sin(100),[0,)3i t t ππ=+∈+∞．（1）求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相； （2）当t=0，1171,,,(:s)60015060060单位时，求电流i ． 答案：（1）周期为150，频率为50，振幅为5，初相为3π．（2）t=0时，2i =；1600t =时，i=5；1150t =时，i=0；7600t =时，i=－5；160t =时，i=0．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并求函数值．5、一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球．小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s）的函数关系是),[0,)3s t π=+∈+∞． （1）求小球摆动的周期；（2）已知g≈980cm/s 2，要使小球摆动的周期是1s ，线的长度l 应当是多少？（精确到0.1cm ） 答案：（1）2（2）约24.8cm ． 说明：了解简谐振的周期．B 组1、弹簧振子的振动是简谐运动．下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移s答案：根据已知数据作出散点图（如图）．由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin()62x y t ππ=-，x∈[0，＋∞）． 说明：作出已知数据的散点图，然后选择一个函数模型来描述，并根据已知数据求出该函数模型．2、弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：2sin()4h t π=+．以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个剧期的闭区间上的图象，并回答下列问题： （1）小球在开始振动时（即t=0）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ （3）经过多少时问小球往复运动一次？ （4）每秒钟小球能往复振动多少次？答案：函数2sin()4h t π=+在[0，2π]上的图象为（1）小球在开始振动时的位置在(0,2)；（2）最高点和最低点与平衡位置的距离都是2；（3）经过2π秒小球往复运动一次；（4）每秒钟小球能往复振动12π次．说明：结合具体问题，了解解析式中各常数的实际意义．3、如图，点P是半径为r cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动．求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点P的运动周期和频率．答案：点P的纵坐标关于时间t的函数关系式为y=rsin（ωt＋φ），t∈[0，＋∞）；点P的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ．说明：应用函数模型y=rsin（ωt＋φ）解决实际问题．P65习题1.61、根据下列条件，求△ABC的内角A：（1）1sin2A=；（2）2cos A=-；（3）tanA=1；（4）3 tan A=-．答案：（1）30°或150°；（2）135°；（3）45°；（4）150°．说明：由角A是△ABC的内角，可知A∈（0°，180°）．2、根据下列条件，求（0，2π）内的角x：（1）3sin x=-；（2）sinx=－1；（3）cosx=0；（4）tanx=1．答案：（1）4533ππ或；（2）32π；（3）322ππ或；（4）544ππ或．说明：可让学生再变换角x的取值范围求解．3、天上有些恒星的亮度是会变化的．其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化、下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图、此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？答案：5.5天；约3.7等星；约4.4等星．说明：每个周期的图象不一定完全相同，表示视星等的坐标是由大到小．4、夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上．为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．答案：先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案．说明：建立周期变化的模型解决实际问题．B 组1、北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗、请根据年鉴或其他的参考资料，统计过去一年不同时期的日出和日落时间．（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？ 答案：略．说明：建立周期变化的函数模型，根据模型解决实际问题．2、一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关的数据并提供理论证据支持你的结论．答案：略．说明：收集数据，建立周期变化的函数模型，根据模型提出个人意见．然后采取上网、查阅资料或走访专业人士的形式，获取这方面的信息，以此来说明自己的结论． P69复习参考题A 组1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并且把S 中适合不等式－2π≤β≤4π的元素β写出来：（1）4π； （2）23π-；（3）125π； （4）0．答案：（1）79{|2,},,,4444k k ππππββπ=+∈-Z ；（2）22410{|2,},,,3333k k ββπππππ=-+∈-Z ；（3）128212{|2,},,,5555k k ββπππππ=+∈-Z ； （4）{β|β=2kπ，k∈Z }，－2π，0，2π．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．2、在半径为15cm 的圆中，一扇形的弧含有54°，求这个扇形的周长与面积（π取3.14，计算结果保留两个有效数字）．答案：周长约44cm ，面积约1.1×102cm 2．说明：可先将角度转化为弧度，再利用弧度制下的弧长和面积公式求解． 3、确定下列三角函数值的符号：（1）sin4； （2）cos5； （3）tan8； （4）tan （－3）． 答案：（1）负；（2）正；（3）负；（4）正．说明：将角的弧度数转化为含π的形式或度，再进行判断． 4、已知1cos 4ϕ=，求sinφ，tanφ．答案：当φ为第一象限角时，sin tan 4ϕϕ==当φ为第四象限角时，sin tan ϕϕ== 说明：先求sinφ的值，再求tanφ的值．5、已知sinx=2cosx ，求角x 的三个三角函数值．答案：当x 为第一象限角时，tanx=2，cos x x ==；当x 为第三象限角时，tanx=2，cos x x == 说明：先求tanx 的值，再求另外两个函数的值．6、用cosα表示sin 4α－sin 2α＋cos 2α．答案：cos 4α．说明：先将原式变形为sin 2α（sin 2α－1）＋cos 2α，再用同角三角函数的基本关系变形． 7、求证：（1）2（1－sinα）（1＋cosα）=（1－sinα＋cosα）2；（2）sin 2α＋sin 2β－sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β=1． 答案：（1）左边=2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα=1＋sin 2α＋cos 2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα =右边． （2）左边=sin 2α（1－sin 2β）＋sin 2β＋cos 2αcos 2β=cos 2β（sin 2α＋cos 2α）＋sin 2β =1=右边．说明：第（1）题可先将左右两边展开，再用同角三角函数的基本关系变形． 8、已知tanα=3，计算：（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）sinαcosα；（3）（sinα＋cosα）2． 答案：（1）57；（2）310；（3）85．说明：第（2）题可由222sin tan 9cos ααα==，得21cos 10α=，所以23sin cos tan cos 10αααα==．或2222sin cos tan 33sin cos 10sin cos tan 131αααααααα====+++． 9、先估计结果的符号，再进行计算． （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）sin2＋cos3＋tan4（可用计算器）．答案：（1）0；（2）1.0771．说明：先根据各个角的位置比较它们的三角函数值的大小，再估计结果的符号． 10、已知1sin()2πα+=-，计算： （1）cos （2π－α）；（2）tan （α－7π）．答案：（1）当α为第一象限角时，cos(2)πα-=，当α为第二象限角时，cos(2)πα-=（2）当α为第一象限角时，tan(7)3απ-=，当α为第二象限角时，tan(7)απ-= 说明：先用诱导公式转化为α的三角函数，再用同角三角函数的基本关系计算． 11、先比较大小，再用计算器求值：（1）sin378°21′，tan1111°，cos642.5°； （2）sin （－879°），3313tan(),cos()810ππ--； （3）sin3，cos （sin2）．答案：（1）tan1111°=0.601，sin378°21′=0.315，cos642.5°=0.216； （2）sin （－879°）=－0.358，3313tan()0.414,cos()0.588810ππ-=--=-； （3）sin3=0.141，cos （sin2）=0.614．说明：本题的要求是先估计各三角函数值的大小，再求值验证． 12、设π＜x ＜2π，填表：说明：熟悉各特殊角的三角函数值． 13、下列各式能否成立，说明理由： （1）cos 2x=1.5；（2）3sin 4x π=-．答案：（1）因为cos x =cos x =1,1><-，所以原式不能成立；（2）因为sin x =，而|1<，所以原式有可能成立．说明：利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断．14、求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x 的集合：（1）sin xy π=，x∈R ；（2）y=3－2cosx ，x∈R ．答案：（11π，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=+∈Z ；1π，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=-+∈Z ；（2）最大值为5，此时x 的集合为{x|x=（2k ＋1）π，k∈Z }； 最小值为1，此时x 的集合为{x|x=2kπ，k∈Z }．说明：利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质，研究所给函数的最大值和最小值性质． 15、已知0≤x≤2π，求适合下列条件的角x 的集合： （1）y=sinx 和y=cosx 都是增函数； （2）y=sinx 和y=cosx 都是减函数；（3）y=sinx 是增函数，而y=cosx 是减函数； （4）y=sinx 是减函数，而y=cosx 是增函数． 答案：（1）3{|2}2x x ππ≤≤； （2）{|}2x x ππ≤≤；（3）{|0}2x x π≤≤；（4）3{|}2x x ππ≤≤． 说明：利用函数图象分析．16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1）1sin(3),;23y x x π=-∈R （2）2sin(),;4y x x π=-+∈R （3）1sin(2),;5y x x π=--∈R（4）3sin(),.63xy x π=-∈R 答案：（1）（2）（3）（4）说明：可要求学生在作出图象后，用计算机或计算器验证． 17、（1）用描点法画出函数y=sinx ，[0,]2x π∈的图象．（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数y=sinx ，x∈[0，2π]的图象？ （3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x∈[0，2π]的图象？（其中φ，k 都是常数）答案：（1）x 0 18π9π 6π 29π 518π 3π 718π 49π 2π sinx0.170.340.500.640.770.870.940.981（2）由sin （π－x ）=sinx ，可知函数y=sinx ，x∈[0，π]的图象关于直线2x =对称，据此可得函数y=sinx ，[,]2x ππ∈的图象；又由sin （2π－x ）=－sinx ，可知函数y=sinx ，x∈[0，2π]的图象关于点（π，0）对称，据此可得出函数y=sinx ，x∈[π，2π]的图象．（3）先把y 轴向右（当φ＞0时）或向左（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度，再把x 轴向下（当k ＞0时）或向上（当k ＜0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0，2π]之外的部分，便得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x∈[0，2π]的图象．说明：学会用不同的方法作函数图象．18、不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它们的图象：（1）sin(5),;6y x x π=+∈R（2）12sin,.6y x x =∈R 答案：（1）振幅是1，周期是25π，初相是6π． 把正弦曲线向左平行移动6π个单位长度，可以得函数sin()6y x π=+，x∈R 的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的15倍（纵坐标不变），就可得出函数sin(5)6y x π=+，x∈R 的图象．（2）振幅是2，周期是2π，初相是0．把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数1sin6y x =，x∈R 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到函数12sin()6y x =，x∈R 的图象．说明：会根据解析式求各物理量，并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象．B 组1、已知α为第四象限角，确定下列各角的终边所在的位置：（1）2α； （2）3α； （3）2α． 答案：（1）3(1)42k k παππ+<<+，所以2α的终边在第二或第四象限； （2）9012030901203k k α︒+︒<<︒+︒+︒，所以3α的终边在第二、第三或第四象限；（3）（4k ＋3）π＜2α＜（4k ＋4）π，所以2α的终边在第三或第四象限，也可在y 轴的负半轴上．说明：不要求探索α分别为各象限角时，nα和nα的终边所在位置的规律．。
高中数学必修四同步练习题库：两角和差的正弦、余弦和正切公式(简答题：容易)
两角和差的正弦、余弦和正切公式（简答题：容易）1、.已知,求的值2、已知为锐角，，，求的值.3、中，若，且为锐角，求角．4、求证：－2cos(α＋β)＝.5、已知在中，为中点，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.6、在中，角所对边分别为的面积为6.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.7、函数的最大值为，它的最小正周期为. （1）求函数的解析式；（2）若，求在区间上的最大值和最小值.8、已知分别是的内角所对的边，.（1）证明：；（2）若,求.9、（2015秋•淮南期末）=（）A．1B．2C．3D．410、已知，求的值11、已知函数⑴求的最小正周期及对称中心；⑵若，求的最大值和最小值.12、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)13、如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边，两个锐角,的终边分别与单位圆相交于A,B 两点．（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）若角的终边与单位圆交于点，设角的正弦线分别为，试问：以作为三边的长能否构成一个三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由.14、已知15、已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.16、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(1) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(2)若的三个内角满足,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断的形状.17、已知为锐角，且求.18、（本小题满分12分）已知，写出用表示的关系等式，并证明这个关系等式．19、如图，有三个并排放在一起的正方形，.（1）求的度数；（2）求函数的最大值及取得最大值时候的x值。
20、（本小题12分）已知0<a<p，；(1)求的值；（2）求的值；21、求值： .22、（本题满分14分）在中，分别是所对的边，已知,，三角形的面积为，（1）求C的大小；（2）求的值．23、已知，（1）求的值；（2）求角.24、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)25、化简（1）（2）26、已知，求下列各式的值：（1）（2）27、已知均为锐角，求的值。
高中数学必修四总复习测试题
高中数学必修四总复习测试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1.化简sin()2απ+等于（ ）. A.cos α B.sin α C.cos α- D.sin α-2.已知M 是ABC ∆的BC 边上的一个三等分点，且BM MC <，若AB = a ，AC =b ，则AM 等于（ ）.A.1()3-a bB.1()3+a bC.1(2)3+b aD.1(2)3+a b3.已知3tan =α，则αααα22cos 9cos sin 4sin 2-+的值为（ ）. A.3 B.1021 C.31 D.301 4.化简=--+（ ）. A. B.0 C. D. 5.函数x x y 2cos 2sin =是（ ）. A.周期为4π的奇函数 B.周期为2π的奇函数 C.周期为2π的偶函数 D.周期为4π的偶函数 6.已知)7,2(-M ，)2,10(-N ，点P 是线段MN 上的点，且−→−PN −→−-=PM 2，则P 点的坐标为（ ）. A.)16,14(- B.)11,22(- C.)1,6( D.)4,2( 7.已知函数sin()y A x B ωφ=++(0,0,||2A ωφπ>><)的周期为T ，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（ ）. A.3,2A T ==π B.2,1=-=ωBC.4,6T φπ=π=-D.3,6A φπ== 8.将函数sin()3y x =-π的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移3π个单位，则所得函数图像对应的解析式为（ ）. A.1sin(26y x =-π B.1sin()23y x =-π C.1sin 2y x = D.sin(2)6y x =-π9.若平面四边形ABCD 满足0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是（ ）.A.直角梯形B.矩形C.菱形D.正方形10.函数()sin 2cos2f x x x =-的最小正周期是（ ）.A.π2B.πC.2πD.4π11.设单位向量1e ，2e 的夹角为︒60，则向量1234e e +与向量1e 的夹角的余弦值是（ ）. A.43 B.375 C.3725 D.375 12.定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021，已知αβ+=π，2αβπ-=，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）. A.00⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.01⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.10⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.11⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.) 13.︒75sin 的值为 ．14.已知向量(2,4)=a ，(1,1)=b ，若向量()⊥+λb a b ，则实数λ的值是.15.︒︒︒80cos 40cos 20cos 的值为_____________________________． 16.在下列四个命题中：①函数tan()4y x π=+的定义域是{,}4x x k k π≠+π∈Z ； ②已知1sin 2α=，且[0,2]α∈π，则α的取值集合是{}6π；③函数x a x x f 2cos 2sin )(+=的图象关于直线8x π=-对称，则a 的值等于1-；④函数2cos sin y x x =+的最小值为1-.把你认为正确的命题的序号都填在横线上____________________.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17.（本小题满分10分）已知4cos()45x π+=，(,)24x ππ∈--，求xxx tan 1sin 22sin 2+-的值.18.（本小题满分12分）已知函数()sin sin()2f x x x π=++，x ∈R . （1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 的的最大值和最小值； （3）若43)(=αf ，求α2sin 的值.19.（本小题满分12分）（1）已知函数1()sin()24f x x π=+，求函数在区间[2,2]-ππ上的单调增区间； （2）计算：)120tan 3(10cos 70tan -︒︒︒.20.（本小题满分13分）已知函数()sin()f x x ωφ=+（0>ω，0φ≤≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．（1）求)(x f 的解析式； （2）若(,)32αππ∈-，1()33f απ+=，求5sin(2)3απ+的值．21.（本小题满分13分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中)2,1(=a .（1）若||=c ，且//c a ，求c 的坐标；（2）若||=b ，且2+a b 与2-a b 垂直，求a 与b 的夹角θ.22.（本小题满分14分）已知向量33(cos ,sin )22x x =a ，(cos ,sin )22x x =-b ，且[0,]2x π∈，()2||f x =⋅-λ+a b a b （λ为常数），求：（1）⋅a b 及||+a b ； （2）若)(x f 的最小值是23-，求实数λ的值.参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1.A 由诱导公式易得A 正确.2.C BC =- b a ,11()33BM BC ==- b a ,11()(2)33AM AB BM =+=+-=+ a b a b a .3.B αααααααααα222222cos sin cos 9cos sin 4sin 2cos 9cos sin 4sin 2+-+=-+10211tan 9tan 4tan 222=+-+=ααα. 4.B )()(=-=+-+=--+. 5.B x x x y 4sin 212cos 2sin ==，故是周期为2π的奇函数. 6.D 设),(y x P ，则)2,10(y x ---=，)7,2(y x ---=， −→−PN ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧--=-----=-⇒-=−→−.4,2),7(22),2(2102y x y y x x PM 7.C ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=+,1,3,4,2B A B A B A ππππ42)32(342=⇒=--=T T ，21422===πππωT ，623421πϕπϕπ-=⇒=+⨯. 8.A sin()sin()sin[(]sin(3336111))2232y x y y x x x πππππ=-→=→==-+--.9.C 0AB CD AB CD +=⇒=-⇒四边形ABCD 为平行四边形，()0AB AD AC DB AC DB AC -⋅=⋅=⇒⊥，对角线互相垂直的平行四边形为菱形.10.B ()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-，ππ==22T .11.D 1||1=e ，1||2=e ，2160cos ||||2121=︒⋅=⋅e e e e ，543)43(2121121=⋅+=⋅+e e e e e e ，37|43|21===+e e ，375|||43|cos 121121=⋅+=e e e θ.12.A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡002cos sin )cos()sin(sin sin cos cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin ππβαβαβαβαβαβαββαααα.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.) 13.426+ ︒︒+︒︒=︒+︒=︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin 42621222322+=⨯+⨯=. 14.3- 30)4(2)4,2()1,1()()(-=⇒=+++=++⋅=+⋅⇒+⊥λλλλλλλ. 15.818120sin 8160sin 20sin 880cos 40cos 20cos 20sin 880cos 40cos 20cos =︒︒=︒︒︒︒︒=︒︒︒. 16.①③④ )(424Z k k x k x ∈+≠⇒+≠+πππππ，故①正确；1sin 2α=，且[0,2]6παπα∈⇒=或65πα=，故②不正确；函数)(x f 的图象关于直线8π-=x 对称1)4()0(-=⇒-=⇒a f f π，故③正确；22215cos sin 1sin sin (sin )24y x x x x x =+=-+=--+，451≤≤-y ，故④正确. 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17.解：∵)4,2(ππ--∈x ， ∴)0,4(4ππ-∈+x ，∵54)4cos(=+x π， ∴53)4sin(-=+x π，4sin)4cos(4cos)4sin(]4)4sin[(sin ππππππx x x x +-+=-+=102722542253-=⋅-⋅-=， ∴102cos =x ， ∴7528sin cos )sin (cos cos sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22=+-=+-=+-x x x x x x xx x x x x x x .18.解：)4sin(2cos sin )2sin(sin )(ππ+=+=++=x x x x x x f ，（1）)(x f 的最小正周期为ππ212==T ； （2）)(x f 的最大值为2和最小值2-；（3）因为43)(=αf ，即167cos sin 2169)cos (sin 43cos sin 2-=⇒=+⇒=+αααααα，即1672sin -=α. 19.解：（1）由πππππk x k 2242122+≤+≤+-（Z k ∈）得ππππk x k 42423+≤≤+-（Z k ∈），当0=k 时，得223ππ≤≤-x ， ]2,2[]2,23[ππππ-⊂-，且仅当0=k 时符合题意，∴函数)421sin()(π+=x x f 在区间]2,2[ππ-上的单调增区间是]2,23[ππ-. （2）︒︒-︒⋅︒⋅︒︒=-︒︒︒20cos 20cos 20sin 310cos 70cos 70sin )120tan 3(10cos 70tan ︒︒⋅︒︒-=︒︒-⋅︒⋅︒︒=20cos 20sin 70cos 70sin 20cos 10sin 210cos 70cos 70sin120cos 20sin 20sin 20cos -=︒︒⋅︒︒-=. 20.解：（1）∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为π2，∴π2=T ， 则12==Tπω， ∴)sin()(ϕ+=x x f ，∵)(x f 是偶函数， ∴)(2Z k k ∈+=ππϕ，又πϕ≤≤0， ∴2πϕ=， 则x x f cos )(=．（2）由已知得31)3cos(=+πα， ∵)2,3(ππα-∈， ∴)65,0(3ππα∈+， 则322)3sin(=+πα， ∴924)3cos()3sin(2)322sin()352sin(-=++-=+-=+παπαπαπα. 21.解：（1）设),(y x c =， ∵a c //，)2,1(=a ， ∴02=-y x ， ∴x y 2=，∵52||=， ∴5222=+y x ， ∴2022=+y x ， 即20422=+x x ，∴⎩⎨⎧==,4,2y x 或⎩⎨⎧-=-=,4,2y x∴)4,2(=或)4,2(--=（2）∵⊥+2-2， ∴)2(+0)2(=-⋅，∴023222=-⋅+b b a a ， 即0||23||222=-⋅+b b a a ， 又∵5||2=，45)25(||22==， ∴0452352=⨯-⋅+⨯b a ， ∴25-=⋅b a ， ∵5||=a ，25||=b ， ∴125525||||cos -=⋅-=⋅=b a θ，∵],0[πθ∈， ∴πθ=. 22.解：（1）x xx x x 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos=-=⋅， x x xx x x 222cos 22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos||=+=-++=+， ∵]2,0[π∈x ， ∴0cos ≥x ， x cos 2||=+.（2）2221)(cos 2cos 42cos )(λλλ---=-=x x x x f ，∵]2,0[π∈x ， ∴1cos 0≤≤x ，①当0<λ时，当且仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值1-，这与已知矛盾；②当10≤≤λ，当且仅当λ=x cos 时，)(x f 取得最小值221λ--，由已知得23212-=--λ，解得21=λ； ③当1>λ时，当且仅当1cos =x 时，)(x f 取得最小值λ41-， 由已知得2341-=-λ，解得85=λ，这与1>λ相矛盾. 综上所述，21=λ为所求.。
人教A版高中数学必修四测试题及答案全套
人教A版高中数学必修四测试题及答案全套人教A版高中数学必修四测试题及答案全套阶段质量检测（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.在0°～360°的范围内，与-510°终边相同的角是()A。
330° B。
210° C。
150° D。
30°2.若sinα = 3/3，π/2 < α < π，则sin(α+π/2) = ()A。
-6/3 B。
-1/2 C。
16/2 D。
33.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A。
2 B。
2sin1 C。
2sin1 D。
sin24.函数f(x) = sin(x-π/4)的图象的一条对称轴是()A。
x = π/4 B。
x = π/2 C。
x = -π/4 D。
x = -π/25.化简1+2sin(π-2)·cos(π-2)得()A。
sin2+cos2 B。
cos2-sin2 C。
sin2-cos2 D。
±cos2-sin26.函数f(x) = tan(x+π/4)的单调增区间为()A。
(kπ-π/2.kπ+π/2)，k∈Z B。
(kπ。
(k+1)π)，k∈ZC。
(kπ-4π/4.kπ+4π/4)，k∈Z D。
(kπ-3π/4.kπ+3π/4)，k∈Z7.已知sin(π/4+α) = 1/√2，则sin(π/4-α)的值为()A。
1/3 B。
-1/3 C。
1/2 D。
-1/28.设α是第三象限的角，且|cosα| = α/2，则α的终边所在的象限是()A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限9.函数y = cos2x+sinx在[-π/6.π/6]的最大值与最小值之和为()A。
3/4 B。
2 C。
1/3 D。
4/310.将函数y = sin(x-π/3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移一个单位，得到的图象对应的解析式为()A。
高中数学必修四期末试题和答案解析
必修四期末测试题一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．sin 150°的值等于( )． A ．21B ．－21 C ．23 D ．－23 2．已知＝(3，0)等于( )． A ．2B ．3C ．4D ．53．在0到2?范围内，与角－34π终边相同的角是( )． A ．6πB ．3πC ．32π D ．34π 4．若cos ?＞0，sin ?＜0，则角 ??的终边在( )． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．sin 20°cos 40°＋cos 20°s in 40°的值等于( )． A ．41B ．23 C ．21D ．43 6．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是( )． A ．＝ B ．－＝ C ．＋＝ D ．＋＝7．下列函数中，最小正周期为 ??的是( )． A ．y ＝cos 4xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝sin2x D ．y ＝cos4x 8．已知向量a ＝(4，－2)，向量b ＝(x ，5)，且a ∥b ，那么x 等于( )． A ．10B ．5C ．－25 D ．－109．若tan ?＝3，tan ?＝34，则tan(?－?)等于( )． A ．－3B ．3C ．－31D ．3110．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( )．A ．2，－2B ．1，－3C ．1，－1D ．2，－111．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－1，0)，B (1，2)，C (0，c )，若⊥BC ，那么c 的值是( )． A ．－1B ．1C ．－3D ．3BAC (第6题)12．下列函数中，在区间[0，2π]上为减函数的是( )． A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝tan xD ．y ＝sin(x －3π) 13．已知0＜A ＜2π，且cos A ＝53，那么sin 2A 等于( )． A ．254B ．257 C ．2512 D ．2524 14．设向量a ＝(m ，n )，b ＝(s ，t )，定义两个向量a ，b 之间的运算“⊗”为a ⊗b ＝(ms ，nt )．若向量p ＝(1，2)，p ⊗q ＝(－3，－4)，则向量q 等于( )．A ．(－3，－2)B ．(3，－2)C ．(－2，－3)D ．(－3，2)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 15．已知角 ??的终边经过点P (3，4)，则cos ??的值为 ．16．已知tan ?＝－1，且 ?∈[0，?)，那么 ??的值等于 ．17．已知向量a ＝(3，2)，b ＝(0，－1)，那么向量3b －a 的坐标是 ．18．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似 满足函数T ＝A sin(?t ＋?)＋b (其中2π＜?＜?)，6 时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上 述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14 时温差的最大值是 °C ；图中曲线对应的 函数解析式是________________．三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．(本小题满分8分) 已知0＜?＜2π，sin ?＝54．(1)求tan ??的值； (2)求cos 2?＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ＋ α的值．(第18题)20．(本小题满分10分)已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝21． (1)求|b |；(2)当a ·b ＝21时，求向量a 与b 的夹角 ??的值．21．(本小题满分10分) 已知函数f (x )＝sin ?x (?＞0)．(1)当 ?＝?时，写出由y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式； (2)若y ＝f (x )图象过点(3π2，0)，且在区间(0，3π)上是增函数，求 ??的值．期末测试题参考答案一、选择题： 1．A解析：sin 150°＝sin 30°＝21． 2．B＝0＋9＝3． 3．C解析：在直角坐标系中作出－34π由其终边即知． 4．D解析：由cos ?＞0知，??为第一、四象限或 x 轴正方向上的角；由sin ?＜0知，??为第三、四象限或y 轴负方向上的角，所以 ??的终边在第四象限．5．B解析：sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin 60°＝23． 6．C解析：在平行四边形ABCD 中，根据向量加法的平行四边形法则知＋＝． 7．B 解析：由T ＝ωπ2＝?，得 ?＝2．8．D解析：因为a ∥b ，所以－2x ＝4×5＝20，解得x ＝－10． 9．D解析：tan(?－?)＝βαβαtan tan ＋1tan －tan ＝4＋134－3＝31． 10．B解析：因为cos x 的最大值和最小值分别是1和－1，所以函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是1和－3．11．D解析：易知＝(2，2)，＝(－1，c －2)，由⊥，得2×(－1)＋2(c －2)＝0，解得c ＝3．12．A解析：画出函数的图象即知A 正确． 13．D解析：因为0＜A ＜2π，所以sin A ＝54＝cos －12A ，sin 2A ＝2sin A cos A ＝2524．14．A解析：设q ＝(x ，y )，由运算“⊗”的定义，知p ⊗q ＝(x ，2y )＝(－3，－4)，所以q ＝(－3，－2)．二、填空题： 15．53． 解析：因为r ＝5，所以cos ?＝53． 16．43π． 解析：在[0，?)上，满足tan ?＝－1的角 ??只有43π，故 ?＝43π． 17．(－3，－5)．解析：3b －a ＝(0，－3)－(3，2)＝(－3，－5)． 18．20；y ＝10sin(8πx ＋43π)＋20，x ∈[6，14]． 解析：由图可知，这段时间的最大温差是20°C ．因为从6~14时的图象是函数y ＝A sin(?x ＋?)＋b 的半个周期的图象，所以A ＝21(??－??)＝10，b ＝21(30＋１0)＝20． 因为21·ωπ2＝14－6，所以 ?＝8π，y ＝10sin ⎪⎭⎫⎝⎛ϕ ＋ 8πx ＋20．将x ＝6，y ＝10代入上式，得10sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ϕ ＋ 68π＋20＝10，即sin ⎪⎭⎫⎝⎛ϕ ＋ 43π＝－1，由于2π＜?＜?，可得 ?＝43π．综上，所求解析式为y ＝10sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛43π ＋ 8πx ＋20，x ∈[6，14]．三、解答题： 19．解：(1)因为0＜?＜2π，sin ?＝54， 故cos ?＝53，所以tan ?＝34．(2)cos 2?＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 2π＝1－2sin 2? ＋cos ?＝?－2532＋53＝258．20．解：(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝21，即a 2－b 2＝21， 所以|b |2＝|a |2－21＝1－21＝21，故|b |＝22．(2)因为cos ?＝ba ba ·＝22，故 ?＝??°．21．解：(1)由已知，所求函数解析式为f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － x ．(2)由y ＝f (x )的图象过⎪⎭⎫⎝⎛0 ， 32π点，得sin 32π?＝0，所以32π?＝k ?，k ∈Z ．即 ?＝23k ，k ∈Z ．又?＞0，所以k ∈N*． 当k ＝1时，?＝23，f (x )＝sin 23x ，其周期为34π， 此时f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛3π ，0上是增函数； 当k ≥2时，?≥3，f (x )＝sin ?x 的周期为ωπ2≤32π＜34π， 此时f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛3π ，0上不是增函数． 所以，?＝23．。
高中数学必修四训练题(1)
高中数学《必修4》训练题（1）一、选择题：1．sin 150°的值等于( )．A ．21B ．－21 C ．23 D ．－23 2．已知＝(3，0)等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．53．在0到2π范围内，与角－34π终边相同的角是( )． A ．6π B ．3πC ．32π D ．34π 4．若cos α＞0，sin α＜0，则角 α 的终边在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°的值等于( )．A ．41B ．23 C ．21 D ．43 6．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是( )．A ．AB ＝ B ．AB －＝BDC ．＋AB ＝D ．＋＝0 7．下列函数中，最小正周期为 π 的是( )．A ．y ＝cos 4xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝sin2x D ．y ＝cos4x 8．已知向量a ＝(4，－2)，向量b ＝(x ，5)，且a ∥b ，那么x 等于( )．A ．10B ．5C ．－25 D ．－109．若tan α＝3，tan β＝34，则tan (α－β)等于( )． A ．－3B ．3C ．－31D ．3110．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( )．A ．2，－2B ．1，－3C ．1，－1D ．2，－1 11．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－1，0)，B (1，2)，C (0，c )，若⊥，那么c 的值是( )．C (第6题)A ．－1B ．1C ．－3D ．312．下列函数中，在区间[0，2π]上为减函数的是( )． A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝tan xD ．y ＝sin (x －3π) 13．已知0＜A ＜2π，且cos A ＝53，那么sin 2A 等于( )．A ．254 B ．257 C ．2512 D ．252414.－215°是 ( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 15.角α的终边过点P （4，－3），则αcos 的值为 ( ) A.4 B.－3C.54 D.53- 16.若0cos sin <αα，则角α的终边在A.第二象限B.第四象限C.第二、四象限D.第三、四象限 17.函数x x y 22sin cos -=的最小正周期是 ( ) A.πB.2πC.4πD.π218.给出下面四个命题：① 0=+BA AB ；②AC C =+B AB ；③BC AC =－AB ； ④00=⋅。
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（数学4必修）第一章 三角函数（上）[基础训练A 组]一、选择题1．设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ.其中符号为负的有（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④ 3．02120sin 等于（ ）A ．23± B ．23 C ．23- D ．214．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ）A.43-B.34-C.43 D.345．若α是第四象限的角，则πα-是（ ）A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角 6．4tan 3cos 2sin 的值（ ）A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在二、填空题1．设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限．2．设M P 和O M 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①0<<OM MP ；②0O M M P <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0， 其中正确的是_____________________________。
3．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是___________。
4．设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 。
5．与02002-终边相同的最小正角是_______________。
三、解答题1．已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求ααsin cos +的值．2．已知2tan =x ，求xx x x sin cos sin cos -+的值。
3．化简：)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(00x x x x x x --⋅--⋅--4．已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且，求（1）x x 33cos sin+；（2）x x 44cossin +的值。
（数学4必修）第一章 三角函数（上）[综合训练B 组]一、选择题1．若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ）A ．34B ．34-C ．34±D ．32．函数xx xx xx y tan tan cos cos sin sin ++=的值域是（ ）A ．{}3,1,0,1-B ．{}3,0,1-C ．{}3,1-D ．{}1,1-3．若α为第二象限角，那么α2sin ，2cos α，α2cos 1，2cos1α中，其值必为正的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知)1(,sin <=m m α，παπ<<2，那么=αtan （ ）．A ．21mm-B ．21mm--C ．21mm-±D ． mm 21-±5．若角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ）．A ．2B ．2-C ．2-或2D ．06．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（ ）．A ．231+-B ．231+- C ．231- D ．231+二、填空题1．若23cos -=α，且α的终边过点)2,(x P ，则α是第_____象限角，x =_____。
2．若角α与角β的终边互为反向延长线，则α与β的关系是___________。
3．设99.9,412.721-==αα，则21,αα分别是第 象限的角。
4．与02002-终边相同的最大负角是_______________。
5．化简：0360sin 270cos 180sin 90cos 0tan r q p x m ---+=____________。
三、解答题1．已知,9090,909000<<-<<-βα求2βα-的范围。
2．已知⎩⎨⎧>--<=,1,1)1(1,cos )(x x f x x x f π求)34()31(f f +的值。
3．已知2tan =x ，（1）求x x 22cos41sin32+的值。
（2）求x x x x 22coscos sin sin2+-的值。
4．求证：22(1sin )(1cos )(1sin cos )αααα-+=-+（数学4必修）第一章 三角函数（上）[提高训练C 组] 一、选择题1．化简0sin 600的值是（ ）A ．0.5B ．0.5- C．2D．2-2．若10<<a ，ππ<<x 2，则11cos cos )(2--+---xxa axx ax x a 的值是（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-3．若⎪⎭⎫⎝⎛∈3,0πα，则αsin log33等于（ ）A ．αsinB ．αsin 1 C ．αsin - D ．αcos 1-4．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）A ．5.0sin 1B ．sin 0.5C ．2sin 0.5D ．tan 0.55．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是（ ）A.若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ>B.若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ>C.若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ>D.若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>6．若θ为锐角且2coscos 1-=--θθ，则θθ1coscos -+的值为（ ）A ．22B ．6C ．6D ．4二、填空题1．已知角α的终边与函数)0(,0125≤=+x y x 决定的函数图象重合，αααsin 1tan 1cos -+的值为_____________．2．若α是第三象限的角，β是第二象限的角，则2βα-是第 象限的角.3．在半径为30m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源， 射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为0120，若要光源 恰好照亮整个广场，则其高应为_______m (精确到0.1m )4．如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第 象限。
5．若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤， 则B A =_______________________________________。
三、解答题1．角α的终边上的点P 与),(b a A 关于x 轴对称)0,0(≠≠b a ，角β的终边上的点Q 与A关于直线x y =对称，求βαβαβαsin cos 1tan tan cos sin ++之值．2．一个扇形O A B 的周长为20，求扇形的半径，圆心角各取何值时，此扇形的面积最大？3．求66441sin cos 1sin cos αααα----的值。
4．已知,tan tan ,sin sin ϕθϕθb a ==其中θ为锐角，求证：11cos 22--=b a θ（数学4必修）第一章 三角函数（下）[基础训练A 组]一、选择题1．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（ ） A ．0 B ．4πC.2πD.π2．将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ）A ．1sin2y x = B ．1sin()22y x π=-C.1sin()26y x π=-D.sin(2)6y x π=-3．若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（ ） A ．35(,)(,)244ππππ B.5(,)(,)424ππππC.353(,)(,)2442ππππ D.33(,)(,)244ππππ4．若,24παπ<<则（ ）A ．αααtan cos sin >>B ．αααsin tan cos >>C ．αααcos tan sin >>D ．αααcos sin tan >> 5．函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（ ）A ．52π B ．25π C ．π2 D ．π56．在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题1．关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数； ②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是 ，因为当α= 时，该命题的结论不成立. 2．函数xx y cos 2cos 2-+=的最大值为________.3．若函数)3tan(2)(π+=kx x f 的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.4．满足23sin =x 的x 的集合为_________________________________。
5．若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________。
三、解答题1．画出函数[]π2,0,sin 1∈-=x x y 的图象。
2．比较大小（1）00150sin ,110sin ；（2）00200tan ,220tan3．（1）求函数1sin 1log2-=xy 的定义域。
（2）设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值。
4．若2cos 2sin y x p x q =++有最大值9和最小值6，求实数,p q 的值。
（数学4必修）第一章 三角函数（下） [综合训练B 组] 一、选择题1．方程1sin 4x x π=的解的个数是（ ）A.5B.6C.7D.82．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ ）A ．)45,()2,4(ππππ B ．),4(ππC ．)45,4(ππD ．)23,45(),4(ππππ3．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（ ）A.2πB.4π-C.4πD.34π4．已知A B C ∆是锐角三角形，sin sin ,cos cos ,P A B Q A B =+=+则（ ） A.P Q < B.P Q > C.P Q = D.P 与Q 的大小不能确定5．如果函数()sin()(02)f x x πθθπ=+<<的最小正周期是T ,且当2x =时取得最大值,那么（ ）A.2,2T πθ== B.1,T θπ== C.2,T θπ== D.1,2T πθ==6．x x y sin sin -=的值域是（ ）A ．]0,1[-B ．]1,0[C ．]1,1[-D ．]0,2[-二、填空题1．已知x aa x ,432cos --=是第二、三象限的角，则a 的取值范围___________。