保送考试构造证明试题选
六年级高斯学校竞赛构造论证二含答案
第21讲构造论证二内容概述各种需要构造具体实例或给出严格论证的组合问题．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析、染色分析和不等式估计等．典型问题兴趣篇1．如图21-1所示，在6×6的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格．现在已经建了两个哨所．请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到。
2．(1)把1，2，3，…，8，9按合适的顺序填在图21-2第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数．(2)能否将1，2，3，…，10，1 1按合适的顺序填在图21-3第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数？3．今有长度为1，2，3，…，198，199的金属杆各一根．请问：能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊接成：(1)一个正方体框架；(2)一个长方体框架？4．老师对六位同学的三门功课语文、数学、体育进行了一次测验，六位同学的体育得分是1分或者2分，数学得分是1分、2分或者3分，语文得分是1分、2分、3分或者4分．如果一位同学的三门功课成绩都不低于另一个同学的三门功课成绩，就说这个同学比另一个同学优秀．测验完成后老师发现这六位同学谁也不比别人优秀，请问：这六位同学三科得分分别为多少？5．把图21-4中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：能否使得每一条直线上的红圈个数都是奇数? 6．(1)能否在4×4的方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，15，16，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？(2)能否在5×5方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？7．图21-5是把一张6×6的方格纸去掉两个角所得的图形．(1)请把所有的格子涂上红、蓝两色之一，使得每个1×2小长方形（不论横竖）的2个方格中都恰有1个红格和1个蓝格；(2)能否用1×2的小长方形恰好拼满这张表格？8．全班25名同学分五排，每排五人坐在教室里，每个座位的前、后、左、右位子称为它的邻座．在儿童节每一位同学都买了一份礼物送给他的一个邻座，能否可以让大家适当地送出礼物，使得每一位同学都刚好收到一份礼物呢？9．将一个4×4的方格表分为如图21-6的5块区域，在其中填人16个互不相同的正整数，使得每一块区域中所填数的和都相等．这16个数的总和最小是多少？10．能否将1，2，3，…，9，10排成一行，使得任意相邻三个数之和都不大于167能否使得任意相邻三个数之和都不大于15 7拓展篇1．有7个不为0的自然数，它们的和正好等于它们的积．请写出一组满足要求的数．2．如图21-7，平面上有5个点，它们之间可以连10条线段，请问：至少要去掉多少条线段，才能使得其中没有以这5个点为顶点的三角形？3．如图21-8，一个幸运转盘分成内圆和外环两部分，并且被五条半径平均分割开．其中内圆是固定的，外环可以转动，但转动后必须使得分割线重新组成半径．请把0至9这10个数字分别填入图中的10个区域，使得不管外环怎么转动，总有大圆的一个扇形的两部分所填数字的和为9．4．平面上6条直线，它们的交点称为“结点”，每条直线上“结点”的个数称为这条直线的“标志数”，图21-9中的3条直线的“标志数”都等于2，只有一种取值；图21-10中的3条直线的“标志数”却有两种取值．现在请你用直尺画出6条直线，使得它们中间任何3条直线都不共点，且相应的6个“标志数”至少取3个不同的数值．5．(1)能否将1至8这8个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？(2)能否将l至8这8个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？6．一本故事书有10篇故事，这些故事占的篇幅从1页到10页各不相同，如果从书的第1页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？7．在4×4的方格表中至少应该去掉多少个格子，才能使得剩下的图形中不存在如图21-11所示的“L型”？8．黑板上写着3个数8、18、28，老师现在请一些同学上黑板对这3个数进行操作．进行一次操作是指：把3个数进行如下变化，或者减1，或者加2．请问：能否经过若干次操作后得到6、7、87能否经过若干次操作后得到8、8、879．有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子（各次这个数目可以改变），也可以由一堆中取一半石子放人另外任一堆石子中．请问：(1)如果开始时，3堆石子的数目分别是34、55、82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？(2)如果开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？如果可以，请设计一种取石子的方案；如果不可以，请说明理由．10．(1)能否将l至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？(2)能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？11．(1)能否用16个如图21-12所示的“T型”拼成一个8×8的棋盘？(2)能否用8个如图21-12所示的“T型”和8个如图21-13所示的“L型”拼成一个8×8的棋盘？(3)能否用1个如图21-12所示的“T型”和15个如图21-13所示的“L型”拼成一个8×8的棋盘？12．(1)能否用9个如图21-14所示的1×4的长方形拼成一个6×6的棋盘？(2)能否用9个如图21-15所示的“L型”拼成一个6×6的棋盘？超越篇1．能否可以用77个3×3×1的长方体小木块装满一个7×9×11的长方体匣子（匣内不留任何空隙）?若能，请给出具体装法；若不能，请说明理由．2．黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b + a + b 这个数，比如：可增写5（因为1×2 + 1 + 2 = 5）；可增写11(因为1×5 + l + 5 = 11)．一直写下去，请问：能否得到下面两个数？若能，请你写出得出的过程；若不能，请说明理由．(1) 143；(2) 144.3．将平面上每一点都染成红、黄两种颜色之一．证明：无论怎样染色，都一定存在长为1的线段，它的两个端点是同样颜色的．4．在6×6的方格表中至少需要放多少个棋子，才能保证每行、每列以及每一条与对角线平行的直线上都有棋子？（角上单独一个格子也可以组成一条与对角线平行的直线，图21-16中阴影部分的三个格子组成的直线也是与对角线平行的直线．）5．(1)能否从图21-17中的A格出发，每次走到相邻的小格子，最后走到B格，并且每个格子都刚好到一次？(2)中国象棋的马是走“日”字型路线．如图21-18，如果马在A点，那么它能跳到B、C、D、E 四点之一．如果马开始在A点，它能否跳3步后回到A点；能否跳9步后回到A点？6．如图21-19，用若干个1×6和1×7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11×12的大长方形，最少要用小长方形共多少个？7．六位音乐家在一个音乐节上相聚，在安排的每场音乐会上，有某些音乐家演奏，而另外几位音乐家就作为观众欣赏演出．要使每位音乐家都能够作为观众观看其他任何一位音乐家的表演，这样的音乐会至少要安排几场？为什么？8．把11×11的方格纸分成若干张3×3、2×2或1×1的小纸片，最少能分成多少张？第21 讲构造论证二兴趣篇1、如图所示，在 6⨯ 6 的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格。
活用n次单位根解清华保送题
，： ｉｎ ．ｉｎ ２Ｅ
』＝８１ ｎ —— Ｓ１ ｎ …… ． ‘． 。Ｓｉ１ｎ 一
（－ 。 ） ．
的值． （２０１２，清华 大学金秋 营试 题 ）
解 设 ∞＝ｅ了．则
ｔＯ ｐ ＝ １．ｔＯ
一 一 号 ＝
一１，２ｃｏｓ２ 竺 二＝＝∞ ＋． ｔＯ
－
－ｋ
．
Ｐ
故 （１＋２ｃｏｓ ）＝付ｋ ＝ｌ
ｎ
ｉ／，
／－／，
（ 一１）（∞ 一１）…［故 （２ ｉ） 扣（ ）：（２ ｉ） （ 号） 一 ＝ ２一 （一１）一
，＝监 等
几
一
２ 一 ‘
本文借助单位根 ，与大家一起探讨两道 清华 大学保 送生试 题．
例 １ 已知 Ｐ是大于 ３的素数．求
综 上 ， ｋ ＝ｌ 、 ＋２ｃ。ｓ ） ， －１．
【说明】本题将三 角的计算转 化为单位
根 的计 算 ，根据 性质 １，通 过 构造 模 Ｐ的缩 系
简 化 了求 解过 程．
例 ２ 求
１６
中 等 数 学
活用 次单位根解清华保送题
中图分类号 ：Ｏ１５６．１
吕 海 柱
（江苏省宝应中学 ，２２５８００） 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１００５—６４１６（２０１３）０８—００１６—０１
定义 ｌ的 ｎ次 方 根 称 为 几次 单 位 根．
令 ∞： ，则 １的 ｎ次单位根可以表示为 １，
正整数 ｎ，使得式①成立．记
凡＝１０ ａ ＋１０ 一’口 ｌ＋… ＋ ｌＯａ１＋ａｏ， —
其中，ａ ，ａ ，…，ａ。均为不大于 ９的非负整
数 ，且 ａ＾≥１． 于是 ，Ｓ（ｎ）＝ａ ＋ａ —ｌ＋… ＋口０．
2017温州中学提前招数学试题及答案(1)
2017年温州中学保送生招生综合素质测试数学试题（本卷满分150，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置）1．若a b <，代数式()2b a aa ba--的化简结果是（ ）A .aB .a -C .a -D .a -- 解：()()()2222000,b a aa a a bb a b a a a a a baa b a ->⇒>⇒<---⎛⎫∴=-⋅=- ⎪--⎝⎭由2．已知,a b 为整数，且方程20x ax b ++=的一个根是23-，则另一个根为（ ） A .23-+ B .23+ C .23-- D .23-()()()()222230232307243072=04,4=0141023x x ax b a b a b a a b a a b a b x x x =-++=⇒-+-+=⇒+++--=++=-⎧⎧∴⇒⎨⎨--=⎩⎩∴-+=⇒=±Q 代入均为整数，3．如图1，在正方体ABCD -1111A B C D 中，2AB =，M 为棱1CC 的中点，P 为四边形1111A B C D 所在平面上的动点，Q 为四边形11BDD B 所在平面上的动点，设△MPQ 的周长为c ，若c k > 恒成立，则k 的最大值为（ ）A .22B .23C .221+D .231+()111111121211111112122222121212max ,,,2222323,23M A B C D M M BDD B M M M A B C D BDD B P Q MPQ MP PQ MQ M P PQ M Q M M M M MM MM c M M k ++=++==+=+=∴≥=∴=作关于平面的对称点，作关于平面的对称点，连接分别交平面，平面于点此时△的周长最小.4．已知,,x y z 为实数，且5x y z ++=，3xy yz zx ++=，若z 的 最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为（ ）A.73 B .83C .3D .103()()()()()()()()222222max min 553333553,55305453031013031310131313113;3313131,1133x y z x y zxy yz zx xy m yz zx z x y z z z z x y z m z z z z z z z z z z z x y z x y z z ++=⇒+=-++=⇒=--=+=-+=--=-+-+-+=---+≥⇒--≤⇒-+≤⇒-≤≤=-=======-⇒-=△以为根构造一元二次方程：当时，解得当时，解得综上所述：035．如图2，已知△ABC 与△GHI 为两个全等的正三角形，点G 为△ABC 的重心，GH 交BC 于点D ，GI 交BC 于点E ，设 BGD α∠=，060α︒≤≤︒，△GDE 的面积为S ，则S 作为α的 函数，所对应的图像是（ D ）A B C D6．如图3，在锐角ABC ∆中，60ACB ︒∠=，点D 为线段 AB 上的一点，ACD ∆的外接圆交BC 于点M ，BCD ∆的外接圆交AC 于点N ，则CM CNCA CB+=（ ） A ．1 B ．3 C ．62 D ．32()()()()222222222222222cos 2cos602AN AC AD AB AC CN AC AB BD AB AC CN AC AB BD ABBD AB BM BC BC CM BC BC CM BC AC CN AC AB BC CM BC AC BC AB CN AC CM BCAC BC AB ACB AC BC AB AC BC AC BCCN AC CM BC AC BC ⋅=⋅⇒-⋅=-⋅⇒-⋅=-⋅⋅=⋅=-⋅=-⋅∴-⋅=--⋅⇒+-=⋅+⋅+-∠=⇒+-=⋅⋅︒=⋅∴⋅+⋅=⋅⇒又又1CM CNCA CB +=二、填空题：（本大题共8小题，每小题6分，共48分)7．关于x 的方程1122k x x +=-有且只有一个实根，则k =___________．()()()()()221212114022(1)220242421600,4042304k x x x x x x x x k k k k k k k k +=⇒-+=-===-==++-=⇒==-==-==-△当当，符合题意时，方程不成立时，时，方程的解为增根；时，方程的解为当当，不合题意所以，8．函数12131y x x x =-+-+-的最小值为____________．min 12131=12311111111=2322333111111,,,,,11333223y x x x x x x x x x x x x x x y =-+-+--+-+--+-+-+---++=⇒==当时， 9．某次台球比赛之后，老陈、小苏、小刘三人各获得了一枚奖牌，其中一人获得金牌、一个获得银牌、一人获得铜牌．老胡猜测：“老陈没有获得金牌、小苏获得金牌、小刘得到的不是铜牌”．结果老胡只猜对了一个，由此推断：得到金牌的人是____________． 列表假设法：①老陈没有获得金牌（√），小苏获得金牌（×），小刘得到的不是铜牌（×） 可知：小刘铜牌，老陈银牌，小苏金牌，矛盾！②老陈没有获得金牌（×），小苏获得金牌（√），小刘得到的不是铜牌（×） 可知：老陈金牌，矛盾！③老陈没有获得金牌（×），小苏获得金牌（×），小刘得到的不是铜牌（√） 可知：老陈金牌，小刘银牌，小苏铜牌符合题意。
6年级奥数构造与论证问题(下)例题解析
【内容概述】组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．【例题】1．某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过．问：能否找到两个学生甲、乙和三本书A，B，C，使得甲读过A，B，没读过C，乙读过B，C，没读过A?说明判断过程．[分析与解]首先从读书数最多的学生中找一人甲．由题设，甲至少有一本书C未读过．设B是甲读过的书中一本，由题意知，可找到学生乙，乙读过B、C．由于甲是读书数最多的学生之一，乙读书数不能超过甲的读书数，而乙读过C书．甲未读过C书，所以甲一定读过一本书A，乙没读过A书，否则乙就比甲至少多读过一本书，这样一来，甲读过A、B，未读过C；乙读过B、C 未读过A．因此可以找到满足要求的两个学生．2．甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛．各班同学都按l，2，3，4，…依次编号．当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒．在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有9台是男、女生对垒．试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24．并指出在什么情况下，正好是24？[分析与解]不妨设甲、乙比赛时，1～15号是男女对垒，乙、丙对赛时，在1～15号中有a台男女对垒，15号之后有(9－a)台男女对垒(0≤a≤9)甲、丙比赛时，前15号，男女对垒的台数时15－a(如果1号乙与1号丙是男女对垒，那么1号甲与1号丙就不是男女对垒)，15号之后，有(9－a)台男女对垒．所以甲、丙比赛是，男女对垒的台数为(15－a)+(9－a)＝24－2a≤24．仅在a＝0，即必须乙、丙比赛时男、女对垒的号码，与甲、乙比赛时男、女对垒的号码完全不同，甲、丙比赛时，男、女对垒的台数才等于24．3．将5×9的长方形分成10个边长为整数的长方形．证明：无论怎样分法，分得的长方形中必有两个是完全相同的．[分析与解]10个边长为整数的长方形，其面积显然也均是正整数．划分出的长方形按面积从小到大为：1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，1×6，2×3，1×7，1×8，2×4，1×9，3×3，2×5，2×6，3×4，2×7，3×5，2×8，4×4，2×9，3×6，……从这些长方形中选出10个不同的长方形，其面积和最小为：1×1+1×2+1×3+1×4+2×2+1×5+1×6+2×3+1×7+1×8＝46，而原长方形的面积为5×9＝45＜46，所以分出的长方形必定有某两个是完全一样的．在8×8的棋盘上至少要取出多少个边长为整数的正方形，才能保证使取出的正方形中有两类图形的个数不小于2？4．将15×15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色．证明：至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同．[分析与解]如果找不到两行的某种颜色数一样，那么就是说所有颜色的列与列之间的数目不同．那么红色最少也会占：0+1+2+…+14＝105个格子．同样蓝色和绿色也是，这样就必须有至少：3×(0+1+2+…+14)＝315个格子．但是，现在只有15×15＝225个格子，所以和条件违背，假设不成立，结论得证．能否在8×8的棋盘上每个空格内分别填入一个数字，1，2或3，使每行每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同？请说明理由；5．有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言．求证：在这些数学家中至少有3人能用同一种语言交谈．[分析与解]假设任意三位科学家都没有共同会的语言，这表明每种语言至多有两人会说．记这九位科学家为A、B、C、D、E、F、G、H、I．由于一位科学家最多会三种语言，而每种语言至多有两人会说，所以一位科学家至多能和另外三人通话，即至少与五人语言不通．不妨设A不能与B，C，D，E，F 通话．同理，B也至多能和三人通话，因此在C，D，E，F中至少有一人与B语言不通，设为C．则A、B、C三人中任意两人都没有共同语言，与题意矛盾．这表明假设不成立．6．4个人聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．试证明：至少有2对人，每对人是互赠过礼品的．[分析与解]将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连一条线．由于每人送出2件礼物，图中共有(4×2＝)8条线，由于每人礼品都分增给2个人，所以每两点之间至多有(1+1＝)2条线．四点间，每两点连一条线，一共6条线，现在有8条线，说明必有两点之间连了2条线，还有另外两点(有一点可以与前面的点相同)之间也连了2条线．即为所证结论．有5个人站成一周，每人手里有一只玩具手枪和3发子弹，每个人都可以向圆周上的其他三人各开一枪，试证明：至少有5对人是相互开过枪的。
构造全等三角形证题
构造全等三角形证题一、延长中线构造全等三角形例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。
如图2。
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。
又∵∠1＝∠2，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。
AB＝CE。
∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，∴AB＋AC＞2AD。
二、沿角平分线翻折构造全等三角形例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。
求证：AB＋BD＝AC。
证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。
如图4。
∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE，∴△ABD≌△AED（SAS）。
∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。
而∠AED＝∠C＋∠EDC，∴∠C＝∠EDC。
所以EC＝ED＝BD。
∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。
三、作平行线构造全等三角形例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。
E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。
求证：EF＝FD。
证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。
则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。
∴∠B＝∠EMB。
故EM＝BE。
∵BE＝CD，∴EM＝CD。
又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF，∴△EFM≌△DFC（AAS）。
EF＝FD。
四、作垂线构造全等三角形例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。
M是AC边的中点。
AD⊥BM交BC于D，交BM于E。
求证：∠AMB＝∠DMC。
证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。
如图8。
∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。
∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°，∴△ABM≌△CAF（ASA）。
∴∠F＝∠AMB，AM＝CF。
∵AM＝CM，∴CF＝CM。
2018五年级奥数.杂题.构造与论证(BC级).学生版
知识框架各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．例题精讲板块一、最佳安排和选择方案【例1】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【巩固】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．构造与论证【例2】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光?(2)3堆中的所有石子都被取走?欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例3】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【例4】如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立．【巩固】将1、2、3、4、5、6写在一个圆周上，然后把圆周上连续三个数之和写下来，则可以得到六个数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a ，将这六个数中最大的记为A ．请问在所有填写方式中，A 的最小值是什么？632541【例5】1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数．现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积．那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人?【巩固】一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和.问：这组数之和的最小值是多少?当取到最小值时，这组数是怎样构成的?欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例6】2004枚棋子，每次可以取1、3、4、7枚，最后取的获胜。
近几年保送生考试题集锦
2012年北京大学保送生面试题考试时间：12月17日和12月18日考试形式：笔试和面试笔试科目：有5科，理科考语文、数学、英语、物理、化学；文科考语文、数学、英语、历史、政治；面试目的：考查考生的综合素质北大政策：学校自主选拔与保送生考试分别举行。
在本次保送生测试中获得笔试资格的考生，同时报名参加自主选拔的，可自动获得北大2012年自主选拔的笔试资格。
最终被认定为保送生的，不必参加北大2012年的自主选拔测试；未被认定的，可参加北大自主选拔测试。
学校将择优给予保送或者自主选拔认定。
考试题目：要求根据所给的一段关于火车晚点不予退款和在退票、改签问题上对普通列车与动车的旅客差别对待的材料，写一封“一个普通乘客致铁道部长的公开信”。
2012北京大学保送生面试形式面试时间：10到12分钟30分钟左右；面试类型：一人一组，文理分开五人一组，文理混合；面试方式理科生中文面试，文科生英文加中文面试。
理科生由3位老师做考官，老师拿着学生事先交上的个人陈述分别提问，主要是个人问题，一般3到4道题。
文科生面试有10多道题，每道题限制回答时间，大多针对学生本身。
中文面试。
每个考场有3个老师，5个考生。
考生有5个题目可以选择。
考生先抽取题目，有一次更换题的机会。
依次进行自我介绍、回答自己所抽到的问题，最后，由整组的同学对共同的5道题目进行讨论，时间为20分钟。
因为一贯具有“兼容并蓄”的包容精神，北大的面试考题同样包罗万象，在面试题目中，考查学生对社会热点问题看法的题目占了一半。
2012年北京大学保送生部分面试题：社会热点1.对天宫一号的发射与对接有什么看法？2.中国经济发展的同时物价也在上涨，你怎么理解？3.怎么看梵蒂冈教皇在建设天文台时请科学家来进行研究？4.谈谈你对中国土地政策、土地资源配置的认识。
5.你觉得什么样的食品是“绿色食品”？6.很多学“临床医学”的人毕业以后宁可在大城市里卖药，也不愿去乡村行医，对此怎么看待？7.怎么看待经济增长与国民幸福指数的关系？8.有人认为，高考选拔制度必须统一标准，这样有利于人才选拔和社会公平，但也有人认为，应该在高考选拔的基础上进行多元选拔，请谈谈你的看法。
2020年士兵提干考试综合能力分析推理—数学运算每日练习二十道题(31)
2020年士兵提干考试综合能力分析推理—数学运算每日练习二十道题(31)关键词：士兵提干张为臻大学生士兵提干提干考试辅导分析推理数学运算【大学毕业生士兵提干】2020年大学毕业生士兵提干考试：考试时间为150分钟。
单项选择145题，其中政治理论知识15题、军事知识50题、基本常识30题、分析推理50题;综合能力2题。
满分为400分。
其中政治理论基本知识、军事知识、基本常识每题2分，共190分;分析推理每题3分，共150分;综合能力每题30分，共60分。
【优秀士兵保送入学】2020年优秀士兵保送入学考试：考试时间为180分钟。
单项选择195题，其中政治理论知识15题、军事知识50题、基本常识30题、科学知识综合50题(语文、数学、英语、物理、化学各10题)、分析推理50题;综合能力2题。
满分500分。
其中政治理论知识、军事知识、基本常识、科学知识综合每题2分，共290分;分析推理每题3分，共150分;综合能力每题30分，共60分。
1、几个朋友相约游泳，男士统一戴白色泳帽，女士统一戴红色泳帽。
每位男士看到的白色泳帽数量与红色泳帽数量一样多，每位女士看到的白色泳帽数量都是红色泳帽数量的倍数。
女士最少有( )人。
A.1B.2C.3D.42、某工厂接了一批订单，要生产2400件产品。
在开始生产10天后，由于工艺改进每天多生产30件产品，结果提前2天交货。
问该厂没有改进工艺前，每天能生产多少件产品?A.100B.120C.150D.1803、甲、乙两人生产零件，甲的任务量是乙的2倍，甲每天生产200个零件，乙每天生产150个零件，甲完成任务的时间比乙多2天，则甲、乙任务量总共为多少个零件?A.1200B.1800C.2400D.36004、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进。
如果每个人按一定的速度前进，4小时相遇;如果各自每小时比原计划少走1千米，5小时相遇。
则AB两地的距离是：A.40千米B.20千米C.30千米D.10千米5、小李驾车从甲地去乙地，如果比原车速提高25%，则比原定时间提前30分钟到达。
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重点大学推优保送生考试数学试题选
1． 求证：边长为1
2． 已知0,0,,x y a x y b c >>=+==m 使得对于任意正数x 、y 可使a 、b 、c 为一个三角形的三边，如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由。
3． 已知()f x 满足：对实数a 、b 有()()()f a b af b bf a ⋅=+，且|()|1f x ≤，求证：()f x 恒为零。
4．求证：从椭圆焦点出发的光线经过光滑的椭圆壁反射后必经过另一个焦点， 你还知道其他圆锥曲线的光学性质吗？
5．空间中存在6点，任意3点不在同一直线上，可组成几个三角形？同一中颜色描绘其中几条线段，令一种颜色描绘其他线段，问可能存在一个三边同色的三角形吗？
6
7．设平面上有三个点，任意两个点之间的距离不超过1，问，半径至少为多大的圆盘才能盖住三个点，请证明你的结论。
8．我国古代数学家祖冲之求出了π的近似值，请简要证明3<π<4。
9．证明：1233=+y x 的所有整数解(x , y )，0≠y ，满足331
||1|2|y y x <+ 10．若)(x f 的定义域为D ，对于D x ∈，存在常数M ，恒有M x f ≤|)(|，则认为)(x f 为有界函数，问x
x x f 1sin 1)(=在(0, 2)上是否为有界函数？ 11． 已知正数n x x x x ,,,321，满足21321≤
++++n x x x x ，求证：2
1)1()1)(1)(1(321≥----n x x x x 12． 已知非常值连续函数)(x f ，对任意的1,1≥≥y x 恒有
)()()(y f x f y x f +=+，求证：存在常数k ，使对任意的1≥x ，都有kx x f =)(。
13．已知正数列n a a a ,,,21 (n ≥2),且n a a a n 2321=+++ ，2
1321+=n a a a a n ，试证：n a a a ,,,21 中至少有一个小于1。
14．解关于x 的方程：02792223=++++k x k kx x ，其中9≥k 。
15．已知二次函数2()f x ax bx c =++，若()f x x =无实数解，求证：[()]f f x x =无
实数解。
16．设有数列}{n x ，若存在常数A ，使得对一切N n ∈，都有A x n ≤||，则称数列
}{n x 是有界数列，
今有数列}{n x 与}{n y ，满足条件：a x =1，b y =1 (b>a>0)，并且))((2
1,11N n y x y y x x n n n n n n ∈+==++，试证明两数列}{n x 与}{n y 都是有界数列。
19．（1）设函数)(x f 定义在区间（0，＋∞）上，a >0，b>0，证明：若
x x f )(在（0，＋∞）上单调减，则)()()(b f a f b a f +<+
（2）设a >0，b>0，证明：当10<<p 时，p p p b a b a +<+)(
20．（1）在]2,0[π
上作出函数x y sin =与x y π2
=的图像；
（2）你能从该图像上得出什么结论？
（3）证明：对于任何一个非钝角三角形，其三边之和总大于它的外接圆直径的2倍。