平方根 算术平方根 立方根
平方根 算术平方根 立方根 实数
实数学习目标1.理解并掌握算术平方根、平方根、立方根等概念及性质，并会用根号表示它们.2.会求算术平方根、平方根和立方根.3.理解有理数、无理数以及实数的概念，知道这些数和数轴上的点的对应关系.4.会进行实数的运算.知识精讲1.算术平方根.（1）概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫作a 的算术平方根.其中a 叫作被开方数.a 的算术平方根记作)0(≥a a ，读作“根号a ”.（2）性质：正数的算术平方根是正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.注意：非负数a 的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身也是非负数.2.平方根.（1）概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫作a 的平方根（或二次方根）.即如果a x =2，那么x 叫作a 的平方根，记作)0(≥±a a .（2）开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫作开平方.注意：开平方运算与平方的运算互为逆运算.（3）性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 注意：①求某数的平方根，先要看这个数是不是非负数.②要判断一个数是不是另一个数的平方根，只需验证这个数的平方是否等于另一个数.③一个正数的正的平方根即为算术平方根.a 表示a 的算术平方根，a ±表示a 的平方根. ④在求一个数的平方根时，只要求出它的算术平方根，就可直接写出它的另一个平方根. ⑤要熟记1至20之间的整数的平方.3.立方根.（1）概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫作a 的立方根或三次方根.即如果a x =3，那么x 叫作a 的立方根，记作3a ，读作“三次根号a ”.注意：这里的根指数3不能省略.（2）开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方，其中a 叫作被开方数.注意：开立方运算与立方根运算互为逆运算.（3）性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.注意：①任何数的立方根都只有一个，其符号与它本身的符号一致. ②3a -=-3a ，a a a ==3333)(.4.实数.（1）无理数：无限不循环小数叫作无理数.注意：无理数常见的三种形式：①开方开不尽的数；②有规律的无限的不循环小数；③含π的数.（2）有理数和无理数统称为实数.（3）实数的分类. 实数 有理数：有限小数或无限循环小数 无理数：无限不循环小数正实数 正有理数 正无理数实数 0负实数 负有理数 负无理数（4）实数与数轴上的点是一一对应的，即数轴上的点都表示实数；反之，实数都可以用数轴上的点来表示.5.实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内任然适用.方法提炼1.平方根的相关结论.（1）当被开方数扩大(或缩小)2n 倍时，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0≥n ）.（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①)0()(2≥=a a a ；②==a a 2 )0()0(＜a a a a -≥ （3）若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，它的算术平方根介于21a a 、之间，即当210a a a ＜＜≤时，则210a a a ＜＜≤.利用这个结论我们可以估算一个非负数的算术平方根的大致范围.2.立方根的相关结论.（1）当被开方数扩大(或缩小)3n 倍时，它的立方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0≥n ）.（2）a a =33，a a =33)(.（3）若一个数a 介于另外两数1a 、2a 之间，它的立方根介于3231a a 、之间，即当21a a a ＜＜时，则32331a a a ＜＜.利用这个结论我们可以估算一个数的立方根的大致范围.3.三种非负数：，02≥a ，0≥b )0(0≥≥c c .根据非负数的性质.若其中两个或三个非负数的和为0，则每一个非负数均为0，即若02=++c b a ，则.0,0,0===c b a4.对于绝对值与平方根问题一般需分类讨论. 典例精析例1 给出下列说法：(1)正数都有平方根和立方根，负数没有平方根和立方根. (2)一个数的平方根和立方根相等，这个数是0 或1. (3)任何实数都有立方根. (4)一个正数的算术平方很和一个负数的算术平方根互为相反数. (5)一个数的立方根和这个数的相反数的立方根互为相反数.其中正确的有（ ）个.A.2B.3C.4D.5例2 已知12-a 的平方根为3±，12-+b a 的立方根为2，求b a 2+的平方根.典例精练1.下列语句中正确的是（ ）A.49的算术平方根是7B.49的平方根是-7C.-49的平方根是7D.49的算术平方根是7±2.下列实数3π，71-，0，2，-3.15，9，33中，无理数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.（1）9-的平方根与-8的立方根的和是（ ）A.1B.-5C.3±D.1或-5（2）一个数的算术平方根是a ，则比这个数大8的数是（ ）A.a +8B.a -4C.82-aD.82+a4.若0)3(122=++-++c b a ，则c b a -+2等于（ ）A.0B.1C.2D.35.给出下列说法：(1)无理数就是开方开不尽的数.（2）无理数是无限u 循环小数.（3）无理数包括正无理数、0、负无理数.（4）实数都可以用数轴上的点来表示.其中正确的个数为（ ）个.A.1B.2C.3D.4 6.75-的相反数是____________，绝对值是____________.7.当x __________时，1-x 有意义.8.比较大小：72___________24.9.(1)若36.25=5.036，6.253=15.906，则253600=___________.(2)已知351.1=1.147，472.21.153=，5325.0151.03=，则31510的值是___________. 10.(1)52233221-+-+-+- (2)3201564321691541)1(21+-++--+-+ (3)327)21()4()4()2(323323-÷--⨯-+-⨯-11.求下列各式中的x .(1)01642=-x (2)0125273=-x12.若15+a 和19-a 是正数m 的平方根，求m 的值.13.已知m 是313的整数部分，n 是13的小数部分，求n m -的值.14.已知实数c b a 、、在数轴上对应点的位置如图所示，化简：3322)()(a b b c b c b a ----+-+-.中考真题1.（湖北鄂州）4的算术平方根为__________.2.（安徽）设n 为正整数，且1n 65+＜＜n ，则n 的值为（）. A.5 B.6 C.7 D.8。
《算术平方根、平方根、立方根》易错题训练
《算术平方根、平方根、立方根》易错题训练算术平方根、平方根、立方根易错题训练1. 算术平方根的定义和计算方法在数学中，算术平方根指的是一个数的平方等于给定数的平方根。
如果我们要计算16的算术平方根，我们需要找到一个数，使得这个数的平方等于16。
在这个例子中，16的算术平方根是4，因为4的平方等于16。
在实际计算中，我们可以使用开方符号√来表示算术平方根，即√16=4。
但在实际运用中，很多学生容易将算术平方根和平方根搞混，导致错题。
掌握算术平方根的定义和计算方法非常重要。
2. 平方根的概念和应用与算术平方根类似，平方根也是一个数的平方等于给定数的根。
但与算术平方根不同的是，平方根更常用于几何和物理问题中。
在计算一个矩形的对角线长度时，我们就需要使用平方根来计算。
平方根通常用来求解两边边长已知的等腰三角形的高、直角三角形斜边等问题。
然而，很多学生在高中数学学习中，由于对平方根的概念和应用理解不够深入，容易在相关题目中出错。
理解平方根的概念及其应用也是十分重要的。
3. 立方根的特点和求解方法立方根是一个数的立方等于给定数的根。
27的立方根是3，因为3的立方等于27。
立方根在几何和物理问题中同样有广泛的应用，如求解立方体的体积、长方体的对角线长度等。
虽然立方根的概念和求解方法比较直观，但在实际运用时，一些立方根的运算和问题求解可能会让学生感到困惑，容易出错。
熟练掌握立方根的特点和求解方法对于学生来说也是必不可少的。
4. 总结和回顾通过本篇文章的训练，我们可以得出结论：学生需要深入理解算术平方根、平方根、立方根的定义和计算方法，避免混淆和错题。
学生需要在实际问题中灵活应用平方根和立方根的知识，加深对概念和应用的理解。
学生可以通过练习题目加深对这些数学概念的掌握，并避免在考试中出现低级错误。
5. 个人观点和理解在我看来，数学中的算术平方根、平方根、立方根是非常基础但又非常重要的知识点。
它们不仅在数学中有着广泛的应用，而且还是建立数学思维和逻辑推理能力的重要基础。
平方根、算术平方根和立方根
【例 2】求下列各数的平方根：
1）49
2）2.89
3）1 7 9
【例 3】求下列各数的算术平方根
1）121
2） 0.64
3） 81 256
4） 52
【例 4】求下列各式的值
1） 144
2） 2.25
3） 1 9 16
【例 5】求 62 的平方根和算术平方根
【例 6】求 1 x 2 27 中的 x 3
）
A、x>0
B、x≥0
C、a>0
D、a≥0
8、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（
）
A、大于 0 B、等于 0 C、小于 0 D、不能确定
9、一个正方形的边长为 a，面积为 b，则（ ）
A、a 是 b 的平方根 B、a 是 b 的的算术平方根
C、 a b
D、 b a
10、若 a≥0，则 4a 2 的算术平方根是（
6．用长 28cm，宽 20cm 的瓷砖 140 块恰好不重不漏地将一正方形墙面覆盖，求这面墙的边长（砖与砖 之间的接缝忽略不计）．
a （ a 0）
a 0
a2 a
；注意 a 的双重非负性：
- a （ a <0）
a 0
3、立方根
如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意： 3 a 3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
20、若 x 1 | y 2 | 0 ，求 x+y 的值。
21、已知： x y 3 与 x y 1互为相反数，求 x+y 的算术平方根
平方根_算术平方根_立方根
平方根、算术平方根、立方根区别1. 平方根、算术平方根的概念与性质如果一个数x的平方等于a（即），那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根），记作：，这里a是x的平方数，故a必是一个非负数即；例如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根只有一个0，即为它本身。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，表示为，例如16的算术平方根是，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①；②。
2. 平方根、算术平方根的区别与联系区别：①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。
联系：①它们之间具有包含关系；②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；③0的平方根以及算术平方根均为0。
3. 立方根的定义与性质如果一个数x的立方等于a（即），那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根），记作：。
立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
二、解题中常见的错误剖析例1. 求的平方根。
错解：的平方根是剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而是一个正数，故它的平方根应有两个即±3。
例2. 求的算术平方根。
错解：的算术平方根是3剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9的算术平方根，因而导致误解，事实上本题就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。
，而3的算术平方根为，故的算术平方根应为。
仿此你能给出的平方根的结果吗？三、典型例题的探索与解析例3. 已知：是算数平方根，是立方根，求的平方根。
分析：由算术平方根及立方根的意义可知联立<1><2>解方程组，得：代入已知条件得：所以故M＋N的平方根是±。
例4. 已知，求的算术平方根与立方根。
分析：由已知得联立<1><2>解方程组，得：所以因而的算术平方根与立方根分别为。
平方根算术平方根立方根二次根式
平方根算术平方根立方根二次根式
平方根、算术平方根、立方根和二次根式都是数学中常见的概念，它们在代数和数学分析中起着重要作用。
首先，平方根是一个数的平方根是指另一个数的平方，例如，
数x的平方根是指另一个数y，使得y的平方等于x。
一般来说，如
果一个数为正数，那么它有两个平方根，一个是正的，一个是负的。
例如，4的平方根是2和-2，因为2的平方等于4，-2的平方也等
于4。
其次，算术平方根是指一个非负数的平方根。
例如，数9的算
术平方根是3，因为3的平方等于9。
在实际应用中，算术平方根常
常用于计算几何问题和物理问题中。
接着，立方根是一个数的立方根是指另一个数的立方，例如，
数x的立方根是指另一个数y，使得y的立方等于x。
和平方根类似，如果一个数为正数，那么它有一个实数立方根，如果这个数为负数，那么它也有一个实数立方根。
最后，二次根式是指包含有平方根的代数式，例如，√2或
3√5。
二次根式在代数中经常出现，在求解方程和进行简化代数式时起着重要作用。
总的来说，平方根、算术平方根、立方根和二次根式都是数学中常见的概念，它们在代数和数学分析中有着广泛的应用，对于理解数学和解决实际问题都具有重要意义。
希望我对这些概念的解释能够帮助到你。
平方根和立方根知识点总结及练习
基础知识巩固一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根1平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a,那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根．2开平方的定义：求一个数的平方根的运算,叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义;3平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9,9的平方根是±3 4一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 5符号：正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根1算术平方根的定义： 一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2,那么这个正数x叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ,读作“根号a”,a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是,在等式a x =2 x≥0中,规定a x =;2a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时,a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数;3当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小;一般来说,被开放数扩大或缩小a 倍,算术平方根扩大或缩小a 倍,例如=5,=50;4夹值法及估计一个无理数的大小5a x =2x≥0 <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x 6正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零; a a ≥00≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a a <0 a ≥07平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数; 3、立方根1立方根的定义：如果一个数x 的立方等于a ,这个数叫做a 的立方根也叫做三次方根,即如果3x a =,那么x 叫做a 的立方根2一个数a 的立方根,记作3a ,读作：“三次根号a ”,其中a 叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方; 3 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根,是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根;4利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即()330a a a -=->;5a x =3 <—> 3a x =a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x633a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面;典型例题分析知识点一：有关概念的识别 1、下列说法中正确的是 A 、的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5的平方根的相反数2、下列语句中,正确的是A ．一个实数的平方根有两个,它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．一个实数的立方根不是正数就是负数D ．立方根是这个数本身的数共有三个3、下列说法中：①3±都是27的立方根,②y y =33,③64的立方根是2,④()4832±=±;其中正确的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 4、()20.7-的平方根是A ．0.7-B ．0.7±C ．0.7D ．0.49 5、下列各组数中,互为相反数的组是A 、－2与2)2(- B 、－2和38- C 、－21与2 D 、︱－2︱和2知识点二：计算类题型1、25的算术平方根是_______；平方根是_____. -27立方根是_______.___________, ___________,___________.2、=-2)4( ； =-33)6( ； 2)196(= . 38-= .3、① 2+32—52 ② 771-7③ |23- | + |23-|- |12- | ④ 41)2(823--+4、1327-＋2)3(-－31- 233364631125.041027-++---3知识点三：利用平方根和立方根解方程1、12x-12-169=0； 212142=x 3125)2(3=+x知识点四：关于有意义的题a ,有非负性,a 0a a ≥0;要使1a有意义,必须满足a ≠0. 1、若a 的算术平方根有意义,则a 的取值范围是 A 、一切数 B 、正数 C 、非负数 D 、非零数 2、要使62-x 有意义,x 应满足的条件是3、当________x 时,式子21--x x 有意义;知识点五：有关平方根的解答题1、一个正数a 的平方根是3x ―4与2―x,则a 是多少2、若5a ＋1和a －19是数m 的平方根,求m 的值;3、已知x 、y 都是实数,且334y x x =--,求x y 的平方根;知识点六：非负性的应用1、已知实数x,y 满足 2x -+y+12=0,则x-y 等于解答：根据题意得,x-2=0,y+1=0,解得x=2,y=-1, 所以,x-y=2--1=2+1=3．2、已知a 、b 满足0382=-++b a ,解关于x 的方程()122-=++a b x a ;3、若0)13(12=-++-y x x ,求25y x +的值;4、若a 、b 、c 满足01)5(32=-+++-c b a ,求代数式acb -的值;5、已知a 31-和︱8b －3︱互为相反数,求ab －2－27 的值;重点知识巩固考点、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义1如果一个正数x 的平方等于a,即,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根;2如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a 的平方根或二次方跟;如果,那么x 叫做a 的平方根;3如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根或a 的三次方根;如果,那么x叫做a的立方根;2、运算名称1求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方;平方与开平方互为逆运算;2求一个数的立方根的运算,叫做开立方;开立方和立方互为逆运算;3、运算符号1正数a的算术平方根,记作“a”;2aa≥0的平方根的符号表达为;3一个数a的立方根,用表示,其中a是被开方数,3是根指数;4、运算公式4、开方规律小结,a的算术平方根a；正数的平方根有两个,它们互为相反1若a≥0,则a的平方根是a数,其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根;实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同;正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0;2若a<0,则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数,则a的立方根是;3正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数;。
第二章平方根、算术平方根和立方根
第二章平方根、算术平方根和立方根知识点汇总1. 平方根、算术平方根和立方根三者的区别与联系( 理清概念方能百战不殆)指数 2 在根号的里面。
2 ( a) 2与a2的关系( 难点)(1) 区别：①意义不同：( a) 2表示非负数 a 的算术平方根的平方；a2表示实数a的平方的算术平方根。
②取值范围不同：( a)2中的a为非负数，即a≥0；a2中的 a 为任意数。
③运算顺序不同：( a)2是先求 a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a2是先求 a 的平方，再求平方后的算术平方根。
④写法不同。
在( a) 2中，指数 2 在根号的外面；而在a2中，⑤运算结果不同：(a)2＝a(a≥0) ； a ＝| a|＝a，a≥0，－a，a<0.（2） 联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算。
②两式运算的结果都是非负数，即 ≥0. ③仅当 a ≥0时，有 （ a ）2＝ a 2 。
3. 立方根的化简公式： 3 a 3 ＝a ；（3 a ）3＝a ； 3 a ＝－ 3 a( a ) 2≥ 0， a 21．．选择2014·南京） 8 的平方根是（ A ． 4B ．±42． （2014 。
东营 ） 的平方根是（ A ．±3 B ．3 3． 2014?连云港） 计算 A ． ﹣3 B ． 4.（2014。
厦门） 4 的算术平方根是（ A ． 16 B ．5．下列计算中，正确的是（ 典型题精选）C ．的结果是（±9 C ． C ． D ．D ．9﹣9 D ． ﹣2 D ． ±2 3 2 6 A.a · a =a B. ( π -3.14 )o =1 C. (13)1) 2C ．( ab ) 3 D. 93 6.（2014 年湖北荆门 ）下列运算正确的是 A ．3﹣1=﹣3 B ． =±3 7. 下列说法错误的是（ ） A ．5是 25 的算术平方根 C ．（－4）2 的平方根是－ 4 8．如果 x 是 0.01的算术平方根，则 A ． 0.000 1 C ．0.1 9.下 列说法中，正确的是（ ） A. 一个有理数的平 方根有两个，B. 一个有理数的 立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－ 10. 下列各式中，无意义的是（ ） x ＝（ B ． D ． 36 =a b D ．a 6 2 ÷a =a A. 32 B ．1 是 1 的一个平方根D ．0 的平方根与算术平方根都是 ）±0.000 1±0.1 它们互为相反数 1， 0，1 B. 3 ( 3)3 C. ( 3)2 D. 10 3 绝对值与算术平方根的非负性）11. 若 a,b 为实数，且满足 |a －2|+ b 2 =0，则 b －a 的值为（ ）A ．2B ．0C ．－ 2D ．以上都不对平方与算术平方根的非负性）12.（2014·福州） 若（m-1）2+ n 2 ＝0，则 m ＋ n 的值是（ A ．－ 1 B ． 0 C ．1 13. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的D ．2x 错误！未找到引用源。
算术平方根、平方根、立方根之间区别联系(课堂PPT)
根号a”
2
立方根的定义. 一般地，如果一个数的立方等于a，这个
数就叫做a的立方根(也叫做三次方根). 用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根.
数a的立方根用符号“3 a ”表示,读作“三次根号a
其中a是被开方数,3是根指数(注意:根指数3不能省 略).
算术平方根
定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x2
=a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方
根，记为“ 做被开方数
a
”，读作“ 根号 a ”。a叫
规定：0的算术平方根是0,即 0 0
非负数
a ≥0 （a≥0）
算术平方根具有双重非负性
1
平方根定义
一般的，如果一个数X的平方等于a，即
x2=a那么这个数X叫做a的平方根（也叫
3
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联 系和区别吗？
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
开 方 是本身
a ≠ a
a≥ 0
a≥ 0
3a a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0 没有
0 没有
0 负数（一个）
求一个数的平方根 求一个数的立方根
的运算叫开平方 的运算叫开立方
10
3.说出下列各式的值：
（1） - 81 9 （4） 3 125 5
（2） （-25）2 2 5 （5）-3 0.027 0 .3
（ 3） 25 36
5 （6） - 3 125 5
6
82
11
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平方根算术平方根立方根三说
王峰
一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要
1. 平方根、算术平方根的概念与性质
如果一个数x的平方等于a（即），那么这个数x就叫做a的平方根（或
二次方根），记作：，这里a是x的平方数，故a必是一个非负数即；例如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根只有一个0，即为它本身。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，表示为，例如16的算术平方根是，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①；②。
2. 平方根、算术平方根的区别与联系
区别：①定义不同；
②个数不同；
③表示方法不同；
④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。
联系：①它们之间具有包含关系；
②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；
③0的平方根以及算术平方根均为0。
3. 立方根的定义与性质
如果一个数x的立方等于a（即），那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根），记作：。
立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
二、解题中常见的错误剖析
例1. 求的平方根。
错解：
的平方根是
剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而是一个正数，故它的平方根应有两个即±3。
例2. 求的算术平方根。
错解：
的算术平方根是3
剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9的算术平方根，因而
导致误解，事实上本题就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。
，而3的算术平方根为，故的算术平方根应为。
仿此你能给出的平方根的结果吗？
三、典型例题的探索与解析
例3. 已知：是算数平方根，是立方根，求的平方根。
分析：由算术平方根及立方根的意义可知
联立<1><2>解方程组，得：
代入已知条件得：
所以
故M＋N的平方根是±。
例4. 已知，求的算术平方根与立方根。
分析：由已知得
联立<1><2>解方程组，得：
所以
因而的算术平方根与立方根分别为。
例5. 若一个正数a的两个平方根分别为和，求的值。
分析：由平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，因而可构造方程
，解得
从而
评注：本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出a，解法可谓简捷明了，令人耳目一新。
事实上方程思想是初中阶段一种重要的数学思想方法，应引起同学们高度重视。
例6. 比较的大小。
分析：要比较的大小，必须搞清a的取值范围，由知，由知，综合得，此时仍无法比较，为此可将a的取值分别为
①；②；③
三种情况进行讨论，各个击破。
当时，取
则，显然有
当时，
当时，仿①取特殊值可得
评注：本题的解答用到了分类讨论的思想，所谓分类思想就是根据问题的需要将涉及的对象按一定的标准分成若干类，然后再逐类讨论求解的思维方法。
分类要遵循三条原则：
①标准统一；
②任何两种情况不重复；
③每一种情况都不能遗漏。
例7. 已知有理数a满足，求的值。
分析：观察表达式中的隐含条件，被开方数应为非负数即，亦即，故原已知式可化为：
例8. 若x、y、m适合关系式
，试求m的值。
分析：观察等式的右边的两个表达式的被开方数互为相反数，再结合只有非负数才有算术平方根，因而必有
所以。
原已知式可化为：
再变形得：
将代入（*）得：
由算术平方根的非负性，再根据“若干个非负数的和为零，则其中每一个非负数均为零”，可得
解这个方程组得：
评注：抓住题目中隐含的��算术平方根具有双重非负性：①；②是解决此类问题的关键。
例9. 有理数a、b、c在数轴对应点如下图所示，化简。
分析：根据数轴上的点表示的数，右边的总比左边的数大可知：
再结合算术平方根应为非负数，因而
原式
评注：本例借助以形（数轴）辅数（确定的符号）的方法解题的，是数形结合思想的具体体现。
所谓数形结合思想��就是在已知条件下建立数和形之间的关系，以形辅数，以数定形，利用数、形的相互关系来解题的思维方法。
例10. 借助计算器计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
（4）
仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？你能解释这一规律吗？分析：利用计算器计算得：
（1）
（2）
（3）
（4）
观察上述各式的结果，容易猜想其中的规律为：个1与n个2组成的数的差的算术平方根等于n个3组成的数。
即
解释理由如下：。