已知平行截面面积求立体的体积：图形、动画、计算
定积分的应用面积体积-2022年学习资料
例1.求由抛物线y2=2x及直线2x+y-2=0所围图形的面积。-→X-y+d---2,-2
y-=2x-2x+y-2=0-X-12-2,-2-求平面因形面积的基本步骤：-1作曲线图形、确定积分变量积分区间；-2求面积微元；-3计算定积分。
当曲边梯形的曲边由参数方程-北=pt-y=feG1ss2）,-给出时，曲边梯形的面积为-A-fudioif g&aw-其中t1,t2分别是曲边的起点与终点对应的参数值。
2.设fx、gx是[a,b]上的连续函数，且fx2gx,-求由直线x=a,r=b,和曲线y=fx、y=gx 围-成的平面图形的面积A。-dA=[f x-gxx-1y=8x-A=∫[fcx-gexr-xx+dx
3.py、yy是[c,d]上的连续函数，且py2wy,-求由直线y=C,y=d和曲线x=py、x=yy所围 成的平面图形的面积A。-dA=[py-Ψ y]Wy-x=0y-x=Wy-A-ftoy-Wyldy-X
3.4.5一些物理量的计算-一、质量-例1.设半圆形线材的方程为y=VR2-x2-R<x<R,线-材上点的 x,y处的线密度为P=k-yk为常数，且k>R,-求该线材的质量。-ds-Ox x+dx R-X
二、功-例2.设一锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满水，-试问将水全部吸出需作多少功？-10-X-Ax-B
例：求密度均匀（设为p,厚度为H,内外径为-r和R的飞轮绕中心轴转动的转动惯量J以及角速度-为o时的转动动 E.
3.4.6函数的平均值-一、函数的平均值-如何定义连续函数fx在[α ，b]上的平均值呢？-将[a,b]n等 。当n很大时，小区间[；-1，x]的长-度Ax=b-u-i=1,2,Λ ，n很小，由于fxeC[a,b],在小区间[x-1,x]上函数值变化很小，可把fx在-该区间上的取值看作常数∫x,于是∫x在[a,b]上-的
数学分析10.2由平行截面面积求体积
第十章 定积分的应用 2 由平行截面面积求体积定义：设Ω为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x 轴的两平面x=a 与x=b 之间(a<b). 称Ω为位于[a,b]的立体. 若在任意一点x ∈[a,b]处作垂直于x 轴的平面，它截得Ω的截面面积显然是x 的函数，记为A(x), x ∈[a,b]，并称之为Ω的截面面积函数.公式1：设截面面积函数A(x)是[a,b]上的一个连续函数，对[a,b]作分割T ：a=x 0<x 1<…<x n =b. 过各分点作垂直于x 的平面x=x i , i=1,2,…,n ，它们把Ω切割成n 个薄片. 设A(x)在每个小区间△i =[x i-1,x i ]上的最大, 最小值分别为M i 与m i ，那么每一薄片的体积△V i 满足 m i △x i ≤△V i ≤M i △x i . 于是Ω的体积V=∑=n1i i V △满足∑=n1i iix△m ≤V ≤∑=n1i i i x △M . 因为A(x)连续，从而在[a,b]上可积，所以当T 足够小时，能使i n1i i x △ω∑==∑=n1i i i i x )△m -(M <ε，ε为任意小的正数.∴V=∑=→n 1i i 0T M lim △x i (或∑=→n 1i i 0T m lim △x i )=∑=→n1i 0T A lim (ξi )△x i . 其中A(ξi )=M i (或m i ). ∴V=⎰ba A(x )dx.例1：求由两个圆柱面x 2+y 2=a 2与z 2+x 2=a 2 所围立体的体积.解：如图取该立体的第一卦限，即81部分.对任一x 0∈[0,a]，平面x=x 0与这部分立体的截面是正方形，边长为：202x a -，即A(x)=a 2-x 2, x ∈[0,a]. ∴V=8⎰a 0A(x )dx=8⎰-a22)x (a dx=316a 3.例2：求由椭球面222222cz b y a x ++=1所围立体(椭球)的体积.解：以平面x=x 0(|x 0|≤a)截椭球面，得椭圆：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-220222222a x 1c z a x 1b y =1.∴截面面积函数为：A(x)=πbc ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22a x 1, x ∈[-a,a]. ∴V=⎰aa -A(x )dx=⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-aa -22a x 1πbc dx=34πabc.注：当a=b=c=r 时，就等于球的体积34πr 3.定理：设ΩA ,ΩB 为位于同一区间a,b 的两个立体，其体积分别V A ,V B .若在[a,b]上它们的截面面积函数A(x)与B(x)皆连续，且A(x)=B(x)则V A =V B .公式2：设f 是[a,b]上的连续函数，Ω是由平面图形0≤|y|≤|f(x)|, a ≤x ≤b 绕x 轴旋转一周的旋转体，则截面面积函数为A(x)=π[f(x)]2, x ∈[a,b]. ∴旋转体Ω的体积为：V=π⎰ba2[f(x )]dx.例3：试用公式2导出圆锥体的体积公式.解：设正圆锥的高为h ，底圆半径为r ，则有0≤|y|≤hrx, x ∈[0,h].∴V=π⎰⎪⎭⎫⎝⎛h02x h r dx=31πr 2h.例4：求由圆x 2+(y-R)2≤r 2 (0<r<R)绕x 轴旋转一周所得环状立体体积.解：圆的上下半圆分别为：y=f(x)=R+22x r -；y=g(x)=R-22x r -, |x|≤r. ∴圆环体截面面积函数为：A(x)=π[f(x)]2-π[g(x)]2=4πR 22x r -, x ∈[-r,r]. ∴V=2⎰-r022x r πR 4dx=8πR ⎰-r022x r dx= 2π2r 2R.习题1、如图所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔形体的体积.解：如图所示建立直角坐标系，则椭圆柱面的方程为：16y 100x 22+=1， 斜面的方程为Z=2x.用平面x=t 截这个立体，得一长方形，其边长为：8100t 12-和2t.∴A(x)=82x 100x 12⋅-=4x 100x 12-, x ∈[0,10].∴截得楔形体的体积为：V=⎰-1002100x 1x 4dx=3400.2、求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积： (1)y=sinx, 0≤x ≤π, 绕x 轴；(2)x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0), 0≤t ≤2π, 绕x 轴； (3)r=a(1+cos θ), (a>0), 绕极轴；(4)2222b y a x +=1, 绕y 轴. 解：(1)V=π⎰π02x sin dx=2π2.(2)V=π⎰2π22cost)-(1a d[a(t-sint)]=πa3⎰2π3cost)-(1dt=5a 3π2.(3)r=a(1+cos θ), (a>0)是心脏线，而心脏线极轴之上部分的参数方程为： x=a(1+cos θ)cos θ; y=a(1+cos θ)sin θ, (0≤θ≤π) ∴V=|π⎰π322y dx|-|π⎰π32π2y dx|=|π⎰+π222θsin ) cos θ(1a da(1+cos θ)cos θ|=πa3⎰+++π2333) cos θ2θ)(1θcos sin 2θcosθsin 2θ(sin d θ=38πa 3.(4)y=b 22a x 1-, ∴V=πb 2⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a -22a x 1dx =34a b 2π.3、已知球半径为r ，验证高为h 的球缺体积V=πh 2(r-3h) (h ≤r). 证：球缺体积可看作曲线y=22x R -,R-h ≤x ≤R 绕x 轴旋转而得， V=π⎰Rh-R 2y dx=π⎰-Rh-R 22)x (R dx=πh 2(r-3h). 得证.4、求曲线x=Rcos3t, y=Rsin3t, (R>0)所围平面绕x轴旋转所得立体体积.解：V=π⎰RR-2y dx=π⎰0π62tsinR dRcos3t=3πR3⎰π027ttcossin dt=10516πR3.5、导出曲边梯形0≤y≤f(x), a≤x≤b绕y轴旋转所得立体的体积公式为：V=2π⎰bax f(x)dx.证：曲边梯形绕y轴旋转，在x处的截面图形为一圆柱的侧面，其面积为：A(x)=2πx·f(x), a≤x≤b. 所围立体体积为：V=⎰baA(x)dx=2π⎰b a x f(x)dx. 得证.6、求0≤y≤sinx, 0≤x≤π所示平面图形绕y轴旋转所得立体体积. 解法1：曲线y=sinx可分成两部分：x=arcsiny, x=π-arcsiny, 0≤y≤1. 用y=t截这个立体，其截面面积为：A(t)=π[(π-arcsint)2- (arcsint)2]=π3-2π2arcsint.即面积函数为A(y)=π3-2π2arcsiny.∴V=⎰123arcsiny)2π-(πdy=2π2.解法2：利用第5题的结论可得：V=2π⎰πx sinx dx=2π2.。
空间立体体积的计算方法(1)
数学积分求体积方法概述摘要：定积分在大学数学学习及应用中起着非常重要的作用，一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，在我们的生活中起着很重要的作用！空间立体体积的计算在日常生活和学习中是十分重要的,对于规则的立体,中学里已有一些求解公式,对于不规则的立体,则需要用高等数学积分法加以解决。
本文总结了几种常见的利用积分求立体体积的方法及案例,通过所学积分学知识建立了更为普遍的立体体积的求解方法和计算公式,同时也介绍了相关的物理方法,并从具体的例题入手充分挖掘了空间立体体积计算的一些思想和方法。
关键词：积分; 空间立体体积; 积分区域; 被积函数引言空间立体体积的计算是生活中常见的问题,对于规则的空间立体体积的计算在中学时就有具体的计算公式,但对于不规则的空间立体体积则难以计算。
本文就主要针对各种形状的空间立体研究计算其体积的简便方法。
其实很多文献对空间立体体积的计算问题都进行了讨论,文献[1]就基本上包括了此问题的所有积分计算方法,并给出了相应的计算公式。
文献[2]-[9]分别从不同方面对各种方法进行了细致说明,并对个别特例进行了深入分析,给出了特殊的积分计算方法。
文献[10]则主要是对部分方法做出了总结,并列出了大量相关例题辅助理解。
以上文献充分体现出积分思想在解题中应用广泛,特别是在计算空间立体体积领域。
如果我们能够在积分学的基础上掌握空间立体体积的计算方法,则能使一些复杂的问题简单化,还易让人接受。
所以我们要分析掌握积分法,以便于解决与此相关的各种复杂问题,特别是各种空间立体体积的计算问题。
空间立体体积的计算是高等数学积分法在几何上的主要应用,其主要思想是将体积表示成定积分或重积分,研究空间立体,确定积分区域及被积函数,然后综合考虑立体特征、积分区域及被积函数特点,选择恰当的积分方法,使空间立体体积的计算简单明了。
本文在上述文献的基础上,总结了中学常见的空间立体体积的计算方法。
定积分的几何应用(体积))
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π
π
a
2
(t
sin
t)
2
a
sin
t
d
t
0
π a3
2π
(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
注: 2 π (t sin t)2 sin t d t 0
2 π (t 2 sin t 2t sin 2 t sin3 t)d t (令 u t π) 0
V 2 1u[4 (u 3)2 ]du 5
令u x3
2 2 (x 3)(4 x2)dx 2
2 2 (3 x)(4 x2 )dx 2
（※）
补充 2. 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直 线 x a、 x b(0 a b)及 x轴所围成的曲边梯
形绕 x = m (>b) 旋转一周而成的立体，体积为
2
令u t 2
16 π a3 π (2u sin 2u) sin 4 u d u 0
令v u π
2
π
16 π
a3
2
π 2
(2v
π
sin
2v)
cos4 v
偶函数
d
v
奇函数
例 3 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围成的图形 绕直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
解(一) 取积分变量为y , y [0,4]
c
o
x
例2. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
-体积、旋转体的侧面积、一些物理量的计算
dV A(x)dx,
b
V a A(x)dx.
例 1．设有半径为R 的正圆柱体，被通过其底的直径
而与底面交成 的平面所截，求截得的圆柱楔的体积。
解：如图建立坐标系，
y tan
R
则底圆的方程为x2 y2 R2 。
x y
x[R, R] ，用过点x 且垂直于x 轴 o
x2
)dx
a
V
a a
b2 a2
(a
2
x2
)dx
ox
b
Байду номын сангаасax
x dx
2
b2 a2
a 0
(a2 x2)dx
2b2 a2
(a
2
x
1 3
x3
)
a 4 ab2. 03
例 3．已知圆台的上底半径为 r1 ，下底半径为r2 ，高为h ，
求它的体积。
解：如图选择坐标系，母线 AB 的方程为
y
0
r1
h r2
y
o a x xdx b x
设[x,x dx] 是[a,b] 上的代表小区间，相应的一小块立体
的体积记为V ,设 A(x) 在[x,x dx] 上的最小值和最大值分
别为m 和 M ，则 mdxV Mdx,
取近似
V A(x)dx,
其误差为 V A(x)dx (M m)dx ，
∵当dx0 时，(M m) 0 ，
则 dA 2f (x)dL ，
oa
故
A 2
b
f (x)
1 y2 dx.
a
y f (x) x x dx b x
[ 圆台的侧面积= 母线长 (上底半径 下底半径 ) 。在极限 状态，母线长是弧微元dL ；上底半径 下底半径 2f(x) 。]
平行截面面积求体积
例2 求由圆 x2 ( y R)2 r 2 (0 r R) 绕 x 轴
旋转一周所得环状立体的体积.
y
r
解 x2 ( y R)2 r2 的上下半圆分别为
R
y f2(x) R r2 x2,
O
x
y f1( x) R r 2 x2 .
因此
A( x)dx.
a
i 1
i 1
因此
b
V A( x)dx.
a
例1 求由两个圆柱面 围立体的体积.
x2 y2 a2 与 z2 x2 a2 所
z
a
x
a x0
O
a
y
解 先求出立体在第一卦限的体积V1. x0 [0,a] ,
x x0 与立体的截面是边长为 a2 x02 的正方形,
所以 A( x) a2 x2 , x [0,a]. 于是求得
A( x)
f
2 2
(
x)
f12( x) 4
R
r2 x2 ,
从而
r
V 8 R
r 2 x2dx 2 2r 2R.
0
例3 求由区域 ( x, y) | 0 x 1 , x y 2 x2
绕 y 轴旋转一周所得立体的体积. y
解 旋转体由曲线
2
x
y,
y [0,1]
2 y , y [1, 2]
围成的曲边三角形绕极轴旋转一周所得旋转体的
体积公式.
作业： P246：1，2（2，4），4，5，6
[ xi1, xi ] 上 A( x) 的最大、最小值分别为 Mi , mi ,
则第 i 个小薄片的体积 Vi 满足
mi xi Vi Mi xi ,
高等数学第六章《定积分的应用》
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
平行截面面积为已知的立体的体积
平行截面面积为已知的立体的体积立体几何是数学中一个非常重要的分支，其研究的对象是三维空间内的图形、体形和其相互之间的关系，是现代科学发展中必不可少的基础知识。
在立体几何中，平行截面面积为已知的立体的体积是一个非常重要的问题，也是学生在立体几何中需要掌握的一项基本知识。
一、概念平行截面面积为已知的立体的体积，表示的是在某一平面上所截得的平行截面面积均已知的空间图形的体积。
该问题主要涉及的是体积计算方法和空间几何方程的解法。
二、立体的表示在立体几何中，立体通常用多个平面组成的多边形进行表示。
对于三角形、四边形等基本图形，可以通过将它们叠放或旋转而构成不同的立体图形。
通过这些基本图形的不同组合，我们可以得到各种不同形状和大小的立体图形，例如长方体、正方体、棱锥、棱柱等。
除此之外，还有一些比较复杂的立体图形，如球体、圆锥、圆柱等。
这些图形的体积计算方法需要结合相应的几何公式才能求得。
例如，对于一个球体，其体积可以由其半径r来计算：V=4/3πr³其中π为圆周率，大约为3.14159。
对于其他几何体，也都有相应的体积计算方法，需要通过学习掌握。
三、平行截面的体积计算对于平行截面面积为已知的立体，通常情况下我们可以采用分形法，将其分割成若干个小体积，分别计算得到最终的体积。
其具体的计算过程和方法如下：1. 将已知的图形分割成若干个小图形，每一部分都是由若干个平行截面构成的。
2. 对于每个小图形，可以根据其平行截面面积进行求解，得到小图形的体积。
3. 将所有小图形的体积加起来，即可得到原图形的体积。
在计算过程中，需要注意的是，每个小图形体积的计算需要结合相应的几何公式。
例如，对于一个圆锥体积的计算，其体积可以由其底面面积S和高h来计算：V=1/3Sh四、解题方法对于平行截面面积为已知的立体体积计算，解题方法包括以下几个方面：1. 确定平行截面的位置和数量。
2. 根据平行截面面积和截面位置，将图形分成若干个小立体。
92二重积分的计算(直角坐标系)ppt省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
当 f ( x, y) f ( x, y)时.
(即f ( x, y)关于( x, y)为奇函数)
（4）若积分区域 D关于 直线 y x 对称 （ ( x, y)D( y,x)D ），
则 f ( x, y)dxdy f ( y,x)dxdy 。
D
D
又若 D D1D2 ，且 D1与D2 关于直线 y x 对称，则
2
证：积分区域 x2 y2 R2 关于直线 y x 对称，所以
x。
y
(4, 2)
y x
D2 D1
o1
y x2 4x
y x (1,1)
xyd
xyd
xyd
1
0dx
x x
4
x
xydy1 dxx2
xydy55. 8
D
D1
D2
例 3． e y2 d ，其中 D 是由直线 y x ， y1 和 y 轴所围成。
D
解：若先积 y 后积 x，得 e y2 d
1
dx
1
e
y2
的体积。 A( x )
y2(x)
A( x )
y o
a
D
x
y1( x)
bx
x 1( x ) 2( x ) y
一般地， 过 [a,b] 上任一点 x 且平行于yoz平面的平面 ，
与曲顶A(柱 Ax(体x))相交所122(((得xxx)截)f) (面fx(的,xy面),dy积y).d为y 。 1( x)
D
a 1( x)
c 1( y)
二重积分化为二次积分，确定积分限是关键。
其定限方法如下： （1）在 xoy 平面上画出积分区域 D 的图形； （2）若区域 D 为 X 型的，则把 D 投影到 x 轴上，得 投影区间[a,b] ，a 和 b 就是对 x 积分的下限和上限。 x[a,b] ， 过点 x 画一条与 y 轴平行的直线，假如它 与边界曲线交点的纵坐标分别为 y1( x) 和 y2( x) ， 且 2( x)1( x) ，则 1( x) 和 2( x) 就是对 y 积分的下限 和上限。
积分常用公式(可编辑修改word版)
x a x a a 2 x 2x 2a 2x 2 a 2x 2 a 21dxxa一．基本不定积分公式： 1．dx x C2． x dx1 x11积分常用公式(1 )3． 1dxln x Cx4.a xdx Cln a (a 0, a 1)5.e x dxe x C6.s in xdx cos x C 8． sec 2 xdx1dx tan x Ccos 2 x 10.s ec xtan xdx sec x C 17．cos xdx sin xC9． csc 2 xdx1dxcot x C sin 2 x 11．csc xcot xdxcsc xC112．dx arcsin x C（或dxarccos x C 1 ）13．1dx arctan x C x 2（或1x 2dx arc cot xC 1 ）14．s inh xdxcosh x C15．cosh xdx sinh x C二．常用不定积分公式和积分方法： 1．an xdx l n c os x C 2．cot xdxln sin x Cdx 1 xdx 13． a 2 x 2arctan Ca a4．x 2a 2ln C 2a 5．s ec xdx ln s ec x tan x C dxx7． arcsin a C6． csc xdxln csc x cot xC 8．ln x C9．dxa 2 2 arcsin x Ca10．dx a2 2ln x C11. 第一类换元积分法（凑微分法）：1 x 21x 2a 2 x 2 x2a 2 x 2 x 2 a 2 x 2 x 2a 2为m m 1 g ( x )dx f [( x )]( x )dx f [( x )]d [( x )] 为t ( x ) 12. 第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：F [( x )] Cg ( x )dx为 x (t )g [(t )](t )dt f (t )dt F (t ) C F [1( x ) C注：要求代换(t ) 单调且有连续的导数，且“换元须还原”13. 分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)udvuvvdu14. 万能置换公式（针对三角有理函数的积分。
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四川大学数学学院 徐小湛
July 1, 2012
切片法 3
例 1立 体 以 f(x ) x 2 1 和 g (x ) x 4 1 （ 3 x 3 ） 之 间 的 区 域 为 底 ，
1 0
1 5 0
在 x 处 的 垂 直 于 x 轴 的 截 面 是 一 个 高 H 3 的 等 腰 三 角 形 。
3
3 2 1 01 5 0 1 2 5
3
-3230x21100x432709 dx125
f:=x->(3/2)*(x^2/10+x^4/150+2): a:=-3:b:=3: Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);
四川大学数学学院 徐小湛
July 1, 2012
切片法 5
现在来求这个立体的体积
截面面积 A(x) 1 3 [ f (x) g (x)]
2 3 x2 x4 ( 2) 2 10 150
立 体 体 积 V 3A ( x ) d x 33 (x 2 x 4 2 ) d x 2 7 0 9
切片法 1
已知平行截面的面积求体积
（切片法）
h蜀ttp南://xu竹xzm海
四川大学数学学院 徐小湛
July 1, 2012
切片法 2
用数学软件Maple作了有关动画 这些动画生动地显示了立体的形成过程
计算了一些立体的体积
g(x) x4 1 150
x
y
f (x) x2 1 10
四川大学数学学院 徐小湛
July 1, 2012
切片法 4
动画的Maple程序
with(plots): f:=x->x^2/10+1: g:=x->-x^4/150-1: a:=-3:b:=3:H:=3: xzou:=spacecurve([x,0,0],x=a-1..b+1,thickness=3,color=black): yzou:=spacecurve([0,y,0],y=a-1..b+1,thickness=3,color=black): base:=plot3d([x,y,0],x=a..b,y=g(x)..f(x),color=grey,style=patchnogrid): quxianf:=spacecurve([x,f(x),0],x=a-1..b+1,thickness=3,color=red): quxiang:=spacecurve([x,g(x),0],x=a-1..b+1,thickness=3,color=red): K:=50:for i from 0 to K do xi:=a+i*(b-a)/K: sanjiaoxing[i]:=spacecurve([[xi,g(xi),0],[xi,f(xi),0],[xi,(f(xi)+g(xi))/2,H],[xi,g(xi),0]],thickness=3,color=blue): sanjiaoban[i]:=plot3d([xi,y,z],y=(f(xi)+g(xi))/2-(f(xi)-g(xi))/2*(1-z/H)..(f(xi)+g(xi))/2+(f(xi)-g(xi))/2*(1z/H),z=0..H,color=yellow,style=patchnogrid): qumian1[i]:=plot3d([x,f(x)+(-f(x)+g(x))/2*t,H*t],t=0..1,x=a..xi,color=green): qumian2[i]:=plot3d([x,g(x)+(f(x)-g(x))/2*t,H*t],t=0..1,x=a..xi,color=green)od: sanjiaoxing:=display(seq(sanjiaoxing[i],i=0..K),insequence=true): sanjiaoban:=display(seq(sanjiaoban[i],i=0..K),insequence=true): qumian1:=display(seq(qumian1[i],i=0..K),insequence=true): qumian2:=display(seq(qumian2[i],i=0..K),insequence=true): display(xzou,yzou,base,quxianf,quxiang,sanjiaoban,sanjiaoxing,qumian1,qumian2,scaling=constrained);
四川大学数学学院 徐小湛
July 1, 2012
切片法 6
例 2立 体 以 圆 x2y2R 2为 底 ， 在 x处 的 垂 直 于 x轴 的 截 面 是 一 个 高 为 h的 等 腰 三 角 形 。
y
x2 y2 R2
x
这个立体叫做正劈锥体
四川大学数学学院 徐小湛
July 1, 2012
切片法 7
动画的Maple程序
with(plots): R:=1: f:=x->sqrt(R^2-x^2): g:=x->-sqrt(R^2-x^2): a:=-R:b:=R:H:=2: xzou:=spacecurve([x,0,0],x=a-1..b+1,thickness=3,color=black): yzou:=spacecurve([0,y,0],y=a-1..b+1,thickness=3,color=black): base:=plot3d([x,y,0],x=a..b,y=g(x)..f(x),color=grey,style=patchnogrid): quxian:=spacecurve([R*cos(t),R*sin(t),0],t=0..2*Pi,thickness=3,color=red): K:=60:for i from 0 to K do xi:=a+i*(b-a)/K: sanjiaoxing[i]:=spacecurve([[xi,g(xi),0],[xi,f(xi),0],[xi,(f(xi)+g(xi))/2,H],[xi,g(xi),0]],thickness=3,color=blue): sanjiaoban[i]:=plot3d([xi,y,z],y=(f(xi)+g(xi))/2-(f(xi)-g(xi))/2*(1-z/H)..(f(xi)+g(xi))/2+(f(xi)-g(xi))/2*(1z/H),z=0..H,color=yellow,style=patchnogrid): qumian1[i]:=plot3d([x,f(x)+(-f(x)+g(x))/2*t,H*t],t=0..1,x=a..xi,color=green): qumian2[i]:=plot3d([x,g(x)+(f(x)-g(x))/2*t,H*t],t=0..1,x=a..xi,color=green)od: sanjiaoxing:=display(seq(sanjiaoxing[i],i=0..K),insequence=true): sanjiaoban:=display(seq(sanjiaoban[i],i=0..K),insequence=true): qumian1:=display(seq(qumian1[i],i=0..K),insequence=true): qumian2:=display(seq(qumian2[i],i=0..K),insequence=true): display(xzou,yzou,base,quxian,sanjiaoban,sanjiaoxing,qumian1,qumian2,scaling=constrained,orientation=[-50,70]);