学而思 二次根式(知识点精讲+例题解析)
二次根式知识点及典型例题(含答案)
4、不会比较根式的大小5、不会利用二次根式的非负性6、对最简二次根式的条件掌握不牢八、经典例题例1、求下列各数的平方根与算术平方根（ ）A.36B.81121 C.2-（5） D.41【答案】A.2=36±（6）∴36的平方根为6±，即6± ∴36的算术平方根为6，即B.2981=11121±（）∴81121的平方根为911±，即911±∴81121的算术平方根为911，即911 C.25=25±（）∴2-（5）的平方根为5±，即5± ∴2-（5）的算术平方根为5，即D.()241=41±∴41的平方根为 ∴41【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，解答本题注意解题步骤的规范书写，不是完全平方数的正数，它的平方根只能用含有根号的形式表示．练习1、计算：（1 （2）【答案】（1）211=121（2）20.9=0.810.9±表示121的算术平方根，表示0.81的平方根，、的意义是解答本题的关键例2、如果一个正数的平方根为3a-5和2a-10，求这个正数【答案】由题意得，3a-5+2a-10=0得a=3∴3a-5=4∴这个数为24=16【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而互为相反数的两个数相加为0，故(3a-5)+(2a-10)=0.求出a后，可知3a-5与2a-10的值，在考虑哪个正数的平方根是3a-5,2a-10的值即可。
练习1、x为何值时，下列各式有意义。
【答案】解：A.10x-≥，即1x≥有意义B.10x-≥且0x≥，即01x≤≤有意义C.10x+>，即1x>-D.230x+≥，即x都有意义【解析】a≥例3、【答案】解252736<<<<即56<<的整数部分是5【解析】处在哪两个完全平方数之间.例4、:x y【答案】解：33y-1和互为相反数3y-1∴和1-2x互为相反数3y-1+1-2x=0∴:=3:2x y∴互为相反数，则a和b互为相反数，所以本题中3y-1与1-2x 互为相反数例5、实数0.5的算术平方根等于（）.D.1 2【答案】C【解析】理解算术平方根的意义，把二次根式化成最简形式是解答本题的关键.例6、的算术平方根是（）A. 4±B. 4C. 2±D. 2【答案】D【解析】4的算术平方根，4的算术平方根为2.例7、根据下列运算正确的是（）3=2 C. (x+2y)2=x2+2xy+4y2 D. A.x6+x2=x3 B.√−8√18−√8=√2【答案】解：A、本选项不能合并，错误；3=-2，本选项错误；B、√-8C、（(x+2y)2=x2+2xy+4y2，本选项错误；D、√18-√8=3√2-2√2=√2，本选项正确．故选D【解析】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．例8、）【答案】B综合练习简单1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．<1 B．≥1 C．≤－1 D．<－1【答案】B【解析】由二次根式的意义，知：x－1≥0，所以x≥1.2.如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1【答案】D解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0．解得：x≥0且x≠1．故选D．【解析】代数式√x有意义的条件为：x﹣1≠0，x≥0．即可求得x的范围．x-13.要使式子2-x有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤2【答案】D解：根据题意得，2﹣x≥0，解得x≤2．【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．4. 下列计算正确的是（）=√2 D.3+2√2=5√2 A.4√3-3√3=1 B.√2+√3=√5 C.2√12【答案】C【解析】 A、4√3-3√3=√3，原式计算错误，故本选项错误；B、√2与√3不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；=√2，计算正确，故本选项正确；C、2√12D、3+2√2≠5√2，原式计算错误，故本选项错误；根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．5. 若，则＝【答案】6【解析】原方程变为：，所以，，由得：＝3，两边平方，得：＝7，所以，原式＝7－1＝6中等题1.结果是。
《二次根式》期末复习知识清单及典型例题
二次根式期末复习知识清单及典型例题知识点1：二次根式的定义：形如()0≥a a 的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，a 才有意义．【例1】下列各式()511，()52-，()232+-x ，()44，()2315⎪⎭⎫ ⎝⎛-，()a -16，()1272+-a a 其中是，二次根式的是_________（填序号）．变式：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A 、a B 、10-C 、1a +D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是． 变式：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠4 2、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式：1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．3 2、当a 取什么值时，代数式112++a 取值最小，并求出这个最小值。
【例4】已知a 是5整数部分，b 是5的小数部分，求12a b ++的值。
变式：1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。
2、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求yx 12+的值. 知识点2：2、双重非负性：a a ()≥0是一个非负数．即①0≥a；②0≥a3、平方的形式（双胞胎公式）：（1）()()a aa 20=≥；（2）a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()．公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系：（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 【例5】若()04322=-+-+-c b a 则c b a +-=．变式:若1+-b a 与42++b a 互为相反数，则()2017b a -=。
二次根式知识点及例题
二次根式知识点及例题(总19页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第十六章二次根式知识点一、二次根式1.定义0)a≥a叫做被开方数．注意：(1)二次根号的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号．(2)二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0．(3)根指数是2，这里的2可以省略不写．(4)形如0)a≥的式子也是二次根式，它表示b例题：1.下列各式中，一定是二次根式的是．12x⎫<⎪⎭练习：1.下列各式中，一定是二次根式的是．0,0)x y≥≥知识点二、二次根式有意义的条件1.a≥a<2.从具体的情况总结，如下：(1)0A≥；(2)⋅⋅⋅有意义的条件：ABN≥⎧⎪≥⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪≥⎩；(3)0A>；(4)二次根式作为分式的分子如B A有意义的条件：00A B ≥⎧⎨≠⎩．例题：1.当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义．11x ++练习：知识点三、二次根式的性质（重点，难点）性质10)a ≥具有双重非负性，它即表示二次根式，又表示非负数a 的算式平方根，具体描述为：0；a 是非负数． 注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数必须同时为0． 例题：练习：则2015)(yx 的值为________．3.已知a ,b 4b +，求a ，b的值．2210b b -+=，求221a ba +-的值．性质2：2(0)a a=≥，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身． 注意：不能忽略0a ≥这一限制条件，导致类似24=-的错误．性质3(0)(0)a a aa a ≥⎧=⎨-<⎩，即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为(0)a a =≥(0)a a -<．注意：不要认为a2-的错误． 2的区别与联系：联系 2a 与2()a 均为非负数，且当0a ≥时，22()a a =例题： 1.计算： (1) 23()5 (2)22(10)- (3) 22(3)3- (4)21(14)22.计算：(1)23()5(2)23()5- (3) 2(6)- (4)2(3.14)π-3.当m <3时，2(3)m -=_______．4.设三角形的三边长为a ，b ，c ，试化简：2222()()()()a b c a b c b a c c b a +++--+-----． 练习： 1.计算：(1) 2( 3.4) (2) 2( 3.4)- (3) 2(3)π- (4) 2(4)π-2.若23a <<，则22(2)(3)a a ---等于（ ） A . 52a - B . 12a - C . 25a - D . 21a -3.已知实数a b 、在数轴上的位置如图所示，化简：222+()a b a b +-．4.已知a 2224a a a +--的值．知识点四、二次根式的乘除 1.二次根式的乘法法则0,0)ab ab a b =≥≥．提示：(1)在设计二次根式运算时没有特备说明，所有字母都表示正数；(2),a b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的． 推广a bcd abcd =()0,0,0,0a b c d ≥≥≥≥．ab ab =a b （0,0a b ≥≥）．例题： 1.计算：(1)62⨯ (2) )32(276-⨯ (3))196()121(-⨯-(4))33)(31(+-38xy y (6)8y y2.化简：(1)1259⨯ (2) 24323.(1)比较的大小__________， (2)比较3655与的大小__________． 练习：1.计算： (1) )196()121(-⨯- (2) )33)(31(+-329y (4) 9y xy2.化简：(1)12116⨯ (2) 96323.比较6456与的大小__________，(2)比较8338与的大小__________．3.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
专题05 二次根式(归纳与讲解)(解析版)
专题05 二次根式【专题目录】技巧1：巧用二次根式求字母或代数式的值技巧2：常见二次根式化简求值的九种技巧【题型】一、二次根式有意义的条件【题型】二、利用二次根式的性质化简【题型】三、二次根式的乘除运算【题型】四、最简二次根式【题型】五、同类二次根式【题型】六、二次根式的加减【题型】七、二次根式乘除混合运算【考纲要求】1、掌握二次根式有意义的条件和基本性质(a)2＝a(a≥0)，能用二次根式的性质a2＝|a|来化简根式．2、能识别最简二次根式、同类二次根式．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.【考点总结】一、二次根式【考点总结】二、二次根式的运算【注意】1、化简二次根式的步骤（易错点）（1）把被开方数分解因式(或因数) ；（2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；（3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(a)2＝a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。
2、二次根式运算中的注意事项（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。
（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
【技巧归纳】技巧1：巧用二次根式求字母或代数式的值【类型】一、利用二次根式的定义判定二次根式1．下列式子中为二次根式的是()A.38 B.－1 C. 2 D.x(x＜0)【类型】二、利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围2．无论x取何实数，代数式x2－4x＋m都有意义，化简式子（m－3）2＋（4－m）2. 【类型】三、利用最简二次根式的定义识别最简二次根式3．把下列各式化成最简二次根式．(1) 1.25；(2)4a3b＋8a2b(a≥0，b≥0)；(3)－nm2(mn＞0)；(4)x－yx＋y(x≠y)．【类型】四、利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值4．如果最简根式b－a3b和2b－a＋2是被开方数相同的最简二次根式，那么()A ．a ＝0，b ＝2B ．a ＝2，b ＝0C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－25．如果最简二次根式3a －8与17－2a 在二次根式加减运算中可以合并，求使4a －2x 有意义的x 的取值范围． 参考答案 1．C2．解：∵x 2－4x ＋m ＝（x －2）2＋m －4，且无论x 取何实数，代数式x 2－4x ＋m 都有意义， ∴m －4≥0，∴m≥4.当m≥4时，（m －3）2＋（4－m ）2＝(m －3)＋(m －4)＝2m －7. 3．解：(1) 1.25＝54＝52. (2)4a 3b ＋8a 2b ＝4a 2（ab ＋2b ）＝2a ab ＋2b (a≥0，b≥0)．(3)由－nm2≥0，mn ＞0知：m ＜0，n ＜0，∴－nm 2＝－n m 2＝－n －m＝－－n m . (4)x －y x ＋y ＝（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝x －2xy ＋y x －y (x≠y)．4．A 点拨：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝2，3b ＝2b －a ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2.故选A .5．解：由题意得3a －8＝17－2a.∴a ＝5.∴4a －2x ＝20－2x.要使4a －2x 有意义，只需20－2x 有意义即可． ∴20－2x≥0，∴x≤10.技巧2：常见二次根式化简求值的九种技巧 【类型】一、估算法1．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________．【类型】二、公式法2．计算：(5＋6)×(52－23)． 【类型】三、拆项法3．计算：6＋43＋32（6＋3）（3＋2）.[提示：6＋43＋32＝(6＋3)＋3(3＋2)]【类型】四、换元法4．已知n ＝2＋1，求n ＋2＋n 2－4n ＋2－n 2－4＋n ＋2－n 2－4n ＋2＋n 2－4的值．【类型】五、整体代入法5．已知x ＝13－22，y ＝13＋22，求x y ＋yx －4的值．【类型】六、因式分解法 6．计算：2＋32＋6＋10＋15.【类型】七、配方法7．若a ，b 为实数，且b ＝3－5a ＋5a －3＋15，试求b a ＋ab＋2－b a ＋ab－2的值． 【类型】八、辅元法8．已知x①y①z ＝1①2①3(x>0，y>0，z>0)，求x ＋yx ＋z ＋x ＋2y的值．【类型】九、先判后算法 9．已知a ＋b ＝－6，ab ＝5，求b ba＋a ab的值． 参考答案1.7 点拨：因为－3＜0，2＜7＜3，3＜11＜4，所以被墨汁覆盖的数为7. 2．解：原式＝(5＋6)×[52－(2)2×3]＝(5＋6)×[2×(5－6)] ＝2×(5＋6)×(5－6) ＝2×(25－6)＝19 2.3．解：原式＝（6＋3）＋3（3＋2）（6＋3）（3＋2）[来源:学科网]＝6＋3（6＋3）（3＋2）＋ 3（3＋2）（6＋3）（3＋2）＝13＋2＋36＋3＝3－2＋6－ 3 ＝6－ 2.4．解：设x ＝n ＋2＋n 2－4，y ＝n ＋2－n 2－4， 则x ＋y ＝2n ＋4，xy ＝4n ＋8.原式＝x y ＋y x ＝x 2＋y 2xy ＝（x ＋y ）2－2xy xy ＝（x ＋y ）2xy －2＝（2n ＋4）24n ＋8－2＝n.当n ＝2＋1时，原式＝2＋1.5．解：由已知得：x ＝3＋22，y ＝3－22，所以x ＋y ＝6，xy ＝1，所以原式＝x 2＋y 2－4xy xy ＝（x ＋y ）2－6xy xy ＝30.6．解：2＋32＋6＋10＋15＝2＋32（2＋3）＋5（2＋3）＝[来源:Z*xx*]2＋3（2＋3）（2＋5）＝12＋5＝5－2（5＋2）（5－2）＝5－25－2＝5－23.7．解：由二次根式的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧3－5a≥0，5a －3≥0，∴3－5a ＝0，∴a ＝35.∴b ＝15，∴a ＋b ＞0，a －b ＜0. ∴b a ＋ab＋2－b a ＋ab－2＝（a ＋b ）2ab－（a －b ）2ab ＝a ＋b ab ab －b －a ab ab ＝(a ＋bab－b －a ab )ab ＝2bab. 当a ＝35，b ＝15时，原式＝215×35×15＝25. 方法点拨：对于形如b a ＋a b ＋2或b a ＋ab －2的代数式一般要变为（a ＋b ）2ab 或（a －b ）2ab 的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意a ＋b 和a －b 以及ab 的符号． 8．解：设x ＝k(k ＞0)，则y ＝2k ，z ＝3k ，∴原式＝3k 4k ＋5k ＝32＋5＝15－2 3.9．解：∵a ＋b ＝－6，ab ＝5，∴a ＜0，b ＜0. ∴b b a＋a a b ＝－b a ab －a b ab ＝－ab·⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＝－（a ＋b ）2－2ab ab ＝－36－105＝－265＝－2655. 点拨：解此类题，应先考虑字母取值的正负情况，再进行二次根式的化简，同时运用整体思想代入求值，不能一味地想求出单一字母的值，导致问题复杂化，甚至无法求解． 【题型讲解】【题型】一、二次根式有意义的条件例1、函数y =x 的取值范围是（ ）A ．0x ≤B ．0x ≠C ．0x ≥D ．12x ≥【答案】C【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，从而可得答案． 【详解】解：由题意得：20,x ≥0,x ∴≥ 故选：.C【题型】二、利用二次根式的性质化简例2 A ．－2 B ．2C ．2±D ．4【答案】B【分析】先将括号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案． 【详解】=2，故选：B ．【题型】三、二次根式的乘除运算例3÷ ）． A ．1 B ．53C ．5D ．9【答案】A【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．÷=÷==，1故选：A．【题型】四、最简二次根式例4、下列各式是最简二次根式的是（）A B C D【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【详解】解：AB=C a，不是最简二次根式，故选项错误；D=，不是最简二次根式，故选项错误；3故选A.【题型】五、同类二次根式例5A B C D【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可.【详解】解：A A选项错误；B3=，3不是二次根式，故B选项错误；C=的被开方数相同，故C选项正确；D=，D选项错误；故选：C.【题型】六、二次根式的加减例6=（）A B．C．3D．【答案】A【分析】根据二次根式的加减法法则进行运算即可【详解】=＝故选A【题型】七、二次根式乘除混合运算例7、下列各式不成立的是（）A=B=C5==D=【答案】C【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．==，A选项成立，不符合题意；33==B选项成立，不符合题意；==，C选项不成立，符合题意；==D选项成立，不符合题意；故选C．二次根式（达标训练）一、单选题1．（2021·黑龙江·逊克县教师进修学校一模）下列各式中与是同类二次根式的是()A B C D【答案】B【详解】解：A=A不符合题意；BB 符合题意；CC 不符合题意；D=D 不符合题意； 故选：B ．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 2．（2022·上海金山·二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）AB C D【答案】C【详解】解：AB ==CD == 故答案选C ．【点睛】本题主要考查了，最简二次根式的定义．即：被开方数中不含可开方的因数且分母中不含根式的二次根式，称为最简二次根式．掌握最简二次根式的定义，是解决本题的关键． 3．（2022·黑龙江绥化·三模）函数y =的自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠ B ．3x >-C ．3x ≥-且1x ≠D ．1≥x 且3x ≠-【答案】B【分析】根据二次根式的性质及分式有意义的条件即可求得答案． 【详解】解：由题意得， +30x >，解得-3x >，故选：B ．【点睛】本题考查了利用二次根式的性质及分式的意义求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式的性质及分式有意义的条件是解题的关键．4．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）下列各式正确的是（ ）A±4B 3C 8D ．4【答案】B【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减法分别化简计算并判断．【详解】解：A，故该项不正确；B，故该项正确；CD、4，故该项不正确；故选：B．【点睛】此题考查了二次根式的化简，二次根式的加减法，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．5．（2022·重庆·）．A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】先化简二次根式得1.414≈，即可求出 4.242，从而得出答案．4=1.414≈，① 4.242≈，①4．故选B．【点睛】本题主要考查化最简二次根式和二次根式的减法运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．二、填空题6．（2022·m的取值范围是_____________．【答案】12m≥##0.5m≥【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得：210m-≥，解得：0.5m．故答案为：0.5m【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．7．（2022·重庆·二模）计算：（3.14﹣π）0﹣4|＝_____．【答案】3-+3【分析】首先计算零指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【详解】解：（3.14-π）0-4|=1-（4-=1-=-故答案为：-【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．三、解答题8．（2022·山东临沂·模拟预测）计算：2|-．【答案】0【分析】直接利用绝对值的性质以及结合积的乘方运算法则、平方差公式计算、二次根式的混合运算，进而得出答案．＝0．【点睛】本题主要考查看去绝对值、积的乘方运算法则、平方差公式、二次根式混合运算，注意运算法则以及运算顺序是解题的关键．9．（2021·山东青岛·二模）若矩形的周长是(30+cm，一边长是2)cm，求它的面积．【答案】（cm2【分析】先由已知条件求出另一边的长，再利用面积公式可得．【详解】解：①矩形的周长是(30+cm，一边长是2)cm，①2）＝（cm．①矩形的面积为：（2）＝（cm2．【点睛】本题考查了二次根式的应用，矩形的周长和面积，利用周长求出矩形的边长是解题的关键．二次根式（提升测评）一、单选题1．（2022·上海崇明·二模）是同类二次根式，那么x的值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．【详解】①①353-=+，x x①4x=，故选：D．【点睛】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．2．（2022·上海普陀·）A B C．D【答案】A【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可．【详解】解：A.原式B.不是同类二次根式，不符合题意；C.不是同类二次根式，不符合题意；D.原式=故选：A．【点睛】本题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的概念．3．（2022·广东番禺中学三模）若3y =，则2022()x y +等于（ ） A ．1 B ．5C ．5-D ．1-【答案】A【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x 的值，进而得出y 的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可．【详解】解：由题意可得：20420x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：x ＝2， 故y ＝-3，①20222022()(213)=x y +=-． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解题关键．4．（2022·河北·一模）已知18y = ）A ．B ．CD 【答案】A【分析】根据二次根式的非负性可知8x =，从而得到y ，代值求解即可．【详解】解：对于18y =，80x -≥≥，8080x x -≥⎧∴⎨-≥⎩，解得8x =，则18y =，==故选：A ．【点睛】本题考查利用二次根式非负性求值，涉及到二次根式的运算，熟练掌握二次根式非负性是解决问题的关键．5．（2022·重庆南开中学三模）估计 ）A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【答案】D【分析】利用二次根式的混合运算法则将原式化简，再进行无理数的估算即可．【详解】解：2①25<30<36，，2<8，即7和8之间， 故选：D ．次根式的混合运算法则是解题关键．6．（2022·贵州遵义·二模）已知a ，b 的三边的长，则这个三角形的面积是（ ） A ．32ab B ．abC ．12abD ．2ab【答案】A【分析】构造矩形ABCD ， E 、F 分别为AD 、AB 的中点，设2AD b =， 2AB a =，将所求三角形面积转化为△△△△矩形=---CEF AEF BCF CDE ABCD S S S S S 即可求解．【详解】解：如图，在矩形ABCD 中， E 、F 分别为AD 、AB 的中点， 设2AD b =， 2AB a =， ①AF BF a ==，==AE DE b ，①在Rt AEF 、Rt BCF 、Rt CDE △中，依次可得到：==EF=CFCE①△△△△矩形=---CEF AEF BCF CDE ABCD S S S S S 1112222222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯a b a b a b a b142=---ab ab ab ab32ab =． 故选：A【点睛】本题考查二次根式的应用．能够通过构造矩形及直角三角形，利用等积变换将所求三角形的面积转化为矩形和几个直角三角形的面积之差．利用数形结合是解答本题的关键．二、填空题7．（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）当1a =时，代数式()2122a a --+的值为_______．【答案】3-3-【分析】把1a =代入代数式()2122a a --+，求出其值即可．【详解】解：把1a =代入代数式()2122a a --+得：原式=))211212--+222=-+322=-+3=-故答案为：3-【点睛】本题主要考查了代数式的求值，二次根式的混合运算，运用完全平方公式计算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．8．（2022·四川广安·的结果是___________．【答案】-2【分析】根据数轴即可判断a 和b 的取值范围，即可判断(1)(1)()a b a b +--，，的符号，最后利用二次根式的性质去根号即可化简．【详解】解：由数轴可知21a -<<-，1b > ①(1)0a ，(1)0b ->，()0a b -< ①原式(1)(1)()a b a b =--+---+ 11a b a b =--+-+-2=-．故答案为：-2．【点睛】本题考查数轴、二次根式的化简，利用数轴判断出(1)(1)()a b a b +--，，的符号是解题关键．三、解答题9．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值：22()(2)()x y x y x y x -----，其中1x =，1y =．【答案】xy -，2022-【分析】根据多项式乘以多项式运算法则、完全平方公式将原式进行化简，然后将1x =，1y =代入，再利用平方差公式进行计算即可．【详解】解：原式＝2222222(2)x xy xy y x xy y x --+--+- ＝22222222x xy xy y x xy y x --+-+-- ＝xy -，当1x =，1y =时，原式＝1)1)-⨯＝221⎡⎤--⎣⎦＝(20231)-- ＝2022-．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式加减乘除混合运算法则以及完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．10．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）若三个实数x ，y ，z 满足0xyz ≠，且0x y z ++=，则有：111x y z=++（结论不需要证明）1111923(5)30==++=- 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】(1) 【能力提升】(2)设12019=++S S 的整数部分． 【拓展升华】(3)已知0(0,0)x y z xyz x ++=≠>，其中，且3y z yz +=．111x y z--取得最小值时，求x 的取值范围．【答案】76= (2)S 的整数部分2019(3)代数式取得最小值时，x 的取值范围是103x <≤【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2））利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为1133x x ++-，再根据1133x x++-||取最小值时，确定x 的取值范围． (1)11171236==+-= (2)S ==111111111111112123134120192020=+++++++++⋯+++---- 1111111111112233420192020=+-++-++-+⋯++-12019112020=⨯+-，①S 的整数部分2019； (3)由已知得：y z x +=-，且3y z yz +=，111x y z-- 111111x y z x y z =+++-- 11z y z y x yz yz x yz yz=+++-- 11++=++-y z y z x yz x yz 1313yz yz x yz x yz =++- 1133x x =++- 1313x xx x+-=+， ①0x >， ①原式1313|31||31|+-++-=+=x x x x x x x， 当031x <≤时，|31||31|31132++-=++-=x x x x ；当31x >时，|31||31|313162++-=++-=>x x x x x ；①当031x <≤，即103x <≤时，|31||31|++-x x 取得最小值为2，①代数式取得最小值时，x 的取值范围是：103x <≤．【点睛】本题考查无理数的大小比较，分式的加减法以及找规律等知识，理解题意和推广应用是本题的亮点．。
二次根式 基础知识详解+基本典型例题解析
【基本典型例题】(2) 类型一、二次根式的乘除
1. 计算：（1）（2014 秋•闵行区校级期中） ×（﹣2 ）÷
．
（2）（2014 春·高安市期中） a 8a 2 a 2 1 2a 2a a
【答案与解析】 解：（1） ×（﹣2 ）÷
举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.
（1）
1 ；（2） 3
3 ；（3）
x2 1 ；（4）3 8 ；（5）
( 1)2 ；（6） 1 x（ x 1 ） 3
A．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B.
2. （2016•贵港）式子
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
= ×（﹣2 ）×
=﹣
=﹣
=﹣ ．
(2)原式= a 8a2 a2 1 2a 2a a
2 2a2 a2 2 2a 2a 2a a
2
2a2
2a a2
2a a
4 2.
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.
举一反三：
【变式】 2
a2 b2 6x2
即原式= a b c a c b b c a = a b c
【总结升华】重点考查二次根式的性质：
的同时，复习了
三角形三边的性质.
二、二次根式的乘除基础知识讲解+基本典型例题解析
【学习目标】 1、 掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的 乘除运算. 2、 了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.
．
第一节 二次根式的相关概念-学而思培优
第一节二次根式的相关概念-学而思培优第一节二次根式的相关概念二、核心纲要1.二次根式是形如a（a≥0）的式子，称为二次根式或二次根号。
注：（1）在二次根式中，被开方数a可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式。
2）a≥0为二次根式a的前提条件。
3）形如mn（m，n≥0）的式子也是二次根式，它表示m 与n的乘积。
2.二次根式的性质1）a（a≥0）具有双重非负性。
2）（a）²=a（a≥0）。
3）a²=|a|，即a²的值为a的绝对值，当a≥0时，a²=a；当a<0时，a²=|a|= -a。
注：（1）化简a²时，一般先将它化成|a|，再根据绝对值的意义进行化简。
2）*a²和（a）²的区别和联系。
区别：a²中的a可以取任意实数，而（a）²中的a必须是非负数，当a<0时，（a）²无意义。
联系：当a≥0时，（a）²=a²=a。
3.非负数的三种常见形式1）绝对值：|a|≥0.2）偶次幂：a²n（n为正整数）。
3）二次根式：a（a≥0）。
若|a|+b²+c=0，则a=b=c=0.4.积、商的算术平方根的性质1）积的算术平方根的性质：√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）。
2）商的算术平方根的性质：√(a/b)=√a/√b（a≥0，b>0）。
5.确定二次根式所含字母的取值范围若二次根式有意义，只要被开方数大于或等于零即可。
即当a≥0时，a有意义。
6.最简二次根式1）被开方数中不含分母。
即根号内无分母，分母内无根号。
2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
即开方开得尽。
我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式。
7.同类二次根式如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。
注：（1）前提条件：二次根式是最简二次根式。
(完整版)二次根式知识点归纳及题型总结精华版
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.假设，那么.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化简，再运算，3．二次根式的混杂运算(1) 明确运算的序次，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2) 整式、分式中的运算律、运算法那么及乘法公式在二次根式的混杂运算中也同样适用.一. 利用二次根式的双重非负性来解题〔a0 〔a≥0〕，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
〕1.〕。
A、3；B、x ；C、x21；D、x1以下各式中必然是二次根式的是〔2．等式(x 1)2＝1－ x 成立的条件是 _____________ ．3．当 x____________ 时，二次根式2x 3 有意义．4.x 取何值时，以下各式在实数范围内有意义。
〔 1〕〔 2〕1〔3〕5x 2 x1x4〔 4〕假设x( x1)x x1，那么 x 的取值范围是〔 5〕假设x3x3，那么 x 的取值范围是。
x1x16.假设3m 1 有意义，那么m能取的最小整数值是；假设 20m 是一个正整数，那么正整数m的最小值是________．7.当 x 为何整数时，10x11有最小整数值，这个最小整数值为。
8. 假设2004 a a2005a ，那么a2004 2=_____________；假设y x33x 4 ，那么x y9．设 m、n 满足n m299m22mn =。
m 3，那么10. 假设三角形的三边a、 b、 c 满足a24a 4 b 3 =0，那么第三边c的取值范围是11. 假设|4x8 |x y m0 ，且 y 0 时，那么〔〕 A 、0m1 B 、m2C、m 2 D、 m 2利用二次根式的性质2a(a b)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题二． a =|a|=0(a0)a(a0)1.x33x2＝－x x 3 ，那么〔〕 A.x≤0 B. x≤－ 3Ｃ. x≥－ 3 D.－ 3≤x≤ 02.． a<b，化简二次根式 a 3b 的正确结果是〔〕A．a ab B ．a ab C． a ab D ．a ab3.假设化简 | 1-x |-28x16 的结果为2x-5 那么〔〕 A 、 x 为任意实数B、1≤ x≤ 4C、 x≥1 D 、x≤ 4 x4. a， b， c 为三角形的三边，那么(a b c)2(b c a) 2(b c a) 2=5.当 -3<x<5 时，化简26921025 =。
二次根式知识点及典型例题
第17章:二次根式第一课时:二次根式的概念与性质知识点1:二次根式的定义:（1）(a ≥0)的式子叫做二次根式。
（2）(a ≥0)表示非负数a 的算术平方根 （3） 二次根式的要求① 根指数为2② 被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是非负数类型一：二次根式的识别例1：已知式子 其中一定是二次根式的是 ①②④ 。
知识点2:二次根式中字母的取值范围：（1） 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。
（2） 二次根式无意义的条件：被开方数小于0 （3） 二次根式做分母时: 被开方数大于0.类型一：求字母的取值范围例1：x 取何值时，下列各式有意义？11(62501 6.6016630122102201122x x x x x x x x x x x x x ----⎧⎨-⎩+-⎧-⎪-⎨⎪-⎩--≥解：（）由题意知解得≥5且≠≠ 所以当≥5且≠有意义≥ （）由题意知＞解得＜x ≤3且x ≠2≠ 所以当＜x ≤3且x ≠2有意义类型二：根据字母隐含的的取值范围，求代数式的值（较难） 例2：x y y =若、为实数，且222224040, 14,20,2,4x x x x x x x y --=+==≥，即≥4, ≥即≤4, 所以又因为≠所以22240404,120,2432x x xx x y--∴=+∴=∴====解:由题意知:≥且≥又≠知识点3：二次根式的性质：（1）双重非负性：①被开方数为非负数，即a≥0；②二次根式的值为非负数，即a≥0（2）两个性质：性质1：（a）2= a（a≥0）语言叙述：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
或叙述为：一个非负数先开平方再平方等于这个数本身。
性质2(0)(0)a aaa a⎧==⎨-⎩≥＜语言叙述：一个数先平方再开平方等于这个数的绝对值。
22222221==2(0),(0)1a(0)(0)(0)(0)x a x xx ax ax x xa ax x x aa aa aaa a=======⎧===⎨-⎩⎧==⎨-⎩证明：性质：设①则把把性质≥两边平方得：≥由性质得：≥所以＜≥＜类型一：简单的计算与化简例1：计算与化简2222;4=243=12.8881113(0)433(0)x xxx x⨯=⨯=-====-===-⎧-=⎨-⎩（解:(1)（≥（＜类型二：在实数范围内因式分解例2：在实数范围内因式分解。
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二次根式
知识点精析
二次根式
1、定义：形如a ）（0≥a 的式子，称为二次根式。
)0(≥a a 12+a
2、最简二次根式：
①被开方数的因数是整数，因式是整式
②被开方数中不能含开得尽方的因数或因式
③分母中不含
如：12 18 4.6
32 32 2a 23a a +
3、二次根式的化简
如： 16 81
1 42b a 24-）（ ② ）（0)(2≥=a a a
（2）乘法法则逆应用 b a b a ⋅=⋅ （0,0≥≥b a ）
如：b a 2（a ＞0） 8 32 512
（3）除法法则逆应用 b
a b a = （0,0≥≥b a ） 如：
a 1 4
3 （4）分母有理化
常用公式： ）（0)(2≥=a a a
22))((b a b a b a -=+-
如：
a 1 3-21 321+ 5323+ 5
-323
4、同类二次根式
①几个根式化成最简二次根式后，被开方数相同
如：812与 4
312与 520与
②同类二次根式的加减
先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并， 合并方法为系数相加减，根式不变．
5、二次根式的运算法则
加减法： m b a m b m a )(±=±
乘法： b a b a ⋅=⋅ （a ≥0，b ≥0）
除法： b
a b a = （0,0＞b a ≥） m m a a =)( （0≥a ）
若0b ＞＞a ，则0b ＞＞a
乘法公式推广：
① n 321321a a a a a a a a n ⋯⋯⋅⋅⋅=⋯⋯⋅⋅
（ 0000n 321≥⋯⋯≥≥≥a a a a ，，，） ②b ab a b a ++=±22）（
③ b a b a b a -=-+))((
例题解析
【例1】判断下列各式是不是最简二次根式 6 8 12 15 18
20 24 48
500 21 81 43
322 2.1
【例2】（1）在二次根式322,,9
,8,5a b a c a a +中最简二次根式有（ ）个。
A.1 B.2 C.3 D.4
（2）下列各种二次根式中，属于同类二次根式的为（ ）
A.122与
B.212与
C.22ab b a 与
D.11-+a a 与
【例3】（1）已知最简二次根式a b b -3和2b 2+-a 是同类二次根式，则 a=______ b=________
(2)若最简二次根式11352103+--+-y x y x x 和是同类二次根式，求x,y 平方和的算术平方根。
【例4】（1）较大小 ①33_____72
②3
121-______41- ③5-71_______3-51
④
2001-2002______2000-2001
(2)把下列各式中根号外的因式移入根号内，然后用“<”连接。
32 23- 1.010- 313 4
112-
【例5】下列计算中，正确的是（ ）。
A.2122423=⋅ B.3
2)3(3232⨯-=- C.259)25()9(-⋅-=-⋅- D.())1213(1213121322-+=-
【例6】计算。
①714⨯ ②10253⨯ ③3
24
④
18123÷ ⑤254322÷⨯ ⑥3
222351345⨯÷
⑦ ）（2-27-328+。