二次根式知识点总结及常见题型
二次根式知识点总结及练习题大全
二次根式知识点总结及练习题大全1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（）2= （≥0）；（2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】（2）、平方法当时，①如果，则；②如果，则。
例1、比较与的大小。
例2、比较与的大小。
（3）、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例3、比较与的大小。
（4）、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例4、比较与的大小。
（5）、倒数法例5、比较与的大小。
（6）、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
例6、比较与的大小。
（7）、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①；②例7、比较与的大小。
（8）、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①；②例8、比较与的大小。
二次根式的概念和性质1．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）（1）（）2=- （）;（2）=- （）（3）（-）2=- （）;（4）（2）2=2×=1 （）2．下面的计算中，错误．．的是（）A．=±0.03 B．±=±0.07C．=0.15 D．-=-0.133．下列各式中一定成立的是（）A．=+=3+4=7 B．=-C．（-）2= D．=1-=4．（）2-=________； 5．+（-）2=________．6．[-]·-6；7．数a在数轴上的位置如图所示，化简：-│1-a│=_______．8．计算：+=_______．9．--（）2 10、-|-|11．+ 12．+ 13.二次根式的乘除练习题1、填空：（1）二次根式的乘法法则用式子表示为__________（2）二次根式的除法法则用式子表示为__________（3）把分母中的___化去，叫做分母有理化. 将式子分母有理化后等于_________ （4）成立的条件是_________（5）成立的条件是_________（6）（6）成立的条件是_________（7）化简：（8）计算：1．下列运算正确的是（）A．（）2=-5 B．（-）2=-5 C．-=5 D．=5a -2-12102．下面的计算中，正确的是（ ）A ．=0.1；B ．-=-0.03；C ．±=±13；D ．=-43．下列命题中，错误．．的是（ ） A ．如果=5，则x=5;B ．若a （a ≥0）为有理数，则是它的算术平方根C ．化简的结果是-3D ．在直角三角形中，若两条直角边分别是，2，那么斜边长为54．计算+|-11|-，正确的结果是（ ）A ．-11B ．11C ．22D ．-225．（-）2-+=________； 6．=________．7．-（2）2=__________．8．比较大小6______7．（填“>”，“＝”，“<”号）9．数a 在数轴上的位置如图所示，化简：│-a-1│-2=________．10．=________．11．计算：+++…+=______．12．如果+│b-2│=0，求以a 、b 为边长的等腰三角形的周长．1、判断题：下列运算是否正确.（ ）（1）（ ）（2）（ ）（3）（ ）（4）（ ）（5）（ ）（6）（ ）（7）（ ）（8）1、运用乘法分配律进行简单的根式运算.例1 计算 （1） （2）(1) (2)(3)2、比较两个实数的大小.例2 比较下列两个数的大小（1）与（2）与1、与2、与3、与4、与3、二次根式的乘除混合运算.（1）（2）（1）（2）4、运用分母有理化进行计算.例3 化简分析：当分母里二次根式的被开方数都相差1时，如果分母有理化后则变为1或-1，就可将原式变为不含分母的二次根式.思考题：计算二次根式的加减1．若与是同类二次根式，则a=_______，b=_______．2．在，，，中能与进行加减合并的根式有_________．3．计算： +=_________．4．已知长方形的长和宽分别为，，则它的周长是________．5．在实数范围内分解因式：a2-4=_________．6． +与+大小关系是_________．7．下列根式中与其他三个不同类的是（）A． B． C． D．8．下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（）A．与 B．与 C．与2 D．18与9．下列根式合并过程正确的是（）A．2--=2 B．a+b=a+bC．5+=a+ D． -=10．计算： ++-的值是（）A． +5 B． +8 C．6+ D．12+11．若5+=6，则y值为（）A． B．1 C．2 D．312．一个等腰三角形的两边分别为2，3，则这个三角形的周长为（）A．3+4 B．6+2C．6+4 D．3+4或6+213．计算：（1）2+3 （2）5+-7（3）++-+ （4）+6a-3a214．如果△ABC的三边a=7，b=4，c=2，求周长P．巩固练习1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.2. 下面说法正确的是（）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B.与是同类二次根式C.与不是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式3. 与不是同类二次根式的是（）A. B. C. D.4. 下列根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.★5. 若，则化简的结果是（）A. B. C. 3 D. -3★6. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（）A. B. C. 1 D. 37. 下列式子中正确的是（）A. B.C. D.8. 在中，与是同类二次根式的是。
二次根式知识点及典型例题(含答案)
4、不会比较根式的大小5、不会利用二次根式的非负性6、对最简二次根式的条件掌握不牢八、经典例题例1、求下列各数的平方根与算术平方根（ ）A.36B.81121 C.2-（5） D.41【答案】A.2=36±（6）∴36的平方根为6±，即6± ∴36的算术平方根为6，即B.2981=11121±（）∴81121的平方根为911±，即911±∴81121的算术平方根为911，即911 C.25=25±（）∴2-（5）的平方根为5±，即5± ∴2-（5）的算术平方根为5，即D.()241=41±∴41的平方根为 ∴41【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，解答本题注意解题步骤的规范书写，不是完全平方数的正数，它的平方根只能用含有根号的形式表示．练习1、计算：（1 （2）【答案】（1）211=121（2）20.9=0.810.9±表示121的算术平方根，表示0.81的平方根，、的意义是解答本题的关键例2、如果一个正数的平方根为3a-5和2a-10，求这个正数【答案】由题意得，3a-5+2a-10=0得a=3∴3a-5=4∴这个数为24=16【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而互为相反数的两个数相加为0，故(3a-5)+(2a-10)=0.求出a后，可知3a-5与2a-10的值，在考虑哪个正数的平方根是3a-5,2a-10的值即可。
练习1、x为何值时，下列各式有意义。
【答案】解：A.10x-≥，即1x≥有意义B.10x-≥且0x≥，即01x≤≤有意义C.10x+>，即1x>-D.230x+≥，即x都有意义【解析】a≥例3、【答案】解252736<<<<即56<<的整数部分是5【解析】处在哪两个完全平方数之间.例4、:x y【答案】解：33y-1和互为相反数3y-1∴和1-2x互为相反数3y-1+1-2x=0∴:=3:2x y∴互为相反数，则a和b互为相反数，所以本题中3y-1与1-2x 互为相反数例5、实数0.5的算术平方根等于（）.D.1 2【答案】C【解析】理解算术平方根的意义，把二次根式化成最简形式是解答本题的关键.例6、的算术平方根是（）A. 4±B. 4C. 2±D. 2【答案】D【解析】4的算术平方根，4的算术平方根为2.例7、根据下列运算正确的是（）3=2 C. (x+2y)2=x2+2xy+4y2 D. A.x6+x2=x3 B.√−8√18−√8=√2【答案】解：A、本选项不能合并，错误；3=-2，本选项错误；B、√-8C、（(x+2y)2=x2+2xy+4y2，本选项错误；D、√18-√8=3√2-2√2=√2，本选项正确．故选D【解析】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．例8、）【答案】B综合练习简单1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．<1 B．≥1 C．≤－1 D．<－1【答案】B【解析】由二次根式的意义，知：x－1≥0，所以x≥1.2.如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1【答案】D解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0．解得：x≥0且x≠1．故选D．【解析】代数式√x有意义的条件为：x﹣1≠0，x≥0．即可求得x的范围．x-13.要使式子2-x有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤2【答案】D解：根据题意得，2﹣x≥0，解得x≤2．【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．4. 下列计算正确的是（）=√2 D.3+2√2=5√2 A.4√3-3√3=1 B.√2+√3=√5 C.2√12【答案】C【解析】 A、4√3-3√3=√3，原式计算错误，故本选项错误；B、√2与√3不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；=√2，计算正确，故本选项正确；C、2√12D、3+2√2≠5√2，原式计算错误，故本选项错误；根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．5. 若，则＝【答案】6【解析】原方程变为：，所以，，由得：＝3，两边平方，得：＝7，所以，原式＝7－1＝6中等题1.结果是。
《二次根式》知识点总结-题型分类-复习专用
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a--+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、aB、10- C、1a+ D、21a+2、在a、2a b、1x+、21x+、3中是二次根式的个数有______个【例2】2-x有意义的x的取值范围是_____举一反三：1、使代数式43--xx有意义的x的取值范围是（）A、x>3B、x≥3C、x>4D 、x≥3且x≠42、若式子13x-有意义，则x的取值范围是．【例3】若y=5-x+x-5，则x+y=举一反三：若x、y都是实数，且y=，求xy的值3、当a取什么值时，代数式211a++取值最小，并求出这个最小值。
已知a是5整数部分，b是5的小数部分，求a-b的值。
知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．2. ()()a aa 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【典型例题】（公式)0()(2≥=a a a 的运用）注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．【例5】 化简：21(3)a a -+-的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4举一反三：在实数范围内分解因式:23x-= ；（公式⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的应用） 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．【例6】已知2x <,则化简2)2(-x 的结果是A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -举一反三：1、根式2(3)-的值是( )A ．-3B ．3或-3C ．3D ．9 2、已知a<0，那么│2a －2a │可化简为（ ）A ．－aB ．aC ．－3aD ．3a【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │+2()a b + 的结果等于（ ）A ．－2bB ．2bC ．－2aD ．2a举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：21(2)______a a -+-=．【例8】1、把二次根式a a-1化简，正确的结果是（ ） A. -aB. --aC. -aD. a2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，x xb ＝ ；aa --11)1(＝ 。
《二次根式》知识点总结-题型分类-复习专用.doc
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念 【知识要点】二次根式的定义：形如五的戎子叫二次根式，其中么叫被开 方数，只有当么是一个非负数时，石才有意义.【典型例题】题型一：二次根式的判定【例1】下列各式1)卫,2)底,3)-存714)扬,5)』(-A 6)举一反三:1、 使代数式有意义的X 的取值范围是x-4( )A 、x>3 B. x > 3C 、 x>4D 、 x 》3且XH 42、 若式子丁鼻有意义，则x 的取值范围\l x — 3是 _____________ .题型去二次根式定义的运用【例 31 若 y= Qx-5 +』5-x ,则 x+y= _______________7)J/著换三：若x 、y 都是实数，且yr 求xy 的值1、下列各式中，一定是二次根式的是( )A 、乔B 、V^IOC 、yfa + lD 、题型二：二次根式有意义【例2】J 兀-2有意义的x 的取值范围是 ---------已知a 是亦整数部分，b 是 亦的小数部分, 求a-b 的值。
V5V 3,其中是二次根式的是 ------------ (填序号). 举一反三： 2、在丽、Vl + x 2 、的中是二次根式的个数有 ------- 个3、当。
取什么值时，代数式血 + 1+1取值最小, 并求出这个最小值。
知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：V^(a>0)是一个非负数.2. (V^)2 =a(a>0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全 平方的形式：a = (7a)2(a>0)4.公式=\a\=l a^~^ 与(Va)2 =a(a>0)的区别与联系-a(a < 0)(1) 品表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数. (2) (需尸表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数. (3) Q 和(石尸的运算结果都是非负的.【典型例题】題型二：二次根式的牲廣2(公式(石)2二a(a > 0)的运用)注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.f 例5】化简：卜一1| + (丁^二5)2的结果为()A 、4-2aB 、0C 、2a —4D 、4举一反三：在实数范围内分解因式：才-3二 _________________ ; 題型去二次根式餉濒3(公式7^? = |a| = J a(a ~0)的应用)注意：(1)字母不一定是正数.-a(a < 0)(2) 能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3) 可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.f 例6】已知x<2,则化简J(x —2)2的结果是A % x — 2B 、兀+ 2C. —X — 2D. 2 — x3.=|a|= <a(a > 0)-a(a < 0)举一反三:1、根式J(-3)2的值是()A. -3B. 3 或-3C. 3D. 9那么|疑-2a |可化简为()2、已知a<0,A. - aB. aC. 一3aD. 3a【例71如果表示a, b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简| a-b | + J(a + b)2的结果等于() ---- ----- -- --- Ab a oA. -2bB. 2bC. -2aD. 2a举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简:0-1| +J(Q-2)2= ______________ . 寸—()j-*-I：例811、把二次根式agl化简，正确的结果是( )A. J—aB. — J-aC. — -VaD.2、__________________________________________________________ 把根号外的因式移到根号内：当b>0时，-V7 = ; (。
《二次根式》的知识要点和习题
《二次根式》的知识要点和习题知识要点1、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。
二次根式a 的实质是一个非负数a 的算术平方根。
注意：在二次根式中，被开放数能够是数，也能够是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0是a 为二次根式的前提条件，如5，21x +，等是二次根式，而5-、2x -、12--x 等都不是二次根式；a 的根指数是2, 即2a ，可省略不写；b a 也是二次根式。
当b 为带分数时，要把b 改写成假分数。
538是二次根式，不能写成2532。
2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如 不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如 ，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如 ,,就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
①的有理化因式为，②的有理化因式为，③的有理化因式为，④的有理化因式为，⑤的有理化因式为5．二次根式的性质：（1）. (a≥0)是一个非负数, 即≥0;（2）.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；（3）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=（4）.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b≥0）。
（5）.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。
6．二次根式的乘除（1）. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
二次根式的知识点、典型例题、练习
第十六章 二次根式的知识点、典型例题及相应的练习1、二次根式的概念：1、定义：一般地，形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。
当a≥0时，a 表示a 的算术平方根，当a 小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）概念：式子a （a≥0）叫二次根式。
a （a≥0）是一个非负数。
题型一：判断二次根式（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x≥0，y ≥0）． （2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2x x y y x x x x y+=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个（3）下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7-B. 32mC. 21a +D. a b2、二次根式有意义的条件题型二：判断二次根式有没有意义1、写出下列各式有意义的条件:（1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x 1- 2、21x x --有意义，则 ； 3、若x x x x --=--3232成立，则x 满足_______________。
典型练习题：1、当x 是多少时， 23x ++11x +在实数范围内有意义？2、当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？ 3、当__________时，212x x ++-有意义。
4、使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数 5、已知y=2x -+2x -+5，求x y的值． 6、若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．7、若11m m -++有意义，则m 的取值范围是 。
8、已知()222x x -=-，则x 的取值范围是 。
9、使等式()()1111x x x x +-=-+成立的条件是 。
10、已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤011、若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y12、若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等（ ） （A ）x 2 （B ）－x2 （C ）－2x （D ）2x 13、化简aa 3-(a ＜0)得（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a3、最简二次根式的化简最简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足：（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。
二次根式知识点及习题
二次根式知识点一: 二次根式的概念形如(）的式子叫做二次根式。
注:在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1。
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2。
二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（)表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式(）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0,所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0，b=0；若，则a=0,b=0;若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式(）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五:二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.注:1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身,即；若a是负数，则等于a的相反数-a，即;2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值，一定有意义；3、化简时,先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六:与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即,。
因而它的运算的结果是有差别的,，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义,而. 知识点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等;含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√(x+y)^2、√x^2+2xy+y^2等（3)最终结果分母不含根号。
二次根式知识方法题型总结
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 二次根式知识方法题型总结一、本章知识内容归纳1.概念：①二次根式——形如 的式子；当 时有意义，当 时无意义；②最简二次根式——根号中不含 和 的二次根式；③同类二次根式—— 的二次根式；2.性质：①)0(0≥≥a a 非负性; ②)0()(2≥=a a a ;③ (字母从根号中开出来时要带绝对值 再根据具体情况判断是否需要讨论)3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式.①乘法和积的算术平方根可互相转化:)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ;②除法和商的算术平方根可互相转化:)0,0(>≥=b a ba b a③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用；⑤乘法公式的推广：)0,.....0,0(...............21321321≥⋅≥⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n n n a a a a a a a a a a a 二、本章常用方法归纳方法1.开方 ①偶数次方：a a n n =2； ②奇数次方：a a a n n ⋅=+12方法2.分母有理化：①概念：分母有理化就是通过 使得其中 叫做该分母的有理化因式；②常用的有理化因式：a 与a 、b a +与b a -、b a +与b a -互为有理化因式；③分母有理化步骤：先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；将计算结果化为最简二次根式的形式。
方法3. 非0的二次根式的倒数①a 的倒数：a aa a ==11（a>0）; ②b a 的倒数：a b（a>0, b>0）; ③※因为=-+++)1)(1(n n n n ， 所以)1(n n ++的倒数为 ；方法4.利用“”外的因数化简“” ①a a aa a ==1)0(≥a ； ②)0,0(2≥≥=b a b a b a ；三、本章典型题型归纳（一）二次根式的概念和性质1．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）2+x －x 23-；（2）x -－11+x ；（3）2||12--x x ；2．若x 、y 为实数，y ＝2-x ＋x -2＋3．则y x =3．根据下列条件，求字母x 的取值范围：（1）3)3(2+=+x x ； （2）x x -=2；（3）122+-x x ＝1－x ； （4）※22)3()2(-+-x x ＝1 ；4．已知12-a ＋a b 2-＋c b a ++＝0．则a= , b= , c= .5.已知()039322=+-+-x x y x ，则11++y x =______________6．在实数范围内因式分解：x 4－4＝______________．7．已知a,b,c 为三角形的三边， 则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=8.若最简二次根式1452+x 与最简二次根式164-x 可以合并，则x 的取值为 ※9．已知a<0，化简二次根式b a 3- =※10．把mm 1-根号外的因式移到根号内，得 （二）二次根式的运算11．乘除法口算：（1）61 （3）8517÷= （5）312=（2）81= （4）322= （6）y x 5= （9）33= （11）326-= （8）y x xy 3212÷= （10）26= （12）b b2142= （15）)25(122)341(-÷⋅-= 12. 计算：（能简算的要简算）（1）0(π1)123+-+-． （2）8＋(－1)3－2×22(3) 2484554+-+(5) x xx x 3)1246(÷-(8)62332)(62332(+--+）（11）673)32272(-⋅++※(12) 21418122-+- 3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 314．在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是___________15．若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为 3cm .※16．23231+-与的关系是17．甲、乙两人对题目“化简并求值：21122-++a a a ，其中51=a ”有不同的解答： 甲的解答：549211)1(1211222=-=-+=-+=-++a a a a a a a a a a a ， 乙的解答：5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a a a 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次根式知识点总结及常见题型资料编号:20190802一、二次根式的定义形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,a 叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”;②被开方数是否为非负数.若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.（3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是:a m a m ⋅=（a ≥0）;（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质:（1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性:()a a =2（a ≥0）;（主要用于二次根式的计算）（3）转化性:⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简）重要结论:（1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A ,A ≥0,2B ≥0,C ≥0∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值.（2）()()()⎩⎨⎧≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简.（3）()()⎪⎩⎪⎨⎧<⋅->⋅=0022A B A A B A B A ,其中B ≥0;该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）()B A BA ⋅=22,其中B ≥0.该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子11-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________.分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2111+-+-=x x y ,化简:11--y y .分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴1212100<=++=y ∴11111-=--=--y yy y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数xxy 21-=,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________.例3. 若04412=+-+-b b a ,则ab 的值等于 【 】 （A ）2- （B ）0 （C ）1 （D ）2分析:本题考查二次根式的非负性以及结论:若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.解:∵04412=+-+-b b a ∴()0212=-+-b a∵1-a ≥0,()22-b ≥0∴02,01=-=-b a ∴2,1==b a∴221=⨯=ab .选择【 D 】.例4. 无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义,则m 的取值范围是__________. 分析:无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义,即被开方数m x x +-62≥0恒成立,所以有如下两种解法:解法一:由题意可知:m x x +-62≥0 ∵()93622-+-=+-m x m x x ≥0∴()23-x ≥m -9∵()23-x ≥0∴m -9≤0,∴m ≥9. 解法二:设m x x y +-=62∵无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义 ∴m x x y +-=62≥0恒成立即抛物线m x x y +-=62与x 轴最多有一个交点 ∴()m m 436462-=--=∆≤0解之得:m ≥9.例5. 已知c b a ,,是△ABC 的三边长,并且满足c c b a 20100862=++-+-,试判断△ABC的形状.分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值. 解:∵c c b a 20100862=++-+- ∴010020862=+-+-+-c c b a ∴()010862=-+-+-c b a∵6-a ≥0,8-b ≥0,()210-c ≥0∴010,08,06=-=-=-c b a ∴10,8,6===c b a∵10010,10086222222===+=+c b a ∴222c b a =+ ∴△ABC 为直角三角形.习题 6. 已知实数y x ,满足084=-+-y x ,则以y x ,的值为两边长的等腰三角形的周长为 【 】 （A ）20或16 （B ）20（C ）16 （D ）以上答案均不对习题7. 当=x _________时,119++x 取得最小值,这个最小值为_________.习题8. 已知24422--+-=x x x y ,则y x 的值为_________.习题9. 已知非零实数b a ,满足()()a b a b a a =++-+-++-415316822,求1-b a 的值.提示:由()()152+-b a ≥0,且012>+b 可得:5-a ≥0,∴a ≥5.例6. 计算: （1）()26; （2）()232+x ; （3）2323⎪⎪⎭⎫⎝⎛-. 分析:本题考查二次根式的性质: ()a a =2（a ≥0）.该性质主要用于二次根式的计算.解:（1）()662=;（2）()32322+=+x x ;（3）()6329323323222=⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-. 注意:()B A B A ⋅=22,其中B ≥0.该结论主要用于二次根式的计算.例7. 化简:（1）225; （2）2710⎪⎭⎫ ⎝⎛-; （3）962+-x x ()3<x .分析:本题考查二次根式的性质:⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a .该性质主要用于二次根式的化简.解:（1）2525252==;（2）7107107102=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-;（3）()339622-=-=+-x x x x∵3<x ∴原式x -=3. 注意: 结论:()()()⎩⎨⎧≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2.该结论主要用于二次根式和绝对值的化简.例8. 当3-x 有意义时,化简:()()22125x x x -+-++.解:∵二次根式3-x 有意义 ∴3-x ≥0 ∴x ≥3图（1）∴()()22125x x x -+-++23125125+=-+-++=-+-++=x x x x x x x例9. 化简:()()2223-+-x x .分析:()222-=-x x ,继续化简需要x 的取值范围,而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件:3-x 的被开方数3-x 为非负数. 解:由二次根式有意义的条件可知:3-x ≥0 ∴x ≥3 ∴()()2223-+-x x522323-=-+-=-+-=x x x x x 例10. 已知10<<a ,化简=-+-++2121aa a a __________. 解:∵10<<a ∴aa 1<∴2121-+-++aa a a aaa a a a a a a a a a a a a a a 21111111122=+-+=⎪⎭⎫⎝⎛--+=--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 例11. 已知直线()23-+-=n x m y （n m ,是常数）, 如图（1）,化简1442--+---m n n n m .解:由函数()23-+-=n x m y 的图象可知:02,03<->-n m∴2,3<>n m∴1442--+---m n n n m()()()1121212122-=+-+--=-----=-----=-----=m n n m m n n m m n n m m n n m例12. 已知c b a ,,在数轴上的位置如图（2）所示,化简:()()222b a c c a a --++-.图（2）解:由数轴可知:b a c <<<0 ∴0<+c a ∴()()222b a c c a a --++-ba b c a c a a b a c c a a -=--+++-=--++--=习题10. 要使()()2222-=-x x ,x 的取值范围是__________.习题11. 若02=+a a ,则a 的取值范围是__________.习题12. 计算:=⎪⎪⎭⎫⎝⎛243_________. 习题13. 计算:=⎪⎭⎫⎝⎛-2221_________. 习题14. 若()332-=-x x 成立,则x 的取值范围是__________.习题15. 下列等式正确的是 【 】 （A ）()332= （B ）()332-=-（C ）333= （D ）()332-=-习题16. 下列各式成立的是 【 】（A ）21212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- （B ）()ππ-=-332（C ）21212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （D ）74322=+ 习题17. 计算:()=-272_________.习题18. 化简:()=+-22x x_________.习题19. 若=-+=++++-b a a b b a a 22221,01213则________. 习题20. 已知01<<-a ,化简414122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a 得__________. 习题21. 实数c b a ,,在数轴上对应的点如图（3）所示,化简代数式:222212b ab a c b a a +---++-的结果为 【 】 （A ）12--c b （B ）1- （C ）12--c a （D ）1+-c b图（3）习题22. 化简:()2232144--+-x x x .例13. 把aa 1-中根号外的因式移到根号内,结果是 【 】 （A ）a - （B ）a - （C ）a （D ）a --分析:本题实为二次根式的化简:某些二次根式在化简时,把根号外的系数移到根号内,可以达到化简的目的,但要注意根号外面系数的符号.有如下的结论:()()⎪⎩⎪⎨⎧<⋅->⋅=0022A B A A B A B A ,其中B ≥0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-a∴0<a ∴a a a a a --=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=-112.选择【 D 】. 习题23. 化简()212--a a 得__________. 三、二次根式的乘法 一般地,有:ab b a =⋅（a ≥0,b ≥0）（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的条件:a ≥0,b ≥0.即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数;（2）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算;（3）两个带系数的二次根式的乘法为:ab mn b n a m =⋅（a ≥0,b ≥0）; （4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:b a ab ⋅=（a ≥0,b ≥0）公式的逆用主要用于二次根式的化简.注意公式逆用的条件不变.例14. 若()66-=-⋅x x x x 成立,则 【 】 （A ）x ≥6 （B ）0≤x ≤6 （C ）x ≥0 （D ）x 为任意实数分析:本题考查二次根式乘法公式成立的条件:ab b a =⋅（a ≥0,b ≥0）解:由题意可得:⎩⎨⎧≥-≥060x x解之得:x ≥6. 选择【 A 】.例15. 若1112-⋅+=-x x x 成立,则x 的取值范围是__________.分析:本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件:b a ab ⋅=（a ≥0,b ≥0）解:由题意可得:⎩⎨⎧≥-≥+0101x x解之得:x ≥1. 例16. 计算:a a 812⋅（a ≥0）. 解:a a a a a a a 21214181281222=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅=⋅（a ≥0）. 习题24. 计算:=⨯2731_________. 习题25. 已知()21233-⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m ,则有 【 】 （A ）65<<m （B ）54<<m （C ）45-<<-m （D ）56-<<-m 习题26. 化简12的结果是_________. 四、二次根式的除法 一般地,有:baba =（a ≥0,0>b ） （1）以上便是二次根式的除法公式,要特别注意公式成立的条件; （2）二次根式的除法公式用于二次根式的计算;（3）二次根式的除法公式可写为:b a b a ÷=÷ （a ≥0,0>b ）; （4）二次根式的除法公式可逆用,即有:ba b a =（a ≥0,0>b ） 公式的逆用主要用于二次根式的化简,注意公式逆用的条件不变. 五、最简二次根式符合以下条件的二次根式为最简二次根式: （1）被开方数中不含有完全平方数或完全平方式;（2）被开方数中不含有分母或小数.注意:二次根式的计算结果要化为最简二次根式.六、分母有理化把分母中的根号去掉的过程,叫做分母有理化. 如对21进行分母有理化,过程为:2222221=⨯=;对321+进行分母有理化,过程为:()()723232323321-=-+-=+. 由举例可以看出,分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的.例17. 计算:（1）654; （2）3223238÷; （3）()22728y xy -÷. 解:（1）39654654===; （2）24338169388323383823383832383223238=⨯==⨯⨯=÷⨯=÷=÷; （3）()x x y xy y xy 247287282222-=-=÷-=-÷.例18. 化简: （1）65; （2）4.0; （3）a a a 9623+-（3>a ）. 解:（1）63066656565=⨯⨯==; （2）51052524.0===; （3）∵3>a ∴()()()a a a a a a a a a a 3396962223-=-=+-=+- 注意:随着学习的深入,在熟练时某些计算或化简的环节可以省略,以简化计算. 例19. 式子2121-+=-+x x x x 成立的条件是__________.分析:本题求解的是x 的取值范围,考查了二次根式除法公式逆用成立的条件:ba b a = （a ≥0,0>b ）. 解:由题意可得:⎩⎨⎧>-≥+0201x x 解之得:2>x .例20. 计算:（1）7523⨯; （2）5120-; （3）2832-. 解:（1）5225275237523==⨯=⨯; （2）552515205120-=-=-; （3）解法1:224416282322832=-=-=-=-. 解法2:()2248216642228322832=-=-=⨯⨯-=-. 二次根式的乘除混合运算例21. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⨯21223222330; （2）182712⨯÷. 解:（1）原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⨯=252382330 232443216435238302123-=⨯⨯-=⨯⨯-=⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=（2）原式228324182712===⨯=.习题27. 下列计算正确的是 【 】（A ）3212= （B ）2323= （C ）x x x -=-3 （D ）x x =2习题28. 计算:=÷⨯213827_________. 习题29. 计算:=÷32643x x _________. 习题30. 直线13-=x y 与x 轴的交点坐标是_________.习题31. 如果0,0<+>b a ab ,那么下面各式: ①ba b a =; ②1=⋅a b b a ; ③b b a ab -=÷. 其中正确的是_________（填序号）.习题32. 若0<ab ,则化简2ab 的结果是_________.习题33. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷7225283212; （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯2143236181841.例22. 先化简,再求值:1441132+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x ,其中22-=x . 解:1441132+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x ()()()()()()2221122211111322+--=++⋅+-+-=++⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=x x x x x x x x x x x x x当22-=x 时 原式122242222222-=--=+----=.习题34. 先化简,再求值:11121122-+÷+-+--a a a a a a ,其中12+=a .习题35. 先化简,再求值:2222221y xy x y x x x yx +--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---,其中6,2==y x .习题36. 下列根式中是最简二次根式的是【 】（A ）32（B ）3 （C ）9 （D ）12例23. 观察下列各式: ()()()()()().;34434343431;23323232321;12212121211 -=-+-=+-=-+-=+-=-+-=+ （1）请利用上面的规律直接写出100991+的结果;（2）请用含n （n 为正整数）的代数式表示上述规律,并证明;（3）计算:()20171201720161431321211+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++ . 分析:本题考查分母有理化.解:（1）1131099100100991-=-=+; （2）n n n n -+=++111; （3）原式()()2017120162017342312+⨯-++-+-+-= ()()2016120171201712017=-=+-= 习题37. 化简:891231121++++++ .七、同类二次根式如果几个最简二次根式的被开方数相同,那么它们是同类二次根式. 同类二次根式的判断方法:（1）先化简二次根式;（2）看被开方数是否相同;（3）定结果:若相同,则它们是同类二次根式;若不相同,则不是.同类二次根式的合并方法:几个同类二次根式相加减,将它们的系数相加减,二次根式保持不变.八、二次根式的加减二次根式相加减,先把各个二次根式化简,再合并同类二次根式.二次根式加减运算的步骤:（1）化简参与运算的二次根式;（2）合并同类二次根式;（3）检查结果.例24. 计算:（1）12188++; （2）451227+-. 解:（1）原式3225322322+=++=;（2）原式533533233+=+-=.注意:不是同类二次根式不能合并.例25. 计算:1832225-+.解:原式232425-+=2272225=+=例26. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+32233223;（2）()()()23225775-++-.解:（1）原式223223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=36199243=-=（2）原式364875+-+-=649-=.。