《二次根式》知识点归纳和题型归类
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《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念 【知识要点】二次根式的定义：形如五的戎子叫二次根式，其中么叫被开 方数，只有当么是一个非负数时，石才有意义.【典型例题】题型一：二次根式的判定【例1】下列各式1)卫,2)底,3)-存714)扬,5)』(-A 6)举一反三:1、 使代数式有意义的X 的取值范围是x-4( )A 、x>3 B. x > 3C 、 x>4D 、 x 》3且XH 42、 若式子丁鼻有意义，则x 的取值范围\l x — 3是 _____________ .题型去二次根式定义的运用【例 31 若 y= Qx-5 +』5-x ,则 x+y= _______________7)J/著换三：若x 、y 都是实数，且yr 求xy 的值1、下列各式中，一定是二次根式的是( )A 、乔B 、V^IOC 、yfa + lD 、题型二：二次根式有意义【例2】J 兀-2有意义的x 的取值范围是 ---------已知a 是亦整数部分，b 是 亦的小数部分, 求a-b 的值。
V5V 3,其中是二次根式的是 ------------ (填序号). 举一反三： 2、在丽、Vl + x 2 、的中是二次根式的个数有 ------- 个3、当。
取什么值时，代数式血 + 1+1取值最小, 并求出这个最小值。
知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：V^(a>0)是一个非负数.2. (V^)2 =a(a>0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全 平方的形式：a = (7a)2(a>0)4.公式=\a\=l a^~^ 与(Va)2 =a(a>0)的区别与联系-a(a < 0)(1) 品表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数. (2) (需尸表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数. (3) Q 和(石尸的运算结果都是非负的.【典型例题】題型二：二次根式的牲廣2(公式(石)2二a(a > 0)的运用)注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.f 例5】化简：卜一1| + (丁^二5)2的结果为()A 、4-2aB 、0C 、2a —4D 、4举一反三：在实数范围内分解因式：才-3二 _________________ ; 題型去二次根式餉濒3(公式7^? = |a| = J a(a ~0)的应用)注意：(1)字母不一定是正数.-a(a < 0)(2) 能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3) 可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.f 例6】已知x<2,则化简J(x —2)2的结果是A % x — 2B 、兀+ 2C. —X — 2D. 2 — x3.=|a|= <a(a > 0)-a(a < 0)举一反三:1、根式J(-3)2的值是()A. -3B. 3 或-3C. 3D. 9那么|疑-2a |可化简为()2、已知a<0,A. - aB. aC. 一3aD. 3a【例71如果表示a, b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简| a-b | + J(a + b)2的结果等于() ---- ----- -- --- Ab a oA. -2bB. 2bC. -2aD. 2a举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简:0-1| +J(Q-2)2= ______________ . 寸—()j-*-I：例811、把二次根式agl化简，正确的结果是( )A. J—aB. — J-aC. — -VaD.2、__________________________________________________________ 把根号外的因式移到根号内：当b>0时，-V7 = ; (。
二次根式知识点总结题型分类复习专用
《二次根式》题型分类学问点一：二次根式的概念［学问要点］二次根式的定义：形如而(020)的式子叫二次根式，其中。
叫被开方数，只有当α是一个非负数时，后才有意义.［典型例题］［例11下列各式1) >2)V—5,3)—∖∣x2+2,4)>∕4,5)^(--)^^,6)J1-α,7)Jo?-2〃+1, 其中是二次根式的是________ (填序号).举一反三：1、下列各式中，肯定是二次根式的是()A、y/dB、J-1()C、Ja+1D、+12、在口、痣、E、而16中是二次根式的个数有个【例2】若式子下二有意义，则X的取值范围是,√x-3举一反三：1、使代数式正至有意义的X的取值范围是( )X—4A、x>3B、x≥3C、x>4D、x>3且x=≠=42、使代数式JΛ√+2X-1有意义的X的取值范围是一=有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n)的位置在√w∕?3、假如代数式—()A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限［例3］若y=y∣x-5+√5-x+2009,贝IJx+y=举一反三:D.3学问点二：二次根式的性质［学问要点］:1.非负性：V^(a≥O)是一个非负数.留意：此性质可作公式记住，后面根式运算中常常用到. 2 .(√a)2=i⅛ι><).留意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把随意一个非负数或 非负代数式写成完全平方的形式：a=√⅛2(a≥Q 3 .好书土留意：(1)字母不肯定是正数.(-a(a<Q(2)能开得尽方的因式移到根号外时，必需用它的算术平方根代替.(3)可移到根号内的因式，必需是非负因式，假如因式的值是负的，应把负号留在根号外.4 .公式而MW=［a ?N1及Q¾)2=c g)的区分及联络-a(a<Q(1)行表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一实在数. (2) (√Γ)2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数. (3)行和(√Γ)2的运算结果都是非负的.［典型例题］Z1、若JX-I-JI-A ；=α+y)2,则X —y 的值为()A.—1 B.1 C.22、若x 、y 都是实数，且y =√2x -3+√3-2x+4,求Xy 的值已知a 是褥整数局部，b 是有的小 数局部，求。
《二次根式》的知识要点和习题
《二次根式》的知识要点和习题知识要点1、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。
二次根式a 的实质是一个非负数a 的算术平方根。
注意：在二次根式中，被开放数能够是数，也能够是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0是a 为二次根式的前提条件，如5，21x +，等是二次根式，而5-、2x -、12--x 等都不是二次根式；a 的根指数是2, 即2a ，可省略不写；b a 也是二次根式。
当b 为带分数时，要把b 改写成假分数。
538是二次根式，不能写成2532。
2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如 不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如 ，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如 ,,就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
①的有理化因式为，②的有理化因式为，③的有理化因式为，④的有理化因式为，⑤的有理化因式为5．二次根式的性质：（1）. (a≥0)是一个非负数, 即≥0;（2）.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；（3）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=（4）.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b≥0）。
（5）.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。
6．二次根式的乘除（1）. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
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二次根式知识点归纳和题型归类二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质:4.积的算术平方根的性质' 1；6.若-：.知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算（1）运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号（2）注意每一步运算的算理；⑶ 乘法公式的推广： 人-,' | - -- '■ -1' - — ••一' L£- - ■2.二次根式的加减运算 先化简，再运算，3.二次根式的混合运算 （1）明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；（2）整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.（拓）’（曲巨0）、区=| a |= <3.a （皮3 0）「门；5.商的算术平方根的性质:>O t i>0).利用二次根式的双重非负性来解题(ja 0 (a > 0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
)2. x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(7)若x(x 1) .乂. X 1，则x 的取值范围是 ________ (8)若X 3. X 3 ,则X 的取值范围是 __________________ .\ X 1J x 13若J3m 1有意义，则m 能取的最小整数值是 _____________ ;若丁20需是一个正整数，则正整数m 的最小值是 __________ 4. 当x 为何整数时，.10x 1 1有最小整数值，这个最小整数值为 _________________ o5. 若 2004 a 嘉~~2005 a ，则 a 20042 = ____________________ ；若 y J x 3 <'3 x 4，则 x y _________________m 2 9 .9 m 2 2■—6. 设 m 、n 满足 n，贝V ■. mn = _____ 。
二次根式知识方法题型总结
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 二次根式知识方法题型总结一、本章知识内容归纳1.概念：①二次根式——形如 的式子；当 时有意义，当 时无意义；②最简二次根式——根号中不含 和 的二次根式；③同类二次根式—— 的二次根式；2.性质：①)0(0≥≥a a 非负性; ②)0()(2≥=a a a ;③ (字母从根号中开出来时要带绝对值 再根据具体情况判断是否需要讨论)3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式.①乘法和积的算术平方根可互相转化:)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ;②除法和商的算术平方根可互相转化:)0,0(>≥=b a ba b a③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用；⑤乘法公式的推广：)0,.....0,0(...............21321321≥⋅≥⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n n n a a a a a a a a a a a 二、本章常用方法归纳方法1.开方 ①偶数次方：a a n n =2； ②奇数次方：a a a n n ⋅=+12方法2.分母有理化：①概念：分母有理化就是通过 使得其中 叫做该分母的有理化因式；②常用的有理化因式：a 与a 、b a +与b a -、b a +与b a -互为有理化因式；③分母有理化步骤：先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；将计算结果化为最简二次根式的形式。
方法3. 非0的二次根式的倒数①a 的倒数：a aa a ==11（a>0）; ②b a 的倒数：a b（a>0, b>0）; ③※因为=-+++)1)(1(n n n n ， 所以)1(n n ++的倒数为 ；方法4.利用“”外的因数化简“” ①a a aa a ==1)0(≥a ； ②)0,0(2≥≥=b a b a b a ；三、本章典型题型归纳（一）二次根式的概念和性质1．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）2+x －x 23-；（2）x -－11+x ；（3）2||12--x x ；2．若x 、y 为实数，y ＝2-x ＋x -2＋3．则y x =3．根据下列条件，求字母x 的取值范围：（1）3)3(2+=+x x ； （2）x x -=2；（3）122+-x x ＝1－x ； （4）※22)3()2(-+-x x ＝1 ；4．已知12-a ＋a b 2-＋c b a ++＝0．则a= , b= , c= .5.已知()039322=+-+-x x y x ，则11++y x =______________6．在实数范围内因式分解：x 4－4＝______________．7．已知a,b,c 为三角形的三边， 则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=8.若最简二次根式1452+x 与最简二次根式164-x 可以合并，则x 的取值为 ※9．已知a<0，化简二次根式b a 3- =※10．把mm 1-根号外的因式移到根号内，得 （二）二次根式的运算11．乘除法口算：（1）61 （3）8517÷= （5）312=（2）81= （4）322= （6）y x 5= （9）33= （11）326-= （8）y x xy 3212÷= （10）26= （12）b b2142= （15）)25(122)341(-÷⋅-= 12. 计算：（能简算的要简算）（1）0(π1)123+-+-． （2）8＋(－1)3－2×22(3) 2484554+-+(5) x xx x 3)1246(÷-(8)62332)(62332(+--+）（11）673)32272(-⋅++※(12) 21418122-+- 3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 314．在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是___________15．若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为 3cm .※16．23231+-与的关系是17．甲、乙两人对题目“化简并求值：21122-++a a a ，其中51=a ”有不同的解答： 甲的解答：549211)1(1211222=-=-+=-+=-++a a a a a a a a a a a ， 乙的解答：5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a a a 。
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二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1. ；2. ；3. ；4.积的算术平方根的性质：；5.商的算术平方根的性质：.6.若，则.知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2.二次根式的加减运算先化简，再运算，3.二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.a - 3 x x 2 +1 x -1(x -1)2 2x -3 - 1 2x + 15 + x x + 4x (x -1) x x -1 x + 3 x +13m - 1 20m 10x -1 a - 2005 x - 3 3 - x m 2 - 9 + 9 - m 2 + 2 mn b - 3 x - y - m a 2 x 3 + 3x 2 - a 3b - ababab - ab(a + b - c )2 (b - c - a )2 (b + c - a )2 x 2 + 6x + 9 x 2 -10x + 25 1- 2a + a 2 ⎪⎩一. 利用二次根式的双重非负性来解题（ ≥ 0 （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
）1. 下列各式中一定是二次根式的是（）。
A 、 ； B 、 ；C 、 ；D 、2. 等式 ＝1－x 成立的条件是．3. 当 x时，二次根式 有意义．4.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）（2）（3）（ 4） 若 = ， 则 x 的 取 值 范 围 是 （ 5） 若 = x + 3 ， 则 x 的 取 值 范 围x +1是。
6. 若有意义，则 m 能取的最小整数值是 ；若 是一个正整数，则正整数 m 的最小值是．7. 当 x 为何整数时，+1 有最小整数值，这个最小整数值为。
二次根式知识点归纳及题型总结-精华版
二次根式知识点归纳与题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式得主要性质:１、; 2、; ３、;ﻫ4、积得算术平方根得性质:;ﻫ5、商得算术平方根得性质:、6、若，则、知识点二、二次根式得运算1.二次根式得乘除运算（1) 运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号、（2）注意每一步运算得算理;2.二次根式得加减运算先化简,再运算, ﻫ3.二次根式得混合运算（１）明确运算得顺序，即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里;ﻫ(2）整式、分式中得运算律、运算法则及乘法公式在二次根式得混合运算中也同样适用、一、利用二次根式得双重非负性来解题((a≥０),即一个非负数得算术平方根就是一个非负数。
）1、下列各式中一定就是二次根式得就是（）。
A、; B、；C、; D、2．等式＝1－x成立得条件就是_＿___＿_＿＿_＿_＿.3.当x_＿____＿__＿_＿时,二次根式有意义.4、x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) (２) (３) ﻫ（4)若,则x得取值范围就是(5)若,则x得取值范围就是。
６、若有意义,则m能取得最小整数值就是 ;若就是一个正整数,则正整数ｍ得最小值就是＿_＿_____．7、当x为何整数时,有最小整数值,这个最小整数值为。
８、若,则=_＿_____＿＿____;若,则９.设m、n满足,则＝。
10、若三角形得三边ａ、ｂ、c满足=0，则第三边c得取值范围就是１1、若，且时,则( ) Ａ、Ｂ、ﻩC、D、二.利用二次根式得性质＝|a|=(即一个数得平方得算术平方根等于这个数得绝对值)来解题1、已知=-x,则( ） A、ｘ≤0 B、x≤-3 C、x≥-3 D、-3≤x≤02、．已知ａ<ｂ，化简二次根式得正确结果就是（)A. B. C．Ｄ.３、若化简｜1-ｘ|－得结果为2x－５则（ ) Ａ、x为任意实数B、1≤x≤4 C、ｘ≥1 D、x≤4４、已知a,b，c为三角形得三边,则=５、当－3＜x<５时，化简= 。
二次根式知识点总结及常见题型
二次根式知识点总结及常见题型一、二次根式的定义形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,a 叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”;②被开方数是否为非负数.若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.（3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是:a m a m ⋅=（a ≥0）;（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质:（1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性:()a a =2（a ≥0）;（主要用于二次根式的计算）（3）转化性:⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简）重要结论:（1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A ,A ≥0,2B ≥0,C ≥0∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值. （2）()()()⎩⎨⎧≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简.（3）()()⎪⎩⎪⎨⎧<⋅->⋅=0022A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）()B A BA ⋅=22,其中B ≥0.该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子11-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________.分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2111+-+-=x x y ,化简:11--y y .分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴1212100<=++=y ∴11111-=--=--y yy y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数xxy 21-=,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________.例3. 若04412=+-+-b b a ,则ab 的值等于 【 】（A ）2- （B ）0 （C ）1 （D ）2分析:本题考查二次根式的非负性以及结论:若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.解:∵04412=+-+-b b a ∴()0212=-+-b a∵1-a ≥0,()22-b ≥0∴02,01=-=-b a ∴2,1==b a∴221=⨯=ab .选择【 D 】.例4. 无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义,则m 的取值范围是__________. 分析:无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义,即被开方数m x x +-62≥0恒成立,所以有如下两种解法:解法一:由题意可知:m x x +-62≥0 ∵()93622-+-=+-m x m x x ≥0∴()23-x ≥m -9∵()23-x ≥0∴m -9≤0,∴m ≥9. 解法二:设m x x y +-=62∵无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义 ∴m x x y +-=62≥0恒成立即抛物线m x x y +-=62与x 轴最多有一个交点 ∴()m m 436462-=--=∆≤0解之得:m ≥9.例 5. 已知c b a ,,是△ABC 的三边长,并且满足c c b a 20100862=++-+-,试判断△ABC 的形状.分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值. 解:∵c c b a 20100862=++-+- ∴010020862=+-+-+-c c b a ∴()010862=-+-+-c b a∵6-a ≥0,8-b ≥0,()210-c ≥0∴010,08,06=-=-=-c b a ∴10,8,6===c b a∵10010,10086222222===+=+c b a ∴222c b a =+ ∴△ABC 为直角三角形.习题 6. 已知实数y x ,满足084=-+-y x ,则以y x ,的值为两边长的等腰三角形的周长为 【 】 （A ）20或16 （B ）20（C ）16 （D ）以上答案均不对习题7. 当=x _________时,119++x 取得最小值,这个最小值为_________.习题8. 已知24422--+-=x x x y ,则y x 的值为_________.习题9. 已知非零实数b a ,满足()()a b a b a a =++-+-++-415316822,求1-b a 的值.提示:由()()152+-b a ≥0,且012>+b 可得:5-a ≥0,∴a ≥5.例6. 计算:（1）()26; （2）()232+x ; （3）2323⎪⎪⎭⎫⎝⎛-. 分析:本题考查二次根式的性质: ()a a =2（a ≥0）.该性质主要用于二次根式的计算.解:（1）()662=;（2）()32322+=+x x ;（3）()6329323323222=⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-. 注意:()B A B A ⋅=22,其中B ≥0.该结论主要用于二次根式的计算.例7. 化简:（1）225; （2）2710⎪⎭⎫ ⎝⎛-; （3）962+-x x ()3<x .分析:本题考查二次根式的性质:⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a .该性质主要用于二次根式的化简.解:（1）2525252==;（2）7107107102=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-; （3）()339622-=-=+-x x x x∵3<x ∴原式x -=3.注意: 结论:()()()⎩⎨⎧≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2.该结论主要用于二次根式和绝对值的化简.例8. 当3-x 有意义时,化简:()()22125x x x -+-++.解:∵二次根式3-x 有意义 ∴3-x ≥0 ∴x ≥3 ∴()()22125x x x -+-++图（1）23125125+=-+-++=-+-++=x x x x x x x例9. 化简:()()2223-+-x x .分析:()222-=-x x ,继续化简需要x 的取值范围,而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件:3-x 的被开方数3-x 为非负数. 解:由二次根式有意义的条件可知:3-x ≥0 ∴x ≥3 ∴()()2223-+-x x522323-=-+-=-+-=x x x x x 例10. 已知10<<a ,化简=-+-++2121aa a a __________. 解:∵10<<a ∴aa 1<∴2121-+-++aa a a aaa a a a a a a a a a a a a a a 21111111122=+-+=⎪⎭⎫⎝⎛--+=--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 例11. 已知直线()23-+-=n x m y （n m ,是常数）, 如图（1）,化简1442--+---m n n n m . 解:由函数()23-+-=n x m y 的图象可知:02,03<->-n m∴2,3<>n m∴1442--+---m n n n m()()()1121212122-=+-+--=-----=-----=-----=m n n m m n n m m n n m m n n m例12. 已知c b a ,,在数轴上的位置如图（2）所示,化简:()()222b a c c a a --++-.解:由数轴可知:b a c <<<0 ∴0<+c a ∴()()222b a c c a a --++-ba b c a c a a b a c c a a -=--+++-=--++--=习题10. 要使()()2222-=-x x ,x 的取值范围是__________.习题11. 若02=+a a ,则a 的取值范围是__________.习题12. 计算:=⎪⎪⎭⎫⎝⎛243_________. 习题13. 计算:=⎪⎭⎫⎝⎛-2221_________. 习题14. 若()332-=-x x 成立,则x 的取值范围是__________.习题15. 下列等式正确的是 【 】 （A ）()332= （B ）()332-=-（C ）333= （D ）()332-=-习题16. 下列各式成立的是 【 】图（2）（A ）21212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- （B ）()ππ-=-332（C ）21212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （D ）74322=+ 习题17. 计算:()=-272_________.习题18. 化简:()=+-22x x_________.习题19. 若=-+=++++-b a a b b a a 22221,01213则________. 习题20. 已知01<<-a ,化简414122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a 得__________. 习题21. 实数c b a ,,在数轴上对应的点如图（3）所示,化简代数式:222212b ab a c b a a +---++-的结果为 【 】 （A ）12--c b （B ）1- （C ）12--c a （D ）1+-c b习题22. 化简:()2232144--+-x x x .例13. 把aa 1-中根号外的因式移到根号内,结果是 【 】 （A ）a - （B ）a - （C ）a （D ）a --分析:本题实为二次根式的化简:某些二次根式在化简时,把根号外的系数移到根号内,可以达到化简的目的,但要注意根号外面系数的符号.有如下的结论:()()⎪⎩⎪⎨⎧<⋅->⋅=0022A B A A B A B A ,其中B ≥0. 图（3）解:由二次根式有意义的条件可知:01>-a∴0<a ∴a a a a a --=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=-112.选择【 D 】. 习题23. 化简()212--a a 得__________. 三、二次根式的乘法 一般地,有:ab b a =⋅（a ≥0,b ≥0）（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的条件:a ≥0,b ≥0.即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数;（2）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算;（3）两个带系数的二次根式的乘法为:ab mn b n a m =⋅（a ≥0,b ≥0）; （4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:b a ab ⋅=（a ≥0,b ≥0）公式的逆用主要用于二次根式的化简.注意公式逆用的条件不变.例14. 若()66-=-⋅x x x x 成立,则 【 】 （A ）x ≥6 （B ）0≤x ≤6 （C ）x ≥0 （D ）x 为任意实数分析:本题考查二次根式乘法公式成立的条件:ab b a =⋅（a ≥0,b ≥0）解:由题意可得:⎩⎨⎧≥-≥060x x解之得:x ≥6. 选择【 A 】.例15. 若1112-⋅+=-x x x 成立,则x 的取值范围是__________.分析:本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件:b a ab ⋅=（a ≥0,b ≥0）解:由题意可得:⎩⎨⎧≥-≥+0101x x解之得:x ≥1. 例16. 计算:a a 812⋅（a ≥0）. 解:a a a a a a a 21214181281222=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅=⋅（a ≥0）. 习题24. 计算:=⨯2731_________. 习题25. 已知()21233-⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m ,则有 【 】 （A ）65<<m （B ）54<<m （C ）45-<<-m （D ）56-<<-m 习题26. 化简12的结果是_________. 四、二次根式的除法 一般地,有:baba =（a ≥0,0>b ） （1）以上便是二次根式的除法公式,要特别注意公式成立的条件; （2）二次根式的除法公式用于二次根式的计算;（3）二次根式的除法公式可写为:b a b a ÷=÷ （a ≥0,0>b ）; （4）二次根式的除法公式可逆用,即有:ba b a =（a ≥0,0>b ） 公式的逆用主要用于二次根式的化简,注意公式逆用的条件不变. 五、最简二次根式符合以下条件的二次根式为最简二次根式: （1）被开方数中不含有完全平方数或完全平方式; （2）被开方数中不含有分母或小数.注意:二次根式的计算结果要化为最简二次根式.六、分母有理化把分母中的根号去掉的过程,叫做分母有理化. 如对21进行分母有理化,过程为:2222221=⨯=;对321+进行分母有理化,过程为:()()723232323321-=-+-=+. 由举例可以看出,分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的.例17. 计算:（1）654; （2）3223238÷; （3）()22728y xy -÷. 解:（1）39654654===; （2）24338169388323383823383832383223238=⨯==⨯⨯=÷⨯=÷=÷; （3）()x x y xy y xy 247287282222-=-=÷-=-÷.例18. 化简: （1）65; （2）4.0; （3）a a a 9623+-（3>a ）. 解:（1）63066656565=⨯⨯==; （2）51052524.0===; （3）∵3>a ∴()()()a a a a a a a a a a 3396962223-=-=+-=+- 注意:随着学习的深入,在熟练时某些计算或化简的环节可以省略,以简化计算. 例19. 式子2121-+=-+x x x x 成立的条件是__________.分析:本题求解的是x 的取值范围,考查了二次根式除法公式逆用成立的条件:ba b a = （a ≥0,0>b ）. 解:由题意可得:⎩⎨⎧>-≥+0201x x 解之得:2>x .例20. 计算:（1）7523⨯; （2）5120-; （3）2832-. 解:（1）5225275237523==⨯=⨯; （2）552515205120-=-=-; （3）解法1:224416282322832=-=-=-=-. 解法2:()2248216642228322832=-=-=⨯⨯-=-. 二次根式的乘除混合运算例21. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⨯21223222330; （2）182712⨯÷. 解:（1）原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⨯=252382330 232443216435238302123-=⨯⨯-=⨯⨯-=⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=（2）原式228324182712===⨯=.习题27. 下列计算正确的是 【 】（A ）3212= （B ） （C ） （D ）x x =2习题28. 计算:=÷⨯213827_________. 习题29. 计算:=÷32643x x _________. 习题30. 直线13-=x y 与x 轴的交点坐标是_________.习题31. 如果0,0<+>b a ab ,那么下面各式:①ba b a =; ②1=⋅a b b a ; ③b b a ab -=÷. 其中正确的是_________（填序号）.习题32. 若0<ab ,则化简2ab 的结果是_________.习题33. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷7225283212; （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯2143236181841.例22. 先化简,再求值:1441132+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x ,其中22-=x . 解:1441132+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x ()()()()()()2221122211111322+--=++⋅+-+-=++⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=x x x x x x x x x x x x x 2323=x x x -=-3当22-=x 时 原式122242222222-=--=+----=.习题34. 先化简,再求值:11121122-+÷+-+--a a a a a a ,其中12+=a .习题35. 先化简,再求值:2222221y xy x y x x x yx +--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---,其中6,2==y x .习题36. 下列根式中是最简二次根式的是【】 （A ）32（B ）3 （C ）9 （D ）12例23. 观察下列各式: ()()()()()().;34434343431;23323232321;12212121211 -=-+-=+-=-+-=+-=-+-=+ （1）请利用上面的规律直接写出100991+的结果;（2）请用含n （n 为正整数）的代数式表示上述规律,并证明;（3）计算:()20171201720161431321211+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++ . 分析:本题考查分母有理化.解:（1）1131099100100991-=-=+; （2）n n n n -+=++111; （3）原式()()2017120162017342312+⨯-++-+-+-= ()()2016120171201712017=-=+-= 习题37. 化简:891231121++++++ .七、同类二次根式 如果几个最简二次根式的被开方数相同,那么它们是同类二次根式. 同类二次根式的判断方法:（1）先化简二次根式;（2）看被开方数是否相同;（3）定结果:若相同,则它们是同类二次根式;若不相同,则不是.同类二次根式的合并方法:几个同类二次根式相加减,将它们的系数相加减,二次根式保持不变.八、二次根式的加减二次根式相加减,先把各个二次根式化简,再合并同类二次根式.二次根式加减运算的步骤:（1）化简参与运算的二次根式;（2）合并同类二次根式;（3）检查结果.例24. 计算:（1）12188++; （2）451227+-. 解:（1）原式3225322322+=++=;（2）原式533533233+=+-=.注意:不是同类二次根式不能合并.例25. 计算:1832225-+.解:原式232425-+=2272225=+=例26. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+32233223;（2）()()()23225775-++-.解:（1）原式223223⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=36199243=-=（2）原式364875+-+-=649-=.。
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二次根式知识点归纳和题型归类
一、知识框图
二.知识要点梳理
知识点一、二次根式的主要性质：
1.；
2.；
3.；
4.积的算术平方根的性质：；
5. 商的算术平方根的性质：.
6.若，则.知识点二、二次根式的运算
1．二次根式的乘除运算
(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.
(2) 注意每一步运算的算理；
(3) 乘法公式的推广：
(4)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
2．二次根式的加减运算需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
3．二次根式的混合运算
(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；
(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.
(3)二次根式运算结果应化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数或小数．
4.简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：
○1因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．
○2因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：
三.典型题训练
一. 利用二次根式的双重非负性0
≥
a（a≥0），
1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A、3
-；B、x；C、1
2+
x；D、1
-
x
2.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）（2）
1
2
1
+
-
x
（3）
4
5
+
+
x
x
（4）
（5）(6). （7）若1
)1
(-
=
-x
x
x
x，则x的取值范围是
（8）若
1
3
1
3
+
+
=
+
+
x
x
x
x，则x的取值范围是。
3.若1
3-
m有意义，则m能取的最小整数值是；
若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
1
2
1
3
-
+
-
x
x
4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。
5.
若2004a a -=，则2
2004a -=_____________； 若433+-+-=
x x y ，则=+y x
6．设m 、n 满足3
2
9922-+-+-=
m m m n ，则mn = 。
7．若m
=m 的值．
8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442
-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 9.已知ABC △的三边a b c ，，
满足22|1022a b a ++=+，则ABC △为（ ） 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<<m B 、2≥m
C 、2<m
D 、2≤m
二．利用二次根式的性质（2a =|a |） 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ）
A.x ≤0
B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ） A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a - 3.若化简|1-x |-1682+-x x 的结果为2x-5则（ ）
A 、x 为任意实数
B 、1≤x ≤4
C 、x ≥1
D 、x ≤4
4.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=
5. 当-3<x<5时，化简25109622+-+++x x x x = 。
6、化简)0(||2
<<--y x x y x 的结果是（ ） A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y - 7、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（ ）。
A 、0=a ； B 、1=a ； C 、0=a 或1； D 、1≤a
8、化简2
1)2(---x x 的结果为（ ） A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--
x D 、x --2
三．二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0），即||2a a =以
及混合运算法则） （一）化简与求值
1.把下列各式化成最简二次根式：（1）833 （2）224041- （3）2
255m （4）224y x x +
2.下列哪些是同类二次根式：（1）75，
271，12，2，501，3，10
1；
（2）,533c b a 323c b a ，
4
c ab ，a bc a
3.计算下列各题：
（1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅； （3）a c c b b a 53654⋅
⋅ （4）24
18
2
（5）－545321÷ （6）)(23522c
ab c b a -÷
4.计算（1）25051122183133++-- （2）)25
4414()31
91(3323y
y x x
y y x x +-+
5．已知10182
22
=++x x x
x
，则x 等于（ ）
A ．4
B ．±2
C ．2
D ．±4
6.
2
11+＋
321+＋
4
31+＋…＋
100
991
+
（二）先化简，后求值：
1. 直接代入法：已知),57(21+=x ),57(21-=y 求(1) 22y x + (2) y x
x y +
2.变形代入法：
（1）变条件：①已知：1
32-=x ，求12
+-x x 的值。
②.已知:x =2
323,2323-+=+-y ，求3x 2－5xy +3y 2的值
③已知21915-=+-+x x ，求x x +++1519
（2）变结论：
①设 3 =a ，30 =b ，则0.9 = 。
②
已知：11a a +=2
21a a
+的值。
③.已知12,12+=-=y x
，求
xy
y x x y y x 33++++
④若315,35-=-=+xy y x ，求y x +的值。
⑤已知5=+y x ，3=xy ，（1）求
x y
y x
+的值 （2）求y
x y x +-的值.
五．关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题
1.估算31－2的值在哪两个数之间（ ）A ．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5 2．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3
3.若a ，b 为有理数，且8+18+8
1=a+b 2，则b a
= .
4.已知9+13913-与的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a +4b +8的值
六．二次根式的比较大小
（1）322005
1和 （2）－5566-和 （3）13151517--和
（4）设a=23-, 32-=b ,25-=c , 则（ ） A. c b a >> B. b c a >> C. a b c >> D. a c b >>
七．实数范围内因式分解：
1. 9x 2－5y 2
2. 4x 4－4x 2＋1
3. x 4+x 2－6
20. 已知：,x y 为实数，且311+-+-≤x x y
，化简：3y --
21. 已知
()1
1
039
32
2++=+-+-y x x x y x ，求
的值。
二次根式强化训练与复习巩固
1．化简：______；2．当______时，．
3．等式成立的条件是______．4．当，化简_______．5．比较与的大小：_______．
6．分母有理化：（1）_____；（2）______；（3）______．7．已知，，，那么________．
8．计算_________．
9．如果，那么的值为___________．
10．若有意义，则的取值范围是___________．
11．下式中不是二次根式的为（）
A．；B．；C．；D．
12.计算得___________．
13.若，则化简等于___________．
14．化简的结果是___________．
15．计算___________．
16．把式子中根号外的移到根号内，得___________．
17．等式成立的条件是___________．18．的值为___________．
19．若代数式有意义，则的取值范围是___________．
三、计算与化简：（每小题2分，共16分）
（1）（2）（3）（4）
（5）（6）（7）（8）
（9）（10）
1．已知：，求的值．
2．已知，求的值。
3．已知、是实数，且，求的值．
4．有一种房梁的截面积是一个矩形，•且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3 cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？。