数列知识点总结及题型归纳
数列知识点归纳总结
数列知识点归纳总结一、基本概念1. 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数，通常用a1, a2, a3, …,an来表示，其中ai表示数列中的第i个数。
数列中的数称为项，n称为项数。
2. 数列的类型数列可以根据项的规律和性质进行分类，主要包括等差数列、等比数列、递推数列等。
3. 数列的通项公式数列的通项公式是描述数列中任意一项与其序号之间的关系的公式，通常用an或者Un 表示第n个项，用n表示项数。
数列的通项公式可以根据数列的类型和性质进行求解。
二、等差数列1. 定义如果一个数列满足任意相邻两项之差都相等的条件，那么这个数列就是等差数列，差值为d。
2. 性质（1）通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an=a1+(n-1)d。
（2）前n项和：等差数列的前n项和Sn= (a1+an) * n /2。
（3）求和公式推导：对于等差数列Sn= (a1+an) * n /2，可用数学归纳法进行证明。
3. 等差数列的应用等差数列在数学和现实生活中有着重要的应用，如计算机算法中的序列求和、物理学中等速直线运动、金融学中的等额本息贷款等。
三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中的任意相邻两项的比值都相等的数列，比值为q。
2. 性质（1）通项公式：对于等比数列an，其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
（2）前n项和：等比数列的前n项和Sn= (a1*(q^n - 1)) / (q-1)。
3. 等比数列的应用等比数列在数学和现实生活中也有着重要的应用，如复利计算、生物学中种群增长问题、物理学中的指数衰减等。
四、递推数列1. 定义递推数列是指数列中的每一项都可以由前面的一项或几项通过某种规律得到的数列。
2. 性质递推数列的通常是通过递推关系式进行求解，递推数列的解可以是显式公式和递推公式。
3. 递推数列的应用递推数列是数学中的重要概念，它在代数、离散数学、概率论等领域都有着广泛的应用。
五、常见数列形式1. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第n项等于其前两项之和的数列，通常用F(n)表示，前几项为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …2. 调和数列调和数列是指数列中的每一项是调和级数的一部分的数列，通常用H(n)表示，前几项为1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …2. 等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中的相邻两项之间既满足等差数列的条件，又满足等比数列的条件的数列。
数列考试知识点总结
数列考试知识点总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数的集合，数列中的每个数称为数列的项。
数列可以是无限项或有限项。
1.2 数列的表示方法数列可以用通项公式、递推公式和数列的前n项求和公式来表示:（1）通项公式： $a_n=f(n)$（2）递推公式： $a_{n+1}=f(a_n)$（3）数列的前n项求和公式： $\sum_{k=1}^{n} a_k$1.3 等差数列等差数列是指相邻两项之差保持不变的数列，通项公式为:$a_n=a_1+(n-1)d$其中，$a_1$为首项，$d$为公差。
等差数列的性质包括：任意项与它对应的倒数项之和相等；任意项与它对应的中项之和相等；前n项和公式等。
1.4 等比数列等比数列是指相邻两项之比保持不变的数列，通项公式为:$a_n=a_1 \cdot q^{n-1}$其中，$a_1$为首项，$q$为公比。
等比数列的性质包括：任意项与它对应的倒数项之积相等；任意项与它对应的中项之积相等；前n项和公式等。
1.5 通项公式与递推公式的相互转化对于等差数列或等比数列，可以通过已知通项公式求递推公式，或者通过已知递推公式求通项公式。
1.6 数列的基本操作（1）对数列进行加减乘除：对数列中的每一项进行相应的运算；（2）对数列进行平移操作：将数列中的每一项加上（或减去）相同的数值；（3）对数列进行伸缩操作：将数列中的每一项乘以（或除以）相同的数值。
二、数列求和2.1 数列的前n项和对于数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其前n项和为$S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k$，可以通过直接求和或利用数列的特殊性质来求解。
2.2 等差数列前n项和公式等差数列前n项和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$a_n$是数列的第n项。
2.3 等比数列前n项和公式等比数列前n项和公式为$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中$a_1$为首项，$q$为公比。
数列的知识点大题总结
数列的知识点大题总结一、数列的概念和分类1. 数列的概念数列是指按一定规律排列的一组数。
在数列中，每个数都有其特定的位置，这些位置往往由自然数来表示，如1、2、3、4等。
2. 数列的分类根据数列的规律和性质的不同，可以将数列分为等差数列、等比数列和其他特殊类型的数列。
（1）等差数列等差数列指的是数列中任意相邻两项的差都相等的数列，这个公差可以是正数、负数或零。
例如：1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
（2）等比数列等比数列是指数列中任意相邻两项的比值都相等的数列，这个比值可以是正数、负数或零。
例如：2，6，18，54就是一个比值为3的等比数列。
（3）特殊类型数列特殊类型数列指的是除了等差数列和等比数列以外的数列，如递减数列、递增数列、周期数列等。
二、数列的常用记号与符号1. 数列的一般形式数列一般用字母a表示，同时用n表示这个数列中的第n项。
即数列的一般形式可以表示为{a1, a2, a3, …, an}。
2. 数列的通项公式数列的通项公式指的是用代数式表示数列中任意一项的公式，通常用an或者Un表示数列中第n项。
例如：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d；等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 数列的前n项和数列的前n项和指的是数列中前n个数项的和，通常用Sn表示。
其计算公式为Sn = a1 +a2 + a3 + … + an。
三、数列的性质和公式1. 等差数列的性质（1）公差的性质：在等差数列中，任意两项的公差相等。
（2）通项公式：等差数列的通项公式有通用的形式，即an = a1 + (n-1)d；（3）前n项和的公式：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)。
2. 等比数列的性质（1）公比的性质：在等比数列中，任意两项的比值相等。
（2）通项公式：等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)；（3）前n项和的公式：等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)。
数列题有关知识点总结归纳
数列题有关知识点总结归纳数列题是高中数学中一个重要的知识点，涉及到数列的定义、性质、通项公式、求和公式等内容。
下面是对数列题相关知识点的总结归纳。
一、数列的定义和性质数列是按照一定规律排列的一组数的集合。
常用的表示数列的方法有两种：通项公式和递归式。
通项公式是由数列的第一项和公差（或公比）组成的公式，可以直接计算数列的任意一项。
递归式是通过给出数列的前几项和递推关系来给出整个数列。
数列有很多重要性质，下面是一些常见的性质：1. 数列的项与项之间可以进行运算，如加减乘除。
2. 数列的同一位置的项组成的新数列，称为数列的子列。
3. 数列的子列可以是有限的，也可以是无限的。
4. 数列中的数称为项，数列的项数称为无限项数列的项数为正无穷。
5. 数列可以按照项数的奇偶性进行分类，得到奇数项数列和偶数项数列。
二、等差数列等差数列是指数列中任意两项之间的差都相等的数列。
等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$。
其中，$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，d表示公差。
等差数列常见的问题类型包括：已知首项和公差，求第n项；已知首项和第n项，求公差；已知首项和末项，求项数等。
三、等比数列等比数列是指数列中任意两项之间的比都相等的数列。
等比数列的通项公式为：$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$。
其中，$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，r表示公比。
等比数列常见的问题类型包括：已知首项和公比，求第n项；已知首项和第n项，求公比；已知首项和末项，求项数等。
四、数列求和公式数列求和是指根据数列中的项数，计算数列的部分项或全部项之和。
常用的数列求和公式包括等差数列的求和公式和等比数列的求和公式。
等差数列求和公式为：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中，$S_n$表示数列的前n项和。
等比数列求和公式为：$S_n = \frac{a_1 \times (1 - r^n)}{1 - r}$，其中，$S_n$表示数列的前n项和。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）2434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
数列知识点总结和题型归纳
数列知识点总结和题型归纳一、数列的定义和性质数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列中的每个数叫做数列的项，用an表示第n个项。
1. 等差数列等差数列是指一个数列中相邻两项之差都是相等的。
公差d是等差数列中相邻两项的差值。
2. 等比数列等比数列是指一个数列中相邻两项之比都是相等的。
公比q是等比数列中相邻两项的比值。
二、数列的通项公式和前n项和公式1. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a1，公差为d，则该等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 等差数列的前n项和公式设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则该等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2。
3. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，则该等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
4. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则该等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)。
三、数列的常见题型1. 求等差数列的第n项已知等差数列的首项a1和公差d，求该等差数列的第n项an，则可以利用等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d进行计算。
2. 求等差数列的前n项和已知等差数列的首项a1、公差d和项数n，求该等差数列的前n项和Sn，则可以利用等差数列的前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2进行计算。
3. 求等比数列的第n项已知等比数列的首项a1和公比q，求该等比数列的第n项an，则可以利用等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)进行计算。
4. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a1、公比q和项数n，求该等比数列的前n项和Sn，则可以利用等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)进行计算。
四、数列的应用数列在数学中有广泛的应用，特别是在数学建模和实际问题的解决中常常用到。
数列题型总结和知识点
数列题型总结和知识点一、数列的概念数列是按照一定的顺序排列的一组数。
数列中的每个数称为项，用于表示数列的字母通常为a1, a2, a3, ..., an，其中ai表示数列的第i项。
数列按照其性质可分为等差数列、等比数列、递推数列、等差中项数列等。
在解题过程中，需要根据数列的性质来进行分析和计算。
二、等差数列等差数列是指数列中任意相邻两项的差都相等的数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
1. 求和公式等差数列的前n项和可用求和公式来表示：Sn = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n-1)d)2. 求通项公式已知等差数列的前几项，可以通过解方程组的方法来求得通项公式。
3. 等差数列的性质a) 任意三项成等差数列，若an为等差数列的第n项，则an-1，an，an+1成等差数列。
b) 等差数列的中项：等差数列的任意三项中项是他们的平均数。
三、等比数列等比数列是指数列中任意相邻两项的比都相等的数列，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
1. 求和公式等比数列的前n项和可用求和公式来表示：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)2. 求通项公式已知等比数列的前几项，同样可以通过解方程组的方法来求得通项公式。
3. 等比数列的性质a) 等比数列中任意三项成等比数列，若an为等比数列的第n项，则an-1 / an = an / an+1 = q。
b) 等比数列的中项：等比数列的任意三项中项是他们的几何平均数。
四、递推数列递推数列是指数列中的每一项都是由前面的项表示出来的数列。
递推数列可以分为线性递推数列和非线性递推数列。
1. 线性递推数列线性递推数列通常满足递推公式：an = p * an-1 + q，其中p和q是常数。
可以利用这个递推公式来求得递推数列的前几项和通项公式。
《数列》知识点归纳
《数列》知识点归纳一、数列：（1）一般形式：n a a a ,,,21⋯ (2)通项公式：)(n f a n =(3)前n 项和：12n n S a a a =++⋯及数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：1121(1)(2)n n n n n Sn S a a a a S S n -=⎧=++⋯⇔=⎨-≥⎩ 二、等差数列： 1等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2等差数列的判定方法:②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列3等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=该公式整理后是关于n 的一次函数 4等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S += ⑥d n n na S n 2)1(1-+=对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 5等差中项:⑦如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2ba A +=或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 5等差数列的性质:⑧等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= ⑨对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则p m n a a a a +=+也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑩若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，kk S S 23-成等差数列如下图所示：kkk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 6奇数项和与偶数项和的关系：⑾设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质：前n 项的和偶奇S S S n +=当n 为偶数时，d 2nS =-奇偶S ，其中d 为公差； 当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 21n S -=，11S S -+=n n 偶奇，n =-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n（其中中a 是等差数列的中间一项）7前n 项和与通项的关系：⑿若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1212--=n n n n b a三、等比数列1．等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q 表示（0≠q ）2．等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项 也就是，如果是的等比中项，那么Gb a G =，即ab G =23．等比数列的判定方法：①定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列②等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列 4．等比数列的通项公式：如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 或n m n m a a q -=5．等比数列的前n 项和：○1)1(1)1(1≠--=q qq a S n n ○2)1(11≠--=q q q a a S n n ○3当1=q 时，1na S n =当1q ≠时，前n 项和必须．．具备形式(1),(n n S A q A =-≠ 6．等比数列的性质：①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=② 对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么只有当公比1q =-且k 为偶数时,k S ，k k S S -2，k k S S 23-不成等比数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 四、等差数列与等比数列的性质及其应用 1一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n2等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d a n =a m +(n--m )d (其中a 1为首项、a m 为已知的第m 项) 当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数3等差数列的前n 项和公式：S n =d n n na 2)1(1-+S n =2)(1n a a n + 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式4等差数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =1212--n S n 5等差中项公式：A=2ba + （有唯一的值） 6等比数列的通项公式:a n = a 1 q n-1 a n = a m q n --m(其中a 1为首项、a m 为已知的第m 项，a n ≠0)7等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；当q≠1时，S n =qq a n --1)1(1 S n =q q a a n --118等比中项公式：G=ab ± （ab>0，有两个值）9等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列10等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+11等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a ∙=∙12等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列（当m 为偶数且公比为-1的情况除外）13两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+b n }、{a n -b n }仍为等差数列14两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ∙b n }、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列15等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 16等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列17三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d18三个数成等比的设法：a/q,a,aq ；四个数成等比的错误设法：a/q 3,a/q,aq,aq 3 (因为其公比为2q >0,对于公比为负的情况不能包括) 19{a n }为等差数列，则{}na c(c>0)是等比数列20{b n }（b n >0）是等比数列，则{log c b n } (c>0且c ≠1) 是等差数列五、数列的通项求法1、公式法：①d n a a n )1(1-+=或d m n a a m n )(-+=；②11-=n n q a a 或n mn m a a q-=2、观察法：1137153121,,,,...4816322n n n a ++-=3、裂项相消法：)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=4、利用n nS a 与的关系求（定义法）：⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n 5、逐差求和法：1(),(2)n n a a f n n --=≥若，)2(12f a a =-则 ， )3(23f a a =-，………， )(1n f a a n n =--1(2)(3)()n a a f f f n ⇒-=++⋯ 6、逐商求积法：)(1n g a a n n =-若，)2(12g a a =则，)3(23g a a =，………，)(1n g a a n n =-1(2)()n ag g n a ⇒=⋯7、构造等差、等比数列法：11();()1n n n n qp q x p x x pa a a a ++=+⇒-=-=- 11111111}1,1,{}21122,21221{}.211(),2()222n n nn n n n n n n n n a a a a a a a a b b a a a +++--==+-==-==-=-∴∴=--==-+1n n 1n n n 例：在数列{中，求数列的通项.解：（-2） 令 则是以-1为首项，为公比的等比数列由知 b b b b b111{}1133)323233)()323nn n n n n n n nn n a a a a a a a a a a a a a a a -=∙+⇒=∙+⇒-=-∴--=-∙⇒=-n+1n+1n+1n+1n+1n n+1n+1n+1n n+1n 1n 1511例2.已知=,=+(),求数列的通项.63212解：22223322(232{2}是以公比为，首项为（2-3）的等比数列.32(2六、数列求和的方法高考要求等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法 知识点归纳1等差数列的前n 项和公式法：S n =d n n na 2)1(1-+S n =2)(1n a a n + S n =d n n na n 2)1(-- 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式 2等比数列的前n 项和公式法：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；当q≠1时，S n =qq a n --1)1(1 S n =q q a a n --113拆项法求数列的和，如a n =2n+3n4错位相减法求和，如a n =(2n-1)2n（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）5裂项法求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项等)!1(1!1)!1(1,C C C ,ctg2ctg 2sin 1,!)!1(!,111)1(111+-=+-=-=-+=⋅+-=++-n n n ααn n n n n n n n rn r n n nα6倒序相加法求和，如a n =nnC 1007求数列{a n }的最大、最小项的方法：①a n+1-a n =……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000 如a n = -2n 2+29n-3 ②⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 n n a a (a n >0) 如a n =n n n 10)1(9+ ③a n =f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a n 1562+n n8等比、等差数列和的形式：{}Bn An S B An a a n n n +=⇔+=⇔2成等差数列 {}(1)(0)n n n a S A q A ≠⇔=-≠(q 1)成等比数列9无穷递缩等比数列的所有项和：{}1lim 1n n n a a S S q→∞⇔==-(|q|<1)成等比数列题型讲解例1 （分情况讨论）求和：)(*122221N n b ab b a b a b a a S n n n n n n n ∈++++++=---- 解：①当a=0或b=0时，)(n n n a b S = ②当a=b 时，n n a n S )1(+=；③当a ≠b 时，ba ba S n n n --=++11例2（分部求和法）已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求.242n a a a +++ 解：首先由3145291010110=⇒=⨯⨯+=d da S 则12(1)32322n n na a n d n a =+-=-⇒=⋅-22423(222)2n na a a n ∴+++=+++-12(12)32322612n n n n +-=-=⋅--- 例3（分部求和法）求数列1，3＋13，32＋132，……，3n ＋13n 的各项的和 解：其和为：(1＋3＋ (3))＋(13132+＋……＋13n )=3121321n n +--+-=12(3n ＋1-3-n)例4（裂项求和法）)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++ 解：)1(2211+=+⋯++=k k k a k ，])1n (n 1321211[2S n ++⋯+⋅+⋅=∴ 1211121113121211[2+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n 例5（裂项求和法）已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：∑=+ni i i a a 111解：首先考虑=∑=+ni i i a a 111∑=+-n i i i a a d 11)11(1 则∑=+ni i i a a 111=1111)11(1++=-n n a a n a a d 点评：已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和11nni i ===也可用裂项求和法例6（错位相减法）设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和 解：①若a=0时，S n =0②若a=1，则S n =1+2+3+…+n=)1n (n 21- ③若a ≠1，a ≠0时，S n -aS n =a （1+a+…+a n-1-na n ），S n =]na a )1n (1[)a 1(a 1n n 2+++-- 例7（错位相减法）已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S解：,lg n n n n a a b n a a ==⋅232341(23)lg (23)lg n n n n S a a a na a aS a a a naa +∴=++++=++++……①……②①-②得：a na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=-[]nn a na n a a a S )1(1)1(lg 2-+--=∴ 点评：设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法例8（组合化归法）求和：)12)(1(532321++++⋅⋅+⋅⋅=n n n S n解：)1(3)2)(1(2)342)(1(+-++=-++=n n n n n n n n a n而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的 求和问题了213221326122)1(,6)2)(1(++++-=∴=+=++n n n n n C C a C n n C n n n )(6)(12212322323433+++++-+++=∴n n n C C C C C C S3243212333323444612)(6)(12++++-=+++-+++=n n n n CCC C C C C C12(3)(2)(1)6(2)(1)4!3!n n n n n n n nS +++++∴=-2(3)(2)(1)(2)(1)21(1)(2)2n n n nn n nn n n +++=-++=++ 点评：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法当然本题也可以将通项(1)(243)n a n n n =++-展开为n 的多项式，再用分部求和法例9（逆序相加法）设数列{}n a 是公差为d ，且首项为d a =0的等差数列，求和：nnn n n n C a C a C a S +++=+ 11001 解：因为nnn n n n C a C a C a S +++=+ 11001 00111n n n n n n n n C a C a C a S +++=--+ nn n n n n C a C a C a 0110+++=- 01101102()()()nn n n n n n nS a a C a a C a a C +-∴=++++++ 0100()()()2nn n n n n n a a C C C a a =++++=+ 110()2n n n S a a -+∴=+⋅点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列{}n a 的前n 项和n S 12)1(+-=nn ，是否存在等差数列{}n b 使得n n n n n n C b C b C b a +++= 2211对一切自然数n 都成立例10（递推法）已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 满足：21,,-n n n S S a )2(≥n 成等比数列，且11=a ，求数列{}n a 的前n 项和n S 解：由题意：21(),2n n n S a S =-1n n n a S S -=-11111112(1)221.21n n n n n n S S S S S n -∴-=⇒=+-=-∴=- 点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列{}n a 的前n 项和n S 的递推公式，是一种最佳解法小结：1等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法,复杂的数列转化为等差、等比数列2 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想,数学归纳法是这一思想的理论基础3错位相减”、“裂项相消”是数列求和最重要的方法。
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数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010年各省参加高考的考生人数。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…②：514131211，，，，…数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1n（n N +∈）。
说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n-=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
例：画出数列12+=n a n 的图像.（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…（5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式练习：1．根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7……；（2）2212-，2313-，2414-，2515-；（3）11*2-，12*3，13*4-，14*5。
（4）9，99，999，9999…（5）7，77，777，7777，…(6)8, 88, 888, 8888…2．数列{}n a 中，已知21()3n n n a n N ++-=∈ （1）写出,1a ，2a ，3a ，1n a +，2n a ； （2）2793是否是数列中的项？若是，是第几项？ 3．（2003京春理14，文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内。
4、由前几项猜想通项：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（ ），其通项公式为 .A ．40个B ．45个C ．50个D ．55个2条直线相交，最多有1个交点 3条直线相交，最多有3个交点4条直线相交，最多有6个交点（1） （4）（7）（ ）（ ）二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．642.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6703.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”）题型三、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a bA += a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．（06全国I ）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ）A ．120B ．105C ．90D ．752.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A ．1 B.2 C.4 D.8题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 题型五、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n da ）（2n 2112-+=。
(),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列 )递推公式：2)(2)()1(1na a n a a S m n m n n --+=+=例：1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）352.（2009湖南卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 633.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=4.（2010重庆文）（2）在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）8 （D ）105.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A.13项B.12项C.11项D.10项 6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 7.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = 8．（98全国）已知数列｛b n ｝是等差数列，b 1=1，b 1+b 2+…+b 10=100. （Ⅰ）求数列｛b n ｝的通项b n ；9.已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( )3132--．．B A C.31 D.3210.（2009陕西卷文）设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则n a =11．（00全国）设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛nS n｝的前n 项和，求T n 。
12.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ， ①求通项n a ；②若n S =242，求n13.在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；（2）已知658810,5,a S a S ==求和；(3)已知3151740,a a S +=求题型六.对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 偶-S 奇nd =； ② 1n n S aS a +=奇偶；（2）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②1S nS n =-奇偶。
题型七.对与一个等差数列，n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。
例：1.等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）A.130B.170C.210D.2602.一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 。
3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== 5．（06全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若36S S ＝13，则612SS ＝ A ．310 B ．13 C ．18D ．19题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列③通项公式法：),(为常数b k bkn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法：),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列例：1.已知数列}{n a 满足21=--n n a a ，则数列}{n a 为 （ ）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列}{n a 的通项为52+=n a n ，则数列}{n a 为 （ ）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列}{n a 的前n 项和422+=n s n ，则数列}{n a 为（ ）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列}{n a 的前n 项和22n s n =，则数列}{n a 为（ ）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断 5.已知一个数列}{n a 满足0212=+-++n n n a a a ，则数列}{n a 为（ ）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断 6.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*∈N n ） ①求数列{}n a 的通项公式；7．（01天津理，2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列题型九.数列最值（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出{}n a 中的正、负分界项，即： 若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或10n n a a +≤⎧⎨≥⎩。