高中数学数列总复习(所有知识点总结)精编材料pdf版

数列一、数列的概念与简单表示法1．数列的相关概念定义：按照一定顺序排列的一列数叫数列．（例如：1,3,5,7,9…）．项与项数：数列中每一个数叫做数列的项，排在第一位的叫做第一项（通常叫首项），以此类推，排在第n 位的叫做数列的第n 项． 表示：数列一般形式可以写成：123,,,,,,n a a a a 简记为{}n a ．2．数列的分类按照数列中项数有限和无限分为：有穷数列，无穷数列． 按照数列的项的变化趋势分类：递增数列（1n n a a +>）；递减数列（1n n a a +<）；常数列（1n n a a +=）；摆动数列（1n a +与n a 随着n 的变化大小关系不确定）．例如：1,3,5,7,9…（无穷递增数列），10,7,4,1,-2,…,-14（有穷递减数列），2,2,2,2,…（常数列），1,-1,1,-1,1…（摆动数列）． 3．数列与函数的关系数列可以看成以正整数*N （或它的有限子集{1,2,,}n ）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时，所对应的一列函数值． 4．数列的表示方法通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．例如：1,3,5,7,9…可表示为21n a n =-，n ∈*N ．注意：①不是所有的数列都能写出它的通项公式；②对于一个确定的数列，通项公式不一定唯一．直接列出：123,,,,,.n a a a a图像表示：在平面直角坐标系中，数列可以用一群孤立的点(,)n n a 表示．递推公式：给出数列的第一项（或前几项），再给出后面的项用前面的项来表示的式子，这种表示数列的方法叫递推公式法． 例如：数列{}n a 中，有11a =，111n n a a -=+，根据此递推公式，我们就可以依次写出数列中的每一项．5．n a 与n S 的关系数列前n 项和记为n S ，则1231n n n S a a a a a -=+++++，11231n n S a a a a --=++++，两式相减，得1n n n a S S -=-，由于n 只能取正整数，当1n =时1n S -不存在，不能使用上式，但当1n =时很明显有11a S =，故我们得到通项n a 与前n 项和n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ．二、等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示．递推式表示为1n n a a d +-=或1(2)n n a a d n --=≥．例如：数列{}n a 满足12n n a a +=+，则数列{}n a 是公差为2的等差数列． 注：0d >时，为递增数列；0d <时，为递减数列；0d =时，为常数列． 2．等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫作a 与b 的等差中项． 此时2a b A +=3．等差数列的通项公式等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-．4．等差数列的性质（1）等差数列{}n a 的第m 项为m a ，则()n m a a n m d =+-．★ 例如：8123107652a a d a d a d a d =+=+=+=-=．（2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=．★ 例如：1928374652a a a a a a a a a +=+=+=+=，12132n n n a a a a a a --+=+=+=．（3）下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,组成公差为md 的等差数列．例如：135721,,,,,,n a a a a a -组成公差为2d 的等差数列； 51015205,,,,,,n a a a a a 组成公差为5d 的等差数列．（4）{}n a 是公差为d 的等差数列，则{}n ka b +也是等差数列，公差为kd ．（5）{}n a ,{}n b 都是等差数列，则{}n n a b ±,{}n n pa qb ±也是等差数列．5．判断一个数列是等差数列的方法 （1）定义法：1n n a a d +-=（常数）．（2）等差中项法：122++=+n n n a a a 或112-+=+n n n a a a ．★ （3）通项公式法：=n a kn b +（公差为k ）．（4）前n 项和公式法：2n S An Bn =+（不含常数项的二次函数）．★三、等差数列的前n 项和1．等差数列前n 项和公式n a 通项公式得到）★ 21()22n d dS n a n =+-（以n 为变量，体现二次函数） 2n S An Bn =+（简化写法，不含常数项的二次函数）2．和的有关性质等差数列{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，那么： （1）{}n S n也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差是{}n a 公差的12．（2）等差数列{}n b ，前n 项和为n T（21(21)n n S n a -=-）．★ （3）数列232,,,k k k k k S S S S S --是等差数列，公差为2k d ．★（4）S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则有：①当项数为偶数2n 时，S S nd -=偶奇，1nn S a S a +=奇偶； ②当项数为奇数21n -时，n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶．3．和与函数的关系及和的最值 21()22n d dS n a n =+-简写为2()n S An Bn n =+∈*N ，可以把(,)n n S 看作是二次函数图像上孤立的点，因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如对称和求最值．四、等比数列1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示（0q ≠）．递推式表示为1n na q a +=或1(2)nn a q n a -=≥． 例如：数列{}n a 满足12n n a a +=，则数列{}n a 是公比为2的等比数列．特别注意：等比数列中任何一项都不为0，公比0q ≠，若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，除了0,0,0,这样的常数列之外，其余的也都是等比数列．注：10a >，1q >时，{}n a 是递增的等比数列；10a >，01q <<时，{}n a 是递减的等比数列； 10a <，01q <<时，{}n a 是递增的等比数列； 10a <，1q >时，{}n a 是递减的等比数列；1q =时，{}n a 是非零常数列； 0q <时，{}n a 是摆动数列．2．等比中项若三个数a ，G ，b 成等比数列，则G 叫作a 与b 的等比中项． 此时2G ab =例如：2和8的等比中项为4±． 注：①一个等比数列，从第2项起，每一项都是它的前后两项的等比中项，即212n n n a a a ++=，每一项都是前后距离相同两项的等比中项，即2n n m n m a a a -+=．②当三个数成等比数列时，当四个数成等比数列时，常设这3．等比数列的通项公式等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则11n n a a q -=．4．等比数列的性质（1）等比数列{}n a 的第m 项为m a ，则n mn m a a q -=．★例如：7652812310a a q a q a q a q -=====．（2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，若2m n p +=，则2m n p a a a =．★例如：2192837465a a a a a a a a a ====，12132n n n a a a a a a --===．（3）下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,组成公比为mq 的等比数列．例如：135721,,,,,,n a a a a a -组成公比为2q 的等比数列； 51015205,,,,,,n a a a a a 组成公比为5q 的等比数列．（4）{}n a 是公比为q 的等比数列，则{}n ka 也是等比数列，公比为q ． （5）{}n a ,{}n b 都是等比数列，则{}n ka ，{||}n a ，2{}n a ，1{}n a ，{}n n a b ，{}n na b 也是等比数列．5．判断一个数列是等比数列的方法 （1）定义法：1n na q a +=（常数）．★ （2）等比中项法：212+=n n n a a a +或211-+=n n n a a a ．★ （3）通项公式法：11=n n a a q-（公比为q ）．（4）前n 项和公式法：(0,0)nn S Aq A A q =-≠≠．五、等比数列的前n 项和1．等比数列前n 项和公式注意：应用求和公式时，要先看q 是否等于1，必要时需讨论．2．和的有关性质等比数列{}n a ，公比为q ，前n 项和为n S ，那么： （1）数列232,,,k k k k k S S S S S --是等比数列，公比为kq ．★（2）m nm n m n n m S S q S S q S +=+=+．（3）S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则有：①当项数为偶数2n 时，S q S =偶奇；②当项数为奇数21n +时，1S a q S -=奇偶．六、求数列通项公式专题1．公式法等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，()n m a a n m d =+-． 等比数列通项公式：11n n a a q -=，n m n m a a q -=． 2．已知n S 与n a 的关系求通项已知n S 求n a 公式：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．3．累加法适用形式：1()n n a a f n +=+．变为1()n n a a f n +-=，下标依次递减1写出等式，直至写到21(1)a a f -=，最后把1n -个等式相加即可得到结果．4．累乘法适用形式：1()n n a a f n +=．变为1()n na f n a +=，下标依次递减1写出等式，直至写到21(1)af a =，最后把1n -个等式相乘即可得到结果． 5．构造法（1）形如1n n a qa p +=+，用待定系数法构造等比数列．即令1()n n a x q a x ++=+，则1(1)n n a qa q x +=+-，与1n n a qa p +=+对比可知1px q =-，故数列{}1n p a q +-是公比为q 的等比数列．形如1()n n a qa f n +=+，用待定系数法构造等比数列，令1(1)()n n a A n B q a An B ++++=++，利用系数相等求出A 和B ．（2）形如11n n n a pa qp ++=+，采用两边同除法构造等差数列．两边同除以1n p +得到11n n n n a a q p p ++=+，故数列{}nn a p 是公差为q 的等差数列．11n n nqa p a pa ++=，即1n n a a p +=+，故{}n a 是公差为q p的等差数列． （4）含有n a ，1n a +的二次三项式，通过因式分解转化为常见数列求解．（5）形如21n n n a pa qa ++=+，用待定系数法转化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++，化简对比求出λ，则1{}n n a a λ++是公比为p λ+的等比数列，再根据情况求出n a ．（6）形如1rn n a pa +=，采用两边取对数法，变形为1lg lg lg n n a r a p +=+，再用待定系数法构造等比数列．（7）换元法：适用于含有根式的递推关系式，把根式整体代换为一个简单数列来表示．6．数学归纳法根据数列前几项的值猜想数列的通项公式，首先带入第一项验证成立，然后假设第k 项成立，最后证明第1k +项也成立，便可证明猜想的公式就是数列的通项公式．七、数列求和专题1．公式法等差数列求和公式： 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列求和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．常用求和公式：1123(1)2n n n ++++=+ 22221123(1)(21)6n n n n ++++=++333321123[(1)]2n n n ++++=+2．分组求和法如果一个数列的通项可以写成n n n c a b =±的形式，而数列{}n a ，{}n b 是等差或等比数列或可转化为能够求和的数列，可采用分组求和法．3．错位相减法{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，采用错位相减法求解，在等式的两边同乘以{}n b 的公比，然后错位一项与{}n n a b ⋅的同次项对应相减，转化为特殊数列求和问题．需注意{}n b 共比为参数字母时，要对公比是否为1做讨论．它是等比数列前n 项和公式的推导方法．4．裂项相消法将数列每一项拆成两项或若干项，使得相加后有一些项可以相互抵消，从而求得其和．一般未被消去的项有前后对称的特点． 常见裂项方法： ①111(1)1n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k=-++③1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+ ④ 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++1k= ⑥ 1log (1)log (1)log a a a n n n +=+-注：（1）裂项常见公式没有必要死记硬背，例如对1(5)n n +裂项，可直接把分式从中间截断，变为115n n -+，再通分求得1155(5)n n n n -=++，与原式比较分母变为5倍，则把裂项后的结果115n n -+前面乘以15就变为与原式相等的裂项，即1111()(5)55n n n n =-++． （2）分母为根式相加形式的裂项，本质就是对分母有理化，即=1k=．（3）对数形式的裂项，考察的是对数的基本计算，利用对数性质巧妙构造相消项，如11log (1)log ()log (1)log a a a a n n n n n++==+-．5．倒序相加法一个数列中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，那么把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法．它是等差数列前n 项和公式的推导方法． 6．并项求和法一个数列的前n 项和中，若项与项之间能两两结合求解，则称为并项求和．形如(1)()n n a f n =-的数列，可用此法．7．含有绝对值的求和关键找到正负转折项进行分类讨论.数学浪子整理制作，侵权必究。