重点高中数列知识点总结归纳

重点高中数列知识点总结归纳

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一、等差数列

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；

说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，

0d =为常数列，0d < 为递减数列。 3、等差中项的概念：

定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2a b A += a ，A ，b 成等差数列?2

a b A +=。

4、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)

22

n n n a a n n S na d +-==+。

5、等差数列的性质：

（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是AP ，

如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；

（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，

n m

a a d n m

-=

-()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；

说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，

（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶nd =； ②

1

n n S a

S a +=奇偶； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中；②1S n

S n =-奇偶。

6、数列最值

（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；

（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若

已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥??≤?或1

0n n a a +≤??≥?。

二、等比数列 1．等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常．数．

，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠数列对于数列（1）（2）（3）都是等

比数列，它们的公比依次是2，5，2

1

-。（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比

数列的公比和项都不为零）

2．等比数列通项公式为：)0(111≠??=-q a q a a n n 。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数

列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n m n a

q a -=。

3．等比中项

如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。 4．等比数列前n 项和公式

一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a L L 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++L ，当

1≠q 时，q q a S n n --=

1)1(1 或11n n a a q

S q

-=-；当q=1时，1na S n =（错位相减法）。 说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和

公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。 5．等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=；

②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ?=?，也就是：

Λ

Λ=?=?=?--23121n n n a a a a a a ，如图所示：44448

4444764443

44421Λn

n a a n a a n n a a a a a a ??---11

2,,,,,,12321。 ③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k

k S S 23-成等比数列。

如下图所示：

4444444444484444444444476443

4421Λ4434421Λ444344421Λk k

k k

k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k

31221S 321-+-+++++++++++ 三 、数列前n 项和 1．数列求通项与和

（1）数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =???--1

1s s s n n 12

=≥n n 。

（2）求通项常用方法

①作新数列法。作等差数列与等比数列；

②累差叠加法。最基本的形式是：a n =(a n －a n －1)+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1； ③归纳、猜想法。 （3）数列前n 项和

①重要公式：1+2+…+n=2

1

n(n+1)；

12+22+…+n 2=6

1

n(n+1)(2n+1)；

13+23+…+n 3=(1+2+…+n)2=4

1

n 2(n+1)2；

②等差数列中，S m+n =S m +S n +mnd ；

③等比数列中，S m+n =S n +q n S m =S m +q m S n ； ④裂项求和

将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=

、)1(1+n n =

n

1

－

1

1+n 、n ·n ！=(n+1)!－n!、C n －1r －1=C n r －C n －1r 、)!1(+n n =!1

n －)!1(1+n 等。

⑤错项相消法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。n n n c b a ?=, 其中{}n b 是等差数列，

{}n c 是等比数列，记

n n n n n c b c b c b c b S ++?++=--112211，则1211n n n n n qS b c b c b c -+=+??++，…

⑥并项求和

把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S n 。

数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 ⑦通项分解法：n n n c b a ±=

2．递归数列

数列的连续若干项满足的等量关系a n+k =f(a n+k －1,a n+k －2,…,a n )称为数列的递归关系。由递归关系及k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由a n+1=2a n +1，及a 1=1，确定的数列}12{-n 即为递归数列。

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：

（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。 （2）迭代法。

（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。

（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。

一、高中数列基本公式：

1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系：a n=

2、等差数列的通项公式：a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、

a k为已知的第k项) 当d≠0时，a n是关于n的一次式；当d=0时，a n是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式：

S n= S n= S n=

当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n的正比例式。

4、等比数列的通项公式： a n= a1 q n-1a n= a k q n-k

(其中a1为首项、a k为已知的第k项，a n≠0)

5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，

S n=

三、高中数学中有关等差、等比数列的结论

1、等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。

2、等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则

3、等比数列{a n}中，若m+n=p+q，

则

4、等比数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。

5、两个等差数列{a n}与{b n}的和差的数列{a n+b n}、{a n-b n}仍为等差数列。

6、两个等比数列{a n}与{b n}的积、商、倒数组成的数列{a n b n}、、仍为等比数列。

7、等差数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

8、等比数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)

11、{a n}为等差数列，则(c>0)是等比数列。

12、{b n}（b n>0）是等比数列，则{log c b n} (c>0且c1) 是等差数列。

13. 在等差数列中：

（1）若项数为，

则

（2）若数为则，

，14. 在等比数列中：

（1）若项数为，则

（2）若数为则，