数列知识点归纳及例题分析
奥数数列知识点归纳总结
奥数数列知识点归纳总结数列是数学中一个重要的概念，也是奥数中常见的考点之一。
掌握数列的相关知识点对于解题非常有帮助。
本文将对奥数中常见的数列知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用数列的概念。
一、数列的定义数列是一组按照一定顺序排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为该数列的项。
通常用字母表示数列的项，如a₁、a₂、a₃等。
二、等差数列1. 定义：在等差数列中，从第二项开始，每一项与前一项之差都相等。
这个公差用d表示。
2. 常见公式：- 第n项通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d- 前n项和公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2三、等比数列1. 定义：在等比数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等。
这个比值用q表示。
2. 常见公式：- 第n项通项公式：aₙ = a₁ × q^(n - 1)- 前n项和公式（当|q| < 1）：Sₙ = a₁ × (1 - qⁿ) ÷ (1 - q)四、特殊的数列1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，从第三项开始，每一项都等于前两项的和。
- 常见公式：aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁五、常见数列问题解析1. 求特定项的值：利用等差数列或等比数列的通项公式，可以直接计算出特定项的值。
2. 求前n项的和：利用等差数列或等比数列的前n项和公式，可以很方便地求得前n项的和。
3. 求公差或公比：已知数列的前几项，可以通过求项与项之间的差或比值，从而推断出公差或公比的值。
4. 求满足条件的项数：已知数列的某些项或数列的前n项和，可以通过代入公式，求解满足条件的项数。
六、实例分析例1：已知等差数列的公差为3，第5项为10，求该等差数列的第10项和前10项的和。
解析：根据已知信息，可得到a₁ = 10 - 4 × 3 = -2，代入通项公式可计算得到第10项的值为82，代入前n项和公式可计算得到前10项的和为202。
数列复习基本知识点及经典结论总结+练习题
数列复习基本知识点及经典结论总结1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）；（2）数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）（答：A ）A B C D递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a n 1-（前n 项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。
数列的前n 项和：a a a a s n n ++++=...321.已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式 a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n注意：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。
2.等差数列的有关概念： 1、 等差数列的定义：即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+). （1） 等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。
数列知识点归纳总结小学奥数
数列知识点归纳总结小学奥数数列是数学中重要的概念，也是小学奥数中经常涉及的内容之一。
在小学阶段，学生们开始接触数列的基本概念和性质，逐渐学习如何判断和计算数列中的各种元素。
本文将对小学奥数中的数列知识点进行归纳总结，帮助学生更好地理解和掌握数列的概念和应用。
一、数列的定义和表示方法数列由一组按照特定规律排列的数字组成，可以用一对大括号{}或者使用通项公式表示。
例如，数列{1, 3, 5, 7, 9}可以表示为an = 2n-1，其中n为自然数。
二、等差数列等差数列是最常见的数列类型之一，数列中相邻两个数之间的差值都是相等的。
等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
在应用等差数列的时候，常常需要求解数列中的某一项，或者计算数列的前n项和。
对于已知首项和公差的等差数列，首先可以根据通项公式求出所需的值。
例题1：已知等差数列{2, 5, 8, 11, ...}的首项是2，公差是3，求该数列的第10项。
解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入已知条件，可得a10 = 2 + (10-1)3 = 2 + 27 = 29。
因此，该数列的第10项为29。
例题2：已知等差数列{2, 5, 8, 11, ...}的首项是2，公差是3，求数列的前10项的和。
解析：根据等差数列的求和公式S = (n/2)(a1+an)，代入已知条件，可得S10 = (10/2)(2+29) = 5(31) = 155。
因此，该数列前10项的和为155。
三、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，数列中每一项与前一项的比值都是相等的。
等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
在应用等比数列的时候，同样需要计算数列中的某一项或者前n项的和。
例题3：已知等比数列{3, 6, 12, 24, ...}的首项是3，公比是2，求该数列的第8项。
高中数列知识点归纳总结及例题
高中数列知识点归纳总结及例题数列是高中数学中的一个重要概念，它在许多数学问题中都起着至关重要的作用。
通过学习数列的定义、性质和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将对高中数列知识点进行归纳总结，并附上相关例题供读者练习。
1. 数列的定义与性质数列是按照一定顺序排列的一组数。
其中，每一个数称为数列的项，位置称为项数，用字母a表示数列的通项。
数列的性质包括等差数列和等比数列两种常见情况：1.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设数列为{an}，公差为d，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2（3）项数公式：n = (an - a1) / d + 1例题1：已知等差数列{an}的首项是3，公差是4，求第10项的值。
解析：根据等差数列的通项公式，代入a1 = 3，d = 4，n = 10，求得a10 = 3 + (10-1) * 4 = 39。
1.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设数列为{an}，公比为q，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 * q^(n-1)（2）前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)（3）项数公式：n = logq(an / a1) + 1例题2：已知等比数列{an}的首项是2，公比是3，求第5项的值。
解析：根据等比数列的通项公式，代入a1 = 2，q = 3，n = 5，求得a5 = 2 * 3^(5-1) = 162。
2. 数列的求和数列的求和是数学中常见的问题之一，通过找到数列的规律和应用对应的公式，可以快速求解数列的和。
下面分别介绍等差数列和等比数列的求和公式。
2.1 等差数列的求和对于等差数列{an}，前n项和的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
其中，a1为首项，an为末项，n为项数。
高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐
数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。
前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
数列知识点总结和题型归纳
数列知识点总结和题型归纳一、数列的定义和性质数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列中的每个数叫做数列的项，用an表示第n个项。
1. 等差数列等差数列是指一个数列中相邻两项之差都是相等的。
公差d是等差数列中相邻两项的差值。
2. 等比数列等比数列是指一个数列中相邻两项之比都是相等的。
公比q是等比数列中相邻两项的比值。
二、数列的通项公式和前n项和公式1. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a1，公差为d，则该等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 等差数列的前n项和公式设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则该等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2。
3. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，则该等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
4. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则该等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)。
三、数列的常见题型1. 求等差数列的第n项已知等差数列的首项a1和公差d，求该等差数列的第n项an，则可以利用等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d进行计算。
2. 求等差数列的前n项和已知等差数列的首项a1、公差d和项数n，求该等差数列的前n项和Sn，则可以利用等差数列的前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2进行计算。
3. 求等比数列的第n项已知等比数列的首项a1和公比q，求该等比数列的第n项an，则可以利用等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)进行计算。
4. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a1、公比q和项数n，求该等比数列的前n项和Sn，则可以利用等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)进行计算。
四、数列的应用数列在数学中有广泛的应用，特别是在数学建模和实际问题的解决中常常用到。
数列 知识点总结及数列求和,通项公式的方法归纳(附例题)
⎩⎨⎧无穷数列有穷数列按项数 2221,21(1)2nn a a n a a n a n=⎧⎪=+=⎪⎨=-+⎪⎪=-⋅⎩n n n n n常数列:递增数列:按单调性递减数列:摆动数列:数 列数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.1.数列的有关概念：（1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. （2） 从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数。
当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。
（3） 通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.如: 221n a n =-。
（4） 递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，121n n a a -=+，其中121n n a a -=+是数列{}n a 的递推公式.再如: 121,2,a a ==12(2)n n n a a a n --=+>。
2．数列的表示方法：（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a n ）孤立点表示。
（3） 解析法：用通项公式表示。
（4）递推法：用递推公式表示。
3．数列的分类：按有界性M M M >Mn n n n +⎧≤∈⎪⎨⎪⎩有界数列:存在正数,总有项a 使得a ，n N 无界数列:对于任何正数，总有项a 使得a4．数列{a n }及前n 项和之间的关系:123n n S a a a a =++++ 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.可变形为d m n a a m n )(-+= ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. 5.常用性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd 。
数列的知识点总结
数列的知识点总结数列在数学中是一个重要的概念，它是由一组有序数字或者数学相似的物品所组成的序列。
在数学的学习中，数列是非常常见的一种概念，在很多数学的题目中都有着重要的应用。
在本文中，我将会深入探讨数列的相关知识，以及给出一些例题来加强读者的理解和应用能力。
一、分类数列可以根据它的项之间的关系进行分类。
1.等差数列在等差数列中，每一项与它前面的项的差值都是相等的。
假设第一个项为$a_1$，公差为$d$，则它的第$n$项为：$a_n=a_1+(n-1)d$。
例题：已知一个等差数列的第五项为$10$，公差为$2$，求第十项是多少？解：利用公式$a_n=a_1+(n-1)d$，可得：$a_{10}=a_1+9d=a_5+4d=10+4 \times 2=18$，因此第十项为$18$。
2.等比数列在等比数列中，每一项与它前面的项的比值都是相等的。
假设第一个项为$a_1$，公比为$q$，则它的第$n$项为：$a_n=a_1\times q^{n-1}$。
例题：已知一个等比数列的第二项为$4$，公比为$2$，求第六项是多少？解：利用公式$a_n=a_1 \times q^{n-1}$，可得：$a_6=a_1 \times 2^{6-1}=a_1 \times 32$。
因此，要求第六项，我们需要知道首项$a_1$，根据已知，$a_2=4=a_1 \times 2$，得到$a_1=2$，带入公式，则可得出$a_6=2 \times 32=64$。
3.等差-等比数列在等差-等比数列中，它的相邻两项之间先按照等比数列的关系进行变化，再按照等差数列的关系进行变化。
假设第一个项为$a_1$，首项的公比为$q$，公差为$d$，则它的第$n$项为：$a_n=a_1 \times q^{n-1}+d(n-1)$。
例题：已知一个等差-等比数列的第三项为$12$，公比为$2$，公差为$-2$，求第五项是多少？解：利用公式$a_n=a_1 \times q^{n-1}+d(n-1)$，可得：$a_5=a_1 \times 2^{5-1}+(-2) \times 4=16a_1-8$。
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（1） ； （2） ； （3） .
16. (2017年北京卷理) 设 和 是两个等差数列，记
，
其中 表示 这 个数中最大的数．
（1）若 ， ，求 的值，并证明 是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；或者存在正整数 ，使得 是等差数列．
17.(2017年江苏卷)对于给定的正整数 ，若数列 满足：
对任意正整数 总成立，则称数列 是“ 数列”．
设函数f(x)＝1＋ ，
易知f(x)在区间 和 内为减函数．
∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.
例5（等差数列的基本量的计算）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.
(1)若S5＝5，求S6及a1
(2)求d的取值范围．
乙公司：第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.
设某人年初同时被甲、乙公司录取，试问：
（1）若该人打算连续工作 年，则在第 年的月工资收入分别是多少元
（2）若该人打算连续工作10年，且只考虑工资收入的总量，该人应该选择哪家公司为什么(精确到1元)
解：（1）设在甲公司第 年的工资收入为 元，在乙公司第 年的工资收入为 元
C． D．
五、数列应用题：
等差数列模型
1、一种设备的价格为450000元，假设维护费第一年为1000元，以后每年增加1000元，当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限，那么此设备的最佳更新年限为。30年
2、在一次人才招聘会上，有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准：
甲公司：第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；
4、已知数列 ， ， ，则
5、在数列 中， （ ），则 ＝.
6、如果数列 满足 ，则 ________________
7、 满足 ， ，则 =_______
8、已知数列 的首项 ，且 ，则通项公式
9、若数列 满足 ，则通项公式
10、如果数列 的前n项和 ，那么这个数列的通项公式是（ D ）
A． B．
（1）设 年内（本年度为第一年）总投入为 万元，旅游业总收入为 万元，写出 、 的表达式；
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入（精确到整数）
参考解答：
（1）
（2）解不等式 ，得 ，至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.
六、2017年高考题
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
14.(2017年山东卷文)已知 是各项均为正数的等比数列,且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2） 为各项非零等差数列,前 项和 ,已知 ,求数列 前 项和
15. (2017年天津卷理)已知 为等差数列，前 项和为 ， 是首项为 的等比数列，且公比大于 ， , ， .
（1）求 和 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 .
解(1)由题意知S6＝ ＝－3，a6＝S6－S5＝－8.
所以
解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.
(2)方法一 ∵S5S6＋15＝0，
∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
即2a ＋9da1＋10d2＋1＝0.
因为关于a1的一元二次方程有解，所以
Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，
A． B． C． D．
2、数列 前 项和 ．
3、数列 的通项公式为 ，则S100＝_________________。
4、设 ，且 ，则 ．6
5、设 ，关于 的函数 ，若 ，则数列 前 项的和 ________．答案： ．
解答： ，
，所以
．
四、求数列通项式
（1）公式法： ， ， 等
（2）累加法：形如 或 ，且 不为常数
2.等比中项：
是等比数列
3.通项公式： （ 且为常数） 是等比数列
4.前 项和： （ 且为常数） 是非常数列的等比数列
联系
真数等比，对数等差；指数等差，幂值等比。
例题：
例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{an}中，a1＝ ，an＝2－ (n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝ (n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
(1)证明∵an＝2－ (n≥2，n∈N*)，bn＝ .
∴n≥2时，bn－bn－1＝ －
＝ －
＝ － ＝1.
∴数列{bn}是以－ 为首项，1为公差的等差数列．
(2)解由(1)知，bn＝n－ ，则an＝1＋ ＝1＋ ，
二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）
6. (2017年北京卷理) 若等差数列 和等比数列 满足 ， =_______.
7.(2017年江苏卷)等比数列 的各项均为实数，其前 项和为 ，已知 ，则 =_______________．
8.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 等差数列 的前 项和为 ， ， ，
则 ， （2）设工作10年在甲公司的总收入为 ，在甲公司的总收入为
由于 ，所以该人应该选择甲公司.
等比数列模型
例 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据计划，本年度投入 万元，以后每年投入将比上一年度减少 ，本年度当地旅游业收入估计为 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加 。
盏 盏 盏 盏
3.(2017年新课标Ⅲ卷理) 等差数列 的首项为 ，公差不为 ．若 成等比数列，则 前 项的和为（ ）
4.(2017年浙江卷) 已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件
5.(2017年新课标Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 其中第一项是 ，接下来的两项是 ，再接下来的三项是 ，依此类推.求满足如下条件的最小整数 且该数列的前 项和为 的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）
1.(2017年新课标Ⅰ) 记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为（ ）
2.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 我国古代点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座 层塔共挂了 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 倍，则塔的顶层共有灯（ ）
（ ）
例13 △ABC的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形_
三、数列求和：
（1）倒序相加法
如：已知函数 ，求 _________
（2）错位相减法： 其中{ }是等差数列， 是等比数列。
（3）裂项相消法：形如
（4）拆项分组法：形如 ，
如： ， ，
练习：
1、数列 ， ， ，···， 的前n项和为（ B ）
(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．
解方法一 ∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋ d＝15×20＋ d，∴d＝－ .
∴an＝20＋(n－1)× ＝－ n＋ .
∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，
∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋ × ＝130.
方法二 同方法一求得d＝－ .
∴Sn＝20n＋ · ＝－ n2＋ n＝－ 2＋ .
∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，
∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.
所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．
解得d≤－2 或d≥2 .
方法二 ∵S5S6＋15＝0，
∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
9da1＋10d2＋1＝0.
故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤－2 或d≥2 .
例6（前n项和及综合应用）(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；
令
由①得n<6 ；由②得n≥5 ，所以n＝6. 即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，
而|a7|＝a7＝4×7－24＝3.
设{|an|}的前n项和为Tn，则
Tn＝
＝
例7已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为3
（1）证明：等差数列 是“ 数列”；
（2）若数列 既是“ 数列”，又是“ 数列”，证明： 是等差数列．
18.（本小题满分12分）
已知 是各项均为正数的等比数列，且
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系 中，依次连接点
得到折线 ，
求由该折线与直线 所围成的区域的面积 .
19.(2017年浙江卷)已知数列 满足：
例8等差数列 的前n项和分别为 ，且 ,则使得 为正整数的正整数n的个数是3. （先求an/bn n=5,13,35）
例9已知数列 中， ，当 时，其前 项和 满足 ，则数列 的通项公式为
例10在数列 中， ， ，则 .
例11 设 的等比中项，则a+3b的最大值为2.
例12 若数列1, 2cosθ, 22cos2θ,23cos3θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为
《数列》知识点归纳及例题分析