25.2.3 列举所有机会均等的结果(第二课时)
25.2.3列举所有机会均等的结果
1P(全是正面) 1
8
(2)P(两正一反） 3 8
(3)P(两反一正） 3(4)P(全是反面) 1
8
8
所以以上说法不正确.
练习2：有两双手套，形状、大小，完全相同，只有颜色不同。黑 暗中，任意抽出两只配成一双的概率是多少？
解： 假设两双手套的颜色分别为红、黑，如下分析：
开始
第
一 次
红1
红2
解：由树形图得，所有可能出现的结果有27个， 它们出现的可能性相等。
（1）三辆车全部继续直行的结果有1个，则
P（三辆车全部继续直行）=
1 27
（2）两辆车右转，一辆车左转的结果有3个，则
P（两辆车右转，一辆车左转）=
3 27
1 =
9
（3）至少有两辆车左转的结果有7个，则
P（至少有两辆车左转）= 7
这三个事件发生的概率相等吗？
在分析上面问题时，一位同学画出如下 图所示的树状图. 开始
第一次
红
白
第二次 红
白红
白
从而得到，“摸出两个红球”和“摸出两个白球” 的概率相等，“摸出一红一白”的概率最大.
他的分析有道理吗？为什么？
把两个白球分别记作白1和白2，用树状图的 方法看看有哪些等可能的结果
开始
（1）满足两个骰子的点数相同的结果有6个，
则
P（点数相同）=
6 36
=
1 6
（2）满足两个骰子的点数之和是9的结果有4个， 则
4
1
P（和为9）= 36 = 9
（3）满足至少有一个骰子的点数为2的结果有11
个，则
11
P（至少一个点数为2）= 36
问题7
“石头，剪刀，布”是一个广为流传的
华师版九年级数学上册第25章3 列举所有机会均等的结果
知2－练
2-1. [中考·常德]从1，2，3，4，5 这五个数中任选两个数， 其和为偶数的概率为( B )
A.
1 5
B.
2 5
C.
3 5
D.
4 5
知2－练
2-2. 端午节早上，小颖为全家人蒸了2 个蛋黄粽，3 个鲜 肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶， 则爷爷 2 奶奶吃到同类粽子的概率是____5____．
B (B，A)
(B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B)
(C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C)
知2－练
由表格可知共有12 种等可能的结果，其中抽到的两张 邮票恰好是“立春”和“立夏”的结果有2 种. 故其概 率为122＝ 16. 答案：C
知2－练
3-1. [中考·重庆]一个口袋中有1 个红色球，有1 个白色球， 有1 个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸 出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出 1 一个球，则两次都摸到红球的概率是___9____.
知2－练
解题秘方：抓住小明、小刚同时进行两种相同的 操作的情况来列表，然后利用概率公式求概率.
(1)一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少？ 解：P(一次出牌小刚出“象”牌)＝13.
知2－练
知2－练
(2)如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用 A1，B1，C1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一 次出牌小刚胜小明的概率是多少？用列表法加以说明.
知2－练
例 3 “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶， 被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小文购买 了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立 夏”“秋分”“大暑”四张邮票(如图25.2-11)中的两 张送给好朋友小乐．
25.2 列举所有机会均等的结果 教案-数学九年级上册
三、师生共探（1）列举法[生]学生回答AA，AB，BB，BA.（2）画树状图观察上图，可以看出所有等可能的结果共有种,分别是 .其中两人相遇的情况有种,即 .由已学过的概率计算方法，可得P（相遇）= .[师]引导学生归纳：当一个事件要涉及两个或更多的因素时，通常采用“画树状图”.运用树状图法求概率的步骤如下：①画树状图；②列出结果，确定关注结果的个数和所有等可能结果的个数的值；③利用公式P(关注的结果)=关注结果的个数所有等可能结果的个数计算事件的概率.（2）列表法观察上表，可以看出所有等可能的结果共有种，分别是 .其中两人相遇的情况选B；父亲选择A，小明选择B；父亲选择B，小明选择 A.二是画树状图.三是用列表法.以填空的形式帮助学生分析树状图和列表中的信息，降低学生学习的难度，让学生初步了解树状图和列表法求概率.教师引导学生归纳运用树状图和列表法求概率的一般步骤.三、师生共探有种,即 .由已学过的概率计算方法，可得P（相遇）= .[师]引导学生归纳：当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法.运用列表法求概率的步骤如下：①列表；②通过表格计数，确定关注结果的个数和所有等可能结果的个数的值；③利用公式P(关注的结果)=关注结果的个数所有等可能结果的个数计算事件的概率.[师]问题探究3：如果从家到学校有A、B、C三条道路，每人都可以任选一条，那么父子两人相遇的概率是多少？（1）画树状图（2）列表法在探究2的基础上让学生利用类比的思想解决探究3.此题学生既可以使用树状图也可以使用列表法求解，让学生进一步理解和掌握画树状图或列表法求概率的方法和步骤.。
25.2用列举法求概率(第二课时)教案
25.2 用列举法求概率(第二课时)教学目标：1．理解“包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形”的意义。
2．会用列表的方法求出：包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形，这样的试验出现的所有可能结果。
3．体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力。
教学重点：正确理解和区分一次试验中包含两步的试验。
教学难点：当可能出现的结果很多时，简洁地用列表法求出所有可能结果。
一、比较，区别出示两个问题：1．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出1个球，共有几种可能的结果？2．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出2个球，这样共有几种可能的结果？要求学生讨论上述两个问题的区别，区别在于这两个问题的每次试验（摸球）中的元素不一样。
二、问题解决1．例1 教科书第150页例4。
要求学生思考掷两枚硬币产生的所有可能结果。
学生可能会认为结果只有：两个都为正面，一个正面一个反面和两个都是反面这样3种情形，要讲清这种想法的错误原因。
列出了所有可能结果后，问题容易解决。
或采用列表的方法，如：让学生初步感悟列表法的优越性。
2．问题：“同时掷两枚硬币”，与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？同时掷两枚硬币与先后两次掷一枚硬币有时候是有区别的。
比如在先后投掷的时候，就会有这样的问题：先出现正面后出现反面的概率是多少？这与先后顺序有关。
同时投掷两枚硬币时就不会出现这样的问题。
3、例3（教材P151）：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：(1) 两个骰子的点数相同；(2) 两个骰子的点数的和是9；(3) 至少有一个骰子的点数为2。
这个例题难度较大，事件可能出现的结果有36种。
若首先就拿这个例题给学生讲解，大多数学生理解起来会比较困难。
所以在这里，我将新课的引入方式改为了一个有实际背景的转盘游戏（前一课已有例２作基础）。
（1）创设情景引例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A 、B 两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A 上的数字分别是1，6，8，转盘B 上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。
列举所有机会均等的结果
甲
石
剪
布
丙石 剪 布 石 剪 布 石 剪 布
乙 石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布
当一次试验要涉及两个因素,且可能出现的 结果数目较多时, 通常采用列表法.
另一 个因素 所包含 的可能 情况
一个因素所包含的可能情况
两个因素所组合的 所有可能情况,即n
当试验中涉及3个因素或更多的因素 时, 采用“树状图”.
一个试验
第一步
A
B
第二步 1 2 3 1 2 3
第三步 a b a b a b a b a b a b n=2×3×2=12
在拼图游戏中，从图1的四张纸片中，任取两张纸片， 能拼成“小房子”（图2）的概率等于（ ）
A.1 B.
解: 1
11
2
C.
3
2
2
D.
3
34
出现的可能情况
1
图1
2
3
图2
4
1
（1，1）
123456 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3.2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
当试验在三步或三步以上时, 用树形图法方便.
1. 用数字1、2、3,组成三位数,求其中恰有2个相
同的数字的概率.
列举所有机会均等的结果 课件 2022—2023学年华东师大版数学九年级上册
A.
B.
C.
D.
3.a、b、c、d四本不同的书放入一个书包，至少放一本，最多放2本，共有10 种 不同的放法.
4.在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色外，其余均相同 ，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 ，则n= 8 .
当堂练习
5.经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小 相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
从图中可以看出，一共有9种可能的结果，这9个事件出 现的概率相等，在摸出“两红”、“两白”、“一红一白”这个事件中， “摸出_两__红__”概率最小，等于___，“摸出一红一白”和“摸出_两__白__”的概率相等， 都是____
新知讲解
画树状图求概率的基本步骤
（1）明确一次试验的几个步骤及顺序； （2）画树状图列举一次试验的所有可能结果； （3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n； （4）用概率公式进行计算.
7 6 -2
解：根据题意，画出树状图如下
第一个数字
6
-2
7
第二个数字
6 -2
7 6 -2
7 6 -2
7
(1)两次取出的小球上的数字相同的可能性只有3种，所以P(数字相同)=
(2)两次取出的小球上的数字之和大于10的可能性只有4种，所以P(数字之和大于 10)=
课堂总结 步骤
树状图
用法
注意
①关键要弄清楚每一步有几种结果； ②在树状图下面对应写着所有可能
25.2.3列举所有机会均等的结果
华师大版 九年级上
情境导入 我们一起来做游戏
老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果 落地后两面一样，你们赢.请问，你们觉得这个游戏公平吗？
25.2《列举所有机会均等的结果》参考教案2
列举所有机会均等的结果知识技能目标1.在具体情境中进一步掌握概率的意义，能灵活运用列举法（包括列表、画树状图）分析出所有等可能的结果，计算简单事件发生的概率；2.通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题．过程性目标1.通过具体情境激发学生学习积极性，使学生经历数学知识的形成与应用过程；2.鼓励学生自主探索与合作交流，进一步加深对概率的认识，丰富数学活动的经验，提高自身思维水平．情感态度目标通过适当的习题开阔学生的视野，给学生思考的空间，使学生体会到将所学知识加以灵活运用的乐趣．重点和难点重点：进一步掌握概率的意义；难点：通过各种方法分析、计算简单事件发生的概率．教学过程一、创设情境你有没有发现，在同班同学中，几乎总是有生日相同的．不信，你可以去统计一下．但是，你能说出为什么吗？假定一个班级有40名同学，而一年有365天，生日怎么会“碰”在一起呢？学习了这节课之后，同学们就会有一个大概的认识。
二、探究归纳通过刚才的一个有趣的问题，我们发现要预测概率，关键就是要列出所有等可能的结果以及其中所要关注的结果，再求出后者与前者的个数之比，即概率．在这个过程中，难点是分析等可能的结果的个数．希望同学们在解决具体问题时注意找准所有等可能的结果以及所关注的结果的个数．三、实践应用例1 抛掷一枚普通的硬币三次，有人说连续掷出三个正面和先掷出两个正面再掷出一个反面的机会是一样的．你同意吗？解 抛掷一枚普通的硬币三次，共有以下八种机会均等的结果：正正正，正正反，正反正，反正正正反反，反正反，反反正，反反反P （正正正）＝P （正正反）＝1/8．所以，这一说法正确．注意 如果把题中的“先掷出两个正面再掷出一个反面”改成“掷出两个正面一个反面”，则“连续掷出三个正面”与“掷出两个正面一个反面”的机会是不一样的．因为这时“连续掷出三个正面”的概率仍是1/8，而“掷出两个正面一个反面”的概率为3/8，所以两者是不等的．例2 晓晓和东东两人做游戏，抛掷两枚普通的正方体骰子，把两个骰子的点数相加，求出它们的和，（如第1个骰子为1，第2个骰子为6是“和为7”的一种情况），规定掷出“和为7”时晓晓胜，掷出“和为9”时，东东胜，这个游戏公平吗？分析 可以通过比较“和为7”的概率和“和为9”的概率的大小，看它们是否相等，从而判定游戏是否公平．解 列表分析：所以，P （和为7）＝366＝61 P （和为9）＝436＝91＜61 所以，P （和为9）＜P （和为7）所以这个游戏不公平，晓晓获胜的概率大．例3 如图转动转盘，求转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率．。
初中数学九年级上册《25.2.3 列举所有机会均等的结果课件
什么时候使用“列表法”方便? 什么时候使用“树形图法”方便?
当试验包含两步时,列表法比较方 便,当然,此时也可以用树形图法;
当试验在三步或三步以上时,用树 形图法方便.
用数字1、2、3,组成三位数,求其中恰有2个相
同的数字的概率. 组数开始
百位
1
2
3
十位 1 2 3 1 2 3 1 2 3
个位 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
正
反 第①枚
正 反 正 反②
正 反 正 反 正 反 正 反③
例 桌面上分别放有六张从1，2，3，4，5， 6的红桃和黑桃，同时从它们中分别各取出 1张，计算下列事件的概率： (1)两张的数字相同； (2)两张的数字和是9； (分3析)至：少六有张一的张红的桃数、字六是张2的．黑桃，用列 举法列出应有36种，容易遗漏重复，• 计算不准确，为了避免这种情况，我们 采用列表法．
当一次试验要涉及两个因素,且可能出
现的结果数目较多时, 通常采用列表法.
一个因素所包含的可能情况
另
一个因 素所包 含的可
两个因素所组合的 所有可能情况,即n
能情况
当试验中涉及3个因素或更多的因素
时, 采用“树形图”.
一个试验
第一步
A
B
第二步 1 2 3 1 2 3
第三步 a b a b a b a b a b a b n=2×3×2=12
随堂练习
1.在拼图游戏中，从图1的四张纸片中，任取两张纸片，
能拼成“小房子”（图2）的概率等于（ ）
A.1
1
B. 2
1
C. 3
2
25.2.3列举所有机会均等的结果
1
2 3 4 5 6
解：由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结 果有36个，它们出现的可能性相等。 （1）满足两个骰子的点数相同的结果有6个， 则
6 P（点数相同）= 36 =
1 6
（2）满足两个骰子的点数之和是9的结果有4个， 则
4 P（和为9）= 36
1 = 9
（3）满足至少有一个骰子的点数为2的结果有11 个，则
第二次 红 白1 白2 红 白1 白2 红 白1 白2 从图中可以看出，一共有9种可能的结果，这9 个事件出现的概率相等，在摸出“两红”、“两白”、 “一红一白”这三个事件中，“摸出 _”概率最小， 两红 1 等于 ___，“摸出一红一白”和“摸出 ____ ”的概率 两白 9 4 相等，都是 ___.
9
②实验的等可能结果有相同时:编号排列法
例5：随机掷两枚均匀的硬币, 两个都是正面朝上的概 率是多少? ③一次操作两个元素相当于两次操作 开始 (正,正) (正,反)
正 反
第一枚
(反,正)
第二枚
正
反
正
反
(反,反)
总共有4种结果,每种结果出现的可能性相同,而两个正面 朝上的结果有1种: P= 1 4
解：所有可能出现的结果如下： B 红 蓝 A 红 （红，红） （蓝，红）
红 蓝
（红，红） （红，蓝） （蓝，红） （蓝，蓝）
蓝
（蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝）
一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，(红，蓝）能配紫色的有5种， 概率为5/9；不能配紫色的有4种，概率为4/9，它们的概率不相同。
2.如图,袋中装有两个完全相同的球,分别标 有数字“1”和“2”.小明设计了一个游戏: 游戏者每次从袋中随机摸出一个球,并自由 转动图中的转盘(转盘被分成相等的三个扇 形).
初中三年级上学期数学《列举所有机会均等的结果》教学设计
P（小明）=
4
1
第一枚
第二枚
2、树形图求概率
若将游戏规则改为抛掷三枚硬币，出现全反面或全正面则小明
获胜；出现一正两反则小颖获胜；出现一反两正则小凡获胜，这样
游戏公平吗？
【分析】现在是抛掷三枚硬币，那么还能用列表法进行分析
吗？大家有没有合适的方法？
【教学说明】教师引导学生画树状图，使学生动手体会如何画
树状图，指导学生规范地应用树状图法解决概率问题，并比较它与
列表法的优劣。
4分钟
四、典例
分析例1在一个不透明的口袋里装有除标号外完全一样的三个小球，小
球上分别标有2，﹣1，3这三个数字，从袋中随机摸出一个小球，
记标号为a，然后放回摇匀后再随机摸出一个小球，记标号为b，
则满足＜1的概率是_____.
【教学说明】教师引导学生画树状图分析，并且对于放回的情况，
需要引导学生思考每种a的情况下对应的各种b的情况。
7分钟正反
正正正反正
反正反反反。