数列全章知识点总结
高中数学数列知识点总结(精华版)
..一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n与项数n是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列a n的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即af(n)n.3.递推公式：如果已知数列a n的第一项（或前几项），且任何一项a n与它的前一项a（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n f(a n1)或a n f(a n1,a n2)，n1那么这个式子叫做数列a的递推公式.如数列an中，a11,a n2a n1，其中na n2a n1是数列a n的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式①Sn a1a2a；②nS(n1)1a n.SS(n2)nn15.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有a n1a n.②递减数列:对于任何nN,均有a n1a n.③摆动数列:例如:1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,⋯⋯.⑤有界数列:存在正数M使a n M,n N.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项a使得a n M.n1、已知n*a2(nN)nn156，则在数列{}a的最大项为__（答：n125）；2、数列{}a的通项为nana n，其中a,b均为正数，则a n与a n1的大小关系为___（答：bn1aa n1）；n23、已知数列{a}中，a是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；ann，且{}nnn4、一给定函数yf(x)的图象在下列图中，并且对任意a(0,1)，由关系式a n1f(a n)1*得到的数列{}a满足a n1a n(nN)，则该函数的图象是（）（答：A）neord完美格式..二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+-等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，2. 等比数列的定义与性质 定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G = 前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！） 性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =··（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.4. 求数列前n 项和的常用方法(1) 裂项法（2）错位相减法如：2311234n n S x x x nx -=+++++……① ()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-…… 1x ≠时，()()2111n n n x nx S x x -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=…… 温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
数列知识点所有性质总结知识讲解
数列知识点所有性质总结一、等差数列1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
数列知识点归纳总结
数列知识点归纳总结一、定义数列是由一列有限或无限多个数按照一定的规律排列而成的集合。
其中，每个数称作数列的项，每项之间的间隔称作公差。
二、等差数列1. 定义等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。
2. 性质（1）首项 a1，公差 d（2）第 n 项 an = a1 + (n-1)d（3）前 n 项和Sn = (a1 + an) × n ÷ 2 = n[a1 + a(n-1)/2]3. 求和（1）连续求和法若已知数列的首项、尾项及项数，则可以使用连续求和法求和。
公式如下：S = (a1 + an)× n ÷ 2（2）差数求和法若已知数列的首项、公差及项数，则可以使用差数求和法求和。
公式如下：S = n[a1 + a(n-1)/2]4. 应用（1）找公差通过两个连续的数的差来求得公差。
（2）求某一项通过公式 an = a1 + (n-1)d 来求某一项。
（3）求和通过公式 Sn = n[a1 + a(n-1)/2] 来求和。
三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。
2. 性质（1）首项 a1，公比 q（2）第 n 项an = a1 × q^(n-1)（3）前 n 项和 Sn = a1 (q^n - 1) ÷ (q - 1)3. 求和（1）分步求和法将等比数列分为两个等差数列求和。
将等比数列的第一项乘上公比 q，得到一个新的等比数列，其首项为a1 × q，公比为 q，使用等差数列求和公式求和。
两次求和结果相加即为等比数列的和。
（2）直接求和法使用公式 Sn = a1 (q^n - 1) ÷ (q - 1) 直接求和。
四、通项公式1. 概念通项公式是指数列中任意一项的计算公式。
通过通项公式，可以方便地计算数列中的任何一项。
2. 求法根据已知条件，列出数列的一般式或递推式，然后解出通项公式。
五、等差数列与等比数列的比较1. 不同点（1）等差数列中相邻两项的差相等，等比数列中相邻两项的比相等。
高一数学必修5：数列(知识点梳理)
第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和； （2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则 （1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
数学数列知识点归纳总结
数学数列知识点归纳总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合，通常用一对大括号{}表示，其中的每个数称为数列的项。
例如：{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个数列，它包含了无穷多个项，每个项都是自然数。
1.2 数列的表示数列可以用不同的方式表示，常见的表示方法有公式法、图形表示法和文字描述法。
- 公式法：可以用一个通项公式来表示数列的每一项，例如：an = n^2表示数列{1, 4, 9, 16, ...}的通项公式。
- 图形表示法：可以用图形来表示数列，例如：等差数列可以用直线表示，等比数列可以用曲线表示。
- 文字描述法：可以用文字描述数列的规律，例如：数列{2, 4, 6, 8, ...}可以描述为“每一项都比前一项大2”。
1.3 数列的分类数列可以按照不同的规律进行分类，常见的分类有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
- 等差数列：数列中相邻两项的差等于一个常数，这个常数称为公差。
- 等比数列：数列中相邻两项的比等于一个常数，这个常数称为公比。
- 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和，例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...1.4 数列的通项公式数列的通项公式是指数列中任意一项与项号之间的函数关系式，一般用an表示第n项的值，n表示项号。
如果一个数列存在通项公式，则可以利用通项公式计算数列的任意项的值。
1.5 数列的性质数列有许多重要的性质，例如数列的有界性、单调性、敛散性以及极限等。
- 有界性：如果数列的项有上界或下界，则称该数列是有界的。
- 单调性：如果数列的项都单调递增或单调递减，则称该数列是单调的。
- 敛散性：数列是否有极限，如果有极限则称该数列是收敛的，否则是发散的。
二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数的数列，这个常数称为公差。
例如：{2, 4, 6, 8, ...}就是一个等差数列，公差为2。
数列知识要点梳理
数列知识要点梳理知识点一：数列的概念1、数列的定义：数列是按一定顺序排列的一列数，如1，1，2，3，5，…，a n，…，可简记为{a n} 注意：（1）数列可以看作是定义在自然数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}上的函数。
函数当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值，，…，，…，通常用代替，于是数列的一般形式为a1，a2，…，，…，简记为。
其中是数列的第n项，也叫做通项。
（2）数列的特征：有序性。
一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的顺序有关，“顺序”是对数列本质属性的刻画。
（3）数列的定义域是离散的，因而其图象也是离散的点集。
2、数列的通项公式一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。
注意：①不是每个数列都能写出它的通项公式。
如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。
如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。
3、数列的表示：(1)列举法：如-2，-5，-8，…注意：数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。
(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。
(3)解析式法：用数列的通项公式a n=f(n)，n∈N*或其他式子表示的数列。
4、数列的分类：（1）按项数：有限数列和无限数列；（2）按单调性：递增数列、递减数列（递增数列与递减数列统称为单调数列）；（3）按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分：有界数列、无界数列；（4）其他数列：摆动数列、常数列。
5、数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。
注意：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。
数列必背知识点总结
数列必背知识点总结一、数列的基本概念数列是指依照某种规律排列成的一列数字的集合，其中每个数字称为数列的项。
数列可以用公式、图形或者文字进行表示，例如1, 3, 5, 7, 9…是一个等差数列，其通项公式为an=2n-1。
数列中的每一项都可以通过通项公式计算出来。
数列中有几个重要的概念需要掌握：1.1 首项和公差在等差数列中，第一个数字称为首项，用 a1 表示；而等差数列中的通项与前一项的差称为公差，用 d 表示。
例如在数列1, 3, 5, 7, 9...中，1 是首项，3-1=2 是公差。
1.2 首项与末项数列中的第一个数称为首项，记作 a1；而数列中的最后一个数称为末项，可用 an 表示。
数列中的末项通常由数列的规律性和首项以及项数来决定。
1.3 通项公式通项公式是数列中的一种特定的计算公式，可以通过该公式计算出数列中任意一项的值。
对于等差数列an=a1+(n-1)d，对于等比数列an=a1*q^(n-1)，其中 n 表示数列中的项数。
1.4 数列的项数数列中的项数表示数列中的项的个数。
通常用 n 来表示项数。
对于有限数列，项数是有限的；对于无限数列，项数是无穷的。
二、常见的数列类型数列按照其规律性可以分为不同的类型，其中比较常见的数列类型有等差数列、等比数列和费波那契数列。
2.1 等差数列等差数列是指数列中每一项与其前一项的差都是一个常数，这个常数称为公差。
例如1, 3, 5, 7, 9...就是一个公差为2的等差数列。
2.2 等比数列等比数列是指数列中每一项与其前一项的比都是一个常数，这个常数称为公比。
例如1, 2, 4, 8, 16...就是一个公比为2的等比数列。
2.3 费波那契数列费波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列，例如1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...就是一个费波那契数列。
2.4 等差数列和等比数列的相关公式对于等差数列，其通项公式为 an=a1+(n-1)d；对于等比数列，其通项公式为 an=a1*q^(n-1)。
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数列知识点题型方法总复习一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如（1）已知*2()156nna n Nn=∈+，则在数列{}na的最大项为__（125）；（2）数列}{na的通项为1+=bnanan，其中ba,均为正数，则na与1+na的大小关系为___（na<1+na）；（3）已知数列{}na中，2na n nλ=+，且{}na是递增数列，求实数λ的取值范围（3λ>-）；（4）一给定函数)(xfy=的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a，由关系式)(1nnafa=+得到的数列}{na满足)(*1Nnaann∈>+，则该函数的图象是（A）A B C D二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n na a d d+-=为常数）或11(2)n n n na a a a n+--=-≥。
如设{}na是等差数列，求证：以b n=naaan+++21*n N∈为通项公式的数列{}nb为等差数列。
2．等差数列的通项：1(1)na a n d=+-或()n ma a n m d=+-。
如(1)等差数列{}na中，1030a=，2050a=，则通项na=210n+；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______833d<≤3．等差数列的前n和：1()2nnn a aS+=，1(1)2nn nS na d-=+。
如（1）数列{}na中，*11(2,)2n na a n n N-=+≥∈，32na=，前n项和152nS=-，则13a=-，10n=；（2）已知数列{}na的前n项和212nS n n=-，求数列{||}na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nn n n n NTn n n n N⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）.4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 三．等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
3．当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=如（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝__27__（2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则B A 、1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0 C 、125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0 D 、1220,S S S 都小于0，2122,S S 都大于04．若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列. 如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 225 。
5．在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S S k k =+。
如（1）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝__2____（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.6．若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()nnA f nB =，则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S n n ，那么=nn b a ___________（答：6287n n --） 7．“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
法一：由不等式组⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。
上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006）8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.四．等比数列的有关概念： 1．等比数列的判断方法：定义法1(n na q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11n n n n a aa a +-= (2)n ≥。
如（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____（答：56）；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。
2．等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。
如设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q . （答：6n =，12q =或2） 3．等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q-=-11n a a qq -=-。
如（1）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ =44（2）)(101∑∑==n nk k nC的值为__________（答：2046）；特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。
4．等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。
提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个如已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______（答：A ＞B ）提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,a a a aq aq q q…（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为…33,,,aq aq qaq a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q 。
如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。
（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 等比数列的性质：1.当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a =，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a =.如（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答512）； （2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++= 102.若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若{}{}n n a b 、成等比数列，则{}n n a b 、{}nna b 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。
当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列. 如（1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1log 1log a n a n x x +=+(*)n N ∈，且12100100x x x +++=，则101102200x x x +++= . （答：100100a ）；（2）在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______（答：40）3.若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.4.当1q ≠时，b aq qaq q a S n n n +=-+--=1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列。