数列全章知识点总结

数列知识点题型方法总复习

一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函

数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如

（1）已知*

2

()

156

n n a n N n =

∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（125）； （2）数列}{n a 的通项为1

+=bn an

a n ，其中

b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（n a <1+n a ）；

（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数

列}{n a 满足)(*

1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（A ）

A B C D

二．等差数列的有关概念：

1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =

n

a a a n

+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。

2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = 210n +；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______

8

33

d <≤ 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=

，1(1)

2n n n S na d -=+。如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2

n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和15

2n S =-，则13a =-，10n =；

（2）已知数列 {}n a 的前n 项和2

12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T

（答：2*

2*

12(6,)

1272(6,)

n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2

a b

A +=。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、

d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）

三．等差数列的性质：

1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率

为公差d ；前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数

列。

3．当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=如（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝__27__ （2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则B A 、1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0 C 、12

5,S S S 都小于0，67

,S S 都大于0 D 、12

20,S S S 都小于0，2122

,S S 都大于0

4．若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、

232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，

则{lg }n a 是等差数列. 如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 225 。

5．在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，

21(21)n S n a -=-?中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S S k k =+。如（1）在等差数列中，S 11＝22，

则6a ＝__2____（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

6．若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n

n

A f n

B =，则

21

21

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若341

3-+=n n T S n n ，那么=n

n b a ___________（答：6287n n --）

7．“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，

前n 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组?

??

? ?

????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*

n N ∈。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此

你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；

（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006）

8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =. 四．等比数列的有关概念： 1．等比数列的判断方法：定义法

1(n n

a q q a +=为常数）

，其中0,0n q a ≠≠或11n n n n a a

a a +-= (2)n ≥。如（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为

____（答：

5

6

）；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。

2．等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。如设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q . （答：6n =，1

2

q =

或2）

3．等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q

-=-11n a a q

q -=-。如

（1）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ =44

（2）

)(101

∑∑==n n

k k n

C

的值为__________（答：2046）；

特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比

q 是否为1，

再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。

4．等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，

且有两个如已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______（答：A ＞B ）

提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，22

,,,,a a

a aq aq q q

…（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为…

3

3

,,,aq aq q

a q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2

q 。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 等比数列的性质：

1.当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a =，特别地，当2m n p +=时，则有2

m n p a a a =.如（1）

在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答512）； （2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则3132310log log log a a a ++

+= 10

2.若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*

{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若{}{}n n a b 、

成等比数列，则{}n n a b 、

{}n

n

a b 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列. 如（1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1log 1log a n a n x x +=+(*)n N ∈，且

12100100x x x +++=，则101102200x x x ++

+= . （答：100100a ）

； （2）在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______（答：40）

3.若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.

4.当1q ≠时，b aq q

a

q q a S n n n +=-+--=

1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列。如若{}n a 是等比数列，

且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）

5. m n

m n m n n m S S q S S q S +=+=+.如设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成

等差数列，则q 的值为_____（答：－2）

6.在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.

7.如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）， 关于数列{}n a 有下列三个命题：①若)(1

N ∈=+n a a n n ，则{}n a 既是等差数列又是等比数列；②若

()R ∈+=b a n b n a S n 、2，则{}n a 是等差数列；③若()n

n S 11--=，则{}n a 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：②③） 五.数列的通项的求法：

类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠）

（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1

q

p μ=

-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1

111n n q q a a p p p -??+

=+ ?

--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ?--?

?。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。

解： （构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2

为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1

23n n a +=-。

类型二：1()n n a a f n +=+

（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1

11

()n n i a a f n -=-=∑，即1

11

()n n i a a f n -==+∑。

例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。

解： （叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、

212a a -=，将各式叠加并整理得12

n n i a a n =-=∑，12

1

(1)

2

n n

n i i n n a a n n ==+=+==

∑∑。 类型三：1()n n a f n a +=?

（叠乘法）：

1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a --=-、23(3)n n a f n a --=-、…、21

(1)a

f a =，将各式叠乘并整理得

1

(1)(2)(3)n

a f f f a =???…(2)(1)f n f n ?-?-，即(1)(2)(3)n a f f f =???…1(2)(1)f n f n a ?-?-?。

例3 已知11a =，11

1

n n n a a n --=+，求n a 。 解： （叠乘法）：

111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、233

1n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113

a a =，将各式叠乘并整理得

112311n a n n n a n n n ---=???+-…2143??，即12311

n n n n a n n n ---=???+- (212)

43(1)

n n ??=+。 类型四：11n n n a pa qa +-=+

分析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的形式，比较系数可求得λ，数列

{}1n n a a λ++为等比数列。

例11 已知数列

{}

n a 满足

211256,1,2

n n n a a a a a ++=-=-=，求数列

{}

n a 的通项公式。

解：设

211(5)()

n n n n a a a a λλλ++++=++

比较系数得3λ=-或2λ=-，不妨取2λ=-，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）

则

21123(2)

n n n n a a a a +++-=-，则

{}12n n a a +-是首项为4，公比为3的等比数列

1

1243n n n a a -+∴-=?，所以

11

4352n n n a --=?-?

类型五：1n n n a pa rq +=+ （0p q ≠≠）

思路（构造法）：1

1n n n a pa rq --=+，设11n n n n a a q q μλμ--??+=+ ???，则(

)1

1n n q p

q rq λμλ-=???-=??，从而解得

p q r p q λμ?=??

??=

?-?

。那么n n a r q p q ??+??

-??是以1a r q p q +-为首项，p q 为公比的等比数列。 例5 已知11a =，1

12n n n a a --=-+，求n a 。

解：设1122n n n n a a μλμ--??+=+ ???，则()1

21122n n λμλ-=-???-=??，解得1213λμ?=-????=-

??

，123n n a ??∴-????是以

111236-=为首项，12为公比的等比数列，即1

1112362n n n a -??

-=? ?

??

，21

3

n n a +∴=。

类型六：1()n n a pa f n +=+ （0p ≠且1p ≠）

思路（转化法）：1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以n

p 得

11(1)

n n n n n a a f n p p p

---=+，我们令

n

n n

a b p =，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。 例6 已知12a =，1

142n n n a a ++=+，求n a 。

解：142n n n a a -=+，式子两边同时除以4n

得111442n n n n n a a --??=+ ???，令4n n n a b =，则112n

n n b b -??-= ???

，依此类推有1

12

12n n n b b ---??

-= ???

、2

23

12n n n b b ---??-= ???

、…、2

2112b b ??

-= ???

，各式叠加得

1212n

n

n i b b =??-= ???∑，即122111*********n

n

n

n

n n n

n i i i b b ===????????

=+=+==- ? ? ? ?????????∑∑∑

1441422n

n n

n n n n a b ????∴=?=?-=-?? ???????

。

类型七：1r n n a pa += （0n a >）

思路（转化法）：对递推式两边取对数得1log log log m n m n m a r a p +=+，我们令log n m n b a =，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。

例7 已知110a =，2

1n n a a +=，求n a 。

解：对递推式2

1n n a a +=左右两边分别取对数得1lg 2lg n n a a +=，令lg n n a b =，则12n n b b +=，即数列{}n b 是以1lg101b ==为首项，2为公比的等比数列，即12n n b -=，因而得1

21010n n b

n a -==。

思路（转化法）：对递推式两边取倒数得

11n n n pa d a c a ++=?，那么111n n d p a c a c +=?+，令1n n

b a =，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。

例8 已知14a =，1221

n

n n a a a +?=

+，求n a 。

解：对递推式左右两边取倒数得

12112n n n a a a ++=即111112n n a a +=?+，令1n n b a =则1112

n n b b +=+。设()112

n n b b μμ++=

+，即2μ=-，∴数列{}2n b -是以17244-=-为首项、1

2为公比的等比数列，

则17

22

n n b +-=-，即21272n n n b ++-=，12227n n n a ++∴=-。

类型九： 特征根法

1、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列

形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①

若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a

例1 已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a 解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =?+?，

由1122122243a c c a c c =+=??=+=?，得121

12

c c =???=??， 112n n a -∴=+

例2已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a

解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==

由1122121()121(2)2

4

a c c a c c ?

=+?=????=+?=??，得1246c c =-??=?， 1322n n n a --∴=

二、形如2n n n Aa B

a Ca D

++=

+的数列

对于数列2n n n Aa B

a Ca D

++=

+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）

其特征方程为Ax B

x Cx D

+=

+，变形为2()0Cx D A x B +--=…②

可求得c 值。

值可求得c 值。

这样数列1n a α????

-??是首项为1

n a α-，公差为c 的等差数列，于是这样可求得n a 例3已知数列{}n a 满足1112

2,(2)21

n n n a a a n a --+==

≥+，求数列{}n a 的通项n a

解：其特征方程为2

21

x x x +=

+，化简得

2220x -=，解得121,1x x ==-，

由12,a =得245a =

，可得13

c =-， ∴数列11n n a a ??-??+??

是以1111

13a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1

111133n n n a a --??∴=?- ?

+??，

3(1)3(1)

n n

n n n

a --∴=+- 例4已知数列{}n a 满足*1121

2,()46

n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a 解：其特征方程为2146x x x -=

+，即24410x x ++=，解得1212x x ==-

由12,a =得23

14a =

，求得1c =， ∴数列112n a ????????+??是以112

152a =+

为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552

n n n a ∴=+-?=-+，

135106

n n

a n -∴=

-

六.数列求和的常用方法：

1．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2

n n n +++

+=+，

222112(1)(21)6

n n n n ++

+=++，33332

(1)123[

]2n n n ++++

+=.如（1）等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2

232221n a a a a ++++ ＝_____（答：413

n -）；

（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如2)1101(表示二进制数，

将它转换成十进制形式是132********

123=?+?+?+?，那么将二进制

1

20052)11111(个转换成十进制数

是_______（答：2005

21-）

2．分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：1357(1)(21)n n S n =-+-+-

+--（答：(1)n n -?）

3．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 如已知

22()1x f x x =+，则111

(1)(2)(3)(4)()()()

234

f f f f f f f ++++++＝______（答：72） 4．错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那

么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

如（1）设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++，已知11T =，24T =，①求数列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式.（答：①11a =，2q =；②122n n T n +=--）；

（2）设函数)1(4)()1()(2

-=-=x x g x x f ，，数列}{n a 满足：12,()n a f a =(n a =-

))(()1++∈N n a g a n n ，①求证：数列}1{-n a 是等比数列；②令212()(1)(1)h x a x a x =-+-

(1)n n a x ++-，求函数)(x h 在点38=x 处的导数)38(h '，并比较)3

8

(h '与n n -22的大小。

（答：①略；②8()(1)213

n

h n '=-+，当1n =时，)38(h '＝n n -22；当2n =时，)38(h '

n ≥时，)3

8(h '>n n -2

2）

5．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①

111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k

=-++； ③2211111

()1211

k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -

=<<=-++--； ④1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++；

⑥

=<<=. 如（1）求和：111

1447(32)(31)n n +++=??-?+ （答：

31

n n +）； （2）在数列{}n a 中，1

1

++=n n a n ，且S ｎ＝９，则n ＝_____（答：99）；

6．通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如 ①求数列1×4，2×5，3×6，…，(3)n n ?+，…前n 项和n S = (1)(5)

3

n n n ++）；

②求和：111

112123123n +

+++=+++++++ 答：

21

n n +） 七．“分期付款”、“森林木材”型应用问题

1．这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.

2．利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p 元，

每期利率为r ，则n 期后本利和为：(1)(12)(1)n S p r p r p nr =++++

+

(1)

()2

n n p n r +=+

（等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分n 期还清。如果每期利率为r （按复利），那么每期等额还款x 元应满足：12(1)(1)(1)(1)n n n p r x r x r x r x --+=+++++++（等比数列问题）.

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）