数列复习知识点总结

数列一、知识梳理1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如:.,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶dm n a a m n)(-+=；b an a n+=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则n n S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n nq a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{bn}的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a .3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） 4、等差数列{}n a ,{}nb 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S nT n =+,则n na b =（ ）5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。

7、已知数列{}n a 是等差数列，若 471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且13k a =,则k =_________。

8、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3.9、在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ） 10、在等比数列中，已知910(0)a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a +=. 11、已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，则=75a 12、等差数列{}n a 中，已知848161,.3S S S S =求 B 、求数列通项公式1） 给出前几项，求通项公式1,0,1,0,……,,21,15,10,6,3,13，-33,333，-3333,33333……2）给出前n 项和求通项公式1、⑴n n S n 322+=； ⑵13+=nn S .2、设数列{}n a 满足2*12333()3n na a a a n N +++=∈n-1…+3，求数列{}n a 的通项公式3）给出递推公式求通项公式a 、⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法或迭代法；11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----例：已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；b 、已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+，可利用迭乘法.1122332211a a aa a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-----例、已知数列{}n a 满足：111(2),21n n a n n a a n --=≥=+，求求数列{}n a 的通项公式；c 、构造新数列1°递推关系形如“q pa a n n +=+1”，利用待定系数法求解 例、已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.2°递推关系形如“，两边同除1n p+或待定系数法求解例、n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.3°递推已知数列{}n a 中，关系形如“n n n a q a p a ⋅+⋅=++12”，利用待定系数法求解 例、已知数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求数列{}n a 的通项公式.4°递推关系形如"11n n n n a pa qa a ---=≠（p,q 0),两边同除以1n n a a - 例1、已知数列{}n a 中，1122n n n n a a a a ---=≥=1（n 2),a ，求数列{}n a 的通项公式.例2、数列{}n a 中，)(42,211++∈+==N n a a a a nnn ，求数列{}n a 的通项公式.d 、给出关于n S 和m a 的关系 例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ，设nn n S b 3-=，求数列{}n b 的通项公式．例2、设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11=a ，)2(212≥⎪⎭⎫⎝⎛-=n S a S n n n . ⑴求{}n a 的通项； ⑵设12+=n S b nn ，求数列{}n b 的前n 项和n T .C 、证明数列是等差或等比数列1)证明数列等差例1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n nS b nn .求证：数列{}n b 是等差数列. 例2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=21.求证：{n S 1}是等差数列；2）证明数列等比例1、设{a n }是等差数列，b n ＝na ⎪⎭⎫⎝⎛21，求证：数列{b n }是等比数列；例2、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21nn n ba b S -=-⑴证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列；⑵求{}n a 的通项公式例3、已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列.D 、求数列的前n 项和基本方法： 1）公式法， 2）拆解求和法.例1、求数列n{223}n +-的前n 项和n S . 例2、求数列 ，，，，，)21(813412211n n +的前n 项和n S . 例3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n （n+3） 2）裂项相消法，数列的常见拆项有：1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++111；例1、求和：S =1+n ++++++++++ 32113211211 例2、求和：nn +++++++++11341231121 . 3）倒序相加法，例、设221)(x x x f +=，求：⑴)4()3()2()()()(213141f f f f f f +++++；⑵).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++4）错位相减法，例、若数列{}n a 的通项nn n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .5）对于数列等差和等比混合数列分组求和例、已知数列{a n }的前n 项和S n =12n －n 2，求数列{|a n |}的前n 项和T n .E 、数列单调性最值问题例1、数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值时，n S 取得最大值；例3、数列{}n a 中，12832+-=n n a n ，求n a 取最小值时n 的值.例4、数列{}n a 中，22+-=n n a n ，求数列{}n a 的最大项和最小项.例5、设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．例6、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n . ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由.例7、非等比数列{}n a 中，前n 项和21(1)4n n S a =--， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(3)n n b n a =-(*)n N ∈，12n n T b b b =+++，是否存在最大的整数m ，使得对任意的n 均有32n mT >总成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由。