第十五章傅里叶级数

第十五章 傅里叶级数§1 傅里叶级数教学目标 掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理． 教学要求(1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数．(2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)． 教学建议(1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)． (2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展开的方法与步骤． 教学程序一、 Fourier 级数的定义背景：⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频T1( ωπ2=T ) . 倍频.⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 .⑶ n R 中用Descartes 坐标系建立坐标表示向量思想的推广:调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier 建立了Fourier 分析理论的基础.（一） 定义 设()f x 是(,)-∞+∞上以2π为周期的函数，且()f x 在[,]ππ-上绝对可积，称形如01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 的函数项级数为()f x 的 Fourier 级数或三角级数(()f x 的 Fourier 展开式)，其中01()a f x dx πππ-=⎰，1()cos ,1,2,n a f x nxdx n πππ-==⎰，1()sin ,1,2,n b f x nxdx n πππ-==⎰称为()f x 的 Fourier 系数，记为01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 定理15.1 若级数∑∞=++10) |||| (2||n n n b a a 收敛 , 则级数 01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 在R 内绝对且一致收敛 . 证明： 用M 判别法. （二）说明1）在未讨论收敛性，证明01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑一致收敛到()f x 之前，不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑是()f x 的 Fourier 级数，或者说()f x 的 Fourier 级数是01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑. 2) 要求[,]ππ-上()f x 的 Fourier 级数,只须求出Fourier 系数.例1 设()f x 是以2π为周期的函数，其在[,]ππ-上可表示为1,0()0,0x f x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩, 求()f x 的 Fourier 展开式.3) 计算()f x 的 Fourier 系数的积分也可以沿别的长度为2π的去件来积.如2001()a f x dx ππ=⎰，201()cos ,1,2,n a f x nxdx n ππ==⎰，201()sin ,1,2,n b f x nxdx n ππ==⎰例 2 设()f x 是以2π为周期的函数,其在[0,2)π上等于x ,求()f x 的 Fourier 级数.4) 如果()f x 仅定义在长为2π的区间上,例如定义在[0,2)π上, 此时()f x 不是周期函数, 从而不能按上述方法展开为Fourier 级数.但可对()f x 在[0,2)π外补充定义,使其以2π为周期, 如定义~()(2)f x f x n π=-, (2,2(1))x n n ππ∈+它有下述性质: a) [0,2)x π∈时,~()()f x f x =； b) ~()f x 以2π为周期.例3 (),()x f x e x ππ=-≤<,求()f x 的 Fourier 级数. 内积和正交: 由R 3中的内积与正交概念引入.设函数f 和g 在区间] , [b a 上 ( R )可积 . 定义内积为 ⎰=><ba dx x g x f g f )()( , .当>< , g f =0时 , 称函数)(x f 和)(x g 在区间] , [b a 上正交函数的正交性与区间有关 . 例如函数)(x f =x -和2)(x x g =在区间] 1 , 0 [上并不正交 ( 因为>< , g f =41-) , 但在区间] 1 , 1 [-却是正交的 . 正交函数系统 : 标准正交系 ( 幺正系 ) , 完全系 二、 以π2为周期函数的Fourier 级数 定理15.2 若在整个数轴上)(x f =∑∞=++1, sin cos 2n n n nx b nx a a 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式 π1=n a ⎰-ππnxdx x f cos )(， , 2 , 1 , 0=nπ1=n b ⎰-ππnxdx x f sin )( ， , 2 , 1=n三、 收敛定理:（一） 按段光滑函数: .定义：若)(x f 的导函数)(x f '在区间] , [b a 上连续 , 则称函数)(x f 在区间] , [b a 上光滑. 若函数)(x f 在区间] , [b a 上至多有有限个第一类间断点, 且)(x f '仅在区间] , [b a 上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称)(x f 是区间] , [b a 上的按段光滑函数.按段光滑函数的性质: 设函数)(x f 在区间] , [b a 上按段光滑, 则 ⑴ )(x f 在区间] , [b a 上可积;⑵ 对∈∀x ] , [b a , )0(±x f 都存在 , 且有)0()0()(lim 0+'=+-++→x f tx f t x f t ,)0()0()(lim 0-'=----+→x f t x f t x f t . ( 用Lagrange 中值定理证明 )⑶ )(x f '在区间] , [b a 上可积 . （二）收敛定理:定理15.3 设函数)(x f 是以π2为周期的周期函数且在区间] , [ππ-上按段光滑 , 则在∀∈x ] , [ππ-, )(x f 的Fourier 级数∑∞=++1sin cos 2n n n nx b nx a a 收敛于)(x f 在点x 的左、右极限的算术平均值 , 即 =-++2)0()0(x f x f ∑∞=++10 sin cos 2n n n nx b nx a a 其中n a 和n b 为函数)(x f 的Fourier 系数. ( 证明放到以后进行 )推论 若)(x f 是以π2为周期的连续函数 , 在] , [ππ-上按段光滑,且则)(x f 的Fourier 级数在) , (∞+∞-内收敛于)(x f .四、 正弦级数和余弦级数 （一）定义 形如1s i n nn bn x ∞=∑的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如1cos 2n n a a nx ∞=+∑的三角级数(函数项级数称为余弦级数. （二） 如果()f x 是以2π为周期的函数,在[,]ππ-上绝对可积, 若()f x 是奇函数,则有1()~sin n n f x b nx ∞=∑；若()f x 是偶函数,则有01()~cos 2n n a f x a nx ∞=+∑. （三）设()f x 仅在[0,]π上有定义, 如果按奇函数的要求,补充定义()(),[,0)f x f x x π=--∈-,然后再作2π周期延拓,必得奇函数, 所得Fourier 级数必为正弦级数. 对应地, 补充定义()(),[,0)f x f x x π=-∈-后,再作2π周期延拓,必得偶函数, 所得Fourier 级数必为余弦级数.例4 1,0()0,x hf x h x π≤<⎧=⎨≤<⎩ (0h π<<),将()f x 展开成余弦函数.五、 一般周期函数的Fourier 级数设()f x 是周期为T 的函数,且在[0,]T 上绝对可积, 则有0122()~(cos sin )2n n n a n n f x a x b x T T ππ∞=++∑,其中002()Ta f x dx T =⎰，022()cos ,1,2,T n n a f x xdx n T T π==⎰022()sin ,1,2,T n n b f x xdx n T Tπ==⎰例5: 求(),11f x x x =-≤≤的Fourier 展开式. 六、 Fourier 级数的复数表示形式设01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑, 则其复数表示形式为 ()~inx n f x C e +∞-∞∑,其中, 复的Fourier 系数201()22inx n n n n a ib C f x e dx C ππ---===⎰.作业 教材P70：1，2，3，4，5，6，7，8.§2 以l 2为周期的函数的展开式教学目的 掌握以l 2为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，正弦级数，余弦级数． 教学要求(1)掌握以l 2为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法．(2)掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本 方法． 教学建议三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置少量习题使学生了解展开 的方法与步骤． 教学程序一、 以l 2为周期的函数的Fourier 级数设函数)(x f 以l 2为周期 , 在区间] , [l l -上 (R )可积 . 作代换πtl x =,则函数)()(πltf t F =以π2为周期. 由πtl x =是线性函数, )(t F 在区间], [ππ-上(R )可积 .函数)(t F 的Fourier 系数为 ⎰-=πππntdt t F a n cos )(1, , 2 , 1 , 0=n⎰-=πππntdt t F b n sin )(1, , 2 , 1 =n)(t F ～ ∑∞=++10. sin cos 2n n n nt b nt a a还原为自变量x , 注意到l xt x f t l f t F , )() ()(ππ===, 就有 )()(t F x f =～∑∞=++10. sin cos 2n n n l x n b l x n a a ππ其中⎰-=πππntdt t F a n cos )(1⎰-=====l l l xt dx l x n x f l ππcos )(1, , 2 , 1 , 0=n=n b ⎰-l l dx l xn x f l πsin )(1, , 2 , 1 =n当函数)(x f 在区间] , [l l -上按段光滑时, )(x f 可展开为Fourie r 级数.註明三角函数系 } , sin , cos, , sin, cos, 1 { l xn l x n lxlxππππ是区间], [l l -上的正交函数系统 .例１把函数⎩⎨⎧<≤<<-=50 , 3 , 05, 0 )(x x x f 展开成Fourier 级数. 二、 偶函数和奇函数的Fourier 级数（一）区间[ , ]l l -上偶函数和奇函数的Fourier 级数设f 是以2l 为周期的偶函数，或是定义在[],l l -上的偶函数，则()()()01cos 2cos ,0,1,2.,sin 0,1,2,.ln l l l n l n xa f x dxl ln x f x dx n l l n x b f x dx n l πππ--⎫=⎪⎪⎪⎪==⎬⎪⎪⎪===⎪⎭⎰⎰⎰ (6) 于是()01cos 2n n a n x f x a l π∞=+∑ （7）其中n a 如(6)所示，（7）的右边为余弦级数。