数学分析傅立叶级数
傅里叶级数收敛定理及其推论
傅里叶级数的形式为：$f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$，其中 $a_0, a_n, b_n$ 是常数，取决于原始函数。
傅里叶级数可以用于分析物体的振动模式，通过分析振动信号的频率成分，可以推断物体的振动 性质。
热传导分析
在热传导分析中，傅里叶级数可以用于分析温度场的变化，通过分析温度信号的频率成分，可以 推断热传导的规律。
电磁场分析
在电磁场分析中，傅里叶级数可以用于分析电磁波的传播和散射，通过分析电磁波信号的频率成 分，可以推断电磁场的性质。
02
通过傅里叶级数，可以分析信号的频率成分、进行图像滤波 和增强等操作。
03
在物理学中，该定理用于研究波动方程、热传导方程等偏微 分方程的解的性质。
03 傅里叶级数的收敛性质
收敛速度的讨论
快速收敛
对于具有快速衰减的函数，傅里叶级数可能 以相对较快的速度收敛。
慢速收敛
对于具有振荡或缓慢衰减的函数，傅里叶级 数可能以较慢的速度收敛。
在信号处理中的应用
1 2
信号的频谱分析
傅里叶级数可以将一个复杂的信号分解为多个正 弦波和余弦波的组合，从而分析信号的频率成分 和强度。
信号滤波
通过傅里叶级数，可以将信号中的特定频率成分 进行增强或抑制，实现信号的滤波。
3
信号压缩
傅里叶级数可以用于信号压缩，通过对信号进行 频域变换，去除冗余信息，实现信号的压缩。
傅里叶变换的推论
傅里叶变换的线性
性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个函数， 且 $a, b$ 是常数，则有 $a f(t) + b g(t) rightarrow a F(omega) + b G(omega)$。
十五章傅里叶级数
2
2
2
当只给出一种周期旳体现式时，傅里叶级数在两端点旳值
可用 上述公式求之.
例1：设
x, f (x) 0,
0 x x 0
求f
旳傅里叶级数展开式.
解： 函数f 及其周期延拓后的图象如图所示，
y
3 2 O 2 3 4
x
显然 f 是按段光滑旳,故由收敛定理，它能够展开成傅里叶级数。
因为
第十五章 傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一、 三角级数 • 正交函数系
二、以 2 为周期旳函数旳傅里叶级数
三、收敛定理
§15.1 傅里叶级数
一、三角函数 正交函数系
在科学试验与工程技术旳某些现象中，常会遇到一种周期运动，最简
单旳周期运动，可用正弦函数 A sin(x ) 来描写。
所体现旳周期运动也称为简谐运动，其中 A 为振幅， 为初相角，
f (x) cos kxdx
a0 cos kxdx 2
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx)dx n1
cos2 kxdx
f (x) cos kxdx ak
ak
1
f (x) cos kxdx
(k 1, 2, )
同理可得:
bk
1
f (x) sin kxdx
f 的傅里叶级数收敛于f 在点x的左，右极限的算术平均值，即
f
(x
0) 2
f
(x 0)
a0 2
(an
n1
cos nx bn
sin nx)
其中an ,bn为f的傅里叶系数。
推论：
若f 是以2为周期的连续函数，且在[， ]上按段光滑，则 f 的
数学分析傅里叶级数及系数
性 质 1 a,b,c R n, , R,则 有 1） 交 换 律 ： a b b a；
2） 结 合 律 ： a b c a b c ；
3） 分 配 率 ：
a b a b ,
a a a, a a.
定 义 2在 R n 中 定 义 了 向 量 的 加 法 和 数 乘 运 算 ， 称 R n 为 n 维 向 量 空 间 .
a
b
2
a
b,a
b
a
,
a
2
a,
b
b,
b
2
a 2 a
b
b
2
a
b
2
，
因此结论得证。
定义5(向量内积运算)： 任意 a, b Rn不为零向量,
a (a1, a2 , , an ), b (b1, b2 , , bn )，
定义两个向量的夹角为
a b
cos(a, b)
ab
a1b1 a2b2 anbn a12 a22 an2 b12 b22
定 理 1 对 任 意 集 合 E R n ,E o 为 开 集 .
定理2(开集运算性质) 1)Rn , 为开集合;
2)设E
,
I为开集合族,则
I
E为开集;
n
3)设Ei ,i 1,2,
,
n为开集,则 i1
Ei为开集.
证明:X
I
E ,则E1
I
E , X E1 ,
因此存在r>0,使得
B
X;r
1)Ea,bc,d; 2)Ex, y xy0;
3)Ex,y xy0;4)Ex,y x,y均整;
5)Ex,
y
数学分析15傅里叶级数总练习题
第十五章 傅里叶级数总练习题1、求三角多项式T n (x)=2A 0+∑=n1k k k sinkx )B +coskx (A 的傅里叶级数展开式.解：T n (x)以2π为周期，且在(-∞,+∞)上光滑，∴能展开为傅里叶级数.又a 0=⎰ππ-02A π1dx+∑⎰⎰=n 1k ππ-k ππ-k dx )sinkx B +dx coskx A (π1=A 0; 当m ≥0时，a m =⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-n1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A π1cosmxdx=⎩⎨⎧>≤n m 0，n m ，A m ;b m =⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-n1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A π1sinmxdx=⎩⎨⎧>≤nm ，0n m ，B m .∴在(-∞,+∞)上，有T n (x)=2a 0+∑∞=1m m m sinm x )b +cosmx (a =2A 0+∑=n1k k k sinkx )B +coskx (A ，即T n (x)的傅里叶级数展开式是其本身.2、设f 为[-π,π]上的可积函数，a 0, a k , b k (k=1,2,…,n)为f 的傅里叶系数. 试证明：当A 0=a 0, A k =a k , B k =b k (k=1,2,…,n)时，积分⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx取得最小值，且最小值为⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]. 其中 T n (x)=2A 0+∑=n1k k k sinkx )B +coskx (A ，A 0, A k , B k 为其傅里叶系数.证：⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx=⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππ-2n1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A )x (f dx=-2⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∞=ππ-n1k k k 01k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A sinkx)b +coskx (a 2a dx+⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-2n 1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A dx+⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞=ππ-21k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a dx =-2π⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k k k k k 00b B a A a 2A +π⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20B A 2A +2π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20b a 2a -π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20b a 2a +π⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∞+=∞+=1n k 1n k 2k 2k b a =π⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑∑==n1k 2k k n 1k 2k k 200)b -(B )a -(A )a -(A 21+π∑∞+=+1n k 2k 2k )b (a .∴当A 0=a 0, A k =a k , B k =b k (k=1,2,…,n)时，⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx 取得最小值.方法一：根据帕塞瓦尔等式有⎰ππ-2(x)f π1dx=2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a ，即 ⎰ππ-2(x )f dx=2πa 20+π∑∞=1n 2n 2n )b +(a ，∴这个最小值为 π∑∞+=+1n k 2k2k)b (a =π∑∞=+n k 2k2k)b (a -π∑=n1k 2k2k)b +(a =⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]. 方法二：又⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx=⎰ππ-2)x (f dx-2⎰ππ-n (x )T )x (f dx+⎰ππ-2n (x )T dx.∵2⎰ππ-n (x )T )x (f dx=π00A a +2π∑=+n 1k k k k k )B b A a (=π2a +2π∑=n1k 2k 2k )b +(a ，由贝塞尔不等式有⎰ππ-2n(x )T dx ≥2πA 20+∑=n 1k 2n 2n )B +(A π=2πa 20+π∑=n 1k 2k 2k )b +(a ， ∴⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx ≥⎰ππ-2)x (f dx-π2a -2π∑=n1k 2k2k )b +(a +2πa 20+π∑=n 1k 2k 2k )b +(a=⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]，即 ⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx 有最小值⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]. 方法三：又⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx=⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππ-2n1k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a )x (f dx=⎰ππ-2)x (f dx-2⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∞=ππ-n1k k k 01k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a sinkx)b +coskx (a 2a dx+⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-2n1k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a dx=⎰ππ-2)x (f dx-2π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20b a 2a +π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n1k 2k 2k 20b a 2a =⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ].3、设f 是以2π为周期，且具有二阶连续可微的函数. b n =nx sin )x (f π1ππ-⎰dx ，b n ”=nx sin )x (f π1ππ-⎰''dx. 证明：若级数∑''nb 绝对收敛，则∑=n1k k |b |≤)|b |2(21n1k k∑=''+. 证：利用∑=n1k 2k 1≤∑∞=1k 2k1=6π2<2，及分部积分法可得：b n ”=nx sin )x (f π1ππ-⎰''dx=-cosnx )x (f πn ππ-⎰'dx=-sinnx )x (f πn ππ-2⎰dx=-n 2b n ；∴)|b |2(21n 1k k ∑=''+≥)|b |k 1(21n1k k n 1k 2∑∑==''+=])|b |(k k 1[212k 2n 1k 2+∑=≥|b |k k 1221k n 1k ⋅⋅∑==∑=n 1k k |b |.注：可记a ’n =cosnx )x (f π1ππ-⎰'dx; 则a ’n =-nb n ，b ”n =na ’n ，∴b ”n =-n 2b n .4、设周期为2π的可积函数f(x)与g(x)分别满足以下关系式： (1)f(-x)=g(x)；(2)f(-x)=-g(x). 试问：f 的傅里叶系数a n , b n 和g 的傅里叶系数αn , βn 有什么关系？ 解：令x=-t ，则 a n =cosnx )x (f π1ππ-⎰dx=-cos(-nt))t (f π1ππ-⎰-d(-t)=cosnt )t (f π1ππ-⎰-dt, n=0,1,2,…； b n =sinnx )x (f π1ππ-⎰dx=-sin(-nt))x (f π1ππ-⎰-d(-t)= -sinnt )t (f π1ππ-⎰-dt, n=1,2,….(1)当f(-x)=g(x)时，a n =cosnt )t (g π1ππ-⎰dt=αn , n=0,1,2,…； b n = -sinnt )t (g π1ππ-⎰dt=-βn , n=1,2,….(2)当f(-x)=-g(x)时，a n =cosnt )t (g -π1ππ-⎰dt=-αn , n=0,1,2,…； b n =sinnt )t (g π1ππ-⎰dt=βn , n=1,2,….5、设定义在[a,b]上的连续函数列{g n }满足：⎰bam n )x (g )x (g dx=⎩⎨⎧=≠m n 1mn 0，，；对于在[a,b]上的可积函数f ，定义αn =⎰ba n )x (g )x (f dx, n=1,2,….证明：∑∞=1n 2nα收敛，且有不等式∑∞=1n 2nα≤⎰ba 2)x (f dx.证：作级数∑∞=1n n n )x (g α，令S m (x)=∑=m1n n n )x (g α，则⎰-ba2m )]x (S )x ([f dx=⎰b a2)x (f dx-2⎰b am )x (S )x (f dx+⎰ba2m )x (S dx ；又2⎰ba m )x (S )x (f dx=2⎰∑=ba m 1n n n )x (g α)x (f dx=2∑⎰=m1n ba n n )x (g )x (f αdx=2∑=m1n 2n α；由{g n }的定义有：⎰b a 2m)x (S dx=⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ba2m 1n n n )x (g αdx=∑=m1n 2n α；∴0≤⎰-b a 2m )]x (S )x ([f dx=⎰ba 2)x (f dx-∑=m 1n 2nα, 即∑=m1n 2n α≤⎰ba2)x (f dx. 又m 为任意自然数，且⎰ba 2)x (f dx 为有限值，∴∑∞=1n 2nα因部分和数列有界而收敛，且有∑∞=1n 2nα≤⎰ba 2)x (f dx.。
数学分析2部分习题解析(傅里叶级数部分)
数学分析2部分习题解析傅里叶级数部分第3节部分习题1、设f 以2π为周期且具有二阶连续的导数，证明f 的傅里叶级数在(),-∞+∞上一致收敛于f 。
证明由条件知，f 一定是以2π为周期的连续函数且在一个周期区间[],ππ-上按段光滑，所以由收敛定理得，在(),-∞+∞上有()011cos sin ()2n n n a a nx b nx f x ∞=++=∑，其中0a ，n a ，n b （1n ≥）为()f x 的傅里叶系数。
由三角级数一致收敛的判别法，下证()0112n n n a a b ∞=++∑收敛即可。
事实上，记0a '，n a '，nb '为导函数()f x '的傅里叶系数，由()f x 与()f x '的傅里叶系数的关系得0a '=，n n a nb '=，n n b na '=-。
所以，()()22211112n n n n n n a b b a a b n n n ⎛⎫''''+=+≤++ ⎪⎝⎭。
又由傅里叶系数满足的贝塞尔不等式得，()()()221nn n a b ∞=''+∑收敛，再注意到211n n∞=∑收敛，所以()0112n n n a a b ∞=++∑收敛，故结论成立。
2、设f 为[],ππ-上的可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在[],ππ-上一致收敛于f ，则成立帕塞瓦尔等式：()22220111()d 2n n n f x x a a b πππ∞-==++∑⎰，其中0a ，n a ，n b （1n ≥）为()f x 的傅里叶系数。
证明由f 在[],ππ-上可积得，f 在[],ππ-上有界，从而由题设可得()2011()()cos ()sin ()2n n n a f x a f x nx b f x nx f x ∞=++=∑，在[],ππ-上一致成立。
《数学分析》第十五章 傅立叶级数
1 22
1 32
1 42
,
2
4
1
2
4
,
1
2
2 , 6
2
1 3
2 , 2432 1
2 . 12
例 3 设f ( x)是以2为周期的连续函数，且
f ( x) a0
2 试证明：1
n1
f
(an cos nx 2( x)dx
第十五章 傅立叶级数
15.1 傅立叶级数 15.2 正弦级数与余弦级数 15.3 以 为周期的函数的展开式 15.4 收敛定理的证明
15.1 傅立叶级数
一、问题的提出 二、三角级数 三角函数系的正交性
三、函数展开成傅里叶级数
一、问题的提出
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t
)
1,
1,
当 t 0 当0 t
sin nx)
问题:
f
(x)
条件?
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x)是以2为周期的周期函数.如果它满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且 至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级数收敛, 并且 (1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
f
( x)sin nxdx]
n1
f 2( x)dx
数学分析153傅里叶级数收敛定理的证明doc
数学分析15.3傅里叶级数收敛定理的证明.doc傅里叶级数收敛定理是数学分析中的重要定理之一，它可以用于研究周期函数的展开。
下面给出傅里叶级数收敛定理的证明。
设f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，即∫[0,2π]|f(x)|dx < ∞。
我们要证明f(x)的傅里叶级数收敛于f(x)。
设f(x)的傅里叶级数为：f(x) = a0 + ∑[n=1,∞] (an cos(nx) + bn sin(nx))其中a0, an, bn分别为f(x)的傅里叶系数。
我们要证明f(x)的傅里叶级数收敛于f(x)，即要证明对于任意的x，有f(x) = lim[N→∞] (a0 + ∑[n=1,N] (an cos(nx) + bn sin(nx)))为了证明这个结论，我们需要用到以下两个引理：引理1：若f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，则对于任意的实数x和整数N，有∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = bn其中bn为f(x)的傅里叶系数。
引理2：若f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，则对于任意的实数x和整数N，有∫[0,2π] f(x)cos(Nx)dx = a0 + ∑[n=1,N] an其中a0, an为f(x)的傅里叶系数。
现在我们来证明傅里叶级数收敛定理。
首先，我们使用引理1和引理2，将f(x)的傅里叶级数展开，并对其进行部分和的计算：∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = bn = ∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] (a0 + ∑[n=1,N] an)sin(Nx)dx根据正弦函数的正交性质，我们知道∫[0,2π] sin(Nx)sin(Mx)dx = 0，其中N≠M。
因此，上式中的交叉项∫[0,2π] ansin(Nx)sin(Mx)dx = 0。
所以，我们可以得到：∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] (a0 + ∑[n=1,N] an)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] a0sin(Nx)dx + ∑[n=1,N] ∫[0,2π] ansin(Nx)dx同理，我们可以得到：∫[0,2π] f(x)cos(Nx)dx = a0 + ∑[n=1,N] an现在，我们来证明f(x) = lim[N→∞] (a0 + ∑[n=1,N] (an cos(nx) + bn sin(nx)))。
数学分析课件 傅里叶级数
03
工程学
在工程学中，傅里叶级数可以用于分析和设计各种周期性结构，例如在
机械工程和土木工程等领域中，可以通过傅里叶级数来描述和分析周期
性振动和波动等问题。
02
傅里叶级数的基本性质
三角函数的正交性
三角函数的正交性是指在一周期内，任何两个不同的三角函 数都不相交，即它们的乘积在全周期内的积分值为零。这一 性质在傅里叶级数的展开和重构中起到关键作用，确保了频 谱的纯净性和分离性。
三角函数的周期性使得我们能够将无限长的信号转化为有限长的频谱，从而方便 了信号的分析和处理。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性是指一个信号的傅里叶级数展开在一 定条件下能够无限接近原信号。这一性质保证了傅里叶级 数展开的精度和可靠性，使得我们能够通过有限项的级数 展开来近似表示复杂的信号。
收敛性的判定是数学分析中的重要问题，涉及到级数的收 敛半径、收敛域等概念。在实际应用中，我们需要根据信 号的特性和精度要求来选择合适的收敛域和级数项数，以 保证傅里叶级数展开的准确性。
首先，确定函数的周期和定义域；其次，计算正弦和余弦函数的系数；最后，将得到的系数代入正弦和余弦函数的线 性组合中，得到函数的傅里叶级数表示。
傅里叶级数的表示方法的优缺点
傅里叶级数具有简洁、易计算等优点，能够将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数。然而，傅 里叶级数也存在着一些缺点，例如在非周期函数的情况下，傅里叶级数可能无法得到正确的结果。
图像增强
利用傅里叶级数，可以对图像进行增 强处理，如锐化、降噪等，提高图像 的视觉效果。
数值分析中的傅里叶级数
数值逼近
傅里叶级数可以用于求解某些函数的 数值逼近问题，如求解函数的零点、 极值等。
数学分析傅里叶级数
有
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π
f ( x)cos kxdx π
a0
2
π
π
cos kxdx
π
(an
cos nx cos kxdx
π
n1
π
bn
sin nx cos kxdx).
π
由三角函数的正交性, 右边除了以 ak 为系数的那一
项积分
π cos2 kxdx π π
外,其他各项积分都等于0,于是得出:
所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠
加就得到函数项级数
A0 An sin(n x n ).
(3)
n1
若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运
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动现象. 对于级数(3), 只须讨论 1(如果 1可
用 x 代换x )的情形. 由于
sin(nx n ) sinn cos nx cosn sin nx,
由此可知, 若f 是以 2π 为周期且在 [ , ]上可积的
函数, 则可按公式(10)计算出 an和 bn , 它们称为函数 f (关于三角函数系(5) ) 的傅里叶系数,以 f 的傅里
叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三角函数
系) 的傅里叶级数, 记作
f ( x) :
a0 2
(an cos nx
§1 傅里叶级数
一个函数能表示成幂级数给研究函数带来 便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果 函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简 单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数 呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级 数在数学、物理学和工程技术中都有着非常 广泛的应用, 是又一类重要的级数.
傅里叶级数的定义与公式
傅里叶级数的定义与公式傅里叶级数是分析函数周期性的重要工具，它在信号处理、图像处理、物理学等领域广泛应用。
在数学上，傅里叶级数可以将一个周期函数表示为一系列的正弦和余弦函数的线性组合。
通过傅里叶级数，我们可以将任意周期函数进行频域分解，从而更好地理解信号的频谱特性。
傅里叶级数的定义如下：假设函数f(x)是一个以T为周期的连续函数，在周期T上可展开成如下的正弦余弦级数：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))其中，n为正整数, ω0=2π/T是基本频率，an和bn为函数f(x)的傅里叶系数。
而a0是傅里叶级数中的直流分量，表示函数的平均值。
要计算函数f(x)的傅里叶系数，我们可以利用傅里叶级数的公式：an = (2/T) * ∫[0,T] (f(x)*cos(nω0x)dx)，n≥1bn = (2/T) * ∫[0,T] (f(x)*sin(nω0x)dx)，n≥1其中，∫[0,T]表示对周期T内的函数进行积分。
傅里叶级数的计算过程可以通过数值积分方法等多种途径实现。
计算出傅里叶系数之后，我们可以通过将级数的每一项相加，逐渐逼近原始函数f(x)。
这样可以实现对任意周期函数进行分析和重建。
傅里叶级数的应用非常广泛。
在信号处理领域，傅里叶级数可用于时域和频域的转换，从而实现滤波、频谱分析和频谱合成等任务。
在图像处理领域，傅里叶级数可以用来进行图像的压缩和频域滤波等操作。
在物理学领域，傅里叶级数可以用来解决波动方程、热传导方程等偏微分方程的初值问题。
在学习和应用傅里叶级数时，我们需要注意一些问题。
首先，要判断函数是否满足周期性条件，周期必须是确定的。
其次，要注意函数的奇偶性，奇函数的傅里叶级数只包括正弦项，偶函数的傅里叶级数只包括余弦项。
此外，对于非周期函数，我们可以通过周期延拓的方式来逼近其傅里叶级数。
总之，傅里叶级数是一种重要的分析工具，可以将周期函数展开成具有不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。
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2
2
n
2
当n 1,3,5, 当n 2,4,6,
n
x 1 2 [( 2)sin x sin 2x 1 ( 2)sin 3x ]
2
3
(0 x )
y 2[( 2)sin x sin 2x 1 ( 2)sin 3x sin 4x 1 ( 2)sin 5x]
1 22
1 32
1 42
,
2
4
1
2
4
,
1
2
2 , 6
2
1 3
2 , 24
3
2 1
2 . 12
二、正弦级数与余弦级数
1. 奇函数和偶函数的傅里叶级数
定理
(1)当周期为2的奇函数 f ( x)展开成傅里叶级数
时,它的傅里叶系数为
an 0
bn
2
0
f ( x)sin nxdx
(n 0,1,2, ) (n 1,2, )
(2)当周期为2的偶函数 f ( x)展开成傅里叶级
数时,它的傅里叶系数为
2
an 0 f ( x)cos nxdx (n 0,1,2, )
bn 0
(n 1,2, )
证明 (1) 设f ( x)是奇函数,
an
1
f
( x)cos nxdx 奇函数
0
(n 0,1,2,3, )
bn
1
f
和函数图像为
u
1
o
t
1
注意: 对于非周期函数,如果函数 f ( x) 只在 区间 [, ] 上有定义,并且满足收敛定 理条件,也可展开成傅氏级数.
作法:
周期延拓(T 2) F ( x) f ( x) (, )
端点处收敛于1[ f ( 0) f ( 0)] 2
例2
将函数
f
(
x
)
x,
则F
(
x)Βιβλιοθήκη f( 0x)0 x x0
y
f ( x) x 0
0 x
f ( x)的傅氏正弦级数
f ( x) bn sin nx (0 x ) n1
偶延拓: g( x) f ( x)
y
则F ( x)
f f
(x) ( x)
0 x x0
f ( x)的傅氏余弦级数
0 x
f
(x)
1 (2n
1)2
cos(2n
1) x
( x )
利用傅氏展开式求级数的和
f
(
x)
2
4
n1
1 (2n
1)2
cos( 2n
1) x ,
当x 0时, f (0) 0,
2 8
1
1 32
1 52
设
1
1 22
1 32
1 42
,
1
1
1 32
1 52
(
2 8
),
2
1 22
1 42
1 62
,
3
1
§12.3 函数的Fourier级数展开
Fourier级数的收敛定理
定义（分段光滑函数）
若函数f的导函数在[a,b]连续，则称f在[a,b]光滑；
若f在[a,b]上至多有有限个第一类间断，且其导函数除有限 个点外都存在且连续，且在有限个点上导函数的在左右极 限存在，称f在[a,b]按段光滑.
定理3 若f是以为周期函数，在[a,b]上分段光滑，则 在[a,b]上，f的傅立叶级数收敛于的左右极限的平均 值
4
1)2
,
n 2k 1, k 1,2,
0,
n 2k, k 1,2,
bn
1
f ( x)sin nxdx
1
0 (
x)sin
nxdx
1
0
x
sin
nxdx
(n 1,2,3, )
所以
F
(
x)
2
4
n1
1 (2n
1)2
cos(2n
1) x
特别的,
( x )
f
(
x)
2
4
n1
x,
x0 0 x
展开为
傅立叶级数.
解 所给函数满足定理条件.
延拓f ( x)为(,)上的以2为周期的函数，
记为F ( x),
y
2 0 2 x
于是
a0
1
F ( x)dx
1
f ( x)dx
1
0
(
x)dx
1
0
xdx
,
an
1
f ( x)cos nxdx
2 n2
[(
1)
n
1]
(2k
( x)sin nxdx
2
0
f
( x)sin nxdx
偶函数
(n 1,2,3, )
同理可证(2)
定义
如果
f
(
x
)
为奇函数,傅氏级数
bn
sin
nx
n1
称为正弦级数.
如果 f ( x)为偶函数,
傅氏级数a0 2
an cos nx n1
称为余弦级数.
例 3 设 f ( x) 是周期为 2 的周期函数,它在 [,)上的表达式为 f ( x) x,将 f ( x)展开成
a0 2
an
n1
cos nx
(0 x )
例 4 将函数 f ( x) x 1 (0 x )分别展开成
正弦级数和余弦级数.
解 (1)求正弦级数. 对f ( x)进行奇延拓,
bn
2
0
f
( x)sin nxdx
2
0( x
1)sin nxdx
2 (1 cos n cos n) n
傅氏级数.
解 所给函数满足定理条件,
在点x (2k 1) (k 0,1,2, )处不连续,
级数收敛于 f ( 0) f ( 0) 0,
2
在连续点x( x (2k 1) )处收敛于f ( x),
x (2k 1) 时 f ( x)是以2为周期的奇函数 ,
an 0, (n 0,1,2, )
和 函 数 图 3 2 像
y
0
2 3 x
2. 函数展开成正弦级数或余弦级数
设f ( x)定义在[0,]上, 延拓成以2为周期的 函数 F ( x).
令
F
(
x)
f (x) g( x)
0 x , 且F ( x 2 ) F ( x),
x0
常用如下两种情况
奇延拓 偶延拓.
奇延拓: g( x) f ( x)
解 u(t)相应的Fourier级数为：
4
u(t) ~
sin(2n 1)t
n1 (2n 1)
在u(t)的不连续点t k (k 0,1,2, )处，
级数收敛于 1 1 0, 在连续点处,收敛到u(t), 2
所以函数的傅氏展开式为：
u(t)
4 sin(2n 1)t
n1 (2n 1)
( t ;t 0,,2, )
f ( x 0)
2
f ( x 0)
a0 2
(an cos nx bn sin nx)
n1
an , bn 为f的傅立叶级数系数
一、以 2为周期的函数的Fourier级数展开
例 1 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u
u(t
)
1,
1,
t 0 0 t
1
o
t
将它展成Fourier级数？
1
bn
2
0
f
( x)sin
nxdx
2
0x sin
nxdx
2
[
x
cos n
nx
sin nx n2
]0
2 cos n 2 (1)n1, (n 1,2, )
n
n
f ( x) 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x )
2
3
2 (1)n1 sin nx. n1 n
( x ; x , 3, )