数学分析课件 傅里叶级数
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十五章傅里叶级数
2
2
2
当只给出一种周期旳体现式时，傅里叶级数在两端点旳值
可用 上述公式求之.
例1：设
x, f (x) 0,
0 x x 0
求f
旳傅里叶级数展开式.
解： 函数f 及其周期延拓后的图象如图所示，
y
3 2 O 2 3 4
x
显然 f 是按段光滑旳,故由收敛定理，它能够展开成傅里叶级数。
因为
第十五章 傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一、 三角级数 • 正交函数系
二、以 2 为周期旳函数旳傅里叶级数
三、收敛定理
§15.1 傅里叶级数
一、三角函数 正交函数系
在科学试验与工程技术旳某些现象中，常会遇到一种周期运动，最简
单旳周期运动，可用正弦函数 A sin(x ) 来描写。
所体现旳周期运动也称为简谐运动，其中 A 为振幅， 为初相角，
f (x) cos kxdx
a0 cos kxdx 2
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx)dx n1
cos2 kxdx
f (x) cos kxdx ak
ak
1
f (x) cos kxdx
(k 1, 2, )
同理可得:
bk
1
f (x) sin kxdx
f 的傅里叶级数收敛于f 在点x的左，右极限的算术平均值，即
f
(x
0) 2
f
(x 0)
a0 2
(an
n1
cos nx bn
sin nx)
其中an ,bn为f的傅里叶系数。
推论：
若f 是以2为周期的连续函数，且在[， ]上按段光滑，则 f 的
高等数学-第七版-课件-12-7 傅里叶级数
在 例3 将函数
上的傅里叶展开式
u
展开成傅里叶级数, 其中E 是正的常数 . O t
傅里叶级数
一、三角级数 二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
傅里叶级数
一、三角级数 二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶系数为
a0 f ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1
①
② 定义 由公式 ② 确定的 称为函数f(x)
的傅里叶系数 ; 以f (x)的傅里叶系数为系数的三角级数 a0 an cos nx bn sin nx 称为f(x)的傅里叶级数 . 2 n 1
x
分别展开成正弦级数和余弦级数.
将定义在[0,]上的函数展开成正弦级数与余弦级数 展开思路 在
奇延拓 (偶延拓) 傅里叶展开 在
上有定义 上, 上为奇函数(偶函数)
定义在 在
(0, π] 上 F ( x ) f ( x ) 的正弦级数 (余弦函数) 展开式
y
例6 将函数
O 分别展开成正弦级数和余弦级数.
2) 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 并且 当x 为f (x)的连续点时,级数收敛于 f ( x );
当x 为f (x)的间断点时,级数收敛于
1 [ f ( x ) f ( x )]. 2
例1 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
引言
简单的周期运动 ( A：振幅 ：角频率
？
复杂的周期运动
：初相 )
《数学分析》第十五章 傅立叶级数
1 22
1 32
1 42
,
2
4
1
2
4
,
1
2
2 , 6
2
1 3
2 , 2432 1
2 . 12
例 3 设f ( x)是以2为周期的连续函数，且
f ( x) a0
2 试证明：1
n1
f
(an cos nx 2( x)dx
第十五章 傅立叶级数
15.1 傅立叶级数 15.2 正弦级数与余弦级数 15.3 以 为周期的函数的展开式 15.4 收敛定理的证明
15.1 傅立叶级数
一、问题的提出 二、三角级数 三角函数系的正交性
三、函数展开成傅里叶级数
一、问题的提出
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t
)
1,
1,
当 t 0 当0 t
sin nx)
问题:
f
(x)
条件?
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x)是以2为周期的周期函数.如果它满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且 至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级数收敛, 并且 (1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
f
( x)sin nxdx]
n1
f 2( x)dx
数学分析课件 傅里叶级数
03
工程学
在工程学中，傅里叶级数可以用于分析和设计各种周期性结构，例如在
机械工程和土木工程等领域中，可以通过傅里叶级数来描述和分析周期
性振动和波动等问题。
02
傅里叶级数的基本性质
三角函数的正交性
三角函数的正交性是指在一周期内，任何两个不同的三角函 数都不相交，即它们的乘积在全周期内的积分值为零。这一 性质在傅里叶级数的展开和重构中起到关键作用，确保了频 谱的纯净性和分离性。
三角函数的周期性使得我们能够将无限长的信号转化为有限长的频谱，从而方便 了信号的分析和处理。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性是指一个信号的傅里叶级数展开在一 定条件下能够无限接近原信号。这一性质保证了傅里叶级 数展开的精度和可靠性，使得我们能够通过有限项的级数 展开来近似表示复杂的信号。
收敛性的判定是数学分析中的重要问题，涉及到级数的收 敛半径、收敛域等概念。在实际应用中，我们需要根据信 号的特性和精度要求来选择合适的收敛域和级数项数，以 保证傅里叶级数展开的准确性。
首先，确定函数的周期和定义域；其次，计算正弦和余弦函数的系数；最后，将得到的系数代入正弦和余弦函数的线 性组合中，得到函数的傅里叶级数表示。
傅里叶级数的表示方法的优缺点
傅里叶级数具有简洁、易计算等优点，能够将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数。然而，傅 里叶级数也存在着一些缺点，例如在非周期函数的情况下，傅里叶级数可能无法得到正确的结果。
图像增强
利用傅里叶级数，可以对图像进行增 强处理，如锐化、降噪等，提高图像 的视觉效果。
数值分析中的傅里叶级数
数值逼近
傅里叶级数可以用于求解某些函数的 数值逼近问题，如求解函数的零点、 极值等。
数学分析课件傅里叶级数
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有函数具有共同的周期 2π. 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
的乘积在 [ , ]上的积分等于零,即
π
π
cos nxdx sin nxdx 0,
π
π
(6)
π
π π
cos mx cos nxdx sin mx sin nxdx
0 0
(m (m
nn)),,
π π
cos mx sin nxdx 0 .
π
(7)
而(5)中任何一个后页 返回
不等于零, 即
π cos2 nxdx
π
π 12dx 2 π
π
π sin2
π
xdx
π,
(8)
若两个函数 与 在 [a, b] 上可积, 且
b
a ( x) ( x)dx 0
证 由定理条件, 函数 f 在[ , ]上连续且可积. 对
(9)式逐项积分得
π
f ( x)dx π
a0
2
π
dx
π
(an
n1
π
π cos nxdx bn
π
sin nxdx).
π
由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零.
所以
π π
f
( x)dx
a0 2
2π
a0π,
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一、三角级数·正交函数系
二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数
三、收敛定理
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一、三角级数·正交函数系
在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一
种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数
y Asin( x )
01-以2π为周期函数的傅里叶级数
数学分析 第十五章 傅里叶级数
高等教育出版社
§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
定理15.2
若在整个数轴上
a
f (x)
0
2
(an cos nx bn sin nx)
n1
(9)
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
an
1 π
π f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,,
(12)
这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级
数, 由定理15.2知道: 若(9)式右边的三角级数在整
个数轴上一致收敛于和函数 f , 则此三角级数就是 f
的傅里叶级数, 即此时(12)式中的记号“~”可换
为 等号.
数学分析 第十五章 傅里叶级数
高等教育出版社
§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
π
f ( x)
0
2
n1 (an cos nx bnbsninπnπ xsi)n nx cos kx(d9x)).
数学分析 第十五章 傅里叶级数
高等教育出版社
§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
由三角函数的正交性, 右边除了以 ak 为系数的那一
π
(k 1,2,).
由此可知, 若f 是以2π 为周期且在 [π, π] 上可积的
函数, 则可按公式(10)计算出an 和 bn，它们称为函数
f (关于三角函数系(5) ) 的傅里叶系数.
an
1 π
π f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,,
《数学分析》课件 12-4收敛定理的证明
第十二章 习题课
傅里叶级数
(1).三角函数系
1正,co交s 性x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin nx,
任意两个不同函数在[, ]上的积分等于零.
cos nxdx 0,
sin nxdx 0,
(其中n 1,2,)
sin
mx
sin
nxdx
0, ,
mn mn
f
(x)
a0 2
n1
an
cos nx
(0 x )
(6) 周期为2l 的周期函数的傅氏展开式
设周期为2l的周期函数 f ( x)满足收敛定理 的条件,则它的傅里叶级数展开式为
f
(
x)
a0 2
n1
(an
cos
nx l
bn
sin
nx ), l
an
1 l
l l
f ( x)cos nxdx, l
(n 0,1,2,)
bn
1 l
l l
f ( x)sin nxdx, l
(n 1,2,)
例1 将 cos x 在 0 x 内展开成以 2 为周期
的正弦级数并在 2 x 2 写出该级数的和 函数，同时画出它的图形．
解 要将 f ( x) cos x 在 (0, )内展开成以2 为
周期的正弦级数cos x bn sin nx , 必须在(, )
n1
内对 cos x 进行奇开拓,
cos x x (0, ),
令
F
(
x)
0
x 0,
cos x x (,0),
an 0,
(n 0,1,2,)
bn
2
cos x sin nxdx
傅里叶级数
(1).三角函数系
1正,co交s 性x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin nx,
任意两个不同函数在[, ]上的积分等于零.
cos nxdx 0,
sin nxdx 0,
(其中n 1,2,)
sin
mx
sin
nxdx
0, ,
mn mn
f
(x)
a0 2
n1
an
cos nx
(0 x )
(6) 周期为2l 的周期函数的傅氏展开式
设周期为2l的周期函数 f ( x)满足收敛定理 的条件,则它的傅里叶级数展开式为
f
(
x)
a0 2
n1
(an
cos
nx l
bn
sin
nx ), l
an
1 l
l l
f ( x)cos nxdx, l
(n 0,1,2,)
bn
1 l
l l
f ( x)sin nxdx, l
(n 1,2,)
例1 将 cos x 在 0 x 内展开成以 2 为周期
的正弦级数并在 2 x 2 写出该级数的和 函数，同时画出它的图形．
解 要将 f ( x) cos x 在 (0, )内展开成以2 为
周期的正弦级数cos x bn sin nx , 必须在(, )
n1
内对 cos x 进行奇开拓,
cos x x (0, ),
令
F
(
x)
0
x 0,
cos x x (,0),
an 0,
(n 0,1,2,)
bn
2
cos x sin nxdx
高数傅里叶级数.ppt
（3）。
s
i
nnx)
称为函数 f (x) 的傅里叶级数，记为
f ( x)
～
a 2
(an co snx
n1
bn
s
i
nnx)
。
（3）
an (n0, 1, 2, )和 bn (n1, 2, )称为函数 f ( x)
的傅里叶系数。
例 1． f ( x) 以2 为周期，且x(, ] 时f ( x) x ，
求 f ( x) 的傅里叶级数。
解：把 f ( x) 在(,] 上作周期延拓，
a0
1
f ( x)dx 1
x2dx 22 ， 3
1
an
1
f ( x)cosnxdx
x2cosnxdx
(1)n n2
4(n1,
2,
)
，
1
bn
x2sinnxdx0 ，
∵ f ( x) 在(,) 内连续，
当 x 时， f (0) f (0) 2 f () ， 2
在 (,] 上 F ( x) f ( x) ，然后将 F ( x) 展开为傅里叶
级数，再把
x
限
制
在(
,
)
便
上，
得
f (x)的
傅里叶
级数展开式。根据收敛定理，这级数在 x 处 收 敛 于
f
(0)
f
(0)
F
。
(x)
称为
f
( x)
的周期延拓。
2
例 4．将函数 f (x) x2( x) 展开成傅里叶级数。
3
2k 1
x(,0)(0,)
当
x0
时，级数S (收x )敛 于11,,f
s
i
nnx)
称为函数 f (x) 的傅里叶级数，记为
f ( x)
～
a 2
(an co snx
n1
bn
s
i
nnx)
。
（3）
an (n0, 1, 2, )和 bn (n1, 2, )称为函数 f ( x)
的傅里叶系数。
例 1． f ( x) 以2 为周期，且x(, ] 时f ( x) x ，
求 f ( x) 的傅里叶级数。
解：把 f ( x) 在(,] 上作周期延拓，
a0
1
f ( x)dx 1
x2dx 22 ， 3
1
an
1
f ( x)cosnxdx
x2cosnxdx
(1)n n2
4(n1,
2,
)
，
1
bn
x2sinnxdx0 ，
∵ f ( x) 在(,) 内连续，
当 x 时， f (0) f (0) 2 f () ， 2
在 (,] 上 F ( x) f ( x) ，然后将 F ( x) 展开为傅里叶
级数，再把
x
限
制
在(
,
)
便
上，
得
f (x)的
傅里叶
级数展开式。根据收敛定理，这级数在 x 处 收 敛 于
f
(0)
f
(0)
F
。
(x)
称为
f
( x)
的周期延拓。
2
例 4．将函数 f (x) x2( x) 展开成傅里叶级数。
3
2k 1
x(,0)(0,)
当
x0
时，级数S (收x )敛 于11,,f
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振动y 的周期是 T 2π . 较为复杂的周期运动, 则
常常是几个简谐振动
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yk Ak sin(k x k ) , k 1, 2, , n
的叠加：
n
n
y yk Ak sin(k x k ).
(2)
k 1
k 1
由于简谐振动
yk
的周期为 T k
T
2π
,
k
1, 2,
, n,
所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠
加就得到函数项级数
A0 An sin(n x n ).
(3)
n1
若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运
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动现象. 对于级数(3), 只须讨论 1(如果 1可
用 x 代换x )的情形. 由于
sin(nx n ) sinn cos nx cosn sin nx,
|
a0 2
|
n1
(|
an
|
|
bn
|).
收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.
证 对任何实数x,由于
| an cos nx bn sin nx || an | | bn |, 根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论.
为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
(4)
它是由三角函数列(也称为三角函数系)
1,cos x,sin x,cos 2 x,sin 2 x, ,cos nx,sin nx, (5)
所产生的一般形式的三角级数.
容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一
个以 2π 为周期的函数.
关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:
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定理 15.1 若级数
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有函数具有共同的周期 2π. 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
的乘积在 [ , ]上的积分等于零,即
π
π
cos nxdx sin nxdx 0,
π
π
(6)
π
π π
cos mx cos nxdx 0 sin mx sin nxdx 0
(m (m
nn)),,
π π
π
π f ( x)cos kx dx ak π (k 1,2, ).
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即
ak
1 π
π
f ( x)cos kxdx
π
(k 1,2,
).
同理,(9)式两边乘以sin kx,并逐项积分, 可得
bk
1 π
π
f ( x)sin kx dx
π
(k 1,2,
).
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由此可知, 若f 是以 2π 为周期且在 [ , ]上可积的
所以
A0 An sin(nx n ) n1
A0 ( An sinn cos nx An cosn sin nx). (3) n1
记
A0
a0 2
,
An
sinn
an ,
An
cosn
bn , n
1, 2,
,
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则级数( 3 )可写成
a0
2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx).
有
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π
f ( x)cos kxdx π
a0 2
π
π
cos kxdx
π
(an
cos nx cos kxdx
π
n1
π
bn
sin nx cos kxdx).
π
由三角函数的正交性, 右边除了以 ak 为系数的那一 项积分
π cos2 kxdx π π
外,其他各项积分都等于0,于是得出:
函数, 则可按公式(10)计算出 an和 bn , 它们称为函数 f (关于三角函数系(5) ) 的傅里叶系数,以 f 的傅里
叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三角函数
即
a0
1 π
π
f ( x)dx.
π
又以 cos kx 乘(9)式两边 (k为正整数), 得
f ( x)cos kx a0 cos kx 2
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx). (11) n1
从第十三章§1 习题4知道, 由级数(9)一致收敛,可
得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积,
证 由定理条件, 函数 f 在[ , ]上连续且可积. 对
(9)式逐项积分得
π
f ( x)dx π
a0 2
π
dx
π
(an
n1
π
π cos nxdx bn
π
sin nxdx).
π
由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零.
所以
π π
f
( x)dx
a0 2
2π
a0π,
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定理15.2 若在整个数轴上
f
(x)
a0 2
(an cos nx
n1
bn sin nx)
(9)
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
an
1 π
π
f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,
π
,
(10a)
bn
1 π
π
f ( x)sin nxdx , n 1,2,
π
,
(10b)
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则称 与 在 [a, b]上是正交的, 或在 [a, b]上具有正
交性. 由此三角函数系(4)在 [π, π] 上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
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二、以2 为周期的函数的傅里叶级数
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)
的和函数 f 与级数(4)的系数 a0 , an , bn 之间的关系.
一、三角级数·正交函数系
二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数
三、收敛定理
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一、三角级数·正交函数系
在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一 种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数
y Asin( x )
(1)
来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,
其中A为振幅. 为初相角, 为角频率, 于是简谐
§1 傅里叶级数
一个函数能表示成幂级数给研究函数带来 便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果 函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简 单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数 呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级 数在数学、物理学和工程技术中都有着非常 广泛的应用, 是又一类重要的级数.
cos mx s
而(5)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
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不等于零, 即
π cos2 nxdx π
π π
sin2
xdx
π,
π 12dx 2 π π
(8)
若两个函数 与 在 [a, b] 上可积, 且
b
a ( x) ( x)dx 0
常常是几个简谐振动
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yk Ak sin(k x k ) , k 1, 2, , n
的叠加：
n
n
y yk Ak sin(k x k ).
(2)
k 1
k 1
由于简谐振动
yk
的周期为 T k
T
2π
,
k
1, 2,
, n,
所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠
加就得到函数项级数
A0 An sin(n x n ).
(3)
n1
若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运
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动现象. 对于级数(3), 只须讨论 1(如果 1可
用 x 代换x )的情形. 由于
sin(nx n ) sinn cos nx cosn sin nx,
|
a0 2
|
n1
(|
an
|
|
bn
|).
收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.
证 对任何实数x,由于
| an cos nx bn sin nx || an | | bn |, 根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论.
为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
(4)
它是由三角函数列(也称为三角函数系)
1,cos x,sin x,cos 2 x,sin 2 x, ,cos nx,sin nx, (5)
所产生的一般形式的三角级数.
容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一
个以 2π 为周期的函数.
关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:
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定理 15.1 若级数
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有函数具有共同的周期 2π. 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
的乘积在 [ , ]上的积分等于零,即
π
π
cos nxdx sin nxdx 0,
π
π
(6)
π
π π
cos mx cos nxdx 0 sin mx sin nxdx 0
(m (m
nn)),,
π π
π
π f ( x)cos kx dx ak π (k 1,2, ).
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即
ak
1 π
π
f ( x)cos kxdx
π
(k 1,2,
).
同理,(9)式两边乘以sin kx,并逐项积分, 可得
bk
1 π
π
f ( x)sin kx dx
π
(k 1,2,
).
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由此可知, 若f 是以 2π 为周期且在 [ , ]上可积的
所以
A0 An sin(nx n ) n1
A0 ( An sinn cos nx An cosn sin nx). (3) n1
记
A0
a0 2
,
An
sinn
an ,
An
cosn
bn , n
1, 2,
,
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则级数( 3 )可写成
a0
2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx).
有
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π
f ( x)cos kxdx π
a0 2
π
π
cos kxdx
π
(an
cos nx cos kxdx
π
n1
π
bn
sin nx cos kxdx).
π
由三角函数的正交性, 右边除了以 ak 为系数的那一 项积分
π cos2 kxdx π π
外,其他各项积分都等于0,于是得出:
函数, 则可按公式(10)计算出 an和 bn , 它们称为函数 f (关于三角函数系(5) ) 的傅里叶系数,以 f 的傅里
叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三角函数
即
a0
1 π
π
f ( x)dx.
π
又以 cos kx 乘(9)式两边 (k为正整数), 得
f ( x)cos kx a0 cos kx 2
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx). (11) n1
从第十三章§1 习题4知道, 由级数(9)一致收敛,可
得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积,
证 由定理条件, 函数 f 在[ , ]上连续且可积. 对
(9)式逐项积分得
π
f ( x)dx π
a0 2
π
dx
π
(an
n1
π
π cos nxdx bn
π
sin nxdx).
π
由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零.
所以
π π
f
( x)dx
a0 2
2π
a0π,
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定理15.2 若在整个数轴上
f
(x)
a0 2
(an cos nx
n1
bn sin nx)
(9)
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
an
1 π
π
f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,
π
,
(10a)
bn
1 π
π
f ( x)sin nxdx , n 1,2,
π
,
(10b)
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则称 与 在 [a, b]上是正交的, 或在 [a, b]上具有正
交性. 由此三角函数系(4)在 [π, π] 上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
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二、以2 为周期的函数的傅里叶级数
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)
的和函数 f 与级数(4)的系数 a0 , an , bn 之间的关系.
一、三角级数·正交函数系
二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数
三、收敛定理
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一、三角级数·正交函数系
在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一 种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数
y Asin( x )
(1)
来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,
其中A为振幅. 为初相角, 为角频率, 于是简谐
§1 傅里叶级数
一个函数能表示成幂级数给研究函数带来 便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果 函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简 单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数 呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级 数在数学、物理学和工程技术中都有着非常 广泛的应用, 是又一类重要的级数.
cos mx s
而(5)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
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不等于零, 即
π cos2 nxdx π
π π
sin2
xdx
π,
π 12dx 2 π π
(8)
若两个函数 与 在 [a, b] 上可积, 且
b
a ( x) ( x)dx 0