第一节傅立叶级数与傅里叶积分
第一节傅立叶级数与傅里叶积分
理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),
因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速
Fourier变换在计算机时代更是特别重要．
Fourier 变换是在周期函数的 Fourier
6. 离散频谱与频谱图 a n jbn a0 a n jbn , , c n 分析 由 c0 , cn 2 2 2
An 1 2 2 a n bn ， 得 c0 A0 , | cn | | c n | 2 2
arg cn arg c n θn , ( n 0) .
1 j t j t (D) f (t ) [ f ( t ) e d t ] e dω 2π 1 在 f (t ) 的间断处，公式的左端应为 [ f ( t 0) f ( t 0)] . 2
级数的基础上发展起来的。在微积分课程
中已经学习了Fourier 级数的有关 内容，
因此本节将先简单地回顾一下 Fourier
级数展开。
§8.1 Fourier 级数与Fourier 积分
一、周期函数的 Fourier 级数 二、非周期函数的 Fourier级数即
Fourier积分
一、周期函数的 Fourier 级数
n 1
A0 a n cos n 0 t bn sin n 0 t
n 1
A0 An cos(n 0 t n ) .
n 1
3. Fourier 级数的三角形式 定理 ( Dirichlet 定理)设 fT (t )是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T /2 , T /2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)： (1) 连续或只有有限个第一类续点处有
傅立叶积分
第一节
傅里叶积分
(1.1.8) 或 (1.1.9) 称为 f ( t ) 傅立叶积分的实数形式。
第 一 章 傅 里 叶 变 换
特别如果 f ( t ) 为偶函数， 1 f ( t ) ~ [ f ( )(cos wt cos w sin wt sin w )d ]dw
在傅里叶积分公式中，利用欧拉公式我们有 1 iw ( t ) f (t ) ~ [ f ( ) e d ]dw 2 1 [ f ( )(cos w( t ) i sin w( t ))d ]dw 2 注意到
f ( )sin w( t )d 为 w 的奇函数， 因此 1 [ f ( )cos w ( t )d ]dw (1.1.8) f (t ) ~ 2
注意到
f ( )cos w( t )d 为 w 的偶函数， 因此 1 f ( t ) ~ [ f ( )cos w( t )d ]dw (1.1.9) 0
-8-
(1.1.6)
1 T T ( w ) [ fT ( )e iw d ]e iwt 2 T 1 ( w ) [ f ( )e iw d ]e iwt 2
第 一 章 傅 里 叶 变 换
第一节
傅里叶积分
注意到
T
lim T ( w ) ( w )
(1.1.4) 式称为 f ( t ) 傅里叶级数的复数形式。如果将 (1.1.3) 式代入(1.1.4) 式， 我们有
-5-
cn e n
i
n t T
(1.1.4)
第一节
傅里叶积分
傅里叶级数与傅里叶变换的关系
傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的工具，它们在信号处理、图像处理和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的概念，并探讨它们之间的关系。
一、傅里叶级数的概念傅里叶级数是一种将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的方法。
它基于傅里叶分析的原理，将一个周期为T的周期信号f(t)表示为：f(t) = a0 + Σ[an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)]其中，a0是信号直流分量的系数，an和bn是信号的谐波分量的系数，n为谐波的阶数，ω0为基频的角频率。
傅里叶级数可以理解为将一个周期信号分解为不同频率成分的叠加。
二、傅里叶变换的概念傅里叶变换是一种将非周期信号分解为不同频率成分的方法。
它的基本思想是将信号f(t)在整个实数轴上进行积分变换，得到频率域上的表示。
傅里叶变换的定义如下：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)]dt其中，F(ω)表示信号在频率域上的表示，f(t)为原始信号，e^(-jωt)为旋转因子。
傅里叶变换将一个时域上的信号转换为频域上的表示，以便更好地分析信号的频谱特性。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在周期信号上的特殊情况。
当一个信号f(t)为周期信号时，其傅里叶变换和傅里叶级数之间存在着对应关系。
具体而言，傅里叶级数是傅里叶变换在周期为T的周期信号上的反离散化。
通过傅里叶级数，我们可以将一个周期信号分解为多个谐波成分，每个谐波成分对应着傅里叶变换的频谱。
四、应用实例傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
以音频信号为例，我们可以通过傅里叶级数将音频信号分解为不同频率的音调，进而进行声音合成和音乐分析。
而傅里叶变换则可以将非周期信号的频谱特性表示出来，如在图像处理中可以用于图像压缩和特征提取。
傅里叶级数和傅里叶变换的关系使得我们能够更好地理解和处理信号和图像。
总结傅里叶级数和傅里叶变换是处理周期信号和非周期信号的有效工具，它们在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的概念，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
它们为我们理解和分析周期信号以及非周期信号提供了有效的数学工具。
本文将分别介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、性质和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是指将一个周期函数表示成一系列正弦和余弦函数的和。
它的基本思想是利用正弦和余弦函数的基本频率，将一个周期函数分解成多个不同频率的谐波分量，从而得到函数的频谱内容。
在数学上，傅里叶级数表示为：\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i \omega_n t}\]其中，$c_n$代表系数，$e^{i \omega_n t}$是正弦和余弦函数的复数形式，$\omega_n$是频率。
将周期函数用傅里叶级数表示的好处是，可以通过调整系数来控制频谱内容，进而实现信号的滤波、合成等操作。
傅里叶级数的性质包括线性性、对称性、频谱零点等。
线性性意味着可以将不同的周期函数的傅里叶级数叠加在一起，得到它们的叠加函数的傅里叶级数。
对称性则表示实函数的傅里叶级数中系数满足一定的对称关系。
频谱零点表示在某些特殊条件下，函数的傅里叶级数中某些频率的系数为零。
傅里叶级数的应用广泛，例如在音频信号处理中，利用它可以进行音乐合成、乐音分析和音频压缩等操作。
此外，在图像处理领域，傅里叶级数被广泛应用于图像滤波、增强、噪声消除等方面。
二、傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于处理非周期信号。
它将时域的信号转换为频域的信号，从而可以对信号进行频谱分析和处理。
傅里叶变换的定义为：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\]其中，$F(\omega)$表示信号的频域表示，$f(t)$为时域信号，$\omega$为连续的角频率。
傅里叶变换可以将时域的信号分解成不同频率的复指数函数，并用复数表示频谱信息。
《高数课件：傅里叶级数与傅里叶变换》
傅里叶级数是数学中的一种重要工具，用于将任意函数展开为三角函数的无 穷级数。本课件将介绍傅里叶级数的定义、应用领域以及性质。
什么是傅里叶级数？
傅里叶级数是将周期函数分解为一组频率不同的正弦和余弦函数的总和。它在信号处理、图像处理等领域有广 泛的应用。
傅里叶级数的性质
线性性质
傅里叶级数具有线性叠加性质，可以对信号进 行加法和乘法操作。
对称性质
有些函数的傅里叶级数具有对称性，可以利用 对称性简化级数的计算。
周期性质
傅里叶级数可以看作是周期函数的频谱表达， 具有与原函数相同的周期。
收敛性质
傅里叶级数在一定条件下收敛，能够逼近原函 数的近似值。
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是将一个函数在连续频域和时域之间进行转换的数学工具。它为信号的频谱分析提供了一种强大的 方法。
傅里叶变换的频谱解释
频域 高频成分 低频成分 频谱幅度 频谱相位
时域 快速变化的信号 缓慢变化的信号 信号幅度的变化情况 相邻波形之间的偏移角度
傅里叶变换的应用案例
信号处理
傅里叶变换广泛应用于音频、图 像和视频信号的处理和压缩。
图像处理
傅里叶变换在图像频域滤波、图 像锐化和边缘检测等方面具有重 要作用。
通信系统
傅里叶变换用于信号的调制、解 调以及频谱分析，是现代通信系 统的关键技术之一。
傅里叶级数与傅里叶变换的关系
傅里叶级数是傅里叶变换在周期函数上的特例，是一种将函数展开为频谱成分的方法。
傅里叶级数与傅里叶变换的应用领域
1Hale Waihona Puke 音乐傅里叶变换在音乐信号分析和合成中有广泛 的应用。
2 图像处理
工程数学第八章傅里叶变换课件
[
f ( )e j d ]ejtd
2π
2π
（8-5）
这样就得到了 f (t) 的一个积分形式的展开式，称为非周期函
数 f (t) 的傅里叶积分公式,等号右端称为傅里叶积分．
定理 1（傅里叶积分定理） 若函数 f (t) 在 (-,+) 上的任一
有限区间内满足狄利克雷条件，并且在 (-,+) 上绝对可积，
2
2π
j
1 1 sin t d
2 π0
利用狄利克雷积分 sin d π ，可知
0
2
若 t 0 ，令 t u ，则
sin t d sin u du π
0
0u
2
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结束
若 t 0 ，令t u ，则
sin t d
sin u
π
du
0
2
a0
1( 2
0
0d t
2
2
1d t) 1
0
an
1 2
2 0
cos
ntdt
1
2n
sin
nt
|02
sin 2n sin nπ 0(n 0) 2n nπ
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返回
结束
bn
1 2
2 0
sin
n
tdt
1
2n
cos
nt
|02
1 (1 cos 2n) 1 (1 cos nπ)
2n
nπ
2
t
d
.
注意到上式被积函数关于 的奇偶性，可得 f (t) 的傅里叶积分公式为
f (t) 1
π
0
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ej jnω0t
代入 (A) 式并整理得
fT
(t)
a0 2
(an
n1
2
jbn
e jnω0t
an
2
jbn
e jnω0t
).
推导
fT
(t)
a0 2
(an
n1
2
jbn
e jnω0t
an
2
jbn
e
jnω0t
).
令
c0
a0 2
,
cn
an jbn , 2
cn
an
jbn 2
,
则有
fT (t ) e cn jnω0t ,
特点 (1) 周期性
(2) 正交性
T/2
T/2m (t ) n (t )d t 0 ,
T/2
T/2 k (t ) l (t )d t 0 ,
T/2
T/2
k
(t )
l
(t)d
t
0,
(k l)
由 {k (t)}, { k (t)} 组合叠加可以生成周期为 T 的复杂波。
问题 对于任何一个周期为 T 的(复杂)函数 fT (t)，能否：
(B)
n
其中,
cn
1 T
T /2 T /2
fT (t ) e jnω0td t ,
n 0, 1, 2,
定义 称 (B) 式为 Fourier 级数的指数形式。
注意 (1) 分解式是惟一的。 (2) 计算系数 cn 时, 其中的积分可以在任意 一个长度为 T 的区间上进行。
(3) 采用周期延拓技术，可以将结论应用到 仅仅定义在某个有限区间上的函数。
fT
(t
)
a0 2
(an
n1
cos
nω0t
bn
sin
nω0t )
,
(A)
其中,
an
2 T
T /2
T/2 fT (t ) cos nω0t d t ,
n 0,1, 2,
2 T/ 2
bn T T/2 fT (t )sin nω0t d t ,
2π ω0 T ,
称之为基频。
n 1, 2,
定义 称 (A) 式为 Fourier 级数的三角形式。
区间 [T/2 , T/2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)： (1) 连续或只有有限个第一类间断点； (2) 只有有限个极值点 .
则在 fT (t) 的连续点处有
在
fT (t) 的间断处，上式左端为
1 2
fT (t 0)
fT (t 0).
定理 (Dirichlet 定理)
(A)
bn
fT (t ) A0 An cos(nω0t θn ) n1
表明 周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和， 这些简谐波的(角)频率分别为一个基频 ω0 的倍数。
意义 认为 “ 一个周期为 T 的周期信号fT (t) 并不包含所有的 频率成份，其频率是以基频 ω0 为间隔离散取值的。”
Fourier变换是一种对连续时间函数的 积分变换,通过特定形式的积分建立函数之 间的对应关系. 它既能简化计算(如解微分 方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物 理意义(从频谱的角度来描述函数的特征), 因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速 Fourier变换在计算机时代更是特别重要．
Fourier 变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发展起来的。在微积分课程 中已经学习了Fourier 级数的有关 内容， 因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。
fT (t)
?
A00 (t )
ann (t ) bn n (t )
n1
A0 an cos n0t bn sin n0t n1
A0 An cos(n0t n ) . n1
3. Fourier 级数的三角形式 定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在
这是周期信号的一个非常重要的特点。
fT (t ) A0 An cos(nω0t θn ) n1
振幅 An 反映了频率为 nω0 的简谐波在信号 fT (t) 中 所占有的份额；
相位 θn 反映了在信号 fT (t)中频率为 nω0 的简谐波 沿时间轴移动的大小。
这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。
4. Fourier 级数的物理含义
改写
fT
(t)
a0 2
(an
n1
cos nω0t
bn
sin nω0t) ,
令
A0
a0 2
， An
an2 bn2 ,
cos n
an An
,
sin n
bn An
,
则 (A) 式变为
An
n an
O
fT (t ) A0 An cos(nω0t θn ) n1
2c n
称 cn为频谱，记为 F (nω0 ) cn .
频谱图 将振幅 |cn | 、相位 arg cn 与频率 nω0 的关系画成图形。
|F (nω0 )|
40 30 20 0 O
0 20 30 40
arg F (nω0 )
40 30 20 0
6. 离散频谱与频谱图
分析
由
c0
a0 2
,
cn
an
jbn 2
,
cn
an
jbn 2
,
得 c0 A0 ,
|cn
| | cn
|
1 2
an2
bn2
An ， 2
O
argcn argcn θn , (n 0).
即 cn 的模与辐角正好是振幅和相位。
An
n an n
2c n bn
bn
定义 称 |cn |为振幅谱，称 arg cn 为相位谱；
5. Fourier 级数的指数形式
推导
已知
fT
(t)
a0 2
(an
n1
cos
nω0t
bn
sin nω0t) ,
(A)
根据 Euler 公式 ejnω0t cos nω0t j sin nω0t , ( j 1 )
可得
cos nω0t
e
jnω0t
e
2
jnω0t
,
sin nω0t
je jnω0t
T 2 为基本周期；(单位：秒) 0
F1 T
0 2
为频率。 (单位：赫兹 Hz)
2. 正交函数系
函数系
0(t) 1
1(t) cos0t
2
(t
)
cos
20t
n(t) cos n0t
1(t) sin0t
2(t) sin 20t
n(t)
sin n0t
§8.1 Fourier 级数与Fourier 积分
一、周期函数的 Fourier 级数
二、非周期函数的 Fourier级数即
Fourier积分
一、周期函数的 Fourier 级数
1. 简谐波的基本概念
简谐波 x(t) Acos(0t ) a cos0t b sin0t
其中，A 称为振幅，0 称为角频率， 称为相位，( 0 称为零相位)。