傅里叶分析及其应用
傅立叶级数及其应用
傅立叶级数是一种数学工具，可用于表示周期性函数。
它基于傅立叶变换的思想，将一个周期性函数分解为一系列正弦和余弦函数的和。
傅立叶级数在数学、工程、物理学等领域都有广泛的应用。
傅立叶级数的数学表达式：它的傅立叶级数表示为：
傅立叶级数的应用：
1. 信号处理：傅立叶级数广泛应用于信号处理领域，用于分析和合成信号。
它可以将任意信号分解为一组频谱分量，便于对信号的频域特性进行分析。
2. 热传导：在热传导方程中，傅立叶级数可以用于表示温度场的周期性变化，有助于研究热传导过程。
3. 量子力学：傅立叶级数在量子力学中也有应用，用于处理波函数等问题。
4. 图像处理：在图像处理中，傅立叶变换和傅立叶级数用于图像压缩、滤波和频谱分析等方面。
5. 振动分析：傅立叶级数可用于分析结构的振动模式，例如桥梁或建筑物的自然振动频率。
6. 电路分析：在电路理论中，傅立叶级数用于分析周期性电压和电流波形，有助于理解交流电路的行为。
7. 音频处理：音频信号可以通过傅立叶级数进行频谱分析，用于音乐合成、音频压缩等应用。
总的来说，傅立叶级数为我们理解和处理周期性现象提供了强大的工具。
它的广泛应用涵盖了多个学科领域。
傅立叶变换的原理、意义和应用
傅立叶变换的原理、意义和应用1概念：编辑傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。
许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。
参考《数字信号处理》杨毅明著，机械工业出版社2012年发行。
定义f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。
则有下图①式成立。
称为积分运算f(t）的傅里叶变换，②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。
F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做F（ω）的像原函数。
F（ω）是f(t）的像。
f(t）是F（ω）原像。
①傅里叶变换②傅里叶逆变换中文译名Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。
为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。
应用傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。
相关* 傅里叶变换属于谐波分析。
* 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;* 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；*卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；* 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1]2性质编辑线性性质傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。
傅里叶的分析及应用
傅里叶的分析及应用傅里叶分析是一种数学方法，它是通过将任意函数表示为正弦和余弦函数的无穷级数来分析和处理周期性现象。
具体来说，傅里叶分析将一个周期为T的函数f(t)表示为一系列基函数的线性组合：f(t) = a₀+ Σ(aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t))其中，a₀、aₙ、bₙ为函数f(t)的傅里叶系数，n为正整数，ω₀为基频率，ω₀= 2π/T。
傅里叶分析的原理是利用一组正弦和余弦函数作为基函数，通过改变系数aₙ和bₙ的值，可以最接近地拟合一个函数f(t)。
这样一来，我们就能将函数f(t)分解成无穷级数的形式，每一项都是一个简单的正弦或余弦函数，从而更容易理解和处理。
傅里叶分析的应用非常广泛，涉及多个领域。
以下是几个重要的应用：1. 信号处理：在通信和音频领域，傅里叶分析被广泛应用于信号处理和滤波。
通过将信号分解成频域上的基函数，可以检测和过滤掉不需要的频率成分，从而实现信号的重构和去噪。
2. 图像处理：在图像处理中，傅里叶变换可以将图像从空间域转换为频域。
这样做的好处是可以分析图像的频谱特征，比如边缘检测、纹理分析等。
傅里叶分析也可以用于图像压缩，通过去除高频成分来降低图像的数据量。
3. 物理学：傅里叶分析在物理学中有广泛的应用。
例如，用于描述声波的一维傅里叶变换可以将声音信号分解成频率成分，从而可以分析声音的音调和谐波结构。
在量子力学中，傅里叶变换用于描述波函数和量子态，帮助解决薛定谔方程。
4. 工程：傅里叶分析在工程中有很多实际应用。
例如，傅里叶变换可以用来分析电路中的电压和电流波形，以及对非线性设备进行线性化建模。
在机器学习和数据分析中，傅里叶分析可以用于特征提取，从而帮助识别和分类数据。
总结起来，傅里叶分析是一种强大的数学工具，可以将周期性现象分解成频域上的基函数。
它在信号处理、图像处理、物理学和工程等多个领域都有广泛的应用。
傅里叶分析的原理和应用非常重要，对于理解和处理周期性现象具有很大的帮助。
第三章 傅里叶分析(修订)
第3章 傅里叶分析傅里叶分析是利用傅里叶变换来分析信号的一种通用工具，其实质是将信号分解成若干个不同频率的正弦波之和。
它在信号处理的理论和应用中具有重要意义。
3.1 傅里叶变换概述我们知道，傅里叶变换定义了以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱函数”之间的某种变换关系，也就是说，傅里叶变换建立了时域和频域之间的联系。
所以当自变量“时间”或“频率”取连续值或离散值时，就形成了各种不同形式的傅里叶变换对。
一、 时间连续、频率连续的傅里叶变换（FT ）其傅里叶变换公式为： 正变换 ⎰∞∞-Ω-=Ωdt e t x j X t j )()(反变换 ⎰∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j )(21)(π连续时间非周期信号x (t )的傅里叶变换结果是连续的非周期的频谱密度函数X (j Ω)，如图所示。
可见，时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域的非周期性造成频谱的连续性。
二、 时间连续、频率离散的傅里叶变换——傅里叶级数（FS ）周期为T 的周期性连续时间函数x (t )可展开成傅里叶级数，其系数为X (jk Ω0)，X (jk Ω0)是离散频率的非周期函数。
x (t )和X (jk Ω0)组成变换对，其变换公式为： 正变换 ⎰-Ω-=Ω2/2/00)(1)(T T t jk dt e t x Tjk X反变换 ∑∞-∞=ΩΩ=k tjk e jk X t x 0)()(0式中，k ——谐波序号；Ω0=2π/T ——两条相邻的离散谱线之间角频率的间隔；x (t )和X (jk Ω0)之间的变换关系如图所示。
可见，时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域函数的周期性造成频域函数的离散化。
三、 时间离散、频率连续的傅里叶变换——序列的傅里叶变换（DTFT ） 1. DTFT 的定义序列的傅里叶变换公式为：正变换 ∑∞-∞=-=n nj j e n x eX ωω)()(反变换 ⎰-=ππωωωπd e e X n x n j j )(21)(注意：序列．．x(n)．．．．只有当．．．n ．为整数时才有意义，否则没有定义。
傅里叶分析
傅里叶分析傅里叶分析是一种数学方法，它将任意时域函数变换为频域函数，以研究函数的波形特性。
这项技术的发明者是法国理论物理学家爱德华克劳德傅里叶，他于1822年出生于法国布列塔尼省，此后，傅里叶分析的理论在各个领域被广泛应用，为科学、工程及社会等方面的发展做出了积极的贡献。
傅立叶分析是由傅立叶发现的，他发现存在一类函数，可以通过波形装换技术，将时域信号转换为频域信号，以便分析物理系统的动态特性。
傅立叶分析以“傅里叶变换”作为其基础，它是一种分析函数变化规律的方法，可以将函数从时域变换到频域，从而可以更清楚地研究函数的特性。
傅里叶分析有许多种的应用，其中最基本的是数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP），它可以用于信号处理和通信、语音识别、视频处理、虚拟现实等多个领域。
换句话说，使用傅里叶分析可以帮助人们更好地理解数字信号，并准确调节信号以达到期望的结果。
此外，傅里叶分析也可用于模拟信号的分析和处理，在这种情况下，傅里叶变换可以模拟信号的频率分析，其模拟信号处理技术可用于研究电磁场、激光、声音等的特性。
此外，它还被广泛用于扫描电子显微镜（Scanning Electron Microscope，简称SEM）。
这种技术可用于测量小型物体的形状和大小，其原理在于运用傅里叶分析得到物体表面的细微变化，从而得出物体精确的尺寸参数和形状信息。
最后，傅里叶分析也被应用到控制系统中。
该方法可以分析控制系统的时域和频域性能，从而帮助设计者提高系统对于某类特殊输入的响应曲线。
从上述可以看出，傅里叶分析被广泛地应用到数学、物理学、电子工程、生物学、经济学等领域，它是一种非常重要的数学工具，具有十分重要的价值。
总之，傅里叶分析是一项十分宝贵的发现，在数学、物理学、化学、工程学等领域有着重要的应用，将为科学及社会的发展做出贡献。
傅里叶定律应用实例
傅里叶定律应用实例傅里叶定律是一种将任意周期性函数分解为一组正弦或余弦函数的方法。
它有非常广泛的应用，例如在信号处理、图像处理、量子力学、声音波谱分析等领域。
1. 信号处理和音频压缩傅里叶定律可以用于压缩音频或其他信号。
通过将信号分解为一组正弦或余弦函数的和，可以找到一个足够小的子集来代表原始信号。
这使得信号的存储空间更小，并且可以更快地传输。
现代音频压缩算法如MP3就使用了傅里叶变换来分解音频信号。
2. 图像处理在图像处理中，傅里叶变换可以用来分析和处理图像。
通过将图像分解为其频率成分，可以实现许多图像处理操作，例如去噪、过滤、锐化和边缘检测。
傅里叶变换还可以用于图像压缩，通常与离散余弦变换（DCT）结合使用。
3. 量子力学傅里叶变换在量子力学中也有广泛的应用。
傅里叶变换可以用于将一个波函数从空间域转换为能量域，这对于解决一些量子力学问题非常有用。
傅里叶变换还可以用于分析和处理量子力学中的能级和自旋。
4. 声音波谱分析傅里叶变换可以用于分析声音波形成分的频率。
在声音波形中，每个频率成分可以表示为正弦或余弦波的组合。
通过使用傅里叶变换，可以将波形转换为频域，以便更好地理解声音的波形结构。
除了上述应用，傅里叶定律还有其他一些重要的作用。
下面进一步探讨一下它在不同领域的应用：5. 数字信号处理傅里叶变换在数字信号处理中扮演着非常重要的角色。
通过将信号从时域转换为频域，可以更好地理解信号的性质和特征。
可以使用傅里叶变换来从一个信号中分离出特定的频率成分，以便更好地对信号进行分析。
6. 机器学习在机器学习中，傅里叶变换可以用来处理图像和声音等数据。
可以使用傅里叶变换将图像从空间域转换为频域，以便更好地识别图像中的模式和特征。
同样地，傅里叶变换也可以用来处理声音数据，以便更好地识别声音信号中的模式和特征。
7. 通信系统在通信系统中，傅里叶变换可以用于信号传输和处理。
通过分析信号频率成分，可以更好地理解信号的性质，并且可以更好地设计和优化通信系统。
傅立叶变换在天文方向的应用
傅立叶变换在天文方向的应用
傅里叶变换在天文学中有许多重要应用。
以下是一些主要的应用：
1. 频谱分析：傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，通过分析信号的频谱特征，天文学家可以研究星系、恒星和其他宇宙物体的性质。
例如，傅里叶变换可以用来分析星系的光谱，从中获得星系的组成元素和运动性质。
2. 图像处理：天文学家通常使用图像来观测和研究宇宙中的天体。
傅里叶变换可以用于图像处理中的滤波、噪声消除和特征提取等任务。
例如，通过对星系图像进行傅里叶变换，可以分离出星系的结构特征，以及识别出恒星和星系中的其他天体。
3. 天体形状重建：傅里叶变换可以用于天体形状的重建。
通过测量水平绕射的干涉或散射图样，可以使用傅立叶变换重建宇宙中天体的形状和轮廓。
这种方法在研究恒星、行星、星系和其他天体的形状和结构时非常有用。
4. 数据压缩：天文学家收集到的数据通常非常庞大。
傅里叶变换可以用于数据压缩，将大规模的天文数据转换为频域数据，从而减少数据的存储空间和处理时间。
5. 辐射天文学：傅里叶变换在辐射天体学中也有很多应用。
通过对辐射频谱进行傅里叶变换，可以研究宇宙中的辐射源，例如恒星和星系中的射电源、X射线源和γ射线源。
总之，傅里叶变换在天文学中起着非常重要的作用，帮助天文学家观测和研究宇宙中的各种天体，揭示宇宙的奥秘。
关于微积分的傅里叶变换及其应用
关于微积分的傅里叶变换及其应用微积分学是数学的一门重要学科，也是工程学、物理学、经济学等学科中的基础。
其中傅里叶变换作为微积分学的重要分支之一，具有非常广泛的应用。
一、傅里叶变换的基本概念傅里叶变换是一种将一个连续时间信号分解成具有不同频率的正弦、余弦波的方法。
傅里叶变换的核心概念是将一个连续时间的函数分解成不同频率的正弦、余弦波的叠加。
傅里叶变换的注意点在于，它只处理周期性函数而非一般函数。
因此，需要对周期函数作出特殊处理。
二、傅里叶级数傅里叶级数是一种傅里叶变换的形式，可以将任何周期函数分解成一组简单的正弦、余弦函数。
当信号仅仅是一个有限时间内的样本时，这种分解方法就不再可行。
三、傅里叶变换的应用1. 信号处理傅里叶变换对于信号处理非常有用，可以将一个信号分解为所有不同频率的正弦波。
这使得我们可以针对不同的频率成分对信号进行修改。
例如，在音频处理中，可以将一段音频信号进行变换，进而删除某些频率上的畸变或添加新的音效。
2. 图像处理傅里叶变换可以将图像转换为频域信号，进而实现对图像的处理。
例如，可以利用傅里叶变换将一张图像进行滤波，去除一些特定的频率成分，进而使图像更加清晰。
3. 求解偏微分方程傅里叶变换在求解偏微分方程时也有着很大的应用价值。
通过利用傅里叶变换将偏微分方程转换为代数方程，从而大大简化了求解过程。
四、补充傅里叶变换是微积分学中的重要分支，具有较多的应用价值。
由于其本质上是一种频域分析方法，利用傅里叶变换可以将一个信号在频域上分解成不同的频率成分，从而进一步实现处理。
然而，傅里叶变换也存在一些缺陷，例如不能处理随机信号等问题。
总之，傅里叶变换是微积分学中的重要分支，广泛应用于信号处理、图像处理以及求解偏微分方程等领域，具有着很大的应用价值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 傅里叶分析的发展
近代以来的发展概况
50年代以后的研 究，逐渐向多维 和抽象空间推广 满足偏微分方程 等许多数学分支 发展的需要
标志了傅里叶分 析进入了一个新 的历史时期
极大函数
考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论 研究一类相当广泛的奇异积分算子
Tf ( x ) lim
0
(x y)
狄利克雷是历史上第一个给出函数 f ( x ) 的傅 里叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家 黎曼在《用三角级数来表示函数》的论文中， 为了使更广的一类函数可以用傅里叶级数来 表示，第一次明确地提出了现在称之为黎曼 积分的概念及其性质。
对傅里叶 系数的积 分求解有 重要意义
第二章 傅里叶分析的发展
2
第三章 傅里叶变换
光学 仪器 数字信 号处理 图像 处理
傅里叶变换
偏微分 方程 经济学
密码学
第四章 在偏微分方程中的应用
波动方程
波动方程或称波方程（wave equation）是一种 重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波 动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。 波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。 波动方程是双曲形偏微分方程的最 典型代表，其最简可表达为：关于位置 和时间 的标量函数满足
第三章 傅里叶变换
连续傅里叶变换
一般情况下，若“傅里叶变换”一词的前面未加 任何限定语，则指的是连续傅立叶变换。连续傅里叶 变换是一个特殊的把一组函数映射为另一组函数的线 性算子。不严格地说，傅里叶变换就是把一个函数分 解为组成该函数的连续频率谱。
离散傅里叶变换 离散时间傅里叶变换是傅里叶变换的一种。它将 以离散时间 nT（其中 n Z ，为采样间隔）作为变量的函 T 数（离散时间信号）f ( nT ) 变换到连续的频域，即产生 这个离散时间信号的连续频谱 F ( e iw ) ，值得注意的是这 一频谱是周期的。
在求解该方程时发现解函数可以由三角函数 构成的级数形式表示，从而提出了任意周期 函数都可以用三角基来表示的想法
第二章 傅里叶分析的产生
a0 2 ( a k cos kx bk sin kx )
k 1
实型三角级数， 其中 a 0 ，a k ，
bk ( k 0,1, 2, )
x y
x y
f ( y ) dy
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换的基本定义
考虑定义在 ( , )的函数，设 f L ( R ) 称：
ˆ f (t )
f ( x )e
2 ixt
dx
为 f 的Fourier变换。 同时 2 ixt ˆ f (t ) e dt
第二章 傅里叶分析的产生
f ( x )= a0 2
( a k cos kx bk sin kx )
k 1
实型Fourier级数
ak bk
1
1
f ( x ) cos kxdx , k 0,1, 2, f ( x ) sin kxdx ,
ikx
k 1, 2,
d
ˆ ( ) cos(2 t ) g ( ) (2 t ) e 2 ix d ˆ f 2
之后验证，通过Fourier变换、Fourier逆 变换所得的解确实为原方程的解，即解满 足波动方程，亦满足初始条件
第四章 在偏微分方程中的应用
实例，1-维波动方程柯西问题 1-维的波动方程Cauchy问题可以表示为：
ˆ f ( )
f ( x )e
dx , R
R
d
的Fourier变换，得到关于 t 的一个常微分 方程，易得通解为： ˆ u ( , t ) A ( ) cos(2 t ) B ( ) sin(2 t )
B 其中 A ( ) ，( ) 是由初始条件决定的关于 的 函数。
第三章 傅里叶变换
快速傅里叶变换 由于加法运算通常比乘法运算快，所以快速算法 的思想就是要尽量减少乘法运算。例如ab+ac=a(b+c)， 用左式计算要做两次乘法，而用右式计算则只要做一 次乘法。 由
an 1 N
n
N 1
Ak W N kn源自,n 0,1, , N 1
k 0
上式计算 a 时，对每个确定的n，要做N次乘法，总 共要做 N 2 次乘法。若用一下快速算法（把一些相同 的项合并），当 N 2 m 时，就可以把乘法总数由 N 2 减 N 少到 2 ln N 。当数很大时，计算速度明显提高。这 种“快速傅里叶变换”的算法是1965年由CooleyTukey提出的
考虑d-维波动方程的Cauchy(柯西)问题：
2 u u 2 t u ( x , 0) f ( x ) u ( x , 0) g ( x ) t
其 中, f , g S ( R )
d
第四章 在偏微分方程中的应用
求解波动方程柯西问题的通解 假设 u 为该波动方程Cauchy问题的解。我们使用 的技巧是对空间变量 x1 , , x d 作Fourier变换，降低 求解的难度。 利用Fourier变换的求导性质，对原偏微分方程两 端做定义为 2 ix d
实型Fourier级数的 系数由公式决定
f ( x )=
k
ck e
复型Fourier级数
ck ck ( f )
1 2
f ( x)e
ikx
dx
复型Fourier级数的 系数由公式决定
第二章 傅里叶分析的发展
早期发展概况 傅里叶提出任意函数可以用级数表示
未得到严 格的数学 论证 Dirichlet -Jordan 判别法
题目：傅里叶分析及其应用
答辩人：黄昶昊 班级：08110801 学号：0811080116
指导教师：刘芳
目 次
第一章 绪论
第二章 第三章 第四章 傅里叶分析的产生与发展 傅里叶变换 在偏微分方程中的应用 结论
第一章 绪论
傅里叶分析是分析学中的一个重要分支，在数学 发展史上，虽然早在18世纪初期，就有关三角级数的 论述已在D.Bernoulli，D’Alembert，L.Euler等人 的工作中出现，但真正重要的一步是法国数学家 Fourier迈出的，他在著作《热的解析理论》中，系 统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题。 此后，众多数学家，如Dirichlet，Riemann， Lipschitz以及Jordan等都曾从事于这一领域的研究， 不仅弥补了Fourier工作中的不足，而且极大地发展 了以Fourier命名的级数理论，扩大了傅里叶分析的 应用范围，还使得这一理论成为研究周期现象（各种 振动，行星运动，波动与通讯等）不可缺少的工具。
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换的基本性质 （2）奇偶虚实性：
f ( t ) F ( )
则
f ( t ) F ( )
（3）对称性：
f (t ) F ( )
则
F ( t ) 2 f ( )
（4）尺度变换性：
f ( t ) F ( )
则
f ( at )
F( ) a a
u
2
t
2
c u f ( x, t )
2
第四章 在偏微分方程中的应用
求解波动方程柯西问题的通解
首先限制所涉及的函数都来自一个特定的空间
d
S (R )
d
d S ( R ) f C ( R ) : sup x ( ) f ( x ) , , d x x R
第四章 在偏微分方程中的应用
实例，1-维波动方程柯西问题 利用
cos(2 t ) 1 2 (e
2 i t
e
2 i t
)
sin(2 t ) 2
1 4 i
(e
2 i t
e
2 i t
)
化简，得： 1 1 xt u ( x , t ) ( f ( x t ) f ( x t )) g ( y ) dy 2 2 x t 即为D’Alembert公式。
2 2u u 2 2 x t u ( x , 0) f ( x ) u ( x , 0) g ( x ) t
利用上面解出的通式，可以获得解得表达式：
ˆ ( ) cos(2 t ) g ( ) sin(2 t ) e 2 ix d ˆ u ( x, t ) f 2
itx
dx
F ( t ) e dt
itx
以非线性薛定谔方程为例，非线性薛定谔方程 在 （1+1）维可写为：
u z i u
2
2 x
2
i u
2
u
i z
假设其解的形式为: u ( x , z ) NU ( x ) e
则方程可化为:
U 1 U
第四章 在偏微分方程中的应用
非线性偏微分方程简述 所谓的非线性偏微分方程，是指在偏微分方程 中含有未知函数和（或）未知函数导数的高次项， 而不能写成如下线性形式（以两个自变量的二阶 线性微分方程为例） A ( x , y ) u xx 2 B ( x , y ) u xy C ( x , y ) u yy
f 、称为 的Fourier积分。
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换的基本性质 （1）线性：傅里叶变换是一种线性运算。
f1 (t ) F1 ( j ) f 2 ( t ) F2 ( j )