傅里叶级数
傅里叶级数
1. 级数展开和完备性内积（Inner product ）：给定区间[,]a b ，对实函数，(,)()()baf g f x g x dx ≡⎰；如果是复函数，(,)()()baf g f x g x dx ≡⎰。
由内积，可定义范数（距离），||||f g -≡正交：(,)0f g =。
算子的特征值和特征函数：Af f λ=，0f ≠。
结论：自共轭算子的不同特征值对应的特征函数一定是正交的。
正交系：{,1}n X n ≥，(,)n m mn X X δ=。
给定正交系下函数()f x 的级数展开：1()~n nn f x c X∞=∑，其中(,)n n c f X = 完备：对任意的平方可积函数，是否成立1()n nn f x c X∞==∑？Bessel ’s inequality: 221||||nn f c∞=≥∑。
由此：级数在2L 意义下是收敛的。
证明：易知，222221111||||||||2(,)||||0NNNNN n n n n nn n n n n E f c X f c f X c f c =====-=-+=-≥∑∑∑∑，令N →∞即得。
Parseval equality: 221||||n n f c ∞==∑。
由此：如果Parseval equality 成立，则21NL n nn c Xf =−−→∑。
可以认为正交系完备。
判断一个正交系的完备性不是很容易的。
2. 特征值和特征函数序列：分离变量方法归结为微分方程的非零解问题。
0X X λ''+=，(0,)x l ∈；边界条件（1） Dirichlet. (0)()0X X l ==; （2） Neumann.(0)()0X X l ''==；（3） Robin.0(0)()X a X l '=，()()l X l a X l '=-。
一般 boundary conditions111122220()()()()0()()()()0X X X a X b X a X b X a X b X a X b λαβγδαβγδ''+=⎧⎪''+++=⎨⎪''+++=⎩，(,)x a b ∈； 如果满足该方程组的两个解成立0x bx a X Y XY ==''-=，则称symmetric boundary conditions 。
傅里叶级数公式傅里叶级数展开傅里叶级数收敛性的计算公式
傅里叶级数公式傅里叶级数展开傅里叶级数收敛性的计算公式傅里叶级数公式的计算公式提供了一种将任意周期函数表示为一组正弦和余弦函数的和的方法。
这种表示方法在信号处理、图像处理等领域具有重要应用。
在本文中，将详细介绍傅里叶级数展开和收敛性的计算公式。
一、傅里叶级数展开傅里叶级数展开是将周期为T的函数f(t)表示为一组三角函数的和。
傅里叶级数展开的计算公式如下：f(t) = a0 + Σ (an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))，其中a0、an和bn分别为系数，ω为角频率，n为正整数。
根据这个公式，我们可以将任意周期函数表示为一组正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数展开的关键是计算系数a0、an和bn，这里不再赘述具体的推导过程。
二、傅里叶级数收敛性的计算公式傅里叶级数的收敛性是指在何种条件下，傅里叶级数能够无限接近原函数f(t)。
傅里叶级数的收敛性可以通过计算系数a0、an和bn来确定。
1. 正弦级数的收敛性对于奇函数，即满足f(-t)=-f(t)的函数，其傅里叶级数只包含正弦函数。
对于奇函数f(t)，其傅里叶级数的计算公式为：f(t) = Σ (bn*sin(nωt))，其中bn的计算公式为：bn = (2/T) * ∫[0,T] {f(t)*sin(nωt)} dt。
当函数f(t)满足一定的条件时，傅里叶级数对奇函数收敛。
这些条件包括函数f(t)在一个周期内有有限个有界不连续点，并且在这些点上的左右极限存在。
2. 余弦级数的收敛性对于偶函数，即满足f(-t)=f(t)的函数，其傅里叶级数只包含余弦函数。
对于偶函数f(t)，其傅里叶级数的计算公式为：f(t) = a0/2 + Σ (an*cos(nωt))，其中a0和an的计算公式为：a0 = (2/T) * ∫[0,T] {f(t)} dt，an = (2/T) * ∫[0,T] {f(t)*cos(nωt)} dt。
同样地，当函数f(t)满足一定的条件时，傅里叶级数对偶函数收敛。
信号与系统傅里叶级数表示
信号与系统傅里叶级数表示
信号与系统中的傅里叶级数表示是一种将周期信号表示为
无穷级数的方法。
傅里叶级数是由法国数学家和物理学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶在19世纪初提出的，该方法通过将一个周期信号分解为多个正弦波和余弦波的组合，来描述信号的频率成分。
一个周期信号可以表示为无穷级数的形式，每个项都是一个正弦波或余弦波，并且所有项的总和形成原始的周期信号。
在傅里叶级数中，每个项都是复数，表示该项的幅度和相位。
傅里叶级数的数学表达式如下：
\(f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\cos(n\omega t+\varphi_n)\)
其中，\(f(t)\)是周期信号，\(\omega\)是信号的角频率，\(n\)是项的序号，\(a_n\)和\(\varphi_n\)分别是第\(n\)项的幅度和相位。
傅里叶级数在实际应用中非常重要，因为它揭示了周期信号的频率成分，并可用于分析、设计和控制各种信号处理系统。
通过分析傅里叶级数的系数，可以了解信号的频率成分，以及这些成分的幅度和相位信息。
这使得傅里叶级数成为信号处理、通信和控制系统等领域的重要工具。
傅里叶级数
− 2
n
T 2
= bn ∫ T sin nωt d t
2
− 2
T 2
2 即 bn = T
T = bn 2
∫
T 2
T − 2
fT ( t )sin nω t d t
最后可得:
a0 fT (t) = + ∑(an cos mωt + bn sin nωt) (1.1) 2 n=1 T 2 2 其 中 a0 = ∫ T fT (t) dt T −2 T 2 2 an = ∫T fT (t) cos nωt dt (n =1,2,L ) T −2 T 2 2 bn = ∫T fT (t) sin nωt dt (n =1,2,L ) T −2
1= 12 dt = T ∫T
− 2 T 2 T 2 T 2
1+ cos 2nωt T cos nωt = ∫T cos nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
2
1− cos 2nωt T sin nωt = ∫T sin nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
T 2
f4 (t) =
n=−∞
∑ f (t + 4n),
+∞
2π 2π π nπ = = , ωn = nω = ω= T 4 2 2
f4(t)
−1
T=4
1
3
t
则
1 T 2 − jωnt cn = ∫ T fT (t )e dt T −2 1 2 1 1 − jωnt − jωnt = ∫ f4 (t )e dt = ∫ e dt T −2 T −1 1 1 1 − jωnt jωn − jωn = e = e −e −Tjωn Tjωn −1 2 sinωn 1 = ⋅ Sa(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L ) T =4 = T ωn 2
傅里叶级数求解公式
傅里叶级数求解公式
傅里叶级数是一种将周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的展开式。
其求解公式如下：
若给定一个周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数展开形式为：f(t) = a0/2 + Σ[an*cos(nωt) + bn*sin(nωt)]
其中，a0为常数项，an和bn分别为傅里叶级数的系数，ω为角频率，n为正整数。
傅里叶级数的系数计算公式为：
a0 = (1/T) * ∫[f(t)]dt
an = (2/T) * ∫[f(t)*cos(nωt)]dt
bn = (2/T) * ∫[f(t)*sin(nωt)]dt
其中，∫表示积分运算，上下界分别为一个周期的起始和结束时间。
通过计算这些积分，可以得到傅里叶级数的系数，进而将周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和。
这样的展开形式可以方便地进行信号处理和频谱分析等操作。
《傅里叶级数》课件
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
傅里叶级数的定理
傅里叶级数的定理傅里叶级数是一种将周期函数表示为三角函数的级数展开形式的数学工具。
它是由法国数学家傅里叶在18世纪提出的，被广泛应用于物理学、工程学和信号处理等领域。
傅里叶级数的定理提供了一种将任意周期函数分解为正弦和余弦函数的方法，使得我们可以更好地理解和分析周期性的现象。
傅里叶级数的定理可以简单地表述为：任意一个周期为T的函数f(x)可以表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，即f(x) = a0 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中an和bn是傅里叶系数，表示了函数f(x)中各个频率分量的振幅，ω=2π/T是角频率。
a0是直流分量，对应于频率为0的分量。
傅里叶级数的定理是基于正交函数的思想而来。
正交函数是指在某个区间上两两内积为0的函数。
在傅里叶级数中，正弦和余弦函数是互相正交的，因此可以通过内积运算来确定各个傅里叶系数的值。
傅里叶级数的定理在实际应用中具有重要意义。
首先，它可以将复杂的周期函数分解为一系列简单的正弦和余弦函数，使得我们能够更好地理解函数的频域特性。
其次，傅里叶级数的定理为信号处理提供了一种便捷的方法，可以对信号进行频谱分析和滤波处理。
此外，傅里叶级数还被广泛应用于图像处理、音频处理和通信系统等领域。
傅里叶级数的定理具有一些重要的性质。
首先，对于一个具有奇对称性或偶对称性的函数，其傅里叶级数只包含正弦函数或余弦函数。
其次，傅里叶级数的收敛性得到了严格的数学证明，即对于一个光滑的函数，其傅里叶级数可以收敛到原函数。
此外，傅里叶级数还满足线性性质，即两个函数的傅里叶级数之和等于它们的傅里叶级数之和。
傅里叶级数的定理虽然强大，但也有一些限制。
首先，傅里叶级数只适用于周期函数，对于非周期函数需要进行适当的处理才能使用傅里叶级数展开。
其次，傅里叶级数的展开系数需要通过积分计算，对于一些复杂的函数可能无法得到解析解，需要使用数值方法进行近似计算。
傅里叶级数的定理为我们理解和分析周期函数提供了一种有效的工具。
傅里叶级数
a0 dx an cos nxdx bn sin nxdx 2 n 1 n 1
a0 2 a0 2
1 a0 f ( x )dx
傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
(2) 求ak .
a0 f ( x )cos kxdx 2
cos kxdx
[an cos nx cos kxdx bn sin nx cos kxdx ]
n 1
ak cos 2 kxdx ak ,
ak
f ( x )cos kxdx
1
( k 1, 2, 3,)
傅里叶级数
傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
傅里叶级数:以傅里叶系数为系数的三角级数.
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
问题:
a0 f ( x ) 条件 ? (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
3、收敛条件 定理：若 f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数，且在一个 周期内连续或只有有限个第一类间断点,则 f ( x ) 的傅 里叶级数收敛,并且
(1) 当 x 是 f ( x ) 的连续点时,级数收敛于 f ( x ) .
f ( x 0) f ( x 0) (2)当 x是 f ( x ) 的间断点时,收敛于 . 2
f ( 0) f ( 0) (3) 当 x为端点 x 时,收敛于 . 2
傅里叶级数
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傅里叶级数（Fourier Series ）
引言
正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数 就是一个以ωπ
2为周期的函数。
其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为
角频率，ϕ为初相。
但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。
具体地说，将周期为)2(ωπ
=T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数
)sin(n n t n A ϕω+组成的级数来表示，记为
其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ϕ都是常数。
将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。
在电工学上，这种展开称为谐波分析。
其中常数项0A 称为
)(t f 的直流分量；)sin(11ϕω+t A 称为一次谐波（又叫做基波）
；而)2sin(22ϕω+t A ， )3sin(33ϕω+t A 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。
为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ϕω+按三角公式变形，得 t n A t n A t n A n n n n n n ωϕωϕϕωsin cos cos sin )sin(+=+， 令x t A b A a A a n n n n n n ====ωϕϕ,cos ,sin ,2
00，则上式等号右端的级数就可以改写成
这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。
1.函数能展开成傅里叶级数的条件
（1） 函数)(x f 须为周期函数；
（2） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果0x 是函数)(x f 的间断点，但
左极限)0(0-x f 及右极限)0(0+x f 都存在，那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点）
（3） 在一个周期内至多只有有限个极值点。
若满足以上条件则)(x f 能展开成傅里叶级数，且其傅里叶级数是收敛的，当x 是)(x f 的连续点时，级数收敛于)(x f ，当x 是)(x f 的间断点时，级数收敛于)]0()0([2
1++-x f x f 。
、 以上也是收敛定理（狄利克雷（Dirichlet ）充分条件）的内容。
2.函数展开成傅里叶级数
（1）首先介绍一下三角函数系的正交性的概念：
所谓三角函数1， ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos nx nx x x x x ① 在区间],[ππ-上正交，就是指在三角函数系①中任何不同的两个函数的乘积在区间
],[ππ- 上的积分等于零，即
⎰
-=ππ0cos nxdx )3,2,1( =n ， ⎰
-=ππ0sin nxdx )3,2,1( =n ， ⎰
-=ππ0cos sin nxdx kx )3,2,1,( =n k ， ⎰-=ππ0cos cos nxdx kx ),3,2,1,(n k n k ≠= ， ⎰-=ππ
0sin sin nxdx kx ),3,2,1,(n k n k ≠= . （2）傅里叶系数的推导
设)(x f 是周期为π2的周期函数，且满足收敛定理的条件，则函数)(x f 的傅里叶级数记作
∑∞=++=1
0)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f ② 那么傅里叶系数 ,,,110b a a 如何利用)(x f 表达出来？
先求0a ，对②式从π-到π逐项积分：
根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则：
从而得出
其次求n a ，用nx cos 乘②式两端，再从π-到π逐项积分，可得
根据三角函数系①的正交性，可以得出：
⎰-=⇒π
ππnxdx x f a n cos )(1 )3,2,1( =n .
类似地，用nx sin 乘②式两端，再从π-到π逐项积分，可得
根据三角函数系①的正交性，可以得出：
由于当0=n 时，n a 的表达式正好给出0a ，因此，已得结果可以合并写成
⎰-=
⇒πππn x d x x f a n c o s )(1 )3,2,1,0( =n ， ⎰-=π
ππnxdx x f b n sin )(1 )3,2,1( =n ， 例： 设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在),[ππ-上的表达式为
将)(x f 展开成傅里叶级数。
解 所给函数满足收敛定理的条件，它在点),2,1,0( ±±==k k x π处不连续，在其它点处连续，从而由收敛定理可知)(x f 的傅里叶级数收敛，且当πk x =时级数收敛于 02
)1(1211=-+=+-， 当πk x ≠时级数收敛于)(x f 。
计算傅里叶系数如下：
0= )3,2,1,0( =n ；
将求得的傅里叶系数代入，得出)(x f 的傅里叶级数展开式为：
+∞<<-∞x (；),2,,0 ππ±±≠x .
3.奇函数和偶函数的傅里叶级数
定理：设)(x f 是周期为π2的函数，满足收敛定理的条件，则
① 当)(x f 为奇函数时，它的傅里叶系数为
② 当)(x f 为偶函数时，它的傅里叶系数为
下面对这个定理加以证明
（1）证 设)(x f 为奇函数，即)()(x f x f -=-。
按傅里叶系数公式有：
利用定积分换元法，在右边的第一个积分中以x -代替x ，然后对调积分的上下限同时更换它的符号，得
同理
（2）证 设)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-。
同（1）利用定积分换元法
这个定理说明了：如果)(x f 为奇函数，那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数 如果)(x f 为偶函数，那么它的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数
4.傅里叶级数的复数形式
傅里叶级数还可以用复数形式表示，在电子技术中，经常应用这种形式。
设周期为π2周期函数)(x f 的傅里叶级数为 ∑∞=++1
0)sin cos (2n n n nx b nx a a ③ 其中系数n n b a ,为
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫==
==
⎰⎰--ππππππ).,3,2,1(sin )(1),,2,1,0(cos )(1 n nxdx x f b n nxdx x f a n n ④ 利用欧拉公式 2cos it it e e t -+=，i
e e t it
it 2sin --= 于是③式化为
.)22210∑∞=-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-+=n i n x n n i n x n n e ib a e ib a a ⑤ 记
则⑤式就表示为
inx n n e c ∑∞
-∞==
⑥ ⑥式即为傅里叶级数的复数形式。
系数n c 的计算
根据④式可得出dx x f a c ⎰-==πππ)(212
00 ),3,2,1()(21 ==--⎰n dx e x f inx πππ；
将已得的结果合并为：
.),2,1,0()(21 ±±==--⎰n dx e x f c inx n πππ ⑦
⑦式就为傅里叶系数的复数形式。
傅里叶级数的两种形式，在本质上是一样的，但复数形式比较简洁，且在电子技术中经常用到这种形式。