方波信号f(t)展开为傅里叶级数
方波信号的傅里叶变换
g (t) F()
1
－ 2/
2/
－/ 2 0 / 2
(a)
t
0 (b )
图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
解 矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为
1 g r (t ) 0 gτ(t)的傅里叶变换为 t t
f (t ) 1
t
F ( j ) 1 e jt dt
单位直流信号的频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。 解 幅度为1的单位直流信号可表示为 f(t)=1,-∞<t<∞ (4―44) 它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的一个 特例,即
1 lim e
0
t
u (t ), 0 u( t )] lim[ e
0
t
(4―45)
[1] [lim e
0
t
2a u( t )] lim 2 0 a 2
(4―46)
0 0 0
lim
0
2 2 d lim d( ) 2 2 0 1 ( )2
(4―50)
f (t)
F()
1
0 －1 (a )
t
0
(b )
图4.10 符号函数及其频谱
符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在α取极限趋近0时的一 个特例: t e t0 (其中α>0) f ( t ) t t0 e
F [ f (t )]
F(j ) 1
f (t )
方波信号的傅里叶变换_图文
(4―45)
(4―46)
(4―47)
(4―48) (4―49)
图4.9 单位直流信号及其频谱
符号函数Sgn(t)的频谱函数
例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
考察例 3.4-4 所示信号f(t)
当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频 谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。
图 3.8-2 例 3.8-2 (a) 系统组成； (b) s(t)的波形
先求f(t)的傅里叶变换F(jω)，由于
再求s(t)的傅里叶变换S(jω)。由于s(t)为周期信号，T=1ms，则 , 因而有
图 3.8-3 y(t)的求解
图 3.4-4 例 3.4-4 (a) 信号f(t); (b) 频谱
解 图示信号f(t)可表示为
(a>0)
门函数的频谱函数
例 3.4-1 图 3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度 为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
解 门函数gτ(t)可表示为
Байду номын сангаас
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
解 矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为
gτ(t)的傅里叶变换为
(4―36)
(4―37) (4―38) (4―39)
δ(t)的频谱函数
例 3.4-5 求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。
图 3.4-5 信号δ(t) (a) 单位冲激信号δ(t); (b) δ(t)的频谱
几种常见函数的傅里叶变换及推导
几种常见函数的傅里叶变换及推导傅里叶变换是数学中一种非常重要的变换方法，它可以将一个函数在时域（或空域）中的表达转换为频域中的表达。
在信号处理、图像处理、通信等领域中被广泛应用。
本文将介绍几种常见函数的傅里叶变换及推导过程。
1. 方波函数的傅里叶变换方波函数是一种周期函数，它在每个周期内以不同的幅度交替出现。
方波函数的傅里叶变换可以通过将方波函数表示为一系列正弦函数的和来推导得到。
假设方波函数为f(t)，其周期为T，傅里叶变换为F(ω)。
根据傅里叶级数展开的性质，方波函数可以表示为：f(t) = (1/2) + (2/π)sin(ωt) + (2/π)sin(2ωt) + (2/π)sin(3ωt) + ...其中，ω = 2π/T是方波函数的角频率。
根据傅里叶变换的定义，可以得到方波函数的傅里叶变换为：F(ω) = (1/2)δ(ω) + (1/2π)[δ(ω-ω0) - δ(ω+ω0)] + (1/2π)[δ(ω-2ω0) - δ(ω+2ω0)] + (1/2π)[δ(ω-3ω0) - δ(ω+3ω0)] + ...其中，δ(ω)是狄拉克函数，表示单位冲激函数。
傅里叶变换的结果是一系列的冲激函数，每个冲激函数对应一个正弦函数的频谱分量。
2. 高斯函数的傅里叶变换高斯函数是一种常用的连续函数，其在数学和物理学中有广泛的应用。
高斯函数的傅里叶变换可以通过将高斯函数表示为指数函数的平方和来推导得到。
假设高斯函数为f(t)，傅里叶变换为F(ω)。
根据高斯函数的定义，可以得到：f(t) = e^(-αt^2)其中，α是常数。
根据傅里叶变换的定义，可以得到高斯函数的傅里叶变换为：F(ω) = √(π/α)e^(-ω^2/(4α))高斯函数的傅里叶变换仍然是一个高斯函数，只是幅度和频率发生了变化。
3. 矩形函数的傅里叶变换矩形函数是一种常见的函数，它在一个有限区间内的值为常数，而在其他区间内的值为零。
矩形函数的傅里叶变换可以通过将矩形函数表示为两个单位阶跃函数的差来推导得到。
方波信号f(t)展开为傅里叶级数.ppt
01j
1
jarctan
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分别为
F ( ) 1 2 2
( ) arctan
单边指数信号的频谱
例4―4 求单边指数信号的频谱。 解 单边指数信号是指
f (t) eatu(t),a 0
F() f (t)e jtdt eat e jtdt
1
j
2 T
2
f (t)cos(2nft)dt
2 T
0 T
2
(1)cos(2nft)dt 2
T
T 2 0
1 cos(2nft)dt
2 T
1
2 nf
[ sin(2 nft)]
0 T
2
2 T
1
2 nf
[sin(2 nft)]
T
2 0
0
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin(2nft)dt
2 T
o 2
τ 2
t
(a )
F(j )
2
－
4
－
2
o
4
(b )
F( )
( )
－
4
－
2
o
2 4
－
4
－
2
o 2 4
－
(c)
(d )
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
g(t)
F()
1
－ 2/
2/
－/ 2 0 / 2
t
方波信号f展开为傅里叶级数
f (t)sin(2nft)dt
2
T
0 T
2
(1)sin(2nft)dt 2
T
T 2 0
1 sin(2nft)dt
2 T
1 [cos(2nft)] 2 nft
0 T
2
2 T
1
2 nf
[ cos(2 nft)]
T
2 0
2 (1 n ) n
0,
2
－4
－
2
o
4
(b )
F( )
( )
－4 －2 o
2 4
－4 －2
o 2 4
－
(c)
(d )
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
15 °
10 °
o
2
3
4 5
6
(b )
图 3.3-1 例 3.3-1
(a) 振幅谱； (b) (b) 相位谱
|F n |
2
1 .5
1 .5
1
1
1
0 .4 0 .2
0 .4 0 .2
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o
2 3 4 5 6
(a )
n 45°
li m0 a2
2a
2
0
0 0
(4―45) (4―46)
lim
0
2
2019方波信号f(t)展开为傅里叶级数.ppt
解
F ( j ) (t )e
jt
dt 1
可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了 所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。 显然， 信号δ(t)实际上是无法实现的。
1 f (t ) 2
1e d
jt
根据分配函数关于δ(t)的定义， 有
(4―47)
lim 2 arctan 0 [1] 2 ( ) 1 2 ( )
2
(4―48)
(4―49)
f (t) 1 2
F()
0 (a )
t
0 (b )
图4.9 单位直流信号及其频谱
符号函数Sgn(t)的频谱函数
例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
2 an T 2 T
T 2 T 2 0 T 2
f (t ) cos(2 nft )dt 2 ( 1) cos(2 nft )dt T
0 T 2
T 2
0
1 cos(2 nft )dt
T 2 0
2 1 [ sin(2 nft )] T 2 nf 0
2 1 [sin(2 nft )] T 2 nf
f (t) 1 e t o (a ) e－t ＞0 ) t
2
F(j )
o (b )
图 3.4-3 (a) 双边指数函数； (b) 频谱
偶对称双边指数信号的频谱
例4―5 求双边指数信号的频谱。 解 双边指数信号是指
f (t ) e
F ( )
0
t
傅里叶级数复指数展开公式
傅里叶级数复指数展开公式傅里叶级数复指数展开公式是一种将任意周期函数展开为一系列正弦和余弦函数的方法。
它被广泛应用于信号处理、电子工程和物理学等领域。
在这篇文章中，我们将详细介绍傅里叶级数复指数展开公式，包括其基本原理、数学推导和应用示例。
首先，我们需要了解什么是傅里叶级数。
傅里叶级数是一种将任意周期函数表示为正弦和余弦波的和的方法。
考虑一个周期为T的函数f(t)，它可以表示为如下形式的级数：f(t) = a0 + a1*cos(ωt) + a2*cos(2ωt) + a3*cos(3ωt) + ...其中，ω是频率，a0、a1、a2等是系数。
这个级数称为傅里叶级数展开。
现在，我们介绍傅里叶级数复指数展开公式。
傅里叶级数复指数展开公式将傅里叶级数中的余弦函数用复指数函数表示。
它的形式如下：f(t) = ∑(c_n*exp(inωt))其中，c_n是系数，n是一个整数，ω是角频率。
这个公式的好处是简化了计算，因为复指数函数具有较简单的性质。
为了推导傅里叶级数复指数展开公式，我们需要介绍欧拉公式。
欧拉公式是一个重要的数学公式，它将复指数函数表示为正弦和余弦函数的和：exp(iθ) = cos(θ) + i*sin(θ)将欧拉公式应用于傅里叶级数中的复指数项，可以得到：f(t) = ∑(c_n*cos(nωt) + i*c_n*sin(nωt))再将正弦函数用e^ix和e^-ix的形式表示，可以得到：f(t) = ∑(c_n/2*(e^(inωt) + e^(-inωt))) +∑(i*c_n/2*(e^(inωt) - e^(-inωt)))将上述两个级数合并，可以得到傅里叶级数复指数展开公式。
在展开公式中，每一项都是一个复指数函数的和，其中包含傅里叶级数的系数c_n和相应的频率nω。
傅里叶级数复指数展开公式具有广泛的应用。
例如，在信号处理中，它可以用于将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的和，以便分析和处理。
傅里叶计算方波频率
傅里叶计算方波频率傅里叶分析是一种将一个信号进行频谱分解的数学方法。
它通过将信号分解为一系列正弦和余弦函数的和来描述其频谱内容。
方波信号是一种周期性信号，由一系列矩形脉冲组成，因此可以通过傅里叶分析来计算其频率。
要计算方波信号的频率，首先需要了解方波信号的数学定义。
方波信号可以定义为一个周期函数，其周期为T，占空比为d（d为0到1之间的值），即方波的脉冲宽度为dT。
方波信号可以用以下公式表示：f(t) = A * sign(sin(2πt/T))其中，sign是符号函数，其取值为1或-1，取决于sin(2πt/T)的正负号。
A是方波信号的幅值，t是时间。
接下来，我们需要将方波信号展开为一系列正弦和余弦函数的和，以便进行傅里叶变换。
根据傅里叶级数的定义，我们知道方波信号可以展开为如下形式的级数：f(t) = (4A/π) * [sin(2πt/T) + (1/3) * sin(6πt/T) + (1/5) * sin(10πt/T) + ...]这个级数包含了基频sin(2πt/T)，以及一系列的谐波，其频率是基频的整数倍。
因此，我们可以通过计算这些谐波频率的整数倍来得到方波信号的频率。
首先，我们计算基频的频率。
基频对应于sin(2πt/T)的频率，即2π/T。
我们可以通过基频的周期来计算频率，即f = 1/周期。
对于方波信号，其周期为T，所以基频的频率为f0 = 1/T。
接下来，我们计算谐波的频率。
谐波对应于sin(nωt)，其中n为整数，ω为基频的角频率，即2πf0。
我们可以通过将基频频率乘以谐波的整数倍来得到谐波的频率，即fn = n*f0。
例如，如果方波信号的周期为T=1秒，即频率为f0=1/T=1Hz。
那么基频的频率为f0=1Hz。
而第一个谐波的频率为f1=2f0=2Hz，第二个谐波的频率为f2=3f0=3Hz，以此类推。
通过计算基频和谐波的频率，我们可以得到方波信号的频率。
方波信号的频率是基频和所有谐波频率的集合。
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t0 t0
( 0)
1 F( )
o (a)
t
o
(b) 图 3.4-2 单边指数函数e-αt及其频谱 (a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱
解
F ( j ) f (t )e
jt
dt e t e jt dt
偶对称双边指数信号的频谱
例4―5 求双边指数信号的频谱。 解 双边指数信号是指
f (t ) e
F ( )
0
t
u(t ), 0
e e
at j t
(4―42)
从频谱函数的定义式出发
e e
at
j t
dt
0
1 1 dt j j
t
F ( j ) 1 e jt dt
单位直流信号的频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。 解 幅度为1的单位直流信号可表示为 f(t)=1,-∞<t<∞ (4―44) 它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的一个 特例,即
1 lim e
0
t
F() 1
0 (a)
t
0 (b)
图4.5 冲激信号及其频谱
移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数
例4―12求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数。 解 由于已知冲激函数δ(t)的频谱函数为1, 求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数，此时可利 用傅里叶变换的时移特性式(4―74)。
[ ( t t0 )] e j t0 1
1
图 3.4-4 例 3.4-4 图 (a) 信号f(t); (b) 频谱
解 图示信号f(t)可表示为
e f (t ) at e
at
t0 t0
(a>0)
F ( j ) e
0
t jt
dt
1 1 2 j 2 2 j j a
4 2 o － (d) 2 4
－ 4 2 o 2 4
－
－
－
(c)
图 3.4-1 门函数及其频谱 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
g (t) F()
2 T bn 2T f (t )sin(2 nft )dt T 2 2 0 2 T T ( 1)sin(2 nft )dt 2 1 sin(2 nft )dt 0 T 2 T 2 1 [ cos(2 nft )] T 2 nft 2 (1 n ) n
u (t ), 0 u( t )] lim[ e
0
t
(4―45)
[1] [lim e
0
t
2a u( t )] lim 2 0 a 2
(4―46)
0 0 0
lim
0
2 2 d lim d( ) 2 2 0 2 1 ( )
振幅谱和相位谱例题
例 3.3-1
f (t ) 1 3 cos(t 10) 2 cos(2t 20) 0.4 cos(3t 45) 0.8 cos(6t 30),
试画出f(t)的振幅谱和相位谱。 解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里
1 Sgn(t ) 1
考察例 3.4-4 所示信号f(t)
t0 t0
e f (t ) at e
at
t0 t0
( 0)
当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频 谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。 例 3.4-4 所示信号的频谱函数为 j
e
t
e
j t
dt
e t e j t dt
1 1 j j 2 j 2 2 2 0 2 j lim j 2 2 0 0 0 2 F [sgn(t )] j
1
－2/
2/
－/ 2 0 / 2
(a)
t
0 (b)
图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
解 矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为
1 g r (t ) 0 gτ(t)的傅里叶变换为 t t
2
2
(4―36)
2
[ g r (t )]
|Fn | 2 1 .5 1 0 .4 1 1 .5 1 0 .4
4 5 6
0 .2
2
0 .2
3
－ 6－ 5 － 4 － 3－ 2 － o (a)
4 5° 3 0° 1 5° － 6－ 5 － 4－ 3 － 2 － o －1 0° －2 0° －3 0° －4 5° (b)
T 2 T 2 0 T 2
f (t ) cos(2 nft )dt 2 ( 1) cos(2 nft )dt T
0 T 2
T 2
0
1cos(2 nft )dt
T 2 0
2 1 [ sin(2 nft )] T 2 nf 0
2 1 [sin(2 nft )] T 2 nf
叶级数展开式。据
A0 f (t ) An cos(nt n ) 2 n 1
可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2 s，ω=2π、3π、 6 π分别为二、 三、六次谐波频率。且有
A0 1 2
1 0 1 10 2 20
A1 3 A2 2 A3 0.4 A6 0.8
2 ，从而有 2 2
Sgn(t) 1
X( )
o －1 (a)
t
o
(b)
图 3.4-7 符号函数Sgn(t)及其频谱 (a)Sgn(t)的波形； (b) 频谱
符号函数的频谱
例4―7求符号函数的频谱。 解 符号函数简记为sgn(t),它的定义为
1 t 0 sgn(t ) 0 t 0 1 t 0
2
e
j t
sin( / 2) dt / 2
(4―37)
sin( x ) Sa ( x ) x [ g r (t )] Sa (
(4―38)
2
)
(4―39)
δ(t)的频谱函数
例 3.4-5 求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。
F(j ) 1
f (t)
(t)
n
4 5° 3 0° 2 0° 1 0°
2
3
4
5
6
－1 5° －3 0° －4 5°
图 3.3-2 例 3.3-1 信号的 双边频谱 (a) 振幅谱； (b) 相位谱
单边指数函数f(t)的频谱函数 例 3.4-2 求指数函数f(t)的频谱函数。
e at f (t ) 0
(4―47)
lim 2 arctan 0 [1] 2 ( ) 1 2 ( )
2
(4―48)
(4―49)
f (t) 1
F() 2
0 (a)
t
0 (b)
图4.9 单位直流信号及其频谱
符号函数Sgn(t)的频谱函数
例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
方波信号f(t)展开为傅里叶级数
例4―1 试将图4.2所示的方波信号f(t)展开 为傅里叶级数。
f (t) 1
－T
T 2
0 －1
T 2
T
2T
t
图4.2 方波信号的傅里叶级数
解 我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数, 并按式(4 ― 7)、(4―8)、(4―9)分别计算an, bn 及c。
2 an T 2 T
o (a)
t
o (b)
图 3.4-5 信号δ(t)及其频谱 (a) 单位冲激信号δ(t); (b) δ(t)的频谱
解
F ( j ) (t )e
jt
dt 1
可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了 所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。 显然， 信号δ(t)实际上是无法实现的。
(4―50)
f (t)
F()
1
0 －1 (a)
t
0
(b)
图4.10 符号函数及其频谱
符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在α取极限趋近0时的一 个特例: e t t 0 (其中α>0) f ( t ) t t0 e
F [ f (t )]
其余
3 45 6 30
An 0
An 3
3
2
2
1 0 .4 o
0 .8
2
3
(a)
4
5
6
4 5°
n
4 5°
3 0°
3 0° 2 0° 1 0°
1 5°
o
2
3
(b)
4
5
6