周期函数的傅里叶级数展开式
ch3.周期信号的傅里叶级数展开
周期信号的傅里叶级数展开：1． 三角形式： 周期信号()f t ，周期T ，基波频率12w Tπ=，所构成的完备正交函数集：三角函数集{}11cos ,sin nwt nwt ； ()0111()cos sin n n n f t a a nw t b nw t ∞==++∑其中：2021()TT a f t dt T -=⎰2122()cos TT n a f t nw tdt T -=⎰2122()sin TT n b f t nw tdt T -=⎰ 注意: (1) 展开条件：狄利赫利条件 （2） 另外一种形式：011()cos()nn n f t c cnw t ϕ∞==++∑其中：00c a =n c =nn nb tg a φ=-（3）物理意义： （4）幅度谱和相位谱2. 指数形式： 完备正交函数集 ：复指数函数集{}1jnw t e1()jnw tnn f t F e∞=-∞=∑其中1221()Tjnw t T n F f t e dt T --=⎰注意：（1）幅度谱和相位谱nj n n F F e φ= ：偶谱和奇谱与三角形式间的关系（2）两种级数间的关系 3. 函数()f t 满足对称性的级数展开： （1） 偶函数：011()cos n n f t a a nw t ∞==+∑0n b =或011()cos()n n n f t c c nw t ϕ∞==++∑，00c a =||n n c a =0,0,0n n n a a ϕπ>⎧=⎨<⎩（2）奇函数：11()sin n n f t b nw t ∞==∑00n a a ==或011()cos()n n n f t c c nw t ϕ∞==++∑，00c =||n n c b =,02,02nn nb b πϕπ⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩（3）奇谐函数：()()2T f t f t =-±其傅里叶级数展开式中仅含奇次谐波分量，即： 0240a a a ====2460b b b ====4. 典型周期矩形脉冲的傅里叶级数信号()f t ，周期为T ，脉宽为τ，脉幅为E（1）三角形式011()cos nn f t a anw t ∞==+∑0n b =其中：2202211()T T E a f t dt Edt T T Tτττ--===⎰⎰211222cos 2n E a E nw tdt Sa nw T T ττττ-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 谐波形式：011()cos()n n n f t c c nw t φ∞==++∑其中：00c a =n nc a =， {0,0,0n n n a a ϕπ>=<（2）指数形式：1()jnw t n n f t F e ∞=-∞=∑其中：11222211()T jnw tjnw t T n F f t e dt Ee dt T T ττ---==⎰⎰112E Sa nw T ττ⎛⎫=⎪⎝⎭（3）幅度谱和相位谱的特点 谱线间隔和频谱宽度二．傅里叶变换 ()()jwt F w f t e dt ∞--∞=⎰1()()2jwt f t F w e dw π∞-∞=⎰特点：（1）()()()j w F w F w e ϕ=幅频函数和相频函数（2）变换条件：|()|f t dt ∞-∞<∞⎰ （3）()f t 也是由许多频率分量构成三．常见信号的傅里叶变换对 单边指数衰减信号,0()0,0t e t f t t α-⎧>=⎨<⎩，0α> ↔1()F w jw α=+ 双边指数衰减信号||,0(),0t t te tf t ee t ααα--⎧>==⎨<⎩ ↔222()F w w αα=+矩形脉冲(),2f t E tτ=<↔ ()()2F w E Sa w ττ=符号函数()sgn()f t t = ↔2()F w jw=冲击函数()()f t t δ= ↔ ()1F w = ()()f t t δ'=↔ ()F w jw =()()()n f t t δ=↔ ()()nF w jw = 直流信号()1f t = ↔ ()()2F w w πδ=()f t jt =-↔ ()()2F w w πδ'=()()nf t jt =-↔()()()2n F w w πδ=阶跃信号()()f t u t = ↔()1()F w w jwπδ=+四．傅里叶变换的性质 1.线性性2.奇偶虚实性：()f t 为实函数()()()cos ()sin jwtF w f t edt f t wtdt j f t wtdt ∞∞∞--∞-∞-∞==-⎰⎰⎰（1）()f t 为实偶函数，虚部()()sin 0X w f t wtdt ∞-∞==⎰ （2）()f t 为实奇函数，实部()()cos 0R w f t wtdt ∞-∞==⎰3. 对称性4.时移性5. 尺度变换：时域压缩，频谱扩张 时域扩张，频谱压缩 时域反褶，频谱反褶6.频移性：00()()jw tF f t e F w w ⎡⎤=-⎣⎦[][]001()cos ()()2F f t wt F w w F w w =-++[][]001()sin ()()2F f t wt F w w F w w j=--+ 7.时域微分：[]()()F f t jwF w '=()()()()n nF f t jw F w ⎡⎤=⎣⎦8.频域微分：[]()()F jtf t F w '-=()()()()n n F jt f t F w ⎡⎤-=⎣⎦9.时域卷积：()()()1212()F f t f t F w F w *=⎡⎤⎣⎦ 10.频域卷积：五．周期信号的傅里叶变换：（1） 周期信号的傅里叶级数展开式：1()jnw tnn f t F e ∞=-∞=∑（2） 周期信号的傅里叶变换：1()2()nn F w F w nw πδ∞=-∞=-∑特点：（ⅰ）频谱为冲击谱 （ⅱ）强度为2n F π（ⅲ）谱线位于谐波处（1nw ）（ⅳ）()1120211()|Tjnw t jwt T n w nw F f t e dt f t e dt T T∞--=-∞-==⎰⎰()101|w nw F w T==其中：0()f t 为周期信号的第一个脉冲， ()0F w 为0()f t 的傅里叶变换。
傅里叶级数展开步骤
傅里叶级数展开步骤1. 引言傅里叶级数是一种将周期性函数分解为一系列正弦和余弦函数的方法。
它在信号处理、图像处理、物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数展开的基本概念和步骤。
2. 傅里叶级数的定义傅里叶级数是指将一个周期为T的函数f(t)表示为一个无限级数的形式：=+_{n=1}^{}(a_n(t)+b_n(t)))其中，a0、an和bn称为函数f(t)对应的傅里叶系数。
a0是常数，an和bn是正弦和余弦函数的振幅。
3. 傅里叶系数计算要计算一个函数f(t)对应的傅里叶系数，需要进行以下步骤：3.1 计算a0a0可以通过以下公式计算得到：dt)其中，T是函数f(t)的周期。
3.2 计算an和bnan和bn可以通过以下公式计算得到：(t)dt)(t)dt)在计算an和bn时，需要注意的是：•如果函数f(t)是偶函数，那么所有的bn都为0。
•如果函数f(t)是奇函数，那么所有的an都为0。
3.3 傅里叶级数展开根据计算得到的傅里叶系数，可以将函数f(t)展开为傅里叶级数形式：=+_{n=1}^{}(a_n(t)+b_n(t)))4. 傅里叶级数的性质傅里叶级数具有以下性质：4.1 周期性傅里叶级数展开的函数f(t)与原函数在一个周期内是完全相同的。
4.2 线性性质如果将两个函数f(t)和g(t)分别展开为傅里叶级数，那么它们的线性组合也可以展开为傅里叶级数。
4.3 收敛性对于满足一定条件的函数，其傅里叶级数展开是收敛的。
这意味着可以通过截取有限项来逼近原函数。
5. 应用举例傅里叶级数在信号处理、图像处理等领域中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：5.1 音频信号处理通过将音频信号展开为傅里叶级数，可以分析音频信号中的频率成分，并进行音频合成、降噪等处理操作。
5.2 图像压缩在图像压缩中，可以利用傅里叶级数展开将图像从时域转换到频域，然后通过保留主要频率成分来实现图像的压缩。
5.3 信号滤波通过分析信号的频谱特性，可以设计滤波器来滤除不需要的频率成分，从而实现信号滤波的目的。
常用傅里叶级数展开公式
常用傅里叶级数展开公式傅里叶级数展开是指将一个周期函数表示成一组正弦和余弦函数的和的形式，从而方便研究周期函数的性质。
傅里叶级数理论建立于 1822 年由法国数学家约瑟夫·傅里叶发现。
在数学、物理、工程等领域均有广泛应用。
下面我们来看一下常用的傅里叶级数展开公式。
1. 周期函数的傅里叶级数展开设 $f(x)$ 为周期为 $2l$ 的周期函数，则对于$x\in(-l,l)$ 函数 $f(x)$ 可以表示为以下形式：$$ f(x) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n \cos\frac{n\pi x}{l}+b_n \sin \frac{n\pi x}{l}) $$其中，$a_0,a_n,b_n$ 称为傅里叶系数，具体计算方法如下：$$ a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)dx $$$$ a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx $$$$ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx $$2. 正弦级数和余弦级数上面提到的傅里叶级数展开可以分为正弦级数和余弦级数。
当 $f(x)$ 为偶函数时，我们就可以展开成余弦级数形式：$$ f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n \cos \frac{n\pi x}{l} $$其中，$a_0,a_n$ 的计算方法与上述相同。
当 $f(x)$ 为奇函数时，我们就可以展开成正弦级数形式：$$ f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty}b_n \sin\frac{n\pi x}{l} $$其中，$b_n$ 的计算方法也与上述相同。
3. 周期不为 $2l$ 的函数的傅里叶级数展开对于周期不为 $2l$ 的函数，我们需要将其转化为一个周期为 $2l$ 的函数，并称其为 $F(x)$，然后再做傅里叶级数展开。
傅里叶级数展开与傅里叶变换
傅里叶级数展开与傅里叶变换是数学中重要的工具和方法，它们在信号处理、图像处理、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文将从基本概念、数学表达以及在实际应用中的作用进行阐述。
首先，傅里叶级数展开是一种将周期函数表示为正弦或余弦函数的无穷级数的方法。
对于一个周期为T的函数f(t)，可以用一系列正弦、余弦函数的叠加来表示：f(t) = a0 + Σ(an cos(nωt) + bn sin(nωt))其中，a0是常数项，an和bn是系数，n是正整数，ω是基本频率，ω=2π/T。
这个公式称为傅里叶级数展开式。
通过求解函数f(t)与正弦、余弦函数的内积，可以得到系数an和bn的值，从而完全描述了原始函数f(t)的特性。
傅里叶级数展开是非常有用的，它可以将一个复杂的周期函数分解为多个简单的正弦、余弦函数的叠加。
这样做的好处是，我们可以通过调整不同频率的正弦、余弦函数的系数来改变周期函数的形状。
例如，在音乐中，通过改变音调、音量等参数，我们可以产生不同的乐音。
然而，傅里叶级数展开只适用于周期函数，有一定的局限性。
当我们处理非周期函数时，就需要用到傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将非周期函数表示为连续频谱的方法。
对于一个非周期函数f(t)，可以用以下公式进行表示：F(ω) = ∫[f(t) * e^((-iωt)) dt]其中，F(ω)是频域函数，表示函数f(t)在频率ω上的分量大小。
这个公式称为傅里叶变换。
傅里叶变换利用了复数的性质，将时间域上的函数转换到频域上。
通过傅里叶变换，我们可以将原始函数f(t)分解成多个频率分量。
这样做的好处是，我们可以分析非周期函数中的频率分布情况。
例如，在图像处理中，我们可以通过对图像进行傅里叶变换，得到图像的频谱，从而分析图像的频率分布情况，实现图像滤波、边缘检测等操作。
傅里叶级数展开与傅里叶变换有着密切的联系。
事实上，傅里叶级数展开可以看作是傅里叶变换的一种特殊情况。
当周期T趋于无穷时，傅里叶级数展开就变成了傅里叶变换。
8.8任意周期函数的傅里叶级数
( n 1,2,…)
( 1) n z F (z) sin , n1 n 5 10
n
( 5 z 5)
( 1) n z F (z) sin , n1 n 5 10
n
z F ( z ),
z x 10,
( 1) n 10 x sin[ ( x 10)] n 1 n 5 10
n
(5 x 15)
例3 将函数 f x 2 x 1 x 1 展开成以2 1 为周期的傅立叶级数，并由此求级数 2的和. n 1 n
解 ∵ f ( x ) 2 x ( 1 x 1)是偶函数, 2 1 a0 (2 x )dx 5, 1 0 1 2 1 n x an (2 x )cos dx 2 x cos n xdx 0 1 0 1 2 1 2 xd sin n x 2 2 [( 1)n 1] n 0 n
1 1 (2k 1)2 (2k )2 k 1 k 1
1 1 1 2 1 1 2 2, 2 4 k 1 k 8 4 n 1 n k 1 (2k 1)
1 4 2 2 . 8 3 6 n 1 n
2
n
( 1)n n sin x . (5 x 15) n 1 n 5 10
1 15 n x dx 另解 an 5 10 x cos 5 5 15 n x 1 15 n x 2 cos dx x cos dx 0, 5 5 5 5 5 ( n 1,2,…)
( n 1,2,…)
2 O
2
x
1 2 n k bn k sin xdx (1 cos n ) 2 0 2 n 2k 2k 2m 1 m 1,2… n为奇数 n 0 n为偶数 0 n为偶数
常见傅里叶公式展开式
常见傅里叶公式展开式傅里叶级数是一种用三角函数序列表示周期函数的方法。
其中，常见的傅里叶公式展开式有以下几种：正弦函数展开式对于周期为T的函数f(t)，它的正弦函数展开式如下所示：f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(\frac{2\pi nt}{T}) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \cos(\frac{2\pi n t}{T})其中，a0、an和bn分别是函数f(t)展开式中的系数。
余弦函数展开式对于周期为T的函数f(t)，它的余弦函数展开式如下所示：f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(\frac{2\pi nt}{T}) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(\frac{2\pi n t}{T})其中，a0、an和bn分别是函数f(t)展开式中的系数。
奇函数的傅里叶级数展开式如果函数f(t)是一个奇函数，即满足f(-t) = -f(t)，那么它的傅里叶级数展开式简化为正弦函数的展开式，如下所示：f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(\frac{2\pi n t}{T})其中，bn是奇函数f(t)展开式中的系数。
偶函数的傅里叶级数展开式如果函数f(t)是一个偶函数，即满足f(-t) = f(t)，那么它的傅里叶级数展开式简化为余弦函数的展开式，如下所示：f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(\frac{2\pi n t}{T})其中，a0和an是偶函数f(t)展开式中的系数。
通过使用傅里叶公式展开式，我们可以将一个周期函数表示为一系列三角函数的线性组合，从而简化对周期函数的分析和计算。
请注意，以上展开式中的系数a0、an和bn需要根据具体函数的性质进行计算，并且展开式的收敛性需要进一步分析。
傅里叶级数的数学推导
t 0 T 1 t0
a0
cos( kw1t ) dt [ an
cos( nw1t )cos( kw1t )dt bn
t 0 T 1
t0
sin( nw1t )cos( kw1t ) dt ]
当 k=n 时
t 0 T 1
t0
cos( nw1t ) f (t ) dt an
1.傅里叶级数展开表达式为：（ T 1 为 f(t)的周期）
f (t ) a 0 a1 cos( w1t ) b1 sin( w1t ) a 2 cos(2 w1t ) b 2 sin( w2t )
.....+an cos(nw1t ) bn sin( nw1t ) a 0 [an cos(nw1t ) bn sin( nw1t )]
n 1
直流分量： a 0
1 t 0 T 1 f (t )dt T 12 t 0 T 1 cos(nw1t ) f (t )dt T 1 t 0
2 t 0 T 1 正弦分量的幅度： bn T 1 t 0 sin(nw1t ) f (t )dt
2.三角函数的正交性： 一个三角函数系：1，cosx, sinx, cos2x, sin2x……cosnx, sinnx,……….如果这一堆函数（包括 常数 1）中任何两个不同函数的乘积在区间[- , ]上 的积分等于 0，就说三角函数系在区间[- , ]上正交。 即有如下式子：
t 0 T 1
t0
cos( nw1t )cos( kw1t )dt an
t 0 T 1
t0
cos 2 ( nw1t )dt
an t 0 T 1 an (1 cos 2nw1t )dt T 1 2 t0 2
展开为傅里叶级数
展开为傅里叶级数在数学领域中，傅里叶级数是一种非常重要的工具，它可以将周期函数分解为无穷个三角函数的和。
今天我们来讨论一下如何将一个函数展开为傅里叶级数。
首先，我们需要了解什么是傅里叶级数。
傅里叶级数是指将一个周期为T的函数f(x)展开为一组三角函数的和：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中，ω=2π/T，an和bn是傅里叶系数。
这组三角函数包括了所有频率为nω的正弦函数和余弦函数。
接下来，我们需要求解傅里叶系数an和bn。
我们可以根据傅里叶级数的定义，对傅里叶级数的各个部分进行求和，并且利用正交性条件得到傅里叶系数的表达式：an = (2/T) * Σ(f(x) * cos(nωx)dx)bn = (2/T) * Σ(f(x) * sin(nωx)dx)其中，Σ表示求和符号，dx表示微元，T是函数的周期。
这里需要注意的是，傅里叶系数的求解需要对周期函数进行积分，而且是在一个周期内进行的积分。
因此，我们需要等价地将函数在一个周期内展开为三角函数的和。
最后，我们来看一个例子，将一个周期为2π的函数f(x) = x 在[-π,π]内展开为傅里叶级数：1.首先求解a0，根据傅里叶级数的定义，a0等于函数在一个周期内的平均值，即a0=(1/π) * ∫(π,-π)(xdx) = 0。
2.接下来求解an，an等于函数与cos(nωx)在一个周期内的积分，即an = (2/π) * ∫(π,0)(x*cos(nx)dx) = (2/π) *[(π*sin(nπ))/n - (1/n^2)*cos(nπ)]an = (2/π) * ∫(0,-π)(x*cos(nx)dx) = (2/π) * [-(π*sin(nπ))/n + (1/n^2)*cos(nπ)]因为sin(nπ)=0，cos(nπ)=(-1)^n，因此an = (-1)^n/n。
3.最后求解bn，bn等于函数与sin(nωx)在一个周期内的积分，即bn = (2/π) * ∫(π,0)(x*sin(nx)dx) = (2/π) *[(1/n)*cos(nπ) - (π*cos(nπ))/n]bn = (2/π) * ∫(0,-π)(x*sin(nx)dx) = (2/π) *[(π*cos(nπ))/n - (1/n)*cos(nπ)]因为sin(nπ)=0，cos(nπ)=(-1)^n，因此bn = 0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
奇函数的波 形对称于坐 标系的原点
a0 0, 2
an 0, bn 0
2
bn T
t0 T t0
f (t)sin(n1t) dt
4 T
T2
0 f (t)sin(n1t) dt
(2) 偶函数(even function)：
f ( t ) = f ( t )
返回
2 T t0
2
an T
t0 T t0
f
(t
) cos n
1t dt
2
bn T
t0 T t0
f
( t ) sinn
1t dt
频率相同的余弦项与正弦项合并为一个正弦函数
an cos n1t bn sinn1t An sin(n1t n )
An an2 bn2
n
arctan
an bn
基波(fundamental wave)或一次谐波(first harmonic)：
§81 周期函数的傅里叶级数展开式
周期函数 f ( t ) = f ( t + kT ) ( k = 1, 2, 3, … )
满足狄里赫利条件(Dirichlet condition) 傅里叶级数：
f
(t)
a0 2
(an
n1
cos
n1t
bn
s in n1t )
傅里叶系数：
a0 1 t0 T f ( t ) dt
偶函数的波 形对称于坐 标系的纵轴
bn 0,
a0 0, 2
an 0Biblioteka an2 Tt0 T t0
f (t)cos(n1t) dt
4
T
T2
0 f (t)cos(n1t) dt
(3) 奇谐波函数(odd harmonic function) ：
f (t) f (t T ) 2
后半周对横轴的镜象是前半周的重复
A1 sin(1t 1 )
n次谐波(n-th harmonic)：
An sin(n1t n ) (n 1)
二次和二次以上的谐波可统称为高次谐波(higher order harmonic)
谐波分析法(harmonic analysis)
具有对称性的周期函数的傅里叶级数展开式的特点： (1) 奇函数(odd function) ：
f (t ) [an cos(n1t ) bn sin(n1t )] n1
An sin(n1t n ) (n 1,3,5,) n1
值得指出：一个周期函数是否具有半波对称性， 仅决定于该函数的波形，但是，一个周期函数是否为 奇函数或偶函数则不仅与该函数的波形有关，而且和 时间起点的选择有关。