方波信号展开为傅里叶级数
方波信号的傅里叶变换
g (t) F()
1
－ 2/
2/
－/ 2 0 / 2
(a)
t
0 (b )
图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
解 矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为
1 g r (t ) 0 gτ(t)的傅里叶变换为 t t
f (t ) 1
t
F ( j ) 1 e jt dt
单位直流信号的频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。 解 幅度为1的单位直流信号可表示为 f(t)=1,-∞<t<∞ (4―44) 它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的一个 特例,即
1 lim e
0
t
u (t ), 0 u( t )] lim[ e
0
t
(4―45)
[1] [lim e
0
t
2a u( t )] lim 2 0 a 2
(4―46)
0 0 0
lim
0
2 2 d lim d( ) 2 2 0 1 ( )2
(4―50)
f (t)
F()
1
0 －1 (a )
t
0
(b )
图4.10 符号函数及其频谱
符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在α取极限趋近0时的一 个特例: t e t0 (其中α>0) f ( t ) t t0 e
F [ f (t )]
F(j ) 1
f (t )
方波信号的傅里叶变换_图文
(4―45)
(4―46)
(4―47)
(4―48) (4―49)
图4.9 单位直流信号及其频谱
符号函数Sgn(t)的频谱函数
例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
考察例 3.4-4 所示信号f(t)
当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频 谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。
图 3.8-2 例 3.8-2 (a) 系统组成； (b) s(t)的波形
先求f(t)的傅里叶变换F(jω)，由于
再求s(t)的傅里叶变换S(jω)。由于s(t)为周期信号，T=1ms，则 , 因而有
图 3.8-3 y(t)的求解
图 3.4-4 例 3.4-4 (a) 信号f(t); (b) 频谱
解 图示信号f(t)可表示为
(a>0)
门函数的频谱函数
例 3.4-1 图 3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度 为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
解 门函数gτ(t)可表示为
Байду номын сангаас
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
解 矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为
gτ(t)的傅里叶变换为
(4―36)
(4―37) (4―38) (4―39)
δ(t)的频谱函数
例 3.4-5 求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。
图 3.4-5 信号δ(t) (a) 单位冲激信号δ(t); (b) δ(t)的频谱
几种常见函数的傅里叶变换及推导
几种常见函数的傅里叶变换及推导傅里叶变换是数学中一种非常重要的变换方法，它可以将一个函数在时域（或空域）中的表达转换为频域中的表达。
在信号处理、图像处理、通信等领域中被广泛应用。
本文将介绍几种常见函数的傅里叶变换及推导过程。
1. 方波函数的傅里叶变换方波函数是一种周期函数，它在每个周期内以不同的幅度交替出现。
方波函数的傅里叶变换可以通过将方波函数表示为一系列正弦函数的和来推导得到。
假设方波函数为f(t)，其周期为T，傅里叶变换为F(ω)。
根据傅里叶级数展开的性质，方波函数可以表示为：f(t) = (1/2) + (2/π)sin(ωt) + (2/π)sin(2ωt) + (2/π)sin(3ωt) + ...其中，ω = 2π/T是方波函数的角频率。
根据傅里叶变换的定义，可以得到方波函数的傅里叶变换为：F(ω) = (1/2)δ(ω) + (1/2π)[δ(ω-ω0) - δ(ω+ω0)] + (1/2π)[δ(ω-2ω0) - δ(ω+2ω0)] + (1/2π)[δ(ω-3ω0) - δ(ω+3ω0)] + ...其中，δ(ω)是狄拉克函数，表示单位冲激函数。
傅里叶变换的结果是一系列的冲激函数，每个冲激函数对应一个正弦函数的频谱分量。
2. 高斯函数的傅里叶变换高斯函数是一种常用的连续函数，其在数学和物理学中有广泛的应用。
高斯函数的傅里叶变换可以通过将高斯函数表示为指数函数的平方和来推导得到。
假设高斯函数为f(t)，傅里叶变换为F(ω)。
根据高斯函数的定义，可以得到：f(t) = e^(-αt^2)其中，α是常数。
根据傅里叶变换的定义，可以得到高斯函数的傅里叶变换为：F(ω) = √(π/α)e^(-ω^2/(4α))高斯函数的傅里叶变换仍然是一个高斯函数，只是幅度和频率发生了变化。
3. 矩形函数的傅里叶变换矩形函数是一种常见的函数，它在一个有限区间内的值为常数，而在其他区间内的值为零。
矩形函数的傅里叶变换可以通过将矩形函数表示为两个单位阶跃函数的差来推导得到。
方波信号f(t)展开为傅里叶级数.ppt
01j
1
jarctan
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分别为
F ( ) 1 2 2
( ) arctan
单边指数信号的频谱
例4―4 求单边指数信号的频谱。 解 单边指数信号是指
f (t) eatu(t),a 0
F() f (t)e jtdt eat e jtdt
1
j
2 T
2
f (t)cos(2nft)dt
2 T
0 T
2
(1)cos(2nft)dt 2
T
T 2 0
1 cos(2nft)dt
2 T
1
2 nf
[ sin(2 nft)]
0 T
2
2 T
1
2 nf
[sin(2 nft)]
T
2 0
0
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin(2nft)dt
2 T
o 2
τ 2
t
(a )
F(j )
2
－
4
－
2
o
4
(b )
F( )
( )
－
4
－
2
o
2 4
－
4
－
2
o 2 4
－
(c)
(d )
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
g(t)
F()
1
－ 2/
2/
－/ 2 0 / 2
t
方波信号的傅里叶变换
CATALOGUE
方波信号的傅里叶变换原理
傅里叶变换的定义
01
02
03
04
05
傅里叶变换的性质
方波信号的傅里叶变换
CATALOGUE
方波信号的频谱分析
频谱的概念与计算
频谱定义
01
频谱计算
02
离散频谱
03
方波信号的频谱特点
基本频率分量
方波信号可以分解为一系列不同 频率的正弦波和余弦波的叠加， 这些正弦波和余弦波的频率即为
方波信号的傅里叶 变换
• 方波信号概述 • 方波信号的傅里叶变换原理 • 方波信号的频谱分析 • 方波信号的滤波处理 • 方波信号的合成与调制 • 方波信号的傅里叶变换实例分析
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方波信号概述
方波信号的定 义
• 方波信号是一种常见的周期性信号，其特点是信 号在一定周期内以矩形波的形式重复。方波信号 在时间轴上的一个周期内，波形的最大值为1，最 小值为-1，波形在最大值和最小值之间以线性方 式变化。
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方波信号的滤波处理
滤波器的基本概念
线性时不变系统
滤波器属于线性时不变系统，对输入信号的响应是线性的，并且 不随时间改变。
传递函数
滤波器的传递函数表示系统输入与输出之间的数学关系。
频率响应
滤波器的频率响应描述了系统对不同频率信号的增益或抑制程度。
方波信号的滤波处理方法
理想滤波器
感谢观看
方波信号的基本频率分量。
谐波分量
除了基本频率分量外，方波信号 还包含一系列谐波分量，它们的 频率是基本频率分量的整数倍。
频谱对称性
方波信号的频谱具有对称性，即 正弦波和余弦波的幅度随着频率 的增加而逐渐减小，且正弦波和
方波信号f展开为傅里叶级数
f (t)sin(2nft)dt
2
T
0 T
2
(1)sin(2nft)dt 2
T
T 2 0
1 sin(2nft)dt
2 T
1 [cos(2nft)] 2 nft
0 T
2
2 T
1
2 nf
[ cos(2 nft)]
T
2 0
2 (1 n ) n
0,
2
－4
－
2
o
4
(b )
F( )
( )
－4 －2 o
2 4
－4 －2
o 2 4
－
(c)
(d )
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
15 °
10 °
o
2
3
4 5
6
(b )
图 3.3-1 例 3.3-1
(a) 振幅谱； (b) (b) 相位谱
|F n |
2
1 .5
1 .5
1
1
1
0 .4 0 .2
0 .4 0 .2
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o
2 3 4 5 6
(a )
n 45°
li m0 a2
2a
2
0
0 0
(4―45) (4―46)
lim
0
2
信号的频谱
信号的频谱任意周期函数只要满足狄利克雷条件都可以展开成傅里叶级数。
上一知识点介绍的方波信号[如图1(a)]亦可展开为傅里叶级数表达式：（1）<?XML:NAMESPACE PREFIX = V /><?XML:NAMESPACE PREFIX = O />(a)(b) 图1(a)(b)图2式中，，是方波信号的直流分量，称为该方波信号的基波，它的周期与方波本身的周期相同。
式（1）中其余各项都是高次谐波分量，它们的角频率是基波角频率的整数倍。
由于正弦函数的单纯性，在作信号分析时，可以只考虑其幅值电压与角频率的函数关系，于是式（1）的正弦级数可以表达为图1(b)所示的图解形式，其中包括直流项（ω=0）和每一正弦分量在相应角频率处的幅值。
像这样把一个信号分解为正弦信号的集合，得到其正弦信号幅值随角频率变化的分布，称为该信号的频谱。
图1(b)称为方波信号的频谱图，是方波在频域的表达方式。
从傅里叶级数特性可知，许多周期信号的频谱都由直流分量、基波分量以及无穷多项高次谐波分量所组成，频谱表现为一系列离散频率上的幅值。
上述正弦信号和方波信号都是周期信号。
客观物理世界的信号远没有这样简单，如果从时间函数来看，往往很难直接用一个简单的表达式来描述，如图2(a)所示炉温变化曲线就是一非周期性时间函数波形。
对于非周期信号，运用傅里叶变换可将其表达为一连续频率函数形式的频谱，它包含了所有可能的频率（0≤ω<∞）成分。
图2(b)示意出图2(a)的频谱函数。
实际物理世界的各种非周期信号，随角频率上升到一定程度，其频谱函数总趋势是衰减的。
当选择适当的ωc （截止角频率）点把频率高端截断时，并不过多地影响信号的特性。
通常把保留的部分称为信号的带宽。
由上分析可知，信号的频域表达方式可以得到某些比时域表达方式更有意义的参数。
信号的频谱特性是电子系统有关频率特性的主要设计依据。
确定一个任意非周期信号的频谱在计算机普及应用之前并非易事。
方波信号f(t)展开为傅里叶级数
[(t t0)]ejt0 1 (t t0) ejt0
(4―75)
直流信号1的频谱函数
例 3.4-6 求直流信号1的频谱函数。
f (t) 1
F(j) 2()
o
o
(a)
(b)
图 3.4-6 直流信号f(t) (a) 直流信号f(t); (b) 频谱
解 直流信号1可表示为
f(t)1
t
F(j)1ejtdt
例4―11 已知
gr(t)Sa(2)
求gτ(2t)的频谱函数 解 根据傅里叶变换的尺度变换性
质,gτ(2t)的频谱函数为
[gr(2t)]1 2Sa( 4 )
f (t) 1
0
t
22
f (2t)
1
0
t
44
F()
2π
2π
0
1 F()
22
4π
4π
0
图4.13 尺度变换
利用奇偶虚实性求频谱
例4―9利用奇偶虚实性求图4.11单边指数信 号f(t)=2e-αt u(t)的频谱。
方波信号ft展开为傅里叶级数图42方波信号的傅里叶级数0t2t2t2t?t1t222tcos2ftttnt2anftdt??解我们将信号按式46分解成傅里叶级数并按式474849分别计算an及cbn00202022t2t1cos2?1cos22t12t1sin2?sin2220ttttnftdtnftdtnftnftnfnf????22020202022tsin2ft2t2t1sin2?1sin22t12t1cos2?cos2?22ttnttttbnftdtnftdtnftdtnftnftnftnf??????21nn?02464135nnn???????????222t0413151nsin2sin6sin10sin2135ttcftdtftftftfftn???????????例331306cos8
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……0……
t
解：按题意方波信号在一个周期内的解析式为
分别求得傅里叶系数：
即：
故得信号的傅里叶级数展开式为
它只含有一、三、五、……等奇次谐波分量。
【例4.2-2】将下图所示信号展开为傅里叶级数。
2
……0……
t
－2
解:
首先将图示信号分解为奇、偶函数，如下图(a)、(b)所示。
田七，三七的区别YNQInyMDOe(a)
……1……
0 t
－1
(b)
从图(a)可见为一个半波反对称偶函数。在这种情况下，其傅里级数展开式
中将只含有余弦项，且只含奇次谐波分量而不含偶次谐波分量，即有：
从图(b)可见为一个半波反对称奇函数。在这种情况下，其傅里级数展开式
中将只含有正弦项，且只含奇次谐波分量而不含偶次谐波分量，即有：