函数展开成傅里叶级数
第11章第6节傅里叶级数2015-03-2405311.2MB
例2.设函数
数展式为
2
3
(93 考研)
解:
的傅里叶级 则其中系数
利用“偶倍奇零”
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,它在
上的表达式为
f (x)
1
,
x0
将
f
(x)
展成傅里叶级数.
1, 0 x
y
解: 先求傅里叶系数
1
o
x
1
它的傅里叶级数在 x 处收敛于 (n 1, 2, 3,...)
f1n(2fx1()0(n1010)4ss2ci([inocns,ffsion在nn((nsx0xnxdx0x)x)xd213nxsf1210in(n20[11310处1x,)s收0ixn(n1敛10nn0141xc0于)c2ond,2os]0ks1xn1nxx0d1,00sx0in2(nn.2n1,k
第十一章
11.6 傅里叶级数
一、函数展开成傅里叶级数 二、正弦级数和余弦级数
一、函数展开成傅里叶级数
设 f (x) 是周期为 2 的周期函数， 若 f (x) 并满足狄利克雷 ( Dirichlet ) 条件:
1) 在一个周期内连续 或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数 收敛，且
a0 2
n1
(an
cos nx
bn
sin nx)
f (x) 的傅里叶系数
f (x) ,
f (x) 2
x 为连续点
f ( x ) , x 为间断点
例1. 设周期函数 在一个周期内 的表达式为
傅里叶级数展开
傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期函数表示为无穷级数的方法，由法国数学家傅里叶在19世纪初提出。
傅里叶级数展开在信号处理、图像处理、物理学等领域中有广泛应用，并且被认为是研究周期现象的基础工具之一。
1. 傅里叶级数展开的基本原理傅里叶级数展开的基本思想是将一个周期函数分解为正弦函数和余弦函数的叠加。
根据傅里叶级数的表达式，一个周期函数可以表示为无限多个正弦和余弦函数的和，即：f(x) = a0 + Σ(An * cos(nωx) + Bn * sin(nωx))其中，a0表示直流分量，An和Bn表示函数f(x)中的谐波系数，ω为频率，n为谐波阶数。
由此可知，通过傅里叶级数展开，一个周期函数可以分解为不同频率的谐波信号的叠加。
2. 傅里叶级数的计算公式根据给定周期函数的表达式，我们可以通过一系列复杂的积分计算，求得傅里叶级数展开的各个系数。
对于奇函数和偶函数，傅里叶级数的计算公式有所不同。
- 对于奇函数f(x)，即满足 f(-x) = -f(x) 的函数，傅里叶级数展开的计算公式为：fn = (1/π) * ∫[0, π] f(x) * sin(nωx) d x- 对于偶函数f(x)，即满足 f(-x) = f(x) 的函数，傅里叶级数展开的计算公式为：fn = (2/π) * ∫[0, π] f(x) * cos(nωx) dx在实际计算中，为了减小计算量，通常只考虑有限个谐波分量，而不是无限个。
通过计算傅里叶级数展开的前几个系数，就可以对周期函数进行较好的逼近。
3. 傅里叶级数的应用傅里叶级数展开在信号处理中有重要的应用。
通过傅里叶级数展开，可以将任意信号分解为基本频率的叠加，从而分析信号的频谱特性。
这对于音频信号的处理、图像处理、振动分析等方面非常重要。
此外，傅里叶级数展开还广泛应用于物理学领域，特别是波动现象的研究中。
通过将波动的形态分解为不同频率的谐波信号的叠加，可以更好地理解和描述波动现象。
函数的傅里叶级数展开公式
函数的傅里叶级数展开公式1、求函数$f(x)$的傅里叶级数展开公式假设函数$f(x)$可以表示为无穷级数展开形式$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n \cos nx$，其中$a_n$为傅里叶系数，我们可以得到想要的傅里叶级数展开公式：$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n e^{inx}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac {1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}dt$$其中，$a_n$为傅里叶系数，它可以通过下式求出：$$a_n=\frac {1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos nt dt$$2、利用傅里叶级数展开公式求函数$f(x)$的偶次系数利用上面的公式，设$n$为偶数，即$n=2k$，则$$a_{2k}=\frac {1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos (2kt) dt$$3、示例应用：求函数$f(x)=\sin x$的傅里叶系数展开函数$f(x)$是一个周期函数，有$f(x+2\pi)=f(x)$，可以用上面的公式展开，有：$$a_n=\frac {1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin x \cos nx dx$$特别地，设$n=2k$时，有：$$\begin{aligned}a_{2k}=&\frac {1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin x \cos (2kx)dx\\=&\frac {2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x \cos (2kx)dx\\=&\frac {2}{\pi}(-\frac {1}{2k}\sin 2kx)|_0^{\pi}\\=&\frac {1}{\pi k}(-\sin 2k\pi+\sin 0)\\=&\frac {(-1)^{k}}{\pi k}\end{aligned}$$因此，函数$f(x)=\sin x$的傅里叶系数展开可以表示为：$$\sin x=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac {(-1)^k}{\pi k}e^{2ikx}$$。
在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数(完整版)实用资料
在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）1. 在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数：(1) (),(),()02.f x x i x ii x πππ=-<<<<(2)2(),(),()02.f x x i x ii x πππ=-<<<< （3）,0(),(,0,0).,0ax x f x a b a b bx x ππ-<≤⎧=≠≠≠⎨<<⎩解 （1）()i()f x 是x ππ-<<的奇函数，所以0,1,2,n a n ==1022cos (1)2sin ,n n n b x nxdx n nπππ---===⎰因()f x 在x ππ-<<连续且光滑，所以11(1)2sin ,(,).n n x nx x n ππ-∞=-=∈-∑()ii 20012,a xdx πππ==⎰201cos 0,n a x nxdx ππ==⎰2012sin(),n b x nx dx nππ==-⎰因()f x 在(0,2)π上光滑且连续，所以1sin 2,(0,2).n nxx x n ππ∞==-∈∑（2） (i) 2()f x x =是(,)ππ-上的偶函数,故0,1,2,;n b n ==2012()3a f x dx ππππ-==⎰,222311sin 2cos 2sin ()cos cos n x nx nx nx nxf x nxdx x nxdx nπππ+-==⎰⎰ 223221sin 2cos 2sin 4(1)4()cos cos (1)n n n x nx nx nx nx a f x nxdx n n n n n πππππππ--+--====≥⎰ 又2()f x x =在(,)ππ-上光滑，故22211(1)4,(,).3n nn x x x n πππ∞=-=+∈-∑ (ii) 222200118()3a f x dx x dx πππππ===⎰⎰，22223201sin 2cos 2sin 4()cos (1),n n x nx nx nx nx a f x nxdx n n n ππππ+-===≥⎰ 222231cos 2cos 2sin 4()sin (1).n n x nx nx nx nx b f x nxdx n n n πππππ-++===-≥⎰又2()f x x =在(0,2)π上光滑，故22214cos 4(sin ),(0,2).3n nx x nx x n n πππ∞==+-∈∑(3)00011()[](),2a f x dx axdx bxdxb a πππππππ--==+=-⎰⎰⎰002211()cos [cos cos ]2(), (cos 1)0, n a f x nxdx ax nxdx bx nxdx a b n b a n n n n πππππππππ--==+-⎧-⎪=-=⎨⎪⎩⎰⎰⎰为奇数为偶数10011(1)()sin [sin sin ]cos (),n n a b b f x nxdx ax nxdx bx nxdx n a b n nπππππππ+--+-==+=-=+⎰⎰⎰所以1112()1(1)()cos(21)()sin ,4(21)n n n b a a b f x n x a b nx n n ππ+∞∞==---=+-++-∑∑(,).x ππ∈- 2. 把函数,04(),04x f x x ππππ⎧--<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩展开成傅里叶级数，并由它推出：11111157111317=-+-+-+解：()f x 是(,)ππ-上的奇函数,故0,0,1,2,n a n ==.1,211cos ()sin sin 220,n n n b f x nxdx nx nn n ππππ⎧-⎪====⎨⎪⎩⎰⎰为奇数为偶数. 又()f x 在(,0)(0,)ππ-连续,故1sin(21)(),(,0)(0,)21n n xf x x n ππ∞=-=∈--∑.当23x π=时, 12sin (21)23()3214n n f n πππ∞=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==-∑.当213n k -=时,2sin (21)0,3n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦当2131n k -=+时,2sin (21)32n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦当2132n k -=+时,2sin (21)3n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦所以,11111(1)4257111317π=-+-+-+,即111111657111317=-+-+-+.3．设函数()f x 满足条件：()()f x f x π+=。
傅里叶级数
an
1
f ( x) cos nxdx
x cos nx d x
1
0
1 x sin nx cos nx 0 1 cos n 2 n n n 2
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, n 2k 1 1 cos n an ( k 1 , 2 , ) 2 n 0, n 2k 1 1 0 (1) n 1 bn f ( x) sin nx d x x sin nxdx n ( n 1, 2, ) 1 2 cos x sin x sin 2 x 2 4 2 1 1 2 cos 3x sin 3x sin 4 x 3 4 3 2 1 2 cos 5 x sin 5 x 5 5 ( x , x (2k 1) , k 0 , 1 , 2 , ) 0 ( ) 说明: 当 x (2k 1) 时, 级数收敛于
bn
f ( x ) sin nx d x
1
②
(n 1, 2 , )
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定理 1. 组成三角级数的函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:
cos k x cos n x d x
1 cos nx d x 1 sin nx d x 0
2
o
x
x cos nx sin nx x sin nx d x n n2 0 2 2 cos n ( 1) n 1 ( n 1 , 2 , 3 , ) n n
傅里叶级数展开公式证明
傅里叶级数展开公式证明傅里叶级数展开公式的证明涉及到傅里叶级数的定义和傅里叶系数的计算方法。
以下是傅里叶级数展开公式的证明：假设函数f(x)是一个周期为2π的可积函数，那么它可以用傅里叶级数表示为：f(x) = a0/2 + ∑[an*cos(nx) + bn*sin(nx)]其中，a0表示f(x)在一个周期内的平均值，an和bn分别是傅里叶系数，可以通过以下公式计算得到：an = (1/π)∫[f(x)*cos(nx)]dxbn = (1/π)∫[f(x)*sin(nx)]dx根据欧拉公式，可得：cos(nx) = (1/2)*(e^(inx) + e^(-inx))sin(nx) = (1/2i)*(e^(inx) - e^(-inx))将上式代入an和bn中，得到：an = (1/π)∫[f(x)*(1/2)*(e^(inx) + e^(-inx))]dx= (1/2π)∫[f(x)*e^(inx)]dx + (1/2π)∫[f(x)*e^(-inx)]dx= (1/2π)[∫[f(x)*e^(inx)]dx + ∫[f(x)*e^(-inx)]dx]bn = (1/π)∫[f(x)*(1/2i)*(e^(inx) - e^(-inx))]dx= (1/2πi)∫[f(x)*e^(inx)]dx - (1/2πi)∫[f(x)*e^(-inx)]dx= -(1/2πi)[∫[f(x)*e^(-inx)]dx - ∫[f(x)*e^(inx)]dx]将an和bn代入傅里叶级数公式，得到：f(x) = a0/2 + (1/2π)[∫[f(x)*e^(inx)]dx + ∫[f(x)*e^(-inx)]dx]*cos(nx) + -(1/2πi)[∫[f(x)*e^(-inx)]dx - ∫[f(x)*e^(inx)]dx]*sin(nx)对于周期为2π的函数f(x)，它的傅里叶级数展开是唯一的，因此可将上式中的积分写成复数形式：c(n) = (1/2π)∫[f(x)*e^(-inx)]dx (n < 0)c(0) = a0/2c(n) = (1/2π)∫[f(x)*e^(-inx)]dx (n > 0)傅里叶级数可以写成如下形式：f(x) = ∑[c(n)*e^(inx)]其中，n可以取所有整数值。
函数的傅里叶级数展开
和函数图象为
u
u
Em
Em
o
t
o
t
Em
Em
例 3 在[0,2 ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.
解：
1 2
2
bn
0
x sin nxdx n
1
a0
2
xdx 2 ,
0
1 2
an 0 x cos xdx 0
f ( x) ~ 2[sin x 1 sin 2x 1 sin kx ]
(2)按公式算出a n ,bn ,写出Fourier级数
a0
2
(an
n 1
cos nx
bn
sin nx)
(3)根据逐点收敛定理指出级数的收敛情况
例 1 在[ , ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.
例 2 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t ) EEmm, ,
0 t t 0
2 sin
2
0
u
2 sin
u2
du =
1 n ( + cos ku)du
2 0 k =1
=1
2
1
sn(f(x)) - s=
sin 2n+1 u
(f (x u)+f ( x - u)-2s)
0
2 u
du
2sin
2
记(u)=f (x+u)+f (x-u)-2s
则f(x)的傅里叶级数在x点收敛的问题归结为
dx
[
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)]dx
a0 2, 2
a0
1
f ( x)dx
傅里叶正弦级数展开系数
傅里叶正弦级数展开系数傅里叶正弦级数展开系数，是指将一个周期为T的周期函数f(x)展开成一组正弦函数的线性组合，其中每一个正弦函数的频率是原函数基频的整数倍。
这个展开系数就是每一个正弦函数在展开中所占的比重。
一、傅里叶级数傅里叶级数是指将任意周期为T的函数f(x)表示成若干个正弦和余弦函数（即三角函数）之和的形式。
具体地说，可以表示为：f(x)=a0/2+Σ(n=1,∞){an*cos(nωx)+bn*sin(nωx)}其中a0/2代表直流分量，an和bn分别代表余弦项和正弦项的系数，ω=2π/T为角频率。
二、傅里叶正弦级数傅里叶正弦级数是指将任意周期为T的奇对称函数f(x)表示成若干个正弦函数之和的形式。
具体地说，可以表示为：f(x)=Σ(n=1,∞){bn*sin(nωx)}其中ω=2π/T为角频率，bn为第n个正弦项在展开中所占比重。
三、求解傅里叶正弦级数展开系数要求解傅里叶正弦级数展开系数，需要先将周期为T的奇对称函数f(x)展开成傅里叶级数，然后根据正弦函数的性质，将余弦项化为正弦项。
具体地说，可以按照以下步骤进行：1. 将f(x)展开成傅里叶级数：f(x)=a0/2+Σ(n=1,∞){an*cos(nωx)+bn*sin(nωx)}其中a0/2为直流分量，an和bn分别为余弦项和正弦项的系数。
2. 由于f(x)是奇对称函数，因此有a0=0和an=0（n为偶数）。
3. 将余弦项化为正弦项。
根据正弦函数的性质sin(-x)=-sin(x)，可以得到：f(x)=Σ(n=1,∞){bn*sin(nωx)-an*sin(-nωx)}由于an=0（n为偶数），因此可得：f(x)=Σ(n=1,∞){bn*sin(nωx)}即可得到傅里叶正弦级数展开式。
4. 求解展开系数。
根据展开式可知，第n个正弦项在展开中所占比重为bn。
因此只需要求出每一个bn即可。
求解bn的方法有多种，常见的有积分法和复合边界条件法。
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1 2
cos(k n) x cos(k n) x d x 0
0
机动
同理可证 : sin k x sin n x d x
cos k x sin n x d x 0
(k n )
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
傅立叶指出: 任意定义在(π , π ) 上的有界函数 f ( x)
可以展开成级数
a f (x ) ~ (a cos nx b sin nx ) . 2
0 n 1 n n
其中
1 π a n π f ( x) cos nxdx (n 0,1,2...), π 1 π bn π f ( x) sin nxdx (n 1,2...). π
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sin 3x sin 5 x sin 7 x sin 9 x f ( x) sin x ] 5 7 3 9 4
说明:
1
y
o
1) 根据收敛定理可知,
x
11 时,级数收敛于 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图.
π π a0 dx ak cos kxdx bk sin kxdx π 2 π π k 1 k 1 π
a0 2 , 2
1 π 则 a0 f ( x )dx . π π
( 2) 求 an .
a0 f ( x ) cos nxdx cos nxdx 2
0
2 0
1 1 0 an f ( x ) cos nxdx x cos n x d x
1 x sin nx cos nx 1 cos n 2 n n n2
2 n 2k 1 2 , ( 2k 1) 0, n 2k ( k 1,2,)
谐波分析
A0 ( An sin n cos nt An cos n sin nt )
a0 令 A0 , an An sin n , bn An cos n , t x , 2 a0 (an cos nx bn sin nx ) 称为三角级数. 得级数 2 n 1
第七节
傅里叶级数
一、三角级数,三角函数系的正交性
二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数或余弦级数
一.三角级数
u ( x) x
n
n
三角函数系的正交性
2 3 n
在高等数学学习当中，接触两类基函数：
n
1,x,x ,x x
sin nx u ( x) 1, sin x,cos x,sin 2 x,cos 2 x sin nx , cos nx cos nx
π k 1
(利用正交性)
[ak cos kx cos nxdx bk sin kx cos nxdx ]
an cos 2 nxdx an( x ) cos nxdx
( n 1,2,3,).
1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时, 大胆地采用了三角级数表示函数:
f ( x ) A0 2 An cos nx .
n 1
1 2π 其中 An 0 f ( x) cos nxdx . 2π
1759年,拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数. 1777年,欧拉在天文学的研究中,用三角函数的正交性
上的表达式为
1 , x 0 f ( x) 1, 0 x 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 先求傅里叶系数
1
y
o
x
1
(1) cos nx d x 0 1 cos nx d x
( n 0 , 1 , 2 , )
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4 1 1 1 u( t ) (sin t sin 3t sin 5t sin 7t ) 3 5 7 ( t , t 0)
傅里叶级数展开式的意义——函数的整体逼近.
例2 设 f ( x ) 是周期为 2 π 的周期函数，它在上的
x, t 0 表达式为 f ( x ) 0, 0 x 将 f ( x ) 展开为傅里叶级数 .
(二)、三角函数系的正交性
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,cos nx , sin nx ,
正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:
1 cos nxd x 1 sin nxd x 0 cos k x cos nx dx
机动
1
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物理意义
4 1 1 f ( x ) [sin x sin 3 x sin(2k 1) x ] 3 2k 1 ( x ; x 0, π,2π,). u
1
o
1
t
不同频率正弦波逐个叠加成方波
4 4 1 4 1 4 1 sin t , sin 3t , sin 5t , sin 7 t , 3 5 7
( 3) 求 bn .
a0 f ( x ) sin nxdx sin nxdx 2
(利用正交性)
[ak cos kx sin nxdx bk sin kx sin nxdx ] bn ,
k 1
1 则 bn f ( x ) sin nxdx
11dx 2
cos 2 n x d x
2
sin 2 nx d x
1 cos 2n x 1 cos 2n x 2 cos n x , sin n x 2 2
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二、函数展开成傅里叶级数
问题: 1. 若函数能展开成三角级数，ai , bi 是什么？ 2. 展开的条件是什么?
( n 1,2,3,).
傅里叶系数
1 an f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) b 1 n f ( x ) sin nxdx , (n 1,2,) 1 2 an 0 f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) 或 1 2 b n 0 f ( x ) sin nxdx , (n 1,2,)
0
1 1 0 ( 1)n1 bn f ( x ) sin nx d x x sin nxdx . n
y
3 2
2
3
o
2
x
( x , x , 3 , )
1
0
1
0
(1) sin nx d x 0 1 sin nxdx
0
1
0
1
2 1 cos nx 1 cos nx 0 n 1 cos n n n 4 2 n , 当 n 1 , 3 , 5 , 1 (1) n n 0 , 当n 2 , 4 , 6 , 1 1 f ( x) sin x sin 3 x sin(2k 1) x 3 2k 1 ( x , x 0 , , 2 , ) 4
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
在点 x (2k 1)(k 0, 1, 2,) 处不连续.
收敛于
f ( ) 0 . 2 2 2
在连续点 x ( x ( 2k 1)) 处收敛于 f ( x ).
1 1 1 x , a0 f ( x )dt xdt 2 2
2. 设 x ( π , π )
则有 是 f (x) 的间断点，
1 S ( x) [ f ( x 0) f ( x 0)] ; 2
3. 当 x π , π 时， 有
1 S ( x) [ f ( 0) f ( 0)] . 2
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
函数在一点的性质 周期函数(整体性质)
f ( x ) a n ( x x0 ) n
n 0
Fourier级数
三角级数 表达周期函数
(一)三角级数 表达周期函数
简单的周期运动 :
复杂的周期运动 :
f ( t ) A0 An sin(nt n )
n 1 n 1
x 为连续点 f ( x) , f ( x ) f ( x ) , x 为间断点
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
简介 目录 上页 下页 返回 结束
2
既
1. 设 x0 (π , π ) 是 f ( x) 的连续点， 则有
a0 S ( x ) : (an cos nx bn sin nx) f ( x ) ; 2 n 1
定理(收敛定理, 展开定理)
设 f (x) 是周期为2的
周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有