函数展开成傅里叶级数
(整理)第十五章 傅里叶级数
第十五章 傅立叶级数§1 傅立叶级数1．在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数： （1）f(x)=x (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (2) f(x)=x 2 (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (3) ax 0,x p -<?f(x)= (a,b 为不等于0的常数，且a ≠b) bx 0x p <<解：（1）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
011()0,a f x dx xdx p p p p p p--===蝌1n ³时，有11cos sin sin 0n xa x nxdx nxnxdx n n p p ppp pp pp---==-=蝌2,1sin 2,n nb x nxdx n p pp -ìïï-ïï==íïïïïïîò所以在(,)p p -上11sin ()2(1)n n nx f x n ¥+==-å（ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
20012,a xdx pp p ==ò1n ³时，有201cos 0,n a x nxdx pp ==ò2012sin ,n b x nxdx np p ==-ò所以在(0,2)p 上1sin ()2n nxf x n p ¥==-å（2）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
22012,3a x dx p p p p -==ò1n ³时，有22241cos 4n n a x nxdx np pp -ìïïïï==íïï-ïïïîò 21sin 0n b x nxdx p pp -==ò所以在(,)p p -上221cos ()4(1)3n n nx f x n p ¥==+-å （ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
第11章第6节傅里叶级数2015-03-2405311.2MB
例2.设函数
数展式为
2
3
(93 考研)
解:
的傅里叶级 则其中系数
利用“偶倍奇零”
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,它在
上的表达式为
f (x)
1
,
x0
将
f
(x)
展成傅里叶级数.
1, 0 x
y
解: 先求傅里叶系数
1
o
x
1
它的傅里叶级数在 x 处收敛于 (n 1, 2, 3,...)
f1n(2fx1()0(n1010)4ss2ci([inocns,ffsion在nn((nsx0xnxdx0x)x)xd213nxsf1210in(n20[11310处1x,)s收0ixn(n1敛10nn0141xc0于)c2ond,2os]0ks1xn1nxx0d1,00sx0in2(nn.2n1,k
第十一章
11.6 傅里叶级数
一、函数展开成傅里叶级数 二、正弦级数和余弦级数
一、函数展开成傅里叶级数
设 f (x) 是周期为 2 的周期函数， 若 f (x) 并满足狄利克雷 ( Dirichlet ) 条件:
1) 在一个周期内连续 或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数 收敛，且
a0 2
n1
(an
cos nx
bn
sin nx)
f (x) 的傅里叶系数
f (x) ,
f (x) 2
x 为连续点
f ( x ) , x 为间断点
例1. 设周期函数 在一个周期内 的表达式为
非正弦周期函数分解为傅里叶级数
令Em=1，ω1t=π/2 f(t) = 1
.
f(t) 4 E s m i1 n t) (1 3 si3 n 1 t) (1 5 si5 n 1 t) (
f(t) = 1 = 41131571
41131571
正如计算e 的值
ex 1xx2 xn
2!
n!
令x=1得
e1111
2! n!
.
二、傅里叶级数的两种形式
1、第一种形式
f
(t)a0 2
[a1cos1(t)b1sin(1t)]
[a2cos2(1t)b2sin2(1t)]
[ak cosk(1t)bksink(1t)]
a 2 0k 1[akcok s1t)(bksikn 1t()]
.
系数的计算公式
2 T
a0T0
f(t)d t 2 T
用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段， 按频率的高低顺序把它们依次排列起来， 得到的图形称为f(t)的频谱。
.
1、幅度频谱 各次谐波的振幅用相应线段依次排列。 Akm
O ω1 3ω1
2ω1 4ω1
kω1
2、相位频谱
把各次谐波的初相用相应线段依次排列。
.
例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱
.
矩形信号f(t)的频谱
f(t) 4 E s m i1 n t) (1 3 si3 n 1 t) (1 5 si5 n 1 t) (
Akm
O ω1 3ω1 5ω1 7ω1 kω1
.
3、频谱与非正弦信号特征的关系
波形越接近正弦波， 谐波成分越少；
波形突变点越小， 频谱变化越大。
f(t)=10cos(314t+30°) Akm
在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数(完整版)实用资料
在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）1. 在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数：(1) (),(),()02.f x x i x ii x πππ=-<<<<(2)2(),(),()02.f x x i x ii x πππ=-<<<< （3）,0(),(,0,0).,0ax x f x a b a b bx x ππ-<≤⎧=≠≠≠⎨<<⎩解 （1）()i()f x 是x ππ-<<的奇函数，所以0,1,2,n a n ==1022cos (1)2sin ,n n n b x nxdx n nπππ---===⎰因()f x 在x ππ-<<连续且光滑，所以11(1)2sin ,(,).n n x nx x n ππ-∞=-=∈-∑()ii 20012,a xdx πππ==⎰201cos 0,n a x nxdx ππ==⎰2012sin(),n b x nx dx nππ==-⎰因()f x 在(0,2)π上光滑且连续，所以1sin 2,(0,2).n nxx x n ππ∞==-∈∑（2） (i) 2()f x x =是(,)ππ-上的偶函数,故0,1,2,;n b n ==2012()3a f x dx ππππ-==⎰,222311sin 2cos 2sin ()cos cos n x nx nx nx nxf x nxdx x nxdx nπππ+-==⎰⎰ 223221sin 2cos 2sin 4(1)4()cos cos (1)n n n x nx nx nx nx a f x nxdx n n n n n πππππππ--+--====≥⎰ 又2()f x x =在(,)ππ-上光滑，故22211(1)4,(,).3n nn x x x n πππ∞=-=+∈-∑ (ii) 222200118()3a f x dx x dx πππππ===⎰⎰，22223201sin 2cos 2sin 4()cos (1),n n x nx nx nx nx a f x nxdx n n n ππππ+-===≥⎰ 222231cos 2cos 2sin 4()sin (1).n n x nx nx nx nx b f x nxdx n n n πππππ-++===-≥⎰又2()f x x =在(0,2)π上光滑，故22214cos 4(sin ),(0,2).3n nx x nx x n n πππ∞==+-∈∑(3)00011()[](),2a f x dx axdx bxdxb a πππππππ--==+=-⎰⎰⎰002211()cos [cos cos ]2(), (cos 1)0, n a f x nxdx ax nxdx bx nxdx a b n b a n n n n πππππππππ--==+-⎧-⎪=-=⎨⎪⎩⎰⎰⎰为奇数为偶数10011(1)()sin [sin sin ]cos (),n n a b b f x nxdx ax nxdx bx nxdx n a b n nπππππππ+--+-==+=-=+⎰⎰⎰所以1112()1(1)()cos(21)()sin ,4(21)n n n b a a b f x n x a b nx n n ππ+∞∞==---=+-++-∑∑(,).x ππ∈- 2. 把函数,04(),04x f x x ππππ⎧--<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩展开成傅里叶级数，并由它推出：11111157111317=-+-+-+解：()f x 是(,)ππ-上的奇函数,故0,0,1,2,n a n ==.1,211cos ()sin sin 220,n n n b f x nxdx nx nn n ππππ⎧-⎪====⎨⎪⎩⎰⎰为奇数为偶数. 又()f x 在(,0)(0,)ππ-连续,故1sin(21)(),(,0)(0,)21n n xf x x n ππ∞=-=∈--∑.当23x π=时, 12sin (21)23()3214n n f n πππ∞=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==-∑.当213n k -=时,2sin (21)0,3n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦当2131n k -=+时,2sin (21)32n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦当2132n k -=+时,2sin (21)3n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦所以,11111(1)4257111317π=-+-+-+,即111111657111317=-+-+-+.3．设函数()f x 满足条件：()()f x f x π+=。
傅里叶级数
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
x 为间断点
其中
( 证明略 )
为 f (x) 的傅里叶系数 .
x 为连续点
注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,
它在
上的表达式为
解: 先求傅里叶系数
将 f (x) 展成傅里叶级数.
1) 根据收敛定理可知,
时,级数收敛于
2) 傅氏级数的部分和逼近
说明:
f (x) 的情况见右图.
例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,
上的表达式为
将 f (x) 展成傅里叶级数.
解:
它在
说明: 当
为便于计算, 将周期取为2
2. 定义在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0, ] 上展成
周期延拓 F (x)
余弦级数
奇延拓
偶延拓
正弦级数
f (x) 在 [0, ]上展成
例6. 将函数
分别展成正弦级
数与余弦级数 .
解: 先求正弦级数.
去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,
奇函数
正弦级数
偶函数
余弦级数
3. 在 [ 0, ] 上函数的傅里叶展开法
作奇周期延拓 ,
展开为正弦级数
作偶周期延拓 ,
展开为余弦级数
1. 在 [ 0 , ] 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?
答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .
思考与练习
傅里叶级数展开公式大全
傅里叶级数展开公式大全一、正弦展开公式：对于一个周期为T的函数f(t)，可以将其正弦展开为以下形式：f(t) = a0 + Σ(an*sin(nω0t) + bn*cos(nω0t))其中，a0、an和bn是常数，n为正整数，ω0=2π/T为基本频率。
1.常数项a0的计算公式：a0 = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)dt其中，[t0,t0+T]为f(t)的一个周期。
2.正弦系数an的计算公式：an = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*sin(nω0t)dt3.余弦系数bn的计算公式：bn = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*cos(nω0t)dt二、余弦展开公式：对于一个周期为T的函数f(t)，可以将其余弦展开为以下形式：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nω0t))其中，a0、an和bn是常数，n为正整数，ω0=2π/T为基本频率。
1.常数项a0的计算公式：a0 = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)dt2.余弦系数an的计算公式：an = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*cos(nω0t)dt需要注意的是，正弦展开公式中同时包含了正弦和余弦函数，而余弦展开公式只包含余弦函数。
正弦展开的系数an和bn分别对应了傅里叶级数中正弦和余弦函数的系数。
除了上述的正弦展开和余弦展开公式外，还存在一些特殊的函数的傅里叶级数展开公式，例如矩形脉冲函数和三角波函数的展开公式。
这些特殊函数的展开公式可以通过将其分解为更基本的正弦和余弦函数来求解。
总结起来，傅里叶级数展开公式是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的数学工具。
正弦展开和余弦展开是两种常见的展开形式，可以通过对周期函数进行积分求解展开系数。
在实际应用中，傅里叶级数展开公式有着广泛的应用，可以分析信号的频谱特性，计算信号的谐波含量，以及进行信号的合成和滤波等操作。
傅里叶级数的数学推导
t 0 T 1 t0
a0
cos( kw1t ) dt [ an
cos( nw1t )cos( kw1t )dt bn
t 0 T 1
t0
sin( nw1t )cos( kw1t ) dt ]
当 k=n 时
t 0 T 1
t0
cos( nw1t ) f (t ) dt an
1.傅里叶级数展开表达式为：（ T 1 为 f(t)的周期）
f (t ) a 0 a1 cos( w1t ) b1 sin( w1t ) a 2 cos(2 w1t ) b 2 sin( w2t )
.....+an cos(nw1t ) bn sin( nw1t ) a 0 [an cos(nw1t ) bn sin( nw1t )]
n 1
直流分量： a 0
1 t 0 T 1 f (t )dt T 12 t 0 T 1 cos(nw1t ) f (t )dt T 1 t 0
2 t 0 T 1 正弦分量的幅度： bn T 1 t 0 sin(nw1t ) f (t )dt
2.三角函数的正交性： 一个三角函数系：1，cosx, sinx, cos2x, sin2x……cosnx, sinnx,……….如果这一堆函数（包括 常数 1）中任何两个不同函数的乘积在区间[- , ]上 的积分等于 0，就说三角函数系在区间[- , ]上正交。 即有如下式子：
t 0 T 1
t0
cos( nw1t )cos( kw1t )dt an
t 0 T 1
t0
cos 2 ( nw1t )dt
an t 0 T 1 an (1 cos 2nw1t )dt T 1 2 t0 2
函数的傅里叶级数展开
和函数图象为
u
u
Em
Em
o
t
o
t
Em
Em
例 3 在[0,2 ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.
解：
1 2
2
bn
0
x sin nxdx n
1
a0
2
xdx 2 ,
0
1 2
an 0 x cos xdx 0
f ( x) ~ 2[sin x 1 sin 2x 1 sin kx ]
(2)按公式算出a n ,bn ,写出Fourier级数
a0
2
(an
n 1
cos nx
bn
sin nx)
(3)根据逐点收敛定理指出级数的收敛情况
例 1 在[ , ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.
例 2 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t ) EEmm, ,
0 t t 0
2 sin
2
0
u
2 sin
u2
du =
1 n ( + cos ku)du
2 0 k =1
=1
2
1
sn(f(x)) - s=
sin 2n+1 u
(f (x u)+f ( x - u)-2s)
0
2 u
du
2sin
2
记(u)=f (x+u)+f (x-u)-2s
则f(x)的傅里叶级数在x点收敛的问题归结为
dx
[
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)]dx
a0 2, 2
a0
1
f ( x)dx
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t
2
0
E
sin
t
cos
nt
d
t
E
0
sin(n
1)t
sin(n
1)t
d
t
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an
E
0
sin(n
1)t
sin(n
1)t
dt
0,
n 2k 1
a1
E
0
sin
2t
dt
0
u(t)
2E
4E
k 1
4k
1
2
cos 1
2k
x
4E
1 2
1 cos 2t 3
1 cos 4t 1 cos 6t
且能展开成三角级数
(1)
求 a0.
f
(x)
a0 2
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)
π
f ( x)dx
π
π a0 dx π 2
π
[
π
(ak cos kx bk sin kx)]dx
k 1
π a0 dx π 2
π
π ak cos kxdx k 1
π
π bk sin kxdx k 1
1
f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2, )
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2, )
或
an
1
2 0
f ( x)cos nxdx,
bn
1
2 0
f ( x)sin nxdx,
(n 0,1,2, ) (n 1,2, )
代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数
周期延拓 (T 2) F ( x) f ( x) (,)
端点处收敛于1[ f ( ) f ( )] 2
定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
周期延拓
f (x) ,
x [ , )
F(x)
f (x 2k ) , 其它
傅里叶展开
上的傅里叶级数
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例3. 将函数
函数在一点的性质 f ( x) an ( x x0 )n
n0
周期函数(整体性质) Fourier级数
三角级数 表达周期函数
(一)三角级数 表达周期函数
简单的周期运动 :
复杂的周期运动 :
f (t) A0 An sin(nt n )
n1
谐波分析
A0 ( An sinn cosnt An cosn sin nt)
a0 2, 2
则
a0
1 π
π π
f ( x)dx .
(2) 求 an.
f ( x)cos nxdx a0
cos nxdx
2
(利用正交性)
π
[ak
cos kx cos nxdx bk
sin kxcosnxdx]
k 1
an
cos2 nxdx
an,
则
an
1
f ( x)cos nxdx
f (x) 4 sin x 1 sin 3x 1 sin(2k 1)x
3
2k 1
( x , x 0 , , 2 , )
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f (x) 4 sin x sin 3x sin 5x sin 7x sin 9x ]
3
5
79
说明:
3
5
7
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t 1 sin 9t)
3
5
7
9
u(t) 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t )
3
5
(7 t , t 0)
傅里叶级数展开式的意义——函数的整体逼近.
例2 设 f ( x) 是周期为2π 的周期函数，它在上的
2
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
简介 目录 上页 下页 返回 结束
既
1. 设 x0 (π,π ) 是 f (x) 的连续点， 则有
S(x) :
a0 2
(an cos nx bn sin nx)
n1
f (x) ;
2. 设 x (π, π ) 是 f (x) 的间断点，则有
证:
1
cos
nx
d
x
1
sin
nx d
x
0
cos kx cos nx dx
1 2
cos(k
n)x
cos(k
n)x
d
x
0
同理可证 : sin k x sin nx dx 0 cos k x sin nx dx 0 (k n )
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
展成傅里叶
级数 .
y
解: 将 f (x)延拓成以
2为周期的函数 F(x) ,则
o
x
a0
1
F(x)d x
1
f (x)d x
2
x2 2
0
an
1
F (x) cos nx d x
1
f
(x) cos nx dx
2
x sin nx n
cos nx n2
0
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2
n2
( cos
a0
1
f ( x)dt
1
0
xdt
1
x2 2
0
2
,
an
1
f ( x)cos nxdx
1
0
x cos nx d x
1
x sin n
nx
cos nx n2
0
1 cos n n2
(2k
2 1)2
,
n 2k 1
0,
n 2k
(k 1,2, )
bn
1
f ( x)sin nx d x
S(x) 1 [ f (x 0) f (x 0)] ; 2
3.当x π , π 时， 有 S(x) 1 [ f ( 0) f ( 0)] .
2
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
上的表达式为
f
(
x)
1
1
, ,
x 0 0 x
y
将 f (x) 展成傅里叶级数.
1) 根据收敛定理可知,
y
1
o
x
1
时,级数收敛于 11 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近
f (x) 的情况见右图.
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物理意义
f ( x) 4 [sin x 1 sin 3x 1 sin( 2k 1)x ]
3
2k 1
u ( x ; x 0,π,2π, ).
上的积分不等于 0 . 且有
11dx
2
cos2
n xdx
sin
2
nx
dx
cos2 nx 1 cos 2nx , sin2 nx 1 cos 2nx
2
2
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二、函数展开成傅里叶级数
问题: 1. 若函数能展开成三角级数，ai ,bi是什么？ 2. 展开的条件是什么?
设 f (x) 是周期为2π 的周期函数，
n
1)
4
(2k 1)2
0,
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 , )
1
f (x)sin nx d x
2
cos
x
1 32
cos
3x
1 52
cos
5
x
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物理意义
f
(x)
2
4
n1
1 (2n 1)2
cos( 2n 1)x
(
x
)
y
f (x)
O
4π
2π π
2π
0
f
( x) co sn xdx
.
1759年,拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数.
1777年,欧拉在天文学的研究中,用三角函数的正交性 得到了将函数表示成三角函数时的系数. 也就是现今教科书中傅立叶级数的系数.
在历史上,三角级数的出现和发展与求解微分方程 是分不开的. 1753年.丹贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为 三角级数的形式, 这为傅立叶级数题奠定了物理基础,促进了它的发展.
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加成方波
4 sin t, 4 1 sin 3t, 4 1 sin 5t, 4 1 sin 7t,
3
5
7
u 4 sin t
u 4 (sin t 1 sin 3t)
3
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
3
5
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t)
(n 1,2,3, ).
(3) 求 bn.
f ( x)sin nxdx a0
sin nxdx
2
(利用正交性)
[ak
cos kx sin nxdx bk
sin kxsin nxdx]
bn,
k 1
则
bn
1
f ( x)sin nxdx
(n 1,2,3, ).