傅里叶级数通俗解析

傅里叶级数本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。

1.完备正交函数集要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。

如果n个函数φ1(t),φ2(t),…,φn(t)构成一个函数集，若这些函数在区间(t1,t2)上满足∫φi(t)φj(t) t2t1dt={0 ,i≠jK i ,i=j (1)如果是复数集，那么正交条件是∫φi(t)φj∗(t) t2t1dt={0 ,i≠jK i ,i=j (2)φj∗(t)为函数φj(t)的共轭复函数。

有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。

比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。

先证明三角函数集：设φn(t)=cos nωt，φm(t)=cos mωt,把φn(t)，φm(t)代入(1)得∫φi(t)φj(t) t0+Tt0dt=∫cos nωt cos mωt dt t0+Tt0当n≠m时=12∫[cos(n+m)ωt+cos(n−m)ωt]t0+Tt0dt=12[sin(n+m)ωt(n+m)ω+sin(n−m)ωt(n−m)ω]t0t0+T=0 (n,m=1,2,3,…,n≠m) 当n=m时=12∫cos2nωtt0+Tt0dt=T2再证两个都是正弦的情况设φn(t)=sin nωt，φm(t)=sin mωt,把φn(t)，φm(t)代入(1)得∫φi(t)φj(t) t0+Tt0dt=∫sin nωt sin mωt dt t0+Tt0当n≠m时=12∫[cos (n +m )ωt −cos (n −m )ωt ]t0+T t 0dt=12[sin (n+m )ωt(n+m)ω−sin (n−m )ωt (n−m)ω]t 0t 0+T=0 (n,m=1,2,3,…,n ≠m ) 当n=m 时=12∫cos2nωt t0+T t 0dt=T2最后证明两个是不同名的三角函数的情况设φn (t )=cos nωt ，φm (t )=sin mωt ,把φn (t )，φm (t )代入(1)得∫φi (t )φj (t )t 0+Tt 0dt =∫cos nωt sin mωt dt t 0+Tt 0=12∫[sin (n +m )ωt −sin (n −m )ωt ]t0+T t 0dt=12[−cos (n+m )ωt (n+m)ω+cos (n−m )ωt (n−m)ω]t 0t 0+T=0 (n,m 为任意整数)因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。

至于三角函数集的完备性可以从n ，m 的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。

证毕。

由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。

接着是复指数函数集的证明设φn (t )=ℯjnωt ，φm (t )=ℯjmωt ,则φj ∗(t )=ℯ−jmωt 把φn (t )，φj ∗(t )代入(2)得∫φi (t )φj ∗(t )t 0+Tt 0dt =∫ℯjnωt t 0+Tt 0ℯ−jmωt dt=∫ℯj(n−m)ωt t0+T t 0dt当n ≠m 时，根据欧拉公式=∫cos (n −m )ωt +jsin (n −m)ωt t0+T t 0dt=[sin (n−m )ωt(n−m )ω−j cos (n−m)ωt (n−m )ω]tt 0+T=0 (n,m=1,2,3,…,n ≠m ) 当n=m 时，=∫ℯ0t0+T t 0dt=1 (n,m=1,2,3,…,n =m )所以，复指数函数集也是正交函数集。

因为n ，m 的取值范围是所有整数，所以复指数函数集是完备的正交函数集。

明明是讨论傅里叶级数，为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。

因为，在自然界中，没有规则的信号，比如说找一个正弦信号，是完全不可能找到的。

有的是一堆杂乱的信号，无规律的波形。

我们要研究它，基本的思想是把它拆分，分解成一个一个有规律的可研究的波形，这些波形能用数学表达式准确表达出来。

把一个复杂的信号分解的过程，可以理解成用已知的可以准确表达的函数表示他，比如一个复杂的信号f (x )。

把它分解，就是f (x )=n 1φ1(t )+n 2φ2(t )+⋯+n n φn (t )其中φ1(t )，φ2(t )，…是我们所熟悉的函数，比如二次函数，一次函数，三角函数，指数函数等等。

我们的任务就是求出所分解出来的函数，以及前方的系数n ，然后对其研究。

那么怎么求呢。

完备正交函数集给了我们提供了一种方法。

完备正交函数集就像是空间直角坐标系，集合里面的每一个元素相当于坐标系的一条轴，我们知道空间直角坐标系只有3条轴，3条轴，足够表示空间上所有点的位置，不需要再多一条，但是如果只有两条轴，又不能准确地表达立体空间上所有的点，所以3条就是完备的。

对于一个函数集的完备性也可以这么理解，表达任意一个周期信号只需要用不多于函数集里面元素的函数就可以表达清楚。

再说其正交性，所谓正交，就是函数集里两个不同函数之乘积的积分为0，正交性可以理解成函数集内任意两函数不相关。

既然三角函数集和复指数函数集是完备的正交函数集，那么用其中的一种函数集都可以表达周期信号。

用复指数函数集来表示一个复杂信号f (t )：f (t )=n 1φ1(t )+n 2φ2(t )+⋯=∑n n ∞n=1φn (t ) 其中，φn (t )=ℯjnωt (n=1,2,3,…,n)。

用三角函数集表示一个复杂信号f (t )：f (t )=a 0+a 1cosω0t +a 2cos2ω0t +⋯+b 1sinω0t +b 2sinω0t +⋯ =a 0+∑[a n cos (nω0t )+b n sin (nω0t )]∞n=1 这就是三角形式的傅里叶展开式。

2.傅里叶级数上面说到，三角函数集和复指数函数集都是正交完备函数集，那么对信号的分解任务简化成求三角函数或者复指数函数前面的系数问题了。

下面首先研究三角形式的傅里叶级数我们知道满足狄里赫利关系的周期信号f (t )，可以展开成f (t )=a 0+a 1cosω0t +a 2cos2ω0t +⋯+b 1sinω0t +b 2sinω0t +⋯ =a 0+∑[a n cos (nω0t )+b n sin (nω0t )]∞n=1 这种形式，现在我们来求各基函数前面的系数。

先求a 0。

把三角形式的傅里叶展开式写成如下形式：f (t )=a 02+∑[a n cos (nω0t )+b n sin (nω0t )]∞n=1 (3)对上式在[−π，π]内积分，得∫f (t )dt =∫a 02dt +∫∑[a n cos (nω0t )+b n sin (nω0t )]∞n=1dt π−ππ−ππ−π=∫a 02dt +0π−π=a 02×2π=a 0π∴a 0=1π∫f (t )dt π−π推广到一般周期的情况：a 0=1π∫f (t )dt T2−T2求a n 和b n 。

用cos (kωt)乘（3），再对其两边在[−π，π]内积分，得∫f (t )cos (kωt )π−πdt =a 02∫cos (kωt)dt π−π+∑[a n ∫cos (kωt )cos (nωt )dt +b n ∫cos (kωt)sin (nωt)dt π−ππ−π]∞n=1因为三角函数集是完备正交函数集，上式右边第一第三项均为0；第二项只有当k=n 这一项积分不为0。

所以∫f (t )cos (kωt )π−πdt =a n ∫cos (kωt )cos (nωt )dt π−π=a n ∫cos (nωt )cos (nωt )dt π−π=a n 2∫(1+cos 2nωt )π−πdt=a n π从而有：a n =1π∫f (t )cos (nωt )π−πdt 推广到一般周期的情况：a n =1T ∫f (t )cos (nωt )T 2−T2dt同理，用sin (kωt) 乘（3）可以求得b n =1π∫f (t )sin (nωt )π−πdt 推广到一般周期的情况：b n =1T ∫f (t )sin (nωt )T2−T2dt以上就是三角形式傅里叶级数的参数推导。

复指数形式傅里叶级数接着研究复指数形式傅里叶级数。

根据欧拉公式： e jnωt =cos (nωt )+jsin(nωt) (4)e −jnωt =cos (nωt )−jsin(nωt) (5) [(4)+(5)]/2得cos (nωt )=12(e jnωt +e −jnωt ) (6) [(4)-(5)]/2得sin(nωt)=12j (e jnωt −e −jnωt ) (7)把(6),(7)代人(3)。

可以得出复指数形式的傅里叶级数公式f (t )=a 02+∑[a n 12(e jnωt +e −jnωt )+b n 12j (e jnωt −e −jnωt )]∞n=1用a 0代替a2化简合并得到f (t )=a 0+∑(a n −jb n2e jnωt +a n +jb n2e −jnωt )∞n=1 (8)对于(8)式。

其中的参数有a n −jb n2和a n +jb n2另F n =a n −jb n2,F −n =a n +jb n2,F 0=a 0(8)式可化成f (t )=∑F n ejnωt∞−∞ (9) (9)式就是傅里叶级数的复指数形式。

现在求F n ，将上式两边同乘e−jmωt，并在一个周期内求积分得： ∫f(t)e −jmωt π−πdt =∫e −jmωt ∑F n e jnωt∞−∞π−πdt =∑F n ∞−∞∫e j(n−m)ωt π−πdt 当m=n 时=∑F n ∞−∞∫e 0dt π−π=F n ∙2π当m ≠n 时，=∑F n ∞−∞∫e j(n−m)ωt π−πdt 欧拉展开 =∑F n [∫cos (n −m )ωt dt +∫sin (n −m )ωt dt π−ππ−π]∞−∞ 三角函数在其周期内积分为0 =0∴各复指数项的系数F n =1π∫f(t)e −jmωt π−πdt 推广到一般周期的情况F n =1T ∫f(t)e −jmωtT2−T 2dt3. 傅里叶级数的物理意义傅里叶级数的重要性不仅仅在于它能把复杂的周期信号分解成一个个简单的函数的线性叠加，更重要的是，它提供一种分析信号的新思路——换一个角度来研究。

当我们在作图的时候，把x轴作为时间轴时候，我们硬性思维地把信号作为时间的函数，研究随着时间的不同，信号的变化情况。