江苏省苏州市陆慕高级中学2020-2021学年高二下学期在线学习质量检测数学试题
江苏省苏州市陆慕高级中学2021-2022高二数学下学期在线学习质量检测试题(含解析).doc
江苏省苏州市陆慕高级中学2021-2022高二数学下学期在线学习质量检测试题（含解析）一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1.复数2i -的虚部为（ ） A. 2 B. 1C. -1D. -i【答案】C 【解析】试题分析：复数2i -的虚部为－1，故选C ． 考点：复数的概念．2.已知函数()f x 可导，则()()11lim x f x f x∆→-∆--∆等于（ ）A. ()'1fB. 不存在C.()1'13f D. 以上都不对【答案】A 【解析】 【分析】直接根据导数的定义进行求解，将x -∆看成一个整体，即可得到答案。
【详解】因为0x ∆→，所以()0x -∆→，所以()()()()'001111limlim (1)x x f x f f x f f x x∆→-∆→-∆--∆-==-∆-∆. 故选：A【点睛】本题考查导数的概念、极根符号的理解，属于基础题.3.将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（ ） A. 43 B. 34C. 24D. 4【答案】A 【解析】 【分析】直接利用乘法原理计算得到答案.【详解】根据乘法原理：不同的方法种数为43. 故选：A .【点睛】本题考查了乘法原理，属于简单题. 4.函数f （x ）1lnxx =+的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】求出f (x )的导函数,利用导数研究函数的单调性,然后结合图象得到答案.【详解】解:由f (x )1lnxx =+,得f ′(x )211(0)(1)lnx x x x +-=>+, 令g (x )＝11lnx x +-,则g ′(x )22111xx x x+=--=-＜0, 所以g (x )在(0,+∞)上单调递减,又g (e )1e=＞0,g (e 2)2221111lne e e=+-=-＜0, 所以存在x 0∈(e ,e 2),使得g (x 0)＝0, 所以当x ∈(0,x 0)时,g (x )＞0,f ′(x )＞0; 当x ∈(x 0,+∞)时,g (x )＜0,f ′(x )＜0,所以f (x )在(0,x 0)上单调递增,在(x 0,+∞)上单调递减. 故选:C .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理,属中档题. 5.已知()()21xf x e xf =+'，则()0f '等于（ ）A. 12e +B. 12e -C. 2e -D. 2e【答案】B 【解析】试题分析：由于()()()()121,121xf x e f f e f =+=+''''，所以()1f e '=-，()()00212f e e e =+⋅-=-'．考点：函数导数．6.已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的子区间()1,1m m -+上不单调,则实数m的取值范围为( ) A. 13,22⎛⎫⎪⎝⎭B. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】对()f x 求导得到()f x '，然后利用导数得到()f x 的单调区间，根据()f x 在()1,1m m -+上不单调，从而得到关于m 的不等式，得到答案. 【详解】因为()29ln 3f x x x x =-+所以()923f x x x'=-+ 令()0f x '=，即9230x x-+=， 解得32x =或3x =-（舍） 所以30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， 3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 而()f x 在区间()1,1m m -+上不单调， 所以3112m m -<<+解得1522m <<， 因为()1,1m m -+是函数()f x 定义域内的子区间， 所以10m -≥，即m 1≥， 所以m 的范围为51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.7.如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）A.3417B.23417C.51717D.31717【答案】D 【解析】 【分析】首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解.【详解】如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ， 且EC FH =. 因为F 是PA的中点，G 是AB 的中点，所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1222HG AC ==. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167cos 22669PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即17CE =GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅3172317==⨯⨯. 故选：D【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.8.e 为自然对数的底数，已知函数()1,18ln 1,1xx f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，则函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是（ ） A. 1a <-或21a e =或98a > B. 1a <-或2118a e≤≤ C. 1a >-或2198a e <<D. 1a >-或98a >【答案】A 【解析】【详解】作出函数()f x 的图像如图所示，其中9(1,),(1,1)8A B -，则9,18OA OB k k ==-，设直线y ax =与曲线ln 1(1)y x x =-≥相切，则ln 1ax x =-，即ln 1x a x-=，设ln 1()x g x x-=，则221(ln 1)2ln ()x x g x x x ---='=，当2x e =时，()0g x '=， 分析可知，当2x e =时，函数()g x 有极大值也是最大值，221()g e e=，所以当21a e =时，ln 1x a x-=有唯一解，此时直线y ax =与曲线ln 1(1)y x x =-≥相切． 分析图形可知，当1a <-或21a e =或98a >时，函数()f x 的图像与函数y ax =的图像只有一个交点，即函数()y f x ax =-有唯一零点．故选A .【点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数求相切时斜率的方法，考查数形结合的数学思想方法.首先画出函数的图象，分段函数的图象注意分界点的位置是实心的函数空心的.然后将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点来解决.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.已知函数3211()1()32f x ax x x a R =+++∈，下列选项中可能是函数()f x 图像的是（ ）A. B. C. D.【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，分类讨论函数3211()1()32f x ax x x a R =+++∈的形状，即可得结论．【详解】解：当0a =时，函数21()12f x x x =++的图象如图D 所示：当0a >时，2()1f x ax x '=++， 若104a <<，则导函数有两个负根，即原函数的两个极值点均为负，不存在满足条件图象； 若14a，则导函数至多有一个根，即原函数在R 上递增，图象如图B 所示： 当0a <时，导函数有两个异号的根，即原函数的两个极值点异号，且函数单调性先递减后递增，图象如图C 所示， 故A 不可能是函数()f x 图象. 故选：BCD ．【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，分类讨论思想，利用导数分析函数的单调性，属于中档题．10.已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）A. 若复数z 满足||z i -=z 对应的点在以(1,0)为半径的圆上B. 若复数z 满足||28z z i +=+，则复数158z i =+C. 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D. 复数1z 对应的向量为1OZ ，复数2z 对应的向量为2OZ ，若1212z z z z +=-，则12OZ OZ ⊥【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数减法的模的几何意义，判断A 选项的正确性.设z a bi =+，结合||28z z i +=+求得z ，由此判断B 选项的正确性.根据复数模的定义判断C 选项的正确性.根据复数加法、减法的模的几何意义，判断D 选项的正确性.【详解】满足||5z i -=的复数z 对应的点在以(0,1)为圆心，5为半径的圆上，A 错误； 在B 中，设(,)z a bi a b R =+∈，则22||z a b =+.由||28z z i +=+，得2228a bi a b i +++=+，222,8,a ab b ⎧⎪++=∴⎨=⎪⎩解得15.8,a b =-⎧⎨=⎩158z i ∴=-+，B 错误；由复数的模的定义知C 正确； 由1212z z z z +=-的几何意义知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D 正确. 故选：CD【点睛】本小题主要考查复数模的运算以及复数加法、减法的模的几何意义，属于基础题. 11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点,,E F G 分别棱楼111,,AB AA C D 的中点，下列结论中正确的是（ ）A. 四面体11ACB D 的体积等于312a B. 1BD ⊥平面1ACBC. 11//B D 平面EFGD. 异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为22【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系可知C 不正确；根据线面垂直的判定定理可知B 正确；根据空间向量夹角的坐标公式可知D 正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知A 不正确．【详解】解：延长EF 分别与11B A ，1B B 的延长线交于N ，Q ，连接GN 交11A D 于H ，设HG 与11B C 的延长线交于P ，连接PQ 交1CC 于I ，交BC 于M ，连FH ，HG ，GI ，IM ，ME ，11B D 与HG 相交，故11B D 与平面EFG 相交，所以C 不正确；1⊥BD AC ，11BD B C ⊥，且AC 与1B C 相交，所以1BD ⊥平面1ACB ，故B 正确；以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可得异面直线EF 与1BD 的夹角的正切值为2，故D 正确； 四面体11ACB D 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为3331114323a a a -⨯⨯=，故A 不正确．故选：BD【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，空间中点、线、面之间的位置关系，属于难题． 12.(多选)已知函数()ln xf x e a x =+,其中正确结论的是( )A. 当0a =时,函数()f x 有最大值.B. 对于任意的0a <,函数()f x 一定存在最小值.C. 对于任意的0a >,函数()f x 是()0,∞+上的增函数.D. 对于任意的0a >,都有函数()0f x >. 【答案】BC【解析】 【分析】根据函数的单调性,导数和函数的最值的关系,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,当0a =时,函数()xf x e =,根据指数单调性可知,此时()f x 是单调增函数,故无最大值,故A 错误; 对于B,对于任意的0a <, ()ln xf x e a x =+∴ ()x a f x e x'=+,易知()f x '是在(0,)+∞单调增函数, 当x →+∞时,()f x →+∞ 当0x →时,()f x →-∞∴存在()00f x '=∴ 当00x x <<时, ()0f x '<,()f x 单调递减 ∴ 当0x x <<+∞时, ()0f x '>,()f x 单调递增 ∴ ()min 0()=f x f x故B 正确;对于C,对于任意的0a >, 函数()ln xf x e a x =+∴ ()x af x e x'=+, 0a >,0x > 可得:()0f x '>,故函数()f x 是()0,∞+上的增函数. 故C 正确;对于D,对于任意的0a >, 函数()ln xf x e a x =+∴ ()x af x e x'=+, 0a >,0x > 可得:()0f x '>,故函数()f x 是()0,∞+上的增函数. 当0x →时,1x e →,ln x →-∞, 可得:()f x →-∞,故D 错误. 故选:BC.【点睛】本题考查了根据导数来判断函数的单调性和判断函数是否有最值,解题关键是掌握用导数求函数单调性的求法和最值的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝________. 【答案】1＋2i 【解析】∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ，∴z ＝34(34)(12)51012(12)(12)5i i i ii i i －＋－＋－＋＝＝＋＋－＝1＋2i. 14.若各棱长均为1的正六棱柱的12个顶点都在球O 上，则球O 的表面积为____ 【答案】5π 【解析】 【分析】设正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的上下底面中心为,M M '，根据正六棱柱的对称性，1MM 中点O 为球心，求出底面ABCDEF 的外接圆圆心，即可求解.【详解】设正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-底面中心为,M M '，MM '中点为O ，则O 到正六棱柱的各顶点距离都相等，所以O 为正六棱柱外接球的球心，连,OB MB ，OB 为正六棱柱外接球的半径，1111,222MB AB OM MM AA ''=====，222151()22OB MB OM =+=+=， 球O 的表面积为254()454OB πππ=⨯=. 故答案为:5π.【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，确定外接球的球心是解题的关键，属于中档题.15.函数e xy mx =-在区间(]03,上有两个零点，则m 的取值范围是_________．【答案】3e e,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 试题分析：由题意得e 0xy mx =-=，得xe m x=，设()()22(1)x x x x e e x e e x f x f x x x x ⋅--=='=⇒，可得()f x 在区间(1,3)上单调递增；在区间(0,1)上单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，同时也是最小值()1f e =，因为当0x →时，()f x →+∞，当3x =时，()333e f =，所以要使得函数e xy mx =-在区间(0,3]上有两个零点，所以实数m 的取值范围是3ee 3m <<．考点：利用导数研究函数的单调性及极值（最值）．16.已知函数()()2ln 2f x x x x x a =+-（a R ∈）.若存在[]1,3x ∈，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由()()f x xf x '>可构造函数()()f x g x x =，则()0g x '<即1()4()0g x x a x'=+-<恒成立，转化为min14a x x ⎛⎫>+⎪⎝⎭，再求14x x +的最值即可.【详解】由()()f x xf x '>得'()0f x x ⎡⎤<⎢⎥⎣⎦,设2()()ln 2()f x g x x x a x ==+-，则存在[]1,3x ∈，使得()0g x '<成立，即1()4()0g x x a x '=+-<成立.所以14a x x >+成立，所以min12a x x ⎛⎫>+⎪⎝⎭成立， 又令14t x x =+，()()'22+1214x x t x -=，所以[]1,3x ∈时，'>0,t t 单调递增，当1x =时，t 有最小值54， 所以实数a 的取值范围是5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 故答案为：5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查函数单调性，不等式成立的问题, 这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知复数z ＝a 2－a －6＋222154a a a +--i ，分别求出满足下列条件的实数a 的值： （1）z 是实数； （2）z 是虚数； （3）z 是0.【答案】（1）a ＝－5或a ＝3；（2）a ≠－5且a ≠3且a ≠±2；（3）a ＝3 【解析】 【分析】（1）根据题意a 2＋2a －15＝0且a 2－4≠0，解得答案. （2）根据题意a 2＋2a －15≠0且a 2－4≠0，解得答案.（3）根据题意由a 2－a －6＝0且a 2＋2a －15＝0，且a 2－4≠0，解得答案. 【详解】由a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或a ＝3. 由a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 由a 2－4≠0，解得a ≠±2.（1）由a 2＋2a －15＝0且a 2－4≠0，得a ＝－5或a ＝3， ∴当a ＝－5或a ＝3时，z 为实数.（2）由a 2＋2a －15≠0且a 2－4≠0，得a ≠－5且a ≠3且a ≠±2， ∴当a ≠－5且a ≠3且a ≠±2时，z 是虚数.（3）由a 2－a －6＝0且a 2＋2a －15＝0，且a 2－4≠0，得a ＝3，∴当a ＝3时，z ＝0. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 18.已知0x >，证明不等式ln(1)x x >+． 【答案】见解析 【解析】【详解】主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值、不等式证明等方面的应用． 证明：原不等式等价于证明ln(1)0x x -+>．设()ln(1)f x x x =-+，则1()111x f x x x '=-=++． 0x，()0f x '∴>．()f x ∴在0()x ∈+∞，上是单调增函数． 又(0)0ln10f =-=，()(0)0f x f ∴>=即ln(1)0x x -+>，即ln(1)x x >+．19.已知函数()2ln af x x x=+. （1）若函数()f x 在[)2,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[]1,e 上的最小值为3，求实数a 的值. 【答案】（1）1a ≤；（2）a e =. 【解析】试题分析：（1）()22x a f x x -'=，由()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，知()220x af x x -'=≥恒成立，所以只需要20x a -≥在区间[)2,+∞恒成立，即220a -≥解得1a ≤；（2）本题只需求出函数的最小值，建立方程求解，因为()22x af x x-'=，分情况分析，①当12a ≤时，()220x af x x -'=≥在[]1,e 恒成立，()f x 在区间[]1,e 为增函数，()()min 13f x f ==得32a =不符合题意舍；②当122e a <<时，()220x af x x -'=≤在[]1,2a 成立，()f x 在区间[]2,a e 为增函数，()()2min232e f x f a a ===（舍）；③当2e a ≥时，()220x a f x x -'=≤在[]1,e 恒成立，()f x 在区间[]1,e 为减函数，()()min 3f x f e a e ===，． 试题解析：（1）()22x af x x -'=，∵()f x 在区间[)2,+∞上是增函数， ∵20x >，∴20x a -≥区间[)2,+∞恒成立，即220a -≥解得1a ≤；（2）()22x af x x -'=，①当12a ≤时，()220x af x x -'=≥在[]1,e 恒成立，∴()f x 在区间[]1,e 为增函数， ∴()()min 13f x f ==得32a =不符合题意舍；②当122e a <<时，()220x af x x-'=≤在[]1,2a 成立，∴()f x 在区间[]1,2a 为减函数， ()220x af x x -'=≥在[]2,a e 成立，∴()f x 在区间[]2,a e 为增函数，∴()()2min 232e f x f a a ===（舍）； ③当2e a ≥时，()220x af x x-'=≤在[]1,e 恒成立，∴()f x 在区间[]1,e 为减函数， ∴()()min 3f x f e a e ，===．点睛：本题考查函数的导数，利用导数求函数的单调区间及函数的最小值，属于中档题．处理函数单调性问题时，注意利用导函数的正负，特别是已知单调性问题，转化为函数导数恒不小于零，或恒小于零，再分离参数求解，求函数最值时分析好单调性再求极值，从而求出函数最值．20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35kx x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 【答案】40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元． 【解析】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35kC x x =+. 再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+. 而建造费用1()6C x x =最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++ （Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+. 解得5x =，253x =-（舍去）. 当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．21.如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点，12,12PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .（1）求证：AC平面DEF ；（2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）33（3）在线段EF 上存在一点Q 满足题意，且192FQ = 【解析】 【分析】(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值；(3)假设点Q 存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q 的存在性和位置. 【详解】（1）因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC 的中点.连接FN ，在PAC 中，,F N 分别为,PA PC 的中点，所以FN AC ∥， 因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC平面DEF .（2）易知,,DA DC DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C ，所以(1,1,2),(1,1,0)PB BC =-=-.设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，则(,,)(1,1,2)0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即20,0,x y z x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,2,y x z x =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得1,2,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面PBC 的一个法向量为(1,1,2)m =. 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =，(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,0n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩ ，据此可得01x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 则平面ABP 的一个法向量为()2,0,1n =，cos ,3m n <>==，于是3sin ,3m n 〈〉=. 故二面角APB C --（3）设存在点Q 满足条件.由1,0,,(0,22F E ⎛ ⎝⎭， 设(01)FQ FE λλ=，整理得1,22Q λλ⎛-⎝⎭， 则1),21,22BQ λλλ⎛⎫++=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π， 所以1sin|cos ,|||62||||2BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅解得21λ=， 由01λ知1λ=，即点Q 与E 重合.故在线段EF 上存在一点Q ，且FQ EF ==. 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．22.函数32()1(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）若()f x ，'()f x 这两个函数的所有极值之和不小于7-2，求实数a 的取值范围．【答案】（1）b ＝2239a a+（a ＞3）；（2）（3，6] 【解析】 【分析】（1）求导得到g （x ）＝f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，计算函数单调性，故f （﹣3a）＝0，计算得到b ＝2239a a+，再计算a ＞3得到答案.（2）f ′（x ）的极小值为f ′（﹣3a ）＝b ﹣23a ，设x 1，x 2是y ＝f （x ）的两个极值点，则x 1+x 2＝23a -，x 1x 2＝3b ，f （x 1）+f （x 2）＝3427a ﹣23ab +2，得到所以b ﹣23a +3427a ﹣23ab+2≥﹣72，解得答案. 【详解】（1）因为f （x ）＝x 3+ax 2+bx +1，所以g （x ）＝f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，g ′（x ）＝6x +2a ，令g ′（x ）＝0，解得x ＝﹣3a ． 由于当x ＞﹣3a时g ′（x ）＞0，g （x ）＝f ′（x ）单调递增； 当x ＜﹣3a时g ′（x ）＜0，g （x ）＝f ′（x ）单调递减； 所以f ′（x ）的极小值点为x ＝﹣3a，由于导函数f ′（x ）的极值点是原函数f （x ）的零点，所以f （﹣3a ）＝0，即﹣33279a a +﹣3ab +1＝0，所以b ＝2239a a+（a ＞0）． 因为f （x ）＝x 3+ax 2+bx +1（a ＞0，b ∈R ）有极值，所以f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ＝0有实根，所以4a 2﹣12b ＞0，即a 2﹣223a ﹣9a ＞0，解得a ＞3，所以b ＝2239a a +（a ＞3）． （2）f ′（x ）的极小值为f ′（﹣3a ）＝b ﹣23a ，优质资料\word 可编辑- 21 - / 21- 21 - 设x 1，x 2是y ＝f （x ）的两个极值点，则x 1+x 2＝23a，x 1x 2＝3b ， 所以f （x 1）+f （x 2）＝31x +32x +a （21x +22x ）+b （x 1+x 2）+2 ＝（x 1+x 2）[（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2]+a [（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2]+b （x 1+x 2）+2＝3427a ﹣23ab +2， 又因为f （x ），f ′（x ）这两个函数的所有极值之和不小于﹣72， 所以b ﹣23a +3427a ﹣23ab +2＝3a ﹣29a ≥﹣72，因为a ＞3，所以2a 3﹣63a ﹣54≤0， 所以2a （a 2﹣36）+9（a ﹣6）≤0，所以（a ﹣6）（2a 2+12a +9）≤0，由于a ＞3时2a 2+12a +9＞0，所以a ﹣6≤0，解得a ≤6，所以a 的取值范围是（3，6]．【点睛】本题考查了函数的极值点和零点，根据极值之和求参数，意在考查学生的综合应用能力.。
江苏省苏州市2020-2021学年下学期期初学业质量阳光指标调研卷高三数学试题 含答案
苏州市2020~2021学年第二学期期初学业质量阳光指标调研卷高三数学注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡 的规定位置。
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，阴影部分所表示的集合为A.A ∩(C U B)B.B ∩(C U A)C.A ∪(C U B)D.B ∪(C U A)2.已知复数z 满足iz=1-i(i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,2(a 1+a 3+a 5)+3(a 8+a 10)=60,则S 11的值为A.33B.44C.55D.664.古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美。
如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202)电元被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11,22,...,99),则在三位数的回文数中，出现奇数的概率为A. 13 B. 49 C. 59 D. 235.如图，在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60°角，e 1,e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP =xe 1+ye 2,则称有序实数对（x,y)为向量OP 的坐标，记作OP =(x,y).在此斜坐标系xOy 中，已知向量a =(2,3),b =(-5,2）,则a ,b 夹角的大小为A. 6πB. 3π C. 23π D. 56π6.已知函数y=f(x)和y=g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f(0)=-4,f(x)=g(x+2),则g(x)的解析式可以是 A.y=-4sin4x π B.y=4sin 2x π C.y=-4cos 4x π D.y=4cos 2x π 7.已知函数f(x)=2sin(2x+6π)，若α为锐角且f(2a )=65，则f(α+12π)的值为 A.- 4825 B.- 2425 C. 2425 D. 48258.我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。
高二数学下学期在线学习质量检测试题含解析 试题
陆慕高级中学2021-2021学年高二数学下学期在线学习质量检测试题〔含解析〕一、单项选择题〔一共8题，每一小题5分，一共40分〕2i -的虚部为〔 〕A. 2B. 1C. -1D. -i【答案】C 【解析】试题分析：复数2i -的虚部为－1，应选C ． 考点：复数的概念．()f x 可导，那么()()11limx f x f x∆→-∆--∆等于〔 〕A. ()'1fB. 不存在C.()1'13f D. 以上都不对【答案】A 【解析】 【分析】直接根据导数的定义进展求解，将x -∆看成一个整体，即可得到答案。
【详解】因为0x ∆→，所以()0x -∆→，所以()()()()'001111limlim (1)x x f x f f x f f x x∆→-∆→-∆--∆-==-∆-∆. 应选：A【点睛】此题考察导数的概念、极根符号的理解，属于根底题.3.将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，那么不同的方法种数为〔 〕 A. 43 B. 34C. 24D. 4【答案】A 【解析】 【分析】直接利用乘法原理计算得到答案.【详解】根据乘法原理：不同的方法种数为43. 应选：A .【点睛】此题考察了乘法原理，属于简单题.f 〔x 〕1lnxx =+的图象大致是〔 〕 A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】求出f (x )的导函数,利用导数研究函数的单调性,然后结合图象得到答案.【详解】解:由f (x )1lnxx =+,得f ′(x )211(0)(1)lnx x x x +-=>+,令g (x )＝11lnx x +-,那么g ′(x )22111xx x x+=--=-＜0, 所以g (x )在(0,+∞)上单调递减, 又g (e )1e =＞0,g (e 2)2221111lne e e=+-=-＜0, 所以存在x 0∈(e ,e 2),使得g (x 0)＝0, 所以当x ∈(0,x 0)时,g (x )＞0,f ′(x )＞0; 当x ∈(x 0,+∞)时,g (x )＜0,f ′(x )＜0,所以f (x )在(0,x 0)上单调递增,在(x 0,+∞)上单调递减. 应选:C .【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理,属中档题. 5.()()21xf x e xf =+'，那么()0f '等于〔 〕A. 12e +B. 12e -C. 2e -D. 2e【答案】B 【解析】试题分析：由于()()()()121,121x f x e f f e f =+=+''''，所以()1f e '=-，()()00212f e e e =+⋅-=-'．考点：函数导数．()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的子区间()1,1m m -+上不单调,那么实数m 的取值范围为( )A. 13,22⎛⎫⎪⎝⎭B. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】对()f x 求导得到()f x '，然后利用导数得到()f x 的单调区间，根据()f x 在()1,1m m -+上不单调，从而得到关于m 的不等式，得到答案. 【详解】因为()29ln 3f x x x x =-+所以()923f x x x'=-+ 令()0f x '=，即9230x x-+=， 解得32x =或者3x =-〔舍〕 所以30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 而()f x 在区间()1,1m m -+上不单调， 所以3112m m -<<+ 解得1522m <<， 因为()1,1m m -+是函数()f x 定义域内的子区间， 所以10m -≥，即m 1≥， 所以m 的范围为51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 应选：D.【点睛】此题考察利用导数求函数的单调区间，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.7.如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，那么异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是〔 〕A.3417B.23417C.51717D.31717【答案】D 【解析】 【分析】首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解.【详解】如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，那么//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，那么//EC FH ， 且EC FH =.因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，那么GFH ∠是异面直线PB 与CE 3FG =，12HG AC ==. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167cos 22669PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，那么2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即CE =在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅==. 应选：D【点睛】此题考察异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.8.e 为自然对数的底数，函数()1,18ln 1,1xx f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，那么函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是〔 〕A. 1a <-或者21a e =或者98a >B. 1a <-或者2118a e≤≤ C. 1a >-或者2198a e <<D. 1a >-或者98a >【答案】A 【解析】【详解】作出函数()f x 的图像如下图，其中9(1,),(1,1)8A B -，那么9,18OA OB k k ==-，设直线y ax =与曲线ln 1(1)y x x =-≥相切，那么ln 1ax x =-，即ln 1x a x-=，设ln 1()x g x x-=，那么221(ln 1)2ln ()x x g x x x ---='=，当2x e =时，()0g x '=， 分析可知，当2x e =时，函数()g x 有极大值也是最大值，221()g e e =，所以当21a e =时，ln 1x a x-=有唯一解，此时直线y ax =与曲线ln 1(1)y x x =-≥相切． 分析图形可知，当1a <-或者21a e =或者98a >时，函数()f x 的图像与函数y ax =的图像只有一个交点，即函数()y f x ax =-有唯一零点．应选A .【点睛】本小题主要考察分段函数的图象与性质，考察函数零点问题的处理方法，考察利用导数求相切时斜率的方法，考察数形结合的数学思想方法.首先画出函数的图象，分段函数的图象注意分界点的位置是实心的函数空心的.然后将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点来解决.二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.在每一小题给出的选项里面，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分.3211()1()32f x ax x x a R =+++∈，以下选项里面可能是函数()f x 图像的是〔 〕A. B. C. D.【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，分类讨论函数3211()1()32f x ax x x a R =+++∈的形状，即可得结论．【详解】解：当0a =时，函数21()12f x x x =++的图象如下图D ：当0a >时，2()1f x ax x '=++， 假设104a <<，那么导函数有两个负根，即原函数的两个极值点均为负，不存在满足条件图象；假设14a，那么导函数至多有一个根，即原函数在R 上递增，图象如下图B ： 当0a <时，导函数有两个异号的根，即原函数的两个极值点异号，且函数单调性先递减后递增，图象如下图C ， 故A 不可能是函数()f x 图象. 应选：BCD ．【点睛】此题考察的知识点是函数的图象，分类讨论思想，利用导数分析函数的单调性，属于中档题．10.i 为虚数单位，以下说法中正确的选项是〔 〕A. 假设复数z 满足||z i -=那么复数z 对应的点在以(1,0)B. 假设复数z 满足||28z z i +=+，那么复数158z i =+C. 复数的模本质上就是复平面内复数对应的点到原点的间隔 ，也就是复数对应的向量的模D. 复数1z 对应的向量为1OZ ，复数2z 对应的向量为2OZ ，假设1212z z z z +=-，那么12OZ OZ ⊥【答案】CD 【解析】 【分析】z a bi =+，结合||28z z i +=+求得z ，由此判断B 选项的正确性.根据复数模的定义判断C 选项的正确性.根据复数加法、减法的模的几何意义，判断D 选项的正确性.【详解】满足||5z i -=的复数z 对应的点在以(0,1)为圆心，5为半径的圆上，A 错误； 在B 中，设(,)z a bi a b R =+∈，那么22||z a b =+.由||28z z i +=+，得2228a bi a b i +++=+，222,8,a ab b ⎧⎪++=∴⎨=⎪⎩解得15.8,a b =-⎧⎨=⎩158z i ∴=-+，B 错误；由复数的模的定义知C 正确； 由1212z z z z +=-的几何意义知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D 正确. 应选：CD【点睛】本小题主要考察复数模的运算以及复数加法、减法的模的几何意义，属于根底题.1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点,,E F G 分别棱楼111,,AB AA C D 的中点，以下结论中正确的选项是〔 〕A. 四面体11ACB D 的体积等于312a B. 1BD ⊥平面1ACBC. 11//B D 平面EFGD. 异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为22【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系可知C 不正确；根据线面垂直的断定定理可知B 正确；根据空间向量夹角的坐标公式可知D 正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知A 不正确． 【详解】解：延长EF 分别与11B A ，1B B 的延长线交于N ，Q ，连接GN 交11A D 于H ，设HG 与11B C 的延长线交于P ，连接PQ 交1CC 于I ，交BC 于M ，连FH ，HG ，GI ，IM ，ME ， 11B D 与HG 相交，故11B D 与平面EFG 相交，所以C 不正确；1⊥BD AC ，11BD B C ⊥，且AC 与1B C 相交，所以1BD ⊥平面1ACB ，故B 正确；以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可得异面直线EF 与1BD 的夹角的正切值为22，故D 正确； 四面体11ACB D 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为3331114323a a a -⨯⨯=，故A 不正确．应选：BD【点睛】此题考察了命题的真假判断与应用，空间中点、线、面之间的位置关系，属于难题． 12.(多项选择)函数()ln xf x e a x =+,其中正确结论的是( )A. 当0a =时,函数()f x 有最大值.B. 对于任意的0a <,函数()f x 一定存在最小值.C. 对于任意的0a >,函数()f x 是()0,∞+上的增函数.D. 对于任意的0a >,都有函数()0f x >. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的单调性,导数和函数的最值的关系,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,当0a =时,函数()xf x e =,根据指数单调性可知,此时()f x 是单调增函数,故无最大值,故A 错误; 对于B,对于任意的0a <, ()ln xf x e a x =+∴ ()x a f x e x'=+,易知()f x '是在(0,)+∞单调增函数, 当x →+∞时,()f x →+∞ 当0x →时,()f x →-∞∴存在()00f x '=∴ 当00x x <<时, ()0f x '<,()f x 单调递减 ∴ 当0x x <<+∞时, ()0f x '>,()f x 单调递增 ∴ ()min 0()=f x f x故B 正确;对于C,对于任意的0a >, 函数()ln xf x e a x =+∴ ()x af x e x'=+, 0a >,0x >可得:()0f x '>,故函数()f x 是()0,∞+上的增函数. 故C 正确;对于D,对于任意的0a >, 函数()ln xf x e a x =+∴ ()x af x e x'=+, 0a >,0x > 可得:()0f x '>,故函数()f x 是()0,∞+上的增函数. 当0x →时,1x e →,ln x →-∞, 可得:()f x →-∞,故D 错误. 应选:BC.【点睛】此题考察了根据导数来判断函数的单调性和判断函数是否有最值,解题关键是掌握用导数求函数单调性的求法和最值的求法,考察了分析才能和计算才能,属于中档题. 三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，那么z ＝________.【答案】1＋2i 【解析】∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ，∴z ＝34(34)(12)51012(12)(12)5i i i ii i i －＋－＋－＋＝＝＋＋－＝1＋2i. 1的正六棱柱的12个顶点都在球O 上，那么球O 的外表积为____【答案】5π 【解析】【分析】设正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的上下底面中心为,M M '，根据正六棱柱的对称性，1MM 中点O 为球心，求出底面ABCDEF 的外接圆圆心，即可求解. 【详解】设正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的底面中心为,M M '，MM '中点为O ，那么O 到正六棱柱的各顶点间隔 都相等，所以O 为正六棱柱外接球的球心，连,OB MB ，OB 为正六棱柱外接球的半径，1111,222MB AB OM MM AA ''=====， 222151()22OB MB OM =+=+=， 球O 的外表积为254()454OB πππ=⨯=. 故答案为:5π.【点睛】此题考察多面体与球的“接〞“切〞问题，确定外接球的球心是解题的关键，属于中档题.e x y mx =-在区间(]03,上有两个零点，那么m 的取值范围是_________．【答案】3e e,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】试题分析：由题意得e 0xy mx =-=，得xe m x=，设()()22(1)x x x x e e x e e x f x f x x x x⋅--=='=⇒，可得()f x 在区间(1,3)上单调递增；在区间(0,1)上单调递减，所以当1x =时，函数()f x 获得极小值，同时也是最小值()1f e =，因为当0x →时，()f x →+∞，当3x =时，()333e f =，所以要使得函数e xy mx =-在区间(0,3]上有两个零点，所以实数m 的取值范围是3ee 3m <<．考点：利用导数研究函数的单调性及极值〔最值〕．()()2ln 2f x x x x x a =+-〔a R ∈〕.假设存在[]1,3x ∈，使得()()f x xf x '>成立，那么实数a 的取值范围是______.【答案】5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由()()f x xf x '>可构造函数()()f x g x x =，那么()0g x '<即1()4()0g x x a x'=+-<恒成立，转化为min14a x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，再求14x x +的最值即可.【详解】由()()f x xf x '>得'()0f x x ⎡⎤<⎢⎥⎣⎦,设2()()ln 2()f x g x x x a x ==+-，那么存在[]1,3x ∈，使得()0g x '<成立，即1()4()0g x x ax'=+-<14a xx>+成立，所以min12a xx⎛⎫>+⎪⎝⎭成立，又令14t xx=+，()()'22+1214x xtx-=，所以[]1,3x∈时，'>0,t t单调递增，当1x=时，t有最小值54，所以实数a的取值范围是5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭，故答案为：5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】此题主要考察函数单调性，不等式成立的问题, 这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果，属于中档题.四、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.z＝a2－a－6＋222154a aa+--i，分别求出满足以下条件的实数a的值：〔1〕z是实数；〔2〕z是虚数；〔3〕z是0.【答案】〔1〕a＝－5或者a＝3；〔2〕a≠－5且a≠3且a≠±2；〔3〕a＝3 【解析】【分析】〔1〕根据题意a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，解得答案.〔2〕根据题意a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，解得答案.〔3〕根据题意由a2－a－6＝0且a2＋2a－15＝0，且a2－4≠0，解得答案.【详解】由a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或者a ＝3. 由a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或者a ＝3. 由a 2－4≠0，解得a ≠±2.〔1〕由a 2＋2a －15＝0且a 2－4≠0，得a ＝－5或者a ＝3， ∴当a ＝－5或者a ＝3时，z 为实数.〔2〕由a 2＋2a －15≠0且a 2－4≠0，得a ≠－5且a ≠3且a ≠±2， ∴当a ≠－5且a ≠3且a ≠±2时，z 是虚数.〔3〕由a 2－a －6＝0且a 2＋2a －15＝0，且a 2－4≠0，得a ＝3，∴当a ＝3时，z ＝0. 【点睛】此题考察了根据复数类型求参数，意在考察学生的计算才能. 18.0x >，证明不等式ln(1)x x >+． 【答案】见解析 【解析】【详解】主要考察导数在研究函数的单调性、极值、最值、不等式证明等方面的应用． 证明：原不等式等价于证明ln(1)0x x -+>．设()ln(1)f x x x =-+，那么1()111x f x x x '=-=++． 0x，()0f x '∴>．()f x ∴在0()x ∈+∞，上是单调增函数． 又(0)0ln10f =-=，()(0)0f x f ∴>=即ln(1)0x x -+>，即ln(1)x x >+．()2ln a f x x x=+. 〔1〕假设函数()f x 在[)2,+∞上是增函数，务实数a 的取值范围； 〔2〕假设函数()f x 在[]1,e 上的最小值为3，务实数a 的值.【答案】〔1〕1a ≤；〔2〕a e =. 【解析】试题分析：〔1〕()22x a f x x -'=，由()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，知()220x af x x-'=≥恒成立，所以只需要20x a -≥在区间[)2,+∞恒成立，即220a -≥解得1a ≤；〔2〕此题只需求出函数的最小值，建立方程求解，因为()22x af x x -'=，分情况分析，①当12a ≤时，()220x af x x-'=≥在[]1,e 恒成立，()f x 在区间[]1,e 为增函数，()()min 13f x f ==得32a =不符合题意舍；②当122e a <<时，()220x af x x -'=≤在[]1,2a 成立，()f x 在区间[]2,a e 为增函数，()()2min232e f x f a a ===〔舍〕；③当2e a ≥时，()220x a f x x -'=≤在[]1,e 恒成立，()f x 在区间[]1,e 为减函数，()()min 3f x f e a e ===，．试题解析：〔1〕()22x af x x-'=，∵()f x 在区间[)2,+∞上是增函数， ∵20x >，∴20x a -≥在区间[)2,+∞恒成立，即220a -≥解得1a ≤； 〔2〕()22x af x x -'=， ①当12a ≤时，()220x af x x-'=≥在[]1,e 恒成立，∴()f x 在区间[]1,e 为增函数， ∴()()min 13f x f ==得32a =不符合题意舍；②当122e a <<时，()220x af x x -'=≤在[]1,2a 成立，∴()f x 在区间[]1,2a 为减函数， ()220x af x x-'=≥在[]2,a e 成立，∴()f x 在区间[]2,a e 为增函数， ∴()()2min 232e f x f a a ===〔舍〕； ③当2e a ≥时，()220x af x x -'=≤在[]1,e 恒成立，∴()f x 在区间[]1,e 为减函数， ∴()()min 3f x f e a e ，===．点睛：此题考察函数的导数，利用导数求函数的单调区间及函数的最小值，属于中档题．处理函数单调性问题时，注意利用导函数的正负，特别是单调性问题，转化为函数导数恒不小于零，或者恒小于零，再别离参数求解，求函数最值时分析好单调性再求极值，从而求出函数最值．20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元．该建筑物每年的能源消消耗用C 〔单位：万元〕与隔热层厚度x 〔单位：cm 〕满足关系：C 〔x 〕=(010),35kx x ≤≤+假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8万元．设f 〔x 〕为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和． 〔Ⅰ〕求k 的值及f(x)的表达式．〔Ⅱ〕隔热层修建多厚时，总费用f(x)到达最小，并求最小值． 【答案】40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用到达最小值为70万元． 【解析】解：〔Ⅰ〕设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消消耗用为()35kC x x =+. 再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+. 而建造费用为1()6C x x =最后得隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++ 〔Ⅱ〕22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+. 解得5x =，253x =-〔舍去〕. 当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用到达最小值为70万元．21.如下图的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点，12,12PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .〔1〕求证：AC平面DEF ；〔2〕求二面角A PB C --的正弦值；〔3〕在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？假设存在，求出FQ 的长；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕见解析〔233〕在线段EF 上存在一点Q 满足题意，且19FQ = 【解析】 【分析】(1)由题意结合线面平行的断定定理即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数根本关系可得二面角的正弦值；(3)假设点Q 存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q 的存在性和位置. 【详解】〔1〕因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC FN ，在PAC 中，,F N 分别为,PA PC 的中点，所以FN AC ∥， 因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC平面DEF .〔2〕易知,,DA DC DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.那么2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C ，所以(1,1,2),(1,1,0)PB BC =-=-.设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，那么(,,)(1,1,2)0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即20,0,x y z x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,2,y x z x =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得1,2,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面PBC 的一个法向量为(1,1,2)m =. 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =，(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,0n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩ ，据此可得01x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 那么平面ABP 的一个法向量为()2,0,1n =，cos ,3m n <>==，于是3sin ,3m n 〈〉=. 故二面角APB C --〔3〕设存在点Q 满足条件.由1,0,,(0,22F E ⎛ ⎝⎭， 设(01)FQ FE λλ=，整理得1,22Q λλ⎛-⎝⎭， 那么1),21,22BQ λλλ⎛⎫++=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π， 所以1sin |cos ,|||62||||2BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅解得21λ=，由01λ知1λ=，即点Q 与E 重合.故在线段EF 上存在一点Q ，且FQ EF ==. 【点睛】此题的核心在考察空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解此题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进展向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，那么二面角θ与,m n <>互补或者相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．32()1(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)〔1〕求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；〔2〕假设()f x ，'()f x 这两个函数的所有极值之和不小于7-2，务实数a 的取值范围． 【答案】〔1〕b ＝2239a a+〔a ＞3〕；〔2〕〔3，6] 【解析】【分析】〔1〕求导得到g 〔x 〕＝f ′〔x 〕＝3x 2+2ax +b ，计算函数单调性，故f 〔﹣3a 〕＝0，计算得到b ＝2239a a+，再计算a ＞3得到答案. 〔2〕f ′〔x 〕的极小值为f ′〔﹣3a 〕＝b ﹣23a ，设x 1，x 2是y ＝f 〔x 〕的两个极值点，那么x 1+x 2＝23a -，x 1x 2＝3b ，f 〔x 1〕+f 〔x 2〕＝3427a ﹣23ab +2，得到所以b ﹣23a +3427a ﹣23ab +2≥﹣72，解得答案. 【详解】〔1〕因为f 〔x 〕＝x 3+ax 2+bx +1，所以g 〔x 〕＝f ′〔x 〕＝3x 2+2ax +b ， g ′〔x 〕＝6x +2a ，令g ′〔x 〕＝0，解得x ＝﹣3a ． 由于当x ＞﹣3a 时g ′〔x 〕＞0，g 〔x 〕＝f ′〔x 〕单调递增； 当x ＜﹣3a 时g ′〔x 〕＜0，g 〔x 〕＝f ′〔x 〕单调递减； 所以f ′〔x 〕的极小值点为x ＝﹣3a ，由于导函数f ′〔x 〕的极值点是原函数f 〔x 〕的零点，所以f 〔﹣3a 〕＝0，即﹣33279a a +﹣3ab +1＝0，所以b ＝2239a a+〔a ＞0〕． 因为f 〔x 〕＝x 3+ax 2+bx +1〔a ＞0，b ∈R 〕有极值，所以f ′〔x 〕＝3x 2+2ax +b ＝0有实根，所以4a 2﹣12b ＞0，即a 2﹣223a ﹣9a ＞0，解得a ＞3，所以b ＝2239a a +〔a ＞3〕． 〔2〕f ′〔x 〕的极小值为f ′〔﹣3a 〕＝b ﹣23a ， 设x 1，x 2是y ＝f 〔x 〕的两个极值点，那么x 1+x 2＝23a -，x 1x 2＝3b ， 所以f 〔x 1〕+f 〔x 2〕＝31x +32x +a 〔21x +22x 〕+b 〔x 1+x 2〕+2 ＝〔x 1+x 2〕[〔x 1+x 2〕2﹣3x 1x 2]+a [〔x 1+x 2〕2﹣2x 1x 2]+b 〔x 1+x 2〕+2＝3427a ﹣23ab +2， 又因为f 〔x 〕，f ′〔x 〕这两个函数的所有极值之和不小于﹣72， 所以b ﹣23a +3427a ﹣23ab +2＝3a ﹣29a ≥﹣72，因为a ＞3，所以2a 3﹣63a ﹣54≤0， 所以2a 〔a 2﹣36〕+9〔a ﹣6〕≤0，所以〔a ﹣6〕〔2a 2+12a +9〕≤0，由于a ＞3时2a 2+12a +9＞0，所以a ﹣6≤0，解得a ≤6，所以a 的取值范围是〔3，6]．【点睛】此题考察了函数的极值点和零点，根据极值之和求参数，意在考察学生的综合应用才能.。
江苏省苏州市中学2020-2021学年高二数学理下学期期末试卷含解析
江苏省苏州市中学2020-2021学年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“椭圆焦距为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A略2. 已知抛物线x=4y2上一点P（m，1），焦点为F．则|PF|=（）A．m+1 B．2 C．D．参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出m，利用点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，点P到抛物线的准线的距离为4+，从而得到结论．【解答】解：∵抛物线x=4y2上一点P（m，1），∴m=4，由抛物线的定义可得，点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，点P到抛物线的准线的距离为4+=4+=，故选D．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，体现了转化的数学思想，利用抛物线的定义是解题的关键．3. 一束光线从点出发，经x轴反射到圆上的最短路径是（）A．4 B．5C． D．参考答案：A略4. 下面对算法描述正确的一项是：（）A．算法只能用自然语言来描述 B．算法只能用图形方式来表示C．同一问题可以有不同的算法 D．同一问题的算法不同，结果必然不同参考答案：C 解析：算法的特点：有穷性，确定性，顺序性与正确性，不唯一性，普遍性5. 在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．2π参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为： =．故选：C．6. 抛物线的焦点坐标为（）．A．B．C．D．参考答案：D∵抛物线方程的焦点坐标为，∴抛物线的焦点坐标是．故选．7. 下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．0个参考答案：B8. 已知函数，其中为自然对数的底数，若关于的方程，有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：B略9. 下列有关命题的说法中错误的是A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等 .B．一个样本的方差是，则这组数据的总和等于60. C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越差.D．对于命题使得＜0，则，使.参考答案：C10. 设y1=40.9，y2=80.48，y3=，则（）A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y1＞y2＞y3参考答案：C【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点．【分析】化简这三个数为2x的形式，再利用函数y=2x在R上是增函数，从而判断这三个数的大小关系．【解答】解：∵ =21.8， =（23）0.48=21.44， =21.5，函数y=2x在R上是增函数，1.8＞1.5＞1.44，∴21.8＞21.5＞21.44，故y1＞y3＞y2，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若“”是“”的必要不充分条件，则m的取值范围是__________参考答案：(－∞,－2]【分析】解出的等价条件，根据必要不充分的定义得到关于的不等式，求解即可。
江苏省苏州市2020-2021学年高二下学期学业质量阳光指标调研文数试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， .若 ，则实数 的值为__________．
2．已知复数 （ 为虚数单位），则 __________．
6．
【解析】
分析：设该点的坐标为 ，根据抛物线的定义得到 ，即得 和 的值,即得解.
详解：设该点的坐标为 ，根据抛物线的定义得到 ，所以 ，
所以 因为该点在第一象限，所以该点的坐标为 .
故答案为: .
点睛：（1）本题主要考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)如果抛物线中，涉及抛物线上的点到焦点的距离或涉及焦点弦，一般可考虑使用抛物线的定义，使用几何法求解，实现点到焦点的距离和点到准线之间的距离的转化，比使用方程组要简单.
5．必要不充分
【分析】
根据小范围推出大范围，大范围不能推出小范围，可判断．
【详解】
因为m>3的范围比m>1的范围小且包含在m>1范围内，所以 是 的必要不充分条件，填必要不充分．
【点睛】
对于充分性必要性条件的判断三种常用方法：（1）利用定义判断．如果已知 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件；（2）利用等价命题判断；(3) 把充要条件“直观化”，如果 ，可认为 是 的“子集”；如果 ，可认为 不是 的“子集”，由此根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明．
【解析】
分析：设圆的方程为 ，再把 ， 两点的坐标代入圆的方程求出a和r即得圆的标准方程.
详解：设圆的方程为 ，
把 ， 两点的坐标代入圆的方程得 且 .
江苏省苏州陆慕高级中学2019-2020学年高二下学期在线学习质量检测数学试题
数学试题一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-i2．已知函数()f x 可导，则()()11limx f x f x∆→-∆--∆等于（ ）A ．()'1fB ．不存在C ．()1'13f D ．以上都不对 3．将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（ ） A 43B. 34C.24D. 44．函数f （x ）1lnxx =+的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知()()21xf x e xf =+'，则()0f '等于（ ）A ．12e +B ．12e -C ．2e -D ．2e6．已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的子区间()1,1m m -+上不单调,则实数m 的取值范围为( )A ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ） A 34B ．3417C 5173178．e 为自然对数的底数，已知函数()1,18ln 1,1xx f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，则函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是（ ） A ．1a <-或21a e =或98a > B ．1a <-或2118a e≤≤C ．1a >-或2198a e<< D ．1a >-或98a > 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．已知函数3211()1()32f x ax x x a R =+++∈，下列选项中可能是函数()f x 图像的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）A ．若复数z 满足||5z i -=z 对应的点在以(1,0)5为半径的圆上B ．若复数z 满足||28z z i +=+，则复数158z i =+C ．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．复数1z 对应的向量为1OZ u u u u v ，复数2z 对应的向量为2OZ u u u u v ，若1212z z z z +=-，则12OZ OZ ⊥u u u u v u u u u v11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点,,E F G 分别棱楼111,,AB AA C D 的中点，下列结论中正确的是（ ） A ．四面体11ACB D 的体积等于312a B ．1BD ⊥平面1ACB ；C ．11//B D 平面EFG D ．异面直线EF 与1BD 2 12．已知函数()ln xf x e a x =+,其中正确结论的是( )A ．当0a =时,函数()f x 有最大值.B ．对于任意的0a <,函数()f x 一定存在最小值.C ．对于任意的0a >,函数()f x 是()0,∞+上的增函数.D ．对于任意的0a >,都有函数()0f x >.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝________.14．若各棱长均为1的正六棱柱的12个顶点都在球O 上，则球O 的表面积为____15．函数e x y mx =-在区间(]03,上有两个零点，则m 的取值范围是_________． 16．已知函数()()2ln 2f x x x x x a =+-（a R ∈）.若存在[]1,3x ∈，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是______.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数z ＝a 2－a －6＋a 2＋2a －15a 2－4i ，分别求出满足下列条件的实数a 的值：(1)z 是实数；(2)z 是虚数；(3)z 是0.18．（12分）已 ，证明不等式：.19．（12分）已知函数．（1）若函数在上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数在上的最小值为3，求实数的值．20．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值.21．（12分）如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，,2ADC BAD Fπ∠=∠=为PA 的中点，12,12PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .（1）求证：//平面DEF ；（2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由.22．（12分）函数),0(1)(23R b a bx ax x x f ∈>+++=有极值，且导函数)('x f 的极值点是)(x f 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）若)(x f ，)('x f 这两个函数的所有极值之和不小于27-，求实数a 的取值范围．数学一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1．复数2i -的虚部为（ ）【答案】C A ．2B ．1C ．-1D ．-i2．已知函数()f x 可导，则()()11limx f x f x∆→-∆--∆等于（ ）【答案】AA ．()'1fB ．不存在C ．()1'13f D ．以上都不对 3．将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（ ） A 43 B. 34C.24D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，即可得答案.【详解】每一个文件都有三种不同的发法，共有34种不同方法. 故选：A . 4．函数f （x ）1lnxx =+的图象大致是（ ）【答案】C A ．B ．C ．D ．5．已知()()21xf x e xf =+'，则()0f '等于（ ）【答案】BA ．12e +B ．12e -C ．2e -D ．2e6．已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的子区间()1,1m m -+上不单调,则实数m 的取值范围为( ) 【答案】DA ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）【答案】DA ．34B ．234C ．517D ．3178．e 为自然对数的底数，已知函数()1,18ln 1,1xx f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，则函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是（ ）【答案】AA ．1a <-或21a e =或98a > B ．1a <-或2118a e≤≤ C ．1a >-或2198a e<< D ．1a >-或98a > 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．已知函数3211()1()32f x ax x x a R =+++∈，下列选项中可能是函数()f x 图像的是（ ）【答案】BCDA ．B ．C ．D ．10．已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）【答案】CDA ．若复数z 满足||5z i -=z 对应的点在以(1,0)5为半径的圆上B ．若复数z 满足||28z z i +=+，则复数158z i =+C ．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．复数1z 对应的向量为1OZ u u u u v ，复数2z 对应的向量为2OZ u u u u v，若1212z z z z +=-，则12OZ OZ ⊥u u u u v u u u u v11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点,,E F G 分别棱楼111,,AB AA C D 的中点，下列结论中正确的是（ ）【答案】BD A ．四面体11ACB D 的体积等于312a B ．1BD ⊥平面1ACB ；C ．11//B D 平面EFG D ．异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为2212．已知函数()ln xf x e a x =+,其中正确结论的是( ) 【答案】BCA ．当0a =时,函数()f x 有最大值.B ．对于任意的0a <,函数()f x 一定存在最小值.C ．对于任意的0a >,函数()f x 是()0,∞+上的增函数.D ．对于任意的0a >,都有函数()0f x >.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝___ 1＋2i_____. 14．若各棱长均为1的正六棱柱的12个顶点都在球O 上，则球O 的表面积为5π15．函数e xy mx =-在区间(]03,上有两个零点，则m 的取值范围是____ 3e e,3⎛⎤⎥⎝⎦_．16．已知函数()()2ln 2f x x x x x a =+-（a R ∈）.若存在[]1,3x ∈，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是______. 5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝a 2－a －6＋a 2＋2a －15a 2－4i ，分别求出满足下列条件的实数a 的值：(1)z 是实数；(2)z 是虚数；(3)z 是0. 解 由a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或a ＝3. 由a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 由a 2－4≠0，解得a ≠±2. (1)由a 2＋2a －15＝0且a 2－4≠0， 得a ＝－5或a ＝3，∴当a ＝－5或a ＝3时，z 为实数. (2)由a 2＋2a －15≠0且a 2－4≠0， 得a ≠－5且a ≠3且a ≠±2，∴当a ≠－5且a ≠3且a ≠±2时，z 是虚数.(3)由a 2－a －6＝0且a 2＋2a －15＝0，且a 2－4≠0，得a ＝3， ∴当a ＝3时，z ＝0.18．（12分）已 ，证明不等式：.作差构造函数19．（12分）已知函数f (x )=ln x +2ax ,a∈R ． （1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围； （2）若函数在上的最小值为3，求实数的值． （1）1（2）（3）a =e20.（12分）如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点，12,12PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N . （1）求证：AC P 平面DEF ； （2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由.（1）因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC 的中点.连接FN ，在PAC V 中，,F N 分别为,PA PC 的中点，所以FN AC ∥， 因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC P 平面DEF .（2）易知,,DA DC DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C ，所以(1,1,2),(1,1,0)PB BC ==-u u u r u u u r.设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =r，则(,,)(1,1,2)0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u u v r u u u v r 即20,0,x y z x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩解得,2,y x z x =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得1,2,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面PBC 的一个法向量为2)m =r. 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =r，(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,2)0n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩u u uv r u u uv r ，据此可得 201x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 则平面ABP 的一个法向量为)2,0,1n =r，226cos ,311221m n <>==++⋅+u r r ，于是3sin ,3m n 〈〉=r r. 故二面角A PB C --3（3）设存在点Q 满足条件.由12,0,,(0,2)22F E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(01)FQ FE λλ=u u u r u u u r &剟，整理得1),2,22Q λλλ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 则.因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以1sin |cos ,|||62||||BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅u u u r u ru u u r u r u u ur u r 解得21λ=，由01λ剟知1λ=，即点Q 与E 重合. 故在线段EF 上存在一点Q，且FQ EF ==. cos ,5||||n CD n CD n CD ⋅<>==-r uu u rr uu u r r uu u r∴二面角P AG C --的平面角的余弦值为5-.…………12分21．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值. 解 (1)由题设知，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10).(2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2. 令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6， 解得x ＝5，x ＝－253(舍去). 当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 所以当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元.22．（12分）函数),0(1)(23R b a bx ax x x f ∈>+++=有极值，且导函数)('x f 的极值点是)(x f 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）若)(x f ，)('x f 这两个函数的所有极值之和不小于27-，求实数a 的取值范围．解：(1) 由f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ＝3(x ＋a 3)2＋b －a 23.令g(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，则g′(x)＝6x ＋2a ，令g′(x)＝0，解得x ＝－a 3.当x>－a 3时，g ′(x)>0，g(x)＝f′(x)单调递增，当x<－a 3时，g ′(x)<0，g(x)＝f′(x)单调递减，所以f′(x)的极小值点为x ＝－a 3.因为f′(x)的极值点是f(x)的零点，所以f(－a 3)＝－a 327＋a 39－ab 3＋1＝0， 又a>0，故b ＝2a 29＋3a .因为f(x)有极值，故f′(x)＝0有实根，从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x)>0(x ≠－1)，故f(x)在R 上是增函数，f(x)没有极值，当a>3时，f ′(x)＝0有两个相异的实根x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3. 列表如下：故f(x)的极值点是x 1，x 2.从而a ＞3.因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)．(2) 由(1)知，f(x)的极值点是x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－23a ，x 21＋x 22＝4a 2－6b 9.从而f(x 1)＋f(x 2)＝x 31＋ax 21＋bx 1＋1＋x 32＋ax 22＋bx 2＋1＝x 13(3x 21＋2ax 1＋b)＋x 23(3x 22＋2ax 2＋b)＋13a(x 21＋x 22)＋23b(x 1＋x 2)＋2＝4a 3－6ab 27－4ab 9＋2＝0.记f(x)，f ′(x)所有极值之和为h(a)，因为f′(x)的极值为f′(－a 3)＝b －a 23＝－19a 2＋3a ，所以h(a)＝－19a 2＋3a ，a ＞3.因为h′(a)＝－29a －3a 2＜0，于是h(a)在(3，＋∞)上单调递减．因为h(6)＝－72，于是h(a)≥h(6)，故a ≤6.因此a 的取值范围是(3，6]．。
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2
16、椭圆
2
2
√3
+ 2 = 1( > > 0)的离心率是 ，斜率为 1 的直线过(, 0)且与椭圆交于 A，
2
32
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅
B 两点，O 为坐标原点，若
，则椭圆的标准方程是______ ．
5∠
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
的值为(
)
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
6、将函数 = ( + 1)( ≥ 0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角( ∈ (0, ])，得到曲
线 C，若对于每一个旋转角，曲线 C 都仍然是一个函数的图象，则的最大值为( )
A.
B..
3
7、 直线 3x－4y＋5＝0 关于直线 x＋y＝0 对称的直线方程为(
17、在①3 = 4，②2sin
+
2
= √5sin这两个条件中任选一个，补充在下面
的问题中，然后解答补充完整的题． 在△ 中，角 A，B，C，的对边分别为 a，b，c，
已知________(只需填序号)， = 3√2． (1)求 sinC．
(2)为 AC 边上一点， = ，
)
A. － 2
B. 0
C. 1
D. 2
2、若复数 z 满足(1＋2i)z＝3－4i，则 z 的实部为(
)
A. 1
B. －1
C. 2
D. －2
3、已知函数 f(x)关于直线 x＝－2 对称，且周期为 2，当 x∈[－3，－2]时，f(x)＝(x＋2)2，
5
则 f( )＝(
江苏省苏州市2020_2021学年第二学期期初学业质量阳光指标调研卷高三数学试题 word版
苏州市2020~2021学年第二学期期初学业质量阳光指标调研卷高三数学注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡 的规定位置。
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，阴影部分所表示的集合为A.A ∩(C U B)B.B ∩(C U A)C.A ∪(C U B)D.B ∪(C U A)2.已知复数z 满足iz=1-i(i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,2(a 1+a 3+a 5)+3(a 8+a 10)=60,则S 11的值为A.33B.44C.55D.664.古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美。
如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202)电元被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11,22,...,99),则在三位数的回文数中，出现奇数的概率为A. 13 B. 49 C. 59 D. 235.如图，在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60°角，e 1,e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP =xe 1+ye 2,则称有序实数对（x,y)为向量OP 的坐标，记作OP =(x,y).在此斜坐标系xOy 中，已知向量a =(2,3),b =(-5,2）,则a ,b 夹角的大小为A. 6πB. 3π C. 23π D. 56π6.已知函数y=f(x)和y=g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f(0)=-4,f(x)=g(x+2),则g(x)的解析式可以是 A.y=-4sin4x π B.y=4sin 2x π C.y=-4cos 4x π D.y=4cos 2x π 7.已知函数f(x)=2sin(2x+6π)，若α为锐角且f(2a )=65，则f(α+12π)的值为 A.- 4825 B.- 2425 C. 2425 D. 48258.我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。
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因为
所以
令 ，即 ，
解得 或 （舍）
所以 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
而 在区间 上不单调，
所以
解得 ，
因为 是函数 定义域内的子区间，
所以 ，即 ，
所以 的范围为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.
7．D
【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线 与 所成角的平面角，在 中利用余弦定理求出 进而求出CE，再在 中利用余弦定理即可得解.
14．若各棱长均为 的正六棱柱的 个顶点都在球 上，则球 的表面积为____
15．函数 在区间 上有两个零点，则 的取值范围是_________．
16．已知函数 （ ）.若存在 ，使得 成立，则实数a的取值范围是______.
四、解答题
17．已知复数z＝a2－a－6＋ i，分别求出满足下列条件的实数a的值：
所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.
故选:C.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理,属中档题.
5．B
【解析】
试题分析：由于 ，所以 ，导得到 ，然后利用导数得到 的单调区间，根据 在 上不单调，从而得到关于 的不等式，得到答案.
A．四面体 的体积等于 B． 平面
C． 平面 D．异面直线 与 所成角的正切值为
12．(多选)已知函数 ,其中正确结论的是()
A．当 时,函数 有最大值.
B．对于任意的 ,函数 一定存在最小值.
C．对于任意的 ,函数 是 上的增函数.
D．对于任意的 ,都有函数 .
三、填空题
13．若复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虚数单位)，则z＝________.
（1）z是实数；
（2）z是虚数；
（3）z是0.
18．已知 ，证明不等式 ．
19．已知函数 .
（1）若函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围；
（2）若函数 在 上的最小值为3，求实数 的值.
20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= 若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
21．如图所示的几何体中， 垂直于梯形 所在的平面， 为 的中点， ，四边形 为矩形，线段 交 于点 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的大小为 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由.
【详解】
如图，取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， ，
则 ， ，从而四边形 是平行四边形，则 ，
且 .
因为 是 的中点， 是 的中点，
所以 为 的中位线，所以 ，则 是异面直线 与 所成的角.由题意可得 ， .
在 中，由余弦定理可得 ，
则 ，即 .
在 中，由余弦定理可得 .
故选：D
A． B． C． D．
10．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（）
A．若复数z满足 ，则复数z对应的点在以 为圆心， 为半径的圆上
B．若复数z满足 ，则复数
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数 对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ，若 ，则
11．已知正方体 的棱长为 ，点 分别棱楼 的中点，下列结论中正确的是（）
C． D．以上都不对
3．将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（）
A． B． C．24D．4
4．函数f（x） 的图象大致是（）
A． B． C． D．
5．已知 ，则 等于（）
A． B． C． D．
6．已知函数 在其定义域内的子区间 上不单调,则实数 的取值范围为( )
A． B． C． D．
7．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥 中， 为侧棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（）
A． B． C． D．
8． 为自然对数的底数，已知函数 ，则函数 有唯一零点的充要条件是（ ）
A． 或 或 B． 或
C． 或 D． 或
二、多选题
9．已知函数 ，下列选项中可能是函数 图像的是（）
22．函数 有极值，且导函数 的极值点是 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
（1）求 关于 的函数关系式，并写出定义域；
（2）若 ， 这两个函数的所有极值之和不小于 ，求实数 的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：复数 的虚部为－1，故选C．
考点：复数的概念．
2．A
【分析】
直接根据导数的定义进行求解，将 看成一个整体，即可得到答案。
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：A
【点睛】
本题考查导数的概念、极根符号的理解，属于基础题.
3．A
【分析】
直接利用乘法原理计算得到答案.
【详解】
根据乘法原理：不同的方法种数为 .
故选： .
【点睛】
本题考查了乘法原理，属于简单题.
4．C
【分析】
求出f(x)的导函数,利用导数研究函数的单调性,然后结合图象得到答案.
【详解】
解:由f(x) ,得f′(x) ,
令g(x)＝1 ,则g′(x) 0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,
又g(e) 0,g(e2) 0,
所以存在x0∈(e,e2),使得g(x0)＝0,
所以当x∈(0,x0)时,g(x)＞0,f′(x)＞0;
当x∈(x0,+∞)时,g(x)＜0,f′(x)＜0,
江苏省苏州市陆慕高级中学2020-2021学年高二下学期在线学习质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数 的虚部为（）
A．2B．1C．-1D．-i
2．已知函数 可导，则 等于（）
A． B．不存在
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
8．A
【详解】
作出函数 的图像如图所示，其中 ，则 ，设直线 与曲线 相切，则 ，即 ，设
，则 ，当 时， ，