2015-2016年江苏省苏州市高一下学期期末数学试卷及答案
2015-2016年江苏省苏州市高一上学期数学期末试卷带答案
2015-2016学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分.1．（5.00分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．（5.00分）函数f（x）=2tan（πx+3）的最小正周期为．3．（5.00分）函数f（x）=ln（2﹣x）的定义域是．4．（5.00分）若向量=（3，4），则||=．5．（5.00分）定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，则f（﹣1）=．6．（5.00分）已知a=log2，b=2，c=（）2，则a，b，c的大小关系为（用“＜”连接）．7．（5.00分）10lg2﹣log2﹣log26=．8．（5.00分）在△ABC中，已知sinA+cosA=，则sinA﹣cosA=．9．（5.00分）如图，在△ABC中，==2，=λ+μ，则λ+μ=．10．（5.00分）已知方程2x+x=4的解在区间（n，n+1）上，其中n∈Z，则n=．11．（5.00分）已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则=．12．（5.00分）定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上的增函数，若f（1）=0，则f（log2x）＞0的解集是．13．（5.00分）在△ABC中，已知AB=AC，BC=2，点P在边BC上，若•=﹣，则•=．14．（5.00分）已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）已知||=1，||=，=（，1），求：（1）||；（2）与的夹角．16．（14.00分）已知函数f（x）=sin（x+），将y=f（x）的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=h（x）的图象．（1求y=h（x）的单调递增区间；（2）若f（α）=，求sin（﹣α）+sin2（﹣α）的值．17．（15.00分）如图，用一根长为10m绳索围成了一个圆心角小于x且半径不超过3m的扇形场地，设扇形的半径为xm，面积为Scm2．（1）写出S关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域；（2）当半径x和圆心角α分别是多少时，所围扇形场地的面积S最大，并求S 的最大值．18．（15.00分）已知=（1，﹣x），=（x2，4cosθ），函数f（x）=•﹣1，θ∈[﹣π，π]．（1）当θ=π时，该函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[1，]上不单调，求θ的取值范围．19．（16.00分）设函数f（x）=x|x﹣1|+m．（1）当m=﹣2时，解关于x的不等式f（x）＞0．（2）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值．20．（16.00分）已知函数f k（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（k∈Z，a＞0，a≠1，x∈R），g（x）=．（1）若a＞1时，判断并证明函数y=g（x）的单调性；（2）若y=f1（x）在[1，2]上的最大值比最小大2，证明函数y=g（x）的奇函数；（3）在（2）条件下，函数y=f0（2x）+2mf2（x）在x∈[1，+∞）有零点，求实数m的取值范围．2015-2016学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分.1．（5.00分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1} ．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．2．（5.00分）函数f（x）=2tan（πx+3）的最小正周期为1．【解答】解：函数f（x）=2tan（πx+3）的最小正周期为：=1．故答案为：1．3．（5.00分）函数f（x）=ln（2﹣x）的定义域是（﹣∞，2）．【解答】解：由题意得：2﹣x＞0，解得：x＜2，故答案为：（﹣∞，2）．4．（5.00分）若向量=（3，4），则||=5．【解答】解：向量=（3，4），则||==5．故答案为：5．5．（5.00分）定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，则f（﹣1）=﹣1．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2﹣1）=﹣1，故答案为：﹣16．（5.00分）已知a=log2，b=2，c=（）2，则a，b，c的大小关系为a＜c＜b（用“＜”连接）．【解答】解：∵a=log2＜=0，b=2＞20=1，c=（）2=，∴a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．7．（5.00分）10lg2﹣log2﹣log26=1．【解答】解：10lg2﹣log2﹣log26=2+log23﹣log26=2+log2=2﹣1=1．故答案为：1．8．（5.00分）在△ABC中，已知sinA+cosA=，则sinA﹣cosA=．【解答】解：在△ABC中，由sinA+cosA=，两边平方可得：1+2sinAcosA=，解得sinAcosA=﹣．∴A为钝角，sinA≥cosA．则sinA﹣cosA===．故答案为：．9．（5.00分）如图，在△ABC中，==2，=λ+μ，则λ+μ=0．【解答】解：∵==2，∴=，=，∵=﹣=﹣=（+）﹣=﹣+，又∵=λ+μ，∴λ=﹣，μ=，故λ+μ=0．故答案为：0．10．（5.00分）已知方程2x+x=4的解在区间（n，n+1）上，其中n∈Z，则n=1．【解答】解：令f（x）=2x+x﹣4，易知f（x）=2x+x﹣4在R上单调递增且连续，且f（1）=2+1﹣4=﹣1＜0，f（2）=4+2﹣4=2＞0，故方程2x+x=4的解在区间（1，2）上，故答案为：1．11．（5.00分）已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则=﹣4．【解答】解：由角α的终边经过点（﹣1，2），可得cosα=﹣，sinα=，则===﹣4．故答案为：﹣4．12．（5.00分）定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上的增函数，若f（1）=0，则f（log2x）＞0的解集是（0，）∪（2，+∞）．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，∴不等式f（log2x）＞0等价为f（|log2x|）＞f（1），即|log2x|＞1，即log2x＞1或log2x＜﹣1，即x＞2或0＜x＜，故不等式的解集为{x|x＞2或0＜x＜}，故答案为：（0，）∪（2，+∞）13．（5.00分）在△ABC中，已知AB=AC，BC=2，点P在边BC上，若•=﹣，则•=．【解答】解：如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则C（1，0），B（﹣1，0），设A（0，n），P（m，0），则，．由•=﹣，得﹣m（1﹣m）=﹣，解得：．∴．故答案为：﹣．14．（5.00分）已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是．【解答】解：由函数，作出其图象如图，因为函数f（x）在[0，1）和[1，+∞）上都是单调函数，所以，若满足a＞b≥0，时f（a）=f（b），必有b∈[0，1），a∈[1，+∞），由图可知，使f（a）=f（b）的b∈[，1），f（a）∈[，2）．由不等式的可乘积性得：b•f（a）∈[，2）．故答案为[，2）．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）已知||=1，||=，=（，1），求：（1）||；（2）与的夹角．【解答】解：（1）由已知=（，1），所以（）2=||2+||2+2=4，所以=0，所以||2=||2+||2﹣2=4，所以||=2；（2）与的夹角的余弦值为=，所以与的夹角为120°．16．（14.00分）已知函数f（x）=sin（x+），将y=f（x）的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=h（x）的图象．（1求y=h（x）的单调递增区间；（2）若f（α）=，求sin（﹣α）+sin2（﹣α）的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由题意，可得h（x）=sin（x+），…2分由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得y=h（x）的单调递增区间为：[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z…7分（2）f（α）=，即sin（）=，令t=a+，则sint=，sin（﹣α）=sin（﹣（t﹣））=sin（π﹣t）=sint=，…10分sin2（﹣α）=sin2（﹣（t﹣））=sin2（﹣t）=cos2t=1﹣sin2t=…13分因此，sin（﹣α）+sin2（﹣α）=…14分注：未写“k∈Z”扣2分．17．（15.00分）如图，用一根长为10m绳索围成了一个圆心角小于x且半径不超过3m的扇形场地，设扇形的半径为xm，面积为Scm2．（1）写出S关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域；（2）当半径x和圆心角α分别是多少时，所围扇形场地的面积S最大，并求S 的最大值．【解答】解：（1）设扇形的弧长为l，则l=10﹣2x，由题意可得，解得＜x≤3，∴S=（5﹣x）x=﹣x2+5x，＜x≤3；（2）由（1）和基本不等式可得S=（5﹣x）x≤（）2=，当且仅当5﹣x=x即x=时取等号，此时l=5，圆心角α==2，∴当半径x和圆心角α分别为和2时，所围扇形场地的面积S最大，且最大值18．（15.00分）已知=（1，﹣x），=（x2，4cosθ），函数f（x）=•﹣1，θ∈[﹣π，π]．（1）当θ=π时，该函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[1，]上不单调，求θ的取值范围．【解答】解：（1）由=（1，﹣x），=（x2，4cosθ），得f（x）=•﹣1=x2﹣4xcosθ﹣1，当时，f（x）=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2．函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值f（x）max=f（2）=7，最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣2；（2）若f（x）在区间[1，]上不单调，则1，即．∵θ∈[﹣π，π]，∴θ∈（）∪（）．19．（16.00分）设函数f（x）=x|x﹣1|+m．（1）当m=﹣2时，解关于x的不等式f（x）＞0．（2）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值．【解答】解：（1）x＞1时：f（x）=x2﹣x﹣2＞0，解得：x＞2或x＜﹣1，故x＞2；x≤1时：f（x）=x﹣x2﹣2＞0，不等式无解；综上：不等式的解集是（2，+∞）；（2）x∈[0，1]时：f（x）=x（1﹣x）+m=﹣+m+，当x=时：f（x）max=m+，当x（1，m]时：f（x）=x（x﹣1）+m=+m﹣，∵函数f（x）在（1，m]递增，∴f（x）max=f（m）=m2，由m2≥m+得：m2﹣m﹣≥0，又m＞1，故m≥，f（x）max=．20．（16.00分）已知函数f k（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（k∈Z，a＞0，a≠1，x∈R），g（x）=．（1）若a＞1时，判断并证明函数y=g（x）的单调性；（2）若y=f1（x）在[1，2]上的最大值比最小大2，证明函数y=g（x）的奇函数；（3）在（2）条件下，函数y=f0（2x）+2mf2（x）在x∈[1，+∞）有零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）g（x）===1﹣，若a＞1，a x+a﹣x＞0恒成立，∴g（x）是R上的增函数，证明如下：任取x1＜x2，g（x1）﹣g（x2）=，∵a＞1，x1＜x2，∴+1＞0，﹣＜0，故g（x1）＜g（x2），g（x）在R递增；（2）由题意y=f1（x）=a x，a＞1时，a2﹣a=2，解得：a=2或a=﹣1（舍），当0＜a＜1时，a﹣a2=2，无解，综上，a=2，由（1）得：此时g（x）=的定义域是R，定义域关于原点对称，g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数；（3）在（2）的条件下，f0（2x）+2mf2（x）=22x+2﹣2x+2m（2x﹣2﹣x），∵x∈[1，+∞），∴2x﹣2﹣x＞0，故条件等价于﹣2m=在x∈[1，+∞）有零点，令p=2x，则p≥2，令t=p﹣，则t在p∈[2，+∞）递增，∴t≥，﹣2m=，设h（t）==t+，任取t1＞t2≥，则t1﹣t2＞0，t1•t2＞，h（t1）﹣h（t2）=t1+﹣（t2+）=＞0，∴h（t）在t∈[，+∞）递增，h（t）≥，即﹣2m≥，∴m≤﹣．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
苏州市2015-2016学年上学期期末考试高一数学含答案
. . . . . . . . 答案：1．答案：5．注意事项：苏州市 2015 – 2016 学年第一学期期末考试2016.1.14高一数学1. 本试卷共 4 页．满分 160 分，考试时间 120 分钟．2. 请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效．3. 答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．一. 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1. 若集合 A = {−1, 0, 1}，A = {0, 1, 2}，则 A ∩ A =.答案：{0, 1}．2. 函数 A (A ) = 2 tan (πA + 3) 的最小正周期为．3. 函数 A (A ) = ln (2 − A ) 的定义域是 ．答案：(−∞, 2)．4. 若向量 A = (3, 4)，则 |A | 的值为．5. 已知 A (A ) 是定义在 R 上的奇函数，当 A > 0 时，A (A ) = 2A − A 2，则 A (−1) 的值是．答案：−1．建议解法：因为 A (1) = 2 − 1 = 1，所以 A (−1) = −A (1) = −1．6. 已知 A = log 13 2，A = 2 13 ，A = ( 13)2，则 A , A , A 的大小关系为．（用 < 号连接）答案：A < A < A ．7. 计算 10lg 2 − log 2 13− log 2 6 的值是．8. 答案：1．在△AA A 中，已知 sin A + cos A = 15，则 sin A − cos A 的值为 ．是如图，在 △AA A 中，A A = A A A A= 2，若 A # A »= A A # A » + A A # A »， 则A + A 的值 ．9.答案：0．A A建议解法：A # A » = A # A » − A # A » = 31 A # A » − 23 A # A » = 13 (A # A » + A # A ») − 23 A # A » = − 13 A # A »+ 13 A # A »．10. 已知方程 2A + A = 4 的解在区间 (A , A + 1) 上，其中 A ∈ Z ，则 A 的值是 ．11.答案：−4．− A + 2 A− A + 2建议解法：化简得，原式 = sin cos =tan ，而 tan A = −2． sin A + cos A tan A + 112. 已知 A (A ) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0, +∞) 上是增函数，若 A (1) = 0，则 (A (log 2 A ) > 0 的解集是．13.答案：1．已知角 A 的终边经过点 A (−1, 2)，则 sin (π + A ) + 2 c πos (2π − A )的值是 ．因为 A (A ) 的图象连续，且 A (1) = −1 < 0，建议解法：设 A (A ) = 2 + A − 4，则 A (A ) 在 (−∞, +∞) 上递增，AA (2) = 2 > 0 ，所以存在唯一零点 A ∈ (1, 2)． 0 sin A + sin ( 2+A )在 △AAA 中，已知 AA = AA ，．AA = 2 ，点 A 在边 AA 上，若 A A ⋅ A A = − ，则 A A ⋅ A A 的值是# » # » 1# » # »建议解法：设 ，3由图象知 2，． A , A |A | = 1 得到 A = ℎ(A ) 的图象． ， ， 14. 已知函数 A (A ) = ⎧⎪⎨A A + 1,1若 A > A ⩾ 0， 且 A (A ) = A (A )， 则 AA (A ) 的取值范围是．⎪⎩2 答案：[ 34, 2)．− 2 , A ⩾ 1,3A (A ) = A (A ) = A A ∈ [ , 2) A + 1 = A 所以 AA (A ) = (A − 1)A 在 A ∈ [ 2 , 2) 上单调递增，取值范围是 [ 43 , 2)．二. 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答. 题. 卡. 指. 定. 区. 域. 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分 14 分）|A | = √3 A + A = (√3, 1)(1) 求 |A − A | 的值；(2) 求 A + A 与 A − A 的夹角．16.（本小题满分 14 分） π已知函数 A (A ) = sin (A + 6)，将 A = A (A ) 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变）(1) 求A = ℎ(A )1的单调递5减π 区间； 2 π(2) 若 A (A ) = 4 ，求 sin ( 6 − A ) + sin ( 3− A ) 的值．满足： 已知向量0 ⩽ A < 1,．的扇形场地．设扇形的半径为 A 2m ，面积为 A m ． π A (1) 当 A = 3π 时，求函数 A (A ) 在 [−2, 2] 上的最大值和最小值； 17.（本小题满分 15 分）如图，用一根长为 10 m 的绳索围成一个圆心角小于 且半径不超过 3 m(1) 写出 A 关于A 的函数表达式，并指出该函数的定义域； (2) 当半径 A 的圆心角 A 分别是多少时，所围扇形场地的面积 A 最大，并求出的最大值．已知向量 A 2= (1, −A )，A = (A 2, 4 cos A )，函数 A (A ) = A ⋅ A − 1，A ∈ [−π, π]．(2) 若函数 A (A ) 在区间 [1, √2] 上不单调，求角 A 的取值范围．18.（本小题满分 15 分）AA19.（本小题满分16 分）设函数A (A) = A |A− 1| + A，常数A∈ R．(1) 当A = −2 时，解关于A的不等式A (A) > 0；(2) 当A > 1 时，求函数A (A) 在区间[0, A] 上的最大值．20.（本小题满分16 分）A2(A)−AA已知函数A A(A) = A− (A− 1)A（A∈ Z，A > 0，A≠ 1，A∈ R），A(A) =A0(A) ．(1)当A > 1 时，判断并证明函数A(A) 的单调性；(2)若函数A1(A) 在区间[1, 2] 上的最大值与最小值之差为2，求证：函数A(A) 是奇函数；(3) 在(2) 的条件下，若函数ℎ(A) = A0(2A) + 2AA2(A) 在A∈ [1, +∞) 上有零点，求实数A的取值范围．。
精品：江苏省苏州市2016-2017学年高一下学期期末模拟考试数学试题(原卷版)
苏州市2016－2017学年第二学期期末调研测试高一数学模拟测试参考公式：样本数据的方差，其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1. 已知集合，集合，若，则实数＝________．2. 函数的最小正周期为________．3. 已知幂函数的图象经过点，则________．4. 已知，则的最大值为________．5. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为________．6. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．7. 设等差数列的公差为，若的方差为1，则=________．8. 已知函数的最大值为，则________．9. 设数列是公差为1的等差数列，其前n项和为，且55 则的值为________．10. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1， D是边BC上一点，，则＝________．11. 已知函数若f(3－2a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．12. 记等差数列的前n项和为，已知，且数列也为等差数列，则=________．13. 已知函数,x1，x2，x3，x4，x5是方程f(x)＝m的五个不等的实数根，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围是________．14. 若△的内角满足,则的最小值是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格. 某班50名学生参加测试结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为，，，2名女生记为，．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛．① 写出所有等可能的基本事件；② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．16. 设等差数列的公差为d，前n项和为，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若，为互不相等的正整数，且等差数列满足，，求数列的前n项和．17. 设平面向量＝，，，（1）若，求的值；（2）若，证明和不可能平行；（3）若，求函数的最大值，并求出相应的值．18. 如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为米的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为，和．（1）求烟囱AB的高度；（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长．19. 已知数列{a n}共有2k项（），数列{a n}的前n项和为S n，满足：a1 = 2，a n+1 = (p- 1) S n+ 2（n = 1，2，…， 2k-1），其中常数p > 1．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）若，数列{b n }满足（n = 1，2，…， 2k），求数列{b n }的通项公式；（3）对于（2）中数列{b n }，求和T n = ．20. 若函数f(x)和g(x)满足：①在区间[a，b]上均有定义；②函数y＝f(x)－g(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上具有关系G．（1）若f(x)＝lg x，g(x)＝3－x，试判断f(x)和g(x)在[1，4]上是否具有关系G，并说明理由；（2）若f(x)＝2|x－2|＋1和g(x)＝mx2在[1，4]上具有关系G，求实数m的取值范围．...。
江苏省泰州市2015-2016学年上学期高一期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年江苏省泰州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为．2．若幂函数y=x a的图象过点（2，），则a=．3．因式分解：x3﹣2x2+x﹣2=．4．将函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是．5．若函数f（x）=x3+2x﹣1的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=．6．化简：+=．7．||=1，||=2，，且，则与的夹角为．8．已知一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x﹣1的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+=．9．已知O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），若与共线，且⊥（+2），则点C的坐标为．10．若点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，则函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间为．11．当x∈{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}时，函数y=4x﹣2x+3的最小值是．12．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足：①当x∈（0，1]时，f（x）=（）x；②f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（﹣log224）=．13．已知函数f（x）=x2+bx，g（x）=|x﹣1|，若对任意x1，x2∈[0，2]，当x1＜x2时都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数b的最小值为．14．已知函数f（x）=sin（πx﹣），若函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则实数a的取值范围是．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．已知集合A={x|2x＞8}，B={x|x2﹣3x﹣4＜0}．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求（∁U A）∩B．16．直线y=1分别与函数f（x）=log2（x+2），g（x）=log a x的图象交于A，B两点，且AB=2．（1）求a的值；（2）解关于x的方程，f（x）+g（x）=3．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），且其相邻两对称轴之间的距离为π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设若sinα+f（α）=，α∈（0，π），求的值．18．现代人对食品安全的要求越来越高，无污染，无化肥农药等残留的有机蔬菜更受市民喜爱，为了适应市场需求，我市决定对有机蔬菜实行政府补贴，规定每种植一亩有机蔬菜性补贴农民x元，经调查，种植亩数与补贴金额x之间的函数关系式为f（x）=8x+800（x≥0），每亩有机蔬菜的收益（元）与补贴金额x之间的函数关系式为g（x）=．（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为多少元？（2）求出政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W（元）与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为多少元？19．四边形ABCD中，E，F分别为BD，DC的中点，AE=DC=3，BC=2，BD=4．（1）试求，表示；（2）求2+2的值；（3）求的最大值．20．对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0位函数f（x）的一阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，则称x0位函数f（x）的二阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为函数f （x）的二阶周期点．（1）设f（x）=kx+1．①当k=2时，求函数f（x）的二阶不动点，并判断它是否是函数f（x）的二阶周期点；②已知函数f（x）存在二阶周期点，求k的值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，求实数c的取值范围．2015-2016学年江苏省泰州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为4．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的并集，找出并集中元素个数即可．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为4，故答案为：4．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．若幂函数y=x a的图象过点（2，），则a=﹣1．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，将点（2，）的坐标代入y=x a中，可得=2a，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，点（2，）在幂函数y=x a的图象上，则有=2a，解可得a=﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查幂函数解析式的计算，注意幂函数与指数函数的区别．3．因式分解：x3﹣2x2+x﹣2=（x﹣2）（x2+1）．【考点】因式分解定理．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】分组提取公因式即可得出．【解答】解：原式=x2（x﹣2）+（x﹣2）=（x﹣2）（x2+1）．故答案为：（x﹣2）（x2+1）．【点评】本题考查了分组提取公因式法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．将函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是y=sin（x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想．【分析】由函数图象的平移法则，“左加右减，上加下减”，我们可得函数f（x）的图象向右平移a个单位得到函数f（x﹣a）的图象，再根据原函数的解析式为y=sinx，向右平移量为个单位，易得平移后的图象对应的函数解析式．【解答】解：根据函数图象的平移变换的法则故函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是y=sin（x﹣）故答案为：y=sin（x﹣）【点评】本题考查的知识点函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握函数图象的平移法则，“左加右减，上加下减”，是解答本题的关键．5．若函数f（x）=x3+2x﹣1的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=0．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】利用根的存在性确定函数零点所在的区间，然后确定k的值．【解答】解；∵f（x）=x3+2x﹣1，∴f′（x）=3x2+2＞0，∴f（x）在R上单调递增，∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=1+2﹣1＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函数零点所在的区间为（0，1），∴k=0．故答案为：0．【点评】本题考查函数零点的判定定理的应用，属基础知识、基本运算的考查．6．化简：+=2．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用根式与分数指数幂互化公式、性质、运算法则、平方差公式、立方差公式求解．【解答】解：+=+=2．故答案为：2．【点评】本题考查有理数指数幂化简求值，是基础题，解题时要注意根式与分数指数幂互化公式、性质、运算法则、平方差公式、立方差公式的合理运用．7．||=1，||=2，，且，则与的夹角为120°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】根据，且可得进而求出=﹣1然后再代入向量的夹角公式cos＜＞=再结合＜＞∈[0，π]即可求出＜＞．【解答】解：∵，且∴∵||=1∴=﹣1∵||=2∴cos＜＞==﹣∵＜＞∈[0，π]∴＜＞=120°故答案为120°【点评】本题主要考查了利用数量积求向量的夹角，属常考题，较易．解题的关键是熟记向量的夹角公式cos＜＞=同时要注意＜＞∈[0，π]这一隐含条件！8．已知一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x﹣1的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+=﹣1．【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】联立方程组得，化简得到x2﹣2x﹣2=0，根据韦达定理得到x1+x2=2，x1x2=﹣2，即可求出答案．【解答】解：联立方程组得，∴x2﹣x﹣1=x+1，∴x2﹣2x﹣2=0，∴x1+x2=2，x1x2=﹣2，∴+===﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了函数图象的交点问题，以及韦达定理的应用，属于基础题．9．已知O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），若与共线，且⊥（+2），则点C的坐标为（﹣4，﹣3）．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】设C的坐标为（x，y），向量的坐标运算和向量共线垂直的条件得到关于x，y的方程组，解得即可．【解答】解：设C的坐标为（x，y），O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），∴=（x+2，y﹣1），=（x，y），=（1，2），=（﹣2，1），+2=（﹣3，4），∵与共线，且⊥（+2），解得x=﹣4，y=﹣3，∴点C的坐标为（﹣4，﹣3），故答案为：（﹣4，﹣3）【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量共线垂直的条件，属于基础题．10．若点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，则函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间为[，π]．【考点】余弦函数的图象．【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的单调性，求得函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间．【解答】解：∵点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，∴φ=﹣，函数y=3cos（x+φ）=3cos（x﹣），令2kπ≤x﹣≤2kπ+π，求得2kπ+≤x﹣≤2kπ+．可得函数的减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．再结合x∈[0，π]，可得函数y=3cos（x+φ）的单调减区间为[，π]，故答案为：[，π]．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题．11．当x∈{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}时，函数y=4x﹣2x+3的最小值是5﹣．【考点】指、对数不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】化简集合{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}，求出x的取值范围，再求函数y的最小值即可．【解答】解：因为{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}={x|（log2x+1）（log2x﹣2）≤0}={x|﹣1≤log2x≤2}={x|≤x≤4}，且函数y=4x﹣2x+3=22x﹣2x+3=+，所以，当x=时，函数y取得最小值是+=5﹣．故答案为：5﹣．【点评】本题考查了指数与对数不等式的解法与应用问题，解题的关键是转化为等价的不等式，是基础题目．12．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足：①当x∈（0，1]时，f（x）=（）x；②f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（﹣log224）=．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）的图象关于x=1对称可以得出f（x）=f（x﹣4），从而可以得到f（﹣log224）=﹣f（log224﹣4）=﹣f（log23﹣1），可判断log23﹣1∈（0，1），从而可以求出，这样根据指数式和对数式的互化及指数的运算即可求得答案．【解答】解：f（x）的图象关于x=1对称；∴f（x）=f（2﹣x）=﹣f（x﹣2）=f（x﹣4）；即f（x）=f（x﹣4）；∴f（﹣log224）=﹣f（log224）=﹣f（log224﹣4）=﹣f（log23﹣1）；∵log23﹣1∈（0，1）；∴==；∴．故答案为：．【点评】考查奇函数的定义，f（x）关于x=a对称时有f（x）=f（2a﹣x），以及对数的运算，指数的运算，对数式和指数式的互化．13．已知函数f（x）=x2+bx，g（x）=|x﹣1|，若对任意x1，x2∈[0，2]，当x1＜x2时都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数b的最小值为﹣1．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令h（x）=f（x）﹣g（x），问题转化为满足h（x）在[0，2]上是增函数即可，结合二次函数的性质通过讨论对称轴的位置，解出即可．【解答】解：当x1＜x2时都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即x1＜x2时都有f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+bx﹣|x﹣1|，故需满足h（x）在[0，2]上是增函数即可，①当0≤x＜1时，h（x）=x2+（b+1）x﹣1，对称轴x=﹣≤0，解得：b≥﹣1，②当1≤x≤2时，h（x）=x2+（b﹣1）x+1，对称轴x=﹣≤1，解得：b≥﹣1，综上：b≥﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考察了二次函数的性质、考察转化思想，是一道中档题．14．已知函数f（x）=sin（πx﹣），若函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则实数a的取值范围是（﹣，）．【考点】正弦函数的图象；函数零点的判定定理．【专题】分类讨论；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由f（x）没有零点求得x的范围，再根据f（asinx+1）没有零点可得asinx+1的范围，根据正弦【解答】解：若函数f（x）=sin（πx﹣）=sinπ（x﹣）没有零点，故0＜（x﹣）π＜π，或﹣π＜（x﹣）π＜0，即0＜（x﹣）＜1，或﹣1＜（x﹣）＜0，即＜x＜或﹣＜x＜．由于函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则＜asinx+1＜，或﹣＜asinx+1＜，当a＞0时，∵1﹣a≤asinx+1≤1+a，或，解得0＜a＜．当a＜0时，1+a≤asinx+1≤1﹣a，∴或，求得﹣＜a＜0．当a=0时，函数y=f（asinx+1）=f（1）=sin=≠0，满足条件．综上可得，a的范围为（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点的定义，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．已知集合A={x|2x＞8}，B={x|x2﹣3x﹣4＜0}．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求（∁U A）∩B．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的表示法．【专题】转化思想；定义法；集合．【分析】（1）根据指数函数的图象与性质，求出集合A，再解一元二次不等式求出集合B；（2）根据补集与交集的定义，求出（∁U A）∩B．【解答】解：（1）∵2x＞8=23，且函数y=2x在R上是单调递增，∴x＞3，∴A=（3，+∞）；又x2﹣3x﹣4＜0可化为（x﹣4）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜4，∴B=（﹣1，4）；（2）∵全集U=R，A=（3，+∞），A=∞3∴（∁U A）∩B=（﹣1，3]．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．16．直线y=1分别与函数f（x）=log2（x+2），g（x）=log a x的图象交于A，B两点，且AB=2．（1）求a的值；（2）解关于x的方程，f（x）+g（x）=3．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）令f（x）=1解出A点坐标，利用AB=2得出B点坐标，把B点坐标代入g（x）解出a；（2）利用对数的运算性质去掉对数符号列出方程解出x，结合函数的定义域得出x的值．【解答】解：（1）解log2（x+2）=1得x=0，∴A（0，1），∵AB=2，∴B（2，1）．把B（2，1）代入g（x）得log a2=1，∴a=2．（2）∵f（x）+g（x）=3，∴log2（x+2）+log2x=log2[x（x+2）]=3，∴x（x+2）=8，解得x=﹣4或x=2．由函数有意义得，解得x＞0．∴方程f（x）+g（x）=3的解为x=2．【点评】本题考查了对数函数的图象与性质，对数方程的解法，属于基础题．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），且其相邻两对称轴之间的距离为π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设若sinα+f（α）=，α∈（0，π），求的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）根据函数的图象经过点（0，1），求得φ的值，再根据周期性求得ω，可得函数f（x）的解析式．（2）由条件求得sinα+cosα=，平方可得sinαcosα的值，从而求得sinα﹣cosα的值，再利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．【解答】解：（1）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），可得sinφ=1，∴φ=，．∵其相邻两对称轴之间的距离为π，∴=π，求得ω=1，∴f（x）=sin（x+）=cosx．（2）∵sinα+f（α）=，α∈（0，π），即sinα+cosα=，平方可得sinαcosα═﹣，∴α为钝角，sinα﹣cosα==，∴====﹣．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角函数的化简求值，属于基础题．18．现代人对食品安全的要求越来越高，无污染，无化肥农药等残留的有机蔬菜更受市民喜爱，为了适应市场需求，我市决定对有机蔬菜实行政府补贴，规定每种植一亩有机蔬菜性补贴农民x元，经调查，种植亩数与补贴金额x之间的函数关系式为f（x）=8x+800（x≥0），每亩有机蔬菜的收益（元）与补贴金额x之间的函数关系式为g（x）=．（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为多少元？（2）求出政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W（元）与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为多少元？【考点】分段函数的应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为800×2850=2280000元；（2）政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W=f（x）g（x）；（3）分段求最大值，即可得出结论．【解答】解：（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为800×2850=2280000元；（2）政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W=f（x）g（x）=；（3）x＞50，W=﹣24（x+100）（x﹣1050）=﹣24（x﹣475）2+7935000，∴x=475时，W max=7935000；0≤x≤50，W═24（x+100）（x+950）单调递增，∴x=50时，W max=3600000；综上所述，要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为475元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．19．四边形ABCD中，E，F分别为BD，DC的中点，AE=DC=3，BC=2，BD=4．（1）试求，表示；（2）求2+2的值；（3）求的最大值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）由已知结合共线向量基本定理得答案；（2）由已知结合向量加法、减法的运算法则求解；（3）由向量加法、减法及向量的数量积运算得答案．【解答】解：（1）∵E，F分别为BD，DC的中点，∴，则；（2）=；（3）=，∵=10﹣6cos∠AEF．∴当∠AEF=π时，取得最大值16．∴的最大值为．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法与减法的三角形法则，是中档题．20．对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0位函数f（x）的一阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，则称x0位函数f（x）的二阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为函数f （x）的二阶周期点．（1）设f（x）=kx+1．①当k=2时，求函数f（x）的二阶不动点，并判断它是否是函数f（x）的二阶周期点；②已知函数f（x）存在二阶周期点，求k的值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，求实数c的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值．【专题】新定义；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）①当k=2时，f（x）=2x+1，结合二阶不动点和二阶周期点的定义，可得答案；②由二阶周期点的定义，结合f（x）=kx+1，可求出满足条件的k值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，则函数g（x）=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根，解得答案．【解答】解：（1）①当k=2时，f（x）=2x+1，f（f（x））=2（2x+1）+1=4x+3，解4x+3=x得：x=﹣1，即﹣1为函数f（x）的二阶不动点，时f（﹣1）=﹣1，即﹣1不是函数f（x）的二阶周期点；②∵f（x）=kx+1，∴f（f（x））=k2x+k+1，令f（f（x））=x，则x==，（k≠±1），或x=0，k=﹣1，令f（x）=x，则x=，若函数f（x）存在二阶周期点，则k=﹣1，（2）若x0为函数f（x）的二阶周期点．则f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，若x1为函数f（x）的二阶不动点，则f（f（x1））=x1，且f（x1）=x1，则f（x0）=f（x1），则x0≠x1，且f（x0）+f（x1）=﹣b，即函数g（x）=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根，故△=（b﹣1）2﹣4c＞0恒成立，解得：c＜0．【点评】本题以二阶不动点和二阶周期点为载体，考查了二次函数的基本性质，正确理解二阶不动点和二阶周期点的概念是解答的关键．。
江苏省苏州市2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．命题“∀x≥1，x2≥1”的否定为．2．已知复数z=（i为虚数单位），则|z|的值是．3．四位男生和一位女生站成一排，则女生站在中间的排法共有种．（用数字作答）4．若双曲线的离心率为2，则a等于．5．“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一）6．函数f（x）=e x+2x（e是自然对数的底数）的图象在点（0，1）处的切线方程是．7．设某批产品正品率为，次品率为，现对该批产品进行测试，设第X次首次测到正品，则P（X=3）的值是．8．求过两点A（0，4），B（4，6）且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上的圆的标准方程．9．若f（x）=（x+1）6﹣（x﹣1）5的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6，则a1+a2+…+a5的值是（用数字作答）．10．设由0，1，2，3组成的没有重复数字的三位数的集合为A，从A中任取一个数，则取到的数恰好为偶数的概率是．11．已知点A（﹣3，﹣2）在抛物线C：x2=2py的准线上，过点A的直线与抛物线C在第二象限相切于点B，记抛物线C的焦点为F，则直线BF的斜率是．12．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p（0＜p＜1），现有4次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即停止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完4次投篮机会的概率是，则p的值是．13．若函数f（x）=2ae x﹣x2+3（a为常数，e是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数a 的取值范围是．14．若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是．二、解答题15．一个不透明的口袋中装有6个大小和形状都相同的小球，其中2个白球，4个黑球．（1）从中取1个小球，求取到白球的概率；（2）从中取2个小球，记取到白球的个数为X，求X的概率分布和数学期望．16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．（1）求证：A1B∥平面AFC；（2）求证：平面A1B1CD⊥平面AFC．17．如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径．已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y百元．（1）按下列要求写出函数关系式：①设OO1=h（米），将y表示成h的函数关系式；②设∠SDO1=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；（2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E、F分别是BC，A1C1的中点．（1）求直线EF与平面ABC所成角的正弦值；（2）设D是边B1C1上的动点，当直线BD与EF所成角最小时，求线段BD的长．19．如图，已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．①求x12+x22的值；②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．20．已知函数f（x）=e x﹣cx﹣c（c为常数，e是自然对数的底数），f′（x）是函数y=f（x）的导函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当c＞1时，试求证：①对任意的x＞0，不等式f（lnc+x）＞f（lnc﹣x）恒成立；②函数y=f（x）有两个相异的零点．请从以下4组中选做2组作答，如果多做，则按作答的前两组题评分.A组[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆是⊙O，D是劣弧上的一点，弦AD，BC的延长线相交于点E，连结BD并延长到点F，连结CD．（1）求证：DE平分∠CDF；（2）求证：AB2=AD•AE．22．如图，AD，CF是△ABC的两条高，AD，CF相交于点H，AD的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点G，AE是⊙O的直径．（1）求证：AB•AC=AD•AE；（2）求证：DG=DH．B组[选修4-2：矩阵与变换]23．已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．24．已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，﹣3），（1）求实数a的值；（2）求矩阵A的特征值及特征向量．C组[选修4-4：坐标系与参数方程]25．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣），曲线C2的参数方程为，（θ为参数）．（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线C2的参数方程化为普通方程；（2）若P是曲线C2上的动点，求P到直线l：，（t为参数）的距离的最大值．26．选修4﹣4：坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|•|OB|的取值范围．D组[选修4-5：不等式选讲]27．已知关于x的不等式|ax﹣1|+a|x﹣1|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集是R，求正实数a的取值范围．28．已知a，b，c均为正实数，求证：（1）+≥；（2）++≥++．2015-2016学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．命题“∀x≥1，x2≥1”的否定为∃x≥1，x2＜1．【考点】命题的否定．【分析】全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：由于全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x≥1，x2≥1”的否定为：∃x≥1，x2＜1．故答案为：∃x≥1，x2＜1．2．已知复数z=（i为虚数单位），则|z|的值是5．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z===．∴|z|==5．故答案为：5．3．四位男生和一位女生站成一排，则女生站在中间的排法共有24种．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：1、先安排女生，易得其有1种排法；2、将4名男生全排列，安排在其他4个位置，由排列数公式可得学生的排法数目，由分步计数原理原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：1、先安排女生，要求女生必须站在正中间，则其有1种排法；2、将4名男生全排列，安排在其他4个位置，有A44=24种排法；则不同的排法有1×24=24种；故答案为：24．4．若双曲线的离心率为2，则a等于1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出b2=3，再由离心率为，得到a的值．【解答】解：由=1可知虚轴b=，而离心率e=，解得a=1．故答案：1．5．“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先根据两直线垂直，求出a的值，即可判断．【解答】解：∵直线l1：ax+y+1=0和l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直，∴a（a+2）﹣3=0，解得a=﹣3，或a=1，故实数“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．6．函数f（x）=e x+2x（e是自然对数的底数）的图象在点（0，1）处的切线方程是y=3x+1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得函数的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，运用直线的斜截式方程，计算即可得到所求切线的方程．【解答】解：函数f（x）=e x+2x的导数为f′（x）=e x+2，可得f（x）的图象在点（0，1）处的切线斜率为k=e0+2=3，即有图象在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．故答案为：y=3x+1．7．设某批产品正品率为，次品率为，现对该批产品进行测试，设第X次首次测到正品，则P（X=3）的值是．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】X=3是指第一次和第二次都测到次品，第三次测到正品，由此能求出P（X=3）．【解答】解：∵某批产品正品率为，次品率为，现对该批产品进行测试，设第X次首次测到正品，∴X=3是指第一次和第二次都测到次品，第三次测到正品，∴P（X=3）==．故答案为：．8．求过两点A（0，4），B（4，6）且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上的圆的标准方程（x﹣4）2+（y﹣1）2=25．【考点】圆的标准方程．【分析】由圆心在直线x﹣2y﹣2=0上，可设圆心坐标为（2b+2，b），再根据圆心到两点A （0，4）、B（4，6）的距离相等，求出b的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程．【解答】解：由于圆心在直线x﹣2y﹣2=0上，可设圆心坐标为（2b+2，b），再根据圆过两点A（0，4），B（4，6），可得[（2b+2）﹣0]2+（b﹣4）2=[（2b+2）﹣4]2+（b﹣6）2，解得b=1，可得圆心为（4，1），半径为=5，故所求的圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2=25，故答案为：（x﹣4）2+（y﹣1）2=25．9．若f（x）=（x+1）6﹣（x﹣1）5的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6，则a1+a2+…+a5的值是61（用数字作答）．【考点】二项式定理的应用．【分析】令x=0，求得a0，利用二项展开式的通项公式求得a6的值；令x=1可得a0+a1+a2+…+a5+a6=64，从而求得a1+a2+…+a5的值．【解答】解：∵f（x）=（x+1）6﹣（x﹣1）5的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6，令x=0，可得a0=2，再根据a6==1，则令x=1可得a0+a1+a2+…+a5+a6=64，∴a1+a2+…+a5=61，故答案为：61．10．设由0，1，2，3组成的没有重复数字的三位数的集合为A，从A中任取一个数，则取到的数恰好为偶数的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】数字0不能排在首位，末位是0时又是偶数，分情况讨论即可．【解答】解：由0，1，2，3组成的没有重复数字的三位数，0是一个比较特殊的数字，0在末位和0不在末位结果不同，0在末位时，共有=6中结果，0不在末位时，共有••=12种结果，故共有6+12=18种结果，设“取到的数恰好为偶数：为事件A，在所给的数字中，0是一个比较特殊的数字，0在末位和0不在末位结果不同，个位是0时，十位和百位从1，2，3这3个元素中选两个进行排列有A32=6种结果，当末位不是0时，个位只能是2，百位从1，3两个元素中选一个，十位从0和余下的元素中选1个根据分类计数原理知共有=4种结果，故偶数共有6+4=10中结果，∴P（A）==，故答案为：．11．已知点A（﹣3，﹣2）在抛物线C：x2=2py的准线上，过点A的直线与抛物线C在第二象限相切于点B，记抛物线C的焦点为F，则直线BF的斜率是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，设出切点B（m，）（m＜0），对抛物线方程求导，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得m，即有B的坐标，运用两点求斜率公式即可得到所求直线BF的斜率．【解答】解：∵点A（3，﹣2）在抛物线C：x2=2py的准线上，即准线方程为：y=﹣2，∴p＞0，则﹣=﹣2，即p=4，∴抛物线C：x2=8y，即．设B（m，）（m＜0），由y=的导数为y′=，可得切线的斜率为k=，即有，化为m2+6m﹣16=0，解得m=﹣8，或m=2（舍去），可得B（﹣8，8），又F（0，2），则直线BF的斜率是．故答案为：．12．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p（0＜p＜1），现有4次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即停止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完4次投篮机会的概率是，则p的值是．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由已知条件利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式列出方程，由此能求出p的值．【解答】解：∵某篮球运动员每次投篮命中率均为p（0＜p＜1），现有4次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即停止投篮．该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完4次投篮机会的概率是，∴﹣2p2（1﹣p）2+p（1﹣p）3=，解得p=．故答案为：．13．若函数f（x）=2ae x﹣x2+3（a为常数，e是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（0，）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数恰有两个极值点，等价于其导函数f′（x）恰有两个零点，通过讨论a讨论函数的单调性，从而结合函数零点的判定定理确定实数a的取值范围．【解答】解：函数恰有两个极值点，等价于f′（x）=2ae x﹣2x恰有两个零点，①当a＜0时，函数f（x）=2ae x﹣x2+3，函数f′（x）=2ae x﹣2x，令f′（x）=0，ae x=x，由函数图象可知，y=ae x和y=x仅有一个交点，∴f（x）=2ae x﹣x2+3仅有一个极值点；②当a=0时，f（x）=﹣x2+3，由二次函数图象可知，f（x）仅有一个极值点；③当a＞0时，函数f（x）=2ae x﹣x2+3，函数f′（x）=2ae x﹣2x，令f′（x）=0，a=，设g（x）=，则g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=1，当g′（x）＞0，x＜1，当g′（x）＜0，x＞1，g（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；∴g（x）最大值为g（1）=，总上可知，实数a的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．14．若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是20．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】用换元法，设=x，=y，则x≥0，y≥0；求出b与a的解析式，由a=+2得出y与x的关系式，再根据其几何意义求出a的最大值．【解答】解：设=x，=y，且x≥0，y≥0；∴b=x2，4a﹣b=y2，即a==；∴a=+2可化为=y+2x，即（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，其中x≥0，y≥0；又（x﹣4）2+（y﹣2）2=20表示以（4，2）为圆心，以2为半径的圆的一部分；∴a==表示圆上点到原点距离平方的，如图所示；∴a的最大值是×（2r）2=r2=20故答案为：20．二、解答题15．一个不透明的口袋中装有6个大小和形状都相同的小球，其中2个白球，4个黑球．（1）从中取1个小球，求取到白球的概率；（2）从中取2个小球，记取到白球的个数为X，求X的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）先求出基本事件总数和其中取到白球包含的基本事件个数，由此能求出取到白球的概率．（2）由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）一个不透明的口袋中装有6个大小和形状都相同的小球，其中2个白球，4个黑球．从中取1个小球，基本事件总数n=6，其中取到白球包含的基本事件个数m=2，∴取到白球的概率p==．（2）由题意X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，XEX==．16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．（1）求证：A1B∥平面AFC；（2）求证：平面A1B1CD⊥平面AFC．【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）连接BD交AC于点O，连接FO，要证A1B∥平面AFC，只需证明直线A1B 平行平面AFC内的直线FO即可；（2）要证平面A1B1CD⊥平面AFC，只需证明平面A1B1CD内的直线B1D垂直平面AFC 即可．【解答】证明：（1）连接BD交AC于点O，连接FO，则点O是BD的中点．∵点F为A1D的中点，∴A1B∥FO．又A1B∉平面AFC，FO⊂平面AFC，∴A1B∥平面AFC．（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接B1D．∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面B1BD，AC⊥B1D．又∵CD⊥平面A1ADD1，AF⊂平面A1ADD1，∴CD⊥AF．又∵AF⊥A1D，∴AF⊥平面A1B1CD．∵AC⊥B1D，∴B1D⊥平面AFC．而B1D⊂平面A1B1CD，∴平面A1B1CD⊥平面AFC．17．如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径．已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y 百元． （1）按下列要求写出函数关系式：①设OO 1=h （米），将y 表示成h 的函数关系式； ②设∠SDO 1=θ（rad ），将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值．【考点】不等式的实际应用． 【分析】（1）分别用h ，θ表示出圆锥的侧面积，圆柱的侧面积和底面积，得出y 关于h （或θ）的关系式；（2）求导数，判断函数的单调性，利用单调性求出最小值．【解答】解：（1）①当OO 1=h 时，SO 1=8﹣h ，SC==，S 圆柱底=π×42=16π，S 圆柱侧=2π×4×h=8πh ，S 圆锥侧=π×4×．∴y=2（S 圆柱底+S 圆柱侧）+4S 圆锥侧=32π+16πh +16π（h ≥4）．②若∠SDO 1=θ，则SO 1=4tan θ，SD=．∴OO 1=8﹣4tan θ． ∵OO 1≥4，∴0＜tan θ≤1．∴0．∴S 圆柱底=π×42=16π，S 圆柱侧=2π×4×（8﹣4tan θ）=64π﹣32πtan θ，S 圆锥侧=π×4×=．∴y=2（S 圆柱底+S 圆柱侧）+4S 圆锥侧=32π+128π﹣64πtan θ+=160π+64π（）．（2）选用y=160π+64π（），则y ′（θ）=64π＜0，∴y （θ）在（0，]上是减函数，∴当时．y 取得最小值y （）=160π+64π×=96π+64π．∴制作该存储设备总费用的最小值为96π+64π．18．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1=2，E 、F 分别是BC ，A 1C 1的中点．（1）求直线EF 与平面ABC 所成角的正弦值；（2）设D 是边B 1C 1上的动点，当直线BD 与EF 所成角最小时，求线段BD 的长．【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算． 【分析】（1）取AC 的中点M ，连结FM ，EM ．则可证FM ⊥平面ABC ，故而∠FEM 为所求的角，（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，设=λ，求出和的坐标，计算cos ＜＞得出cos ＜＞关于λ的函数，求出|cos ＜＞|取得最大值时对应的λ的值，得到的坐标，求出||． 【解答】解：（1）取AC 的中点M ，连结FM ，EM ．∵F ，M 分别是A 1C 1，AC 的中点，四边形ACC 1A 1是矩形， ∴FM ∥AA 1，FM=AA 1=2， ∵AA 1∥平面ABC ， ∴FM ⊥平面ABC ，∴∠FEM 是EF 与平面ABC 所成的角． ∵E ，M 分别是BC ，AC 的中点，∴EM==1．∴EF==．∴sin∠FEM==．∴直线EF与平面ABC所成角的正弦值为．（2）以A为原点，以AB，AC，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则B（2，0，0），E（1，1，0），F（0，1，2）．B1（2，0，2），C1（0，2，2）．∴=（﹣1，0，2），=（0，0，2），=（﹣2，2，0），设=λ=（﹣2λ，2λ，0），则=+=（﹣2λ，2λ，2）．（0≤λ≤1）∴=2λ+4．∴cos＜＞===．∴当即λ=时，cos＜＞取得最大值，即直线BD与EF所成角最小．此时，=（﹣，，2），∴|BD|=||=．19．如图，已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．①求x12+x22的值；②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和P的坐标满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆方程；（2）①运用直线的斜率公式，可得k1k2==﹣，两边平方，再由点A，B的坐标满足椭圆方程，化简整理即可得到所求值；②由题意可得C（x2，﹣y2），运用椭圆方程可得y12+y22=，配方可得（y1+y2）2=（3+4y1y2），（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：（1）由题意可得e==， +=1，a2﹣b2=c2，解得a=，b=，可得椭圆标准方程为+=1；（2）①由题意可得k1k2==﹣，即为x12x22=16y12y22，又点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，可得4y12=6﹣x12，4y22=6﹣x22，即有x12x22=（6﹣x12）（6﹣x22），化简可得x12+x22=6；②由题意可得C（x2，﹣y2），由4y12=6﹣x12，4y22=6﹣x22，可得y12+y22==，由x12+x22=（x1﹣x2）2+2x1x2=6，可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2，由y12+y22=（y1+y2）2﹣2y1y2=，可得（y1+y2）2=+2y1y2=（3+4y1y2），由=﹣，即x1x2=﹣4y1y2，可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，则直线AC的斜率为k AC==±=±．20．已知函数f（x）=e x﹣cx﹣c（c为常数，e是自然对数的底数），f′（x）是函数y=f（x）的导函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当c＞1时，试求证：①对任意的x＞0，不等式f（lnc+x）＞f（lnc﹣x）恒成立；②函数y=f（x）有两个相异的零点．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求得f（x）的导数，讨论c的范围：当c≤0时，当c＞0时，解不等式即可得到所求单调区间；（2）①作差可得，f（lnc+x）﹣f（lnc﹣x）=c（e x﹣e﹣x﹣2x），设g（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，x ＞0，求出导数g′（x），运用基本不等式判断单调性，即可得证；②求出f（x）的导数，求得单调区间和极小值，且为最小值，判断小于0，即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=e x﹣cx﹣c的导数为f′（x）=e x﹣c，当c≤0时，f′（x）＞0恒成立，可得f（x）的增区间为R；当c＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lnc；由′（x）＜0，可得x＜lnc．可得f（x）的增区间为（lnc，+∞）；减区间为（﹣∞，lnc）；（2）证明：①f（lnc+x）﹣f（lnc﹣x）=e lnc+x﹣c（lnc+x）﹣c﹣e lnc﹣x+c（lnc﹣x）+c=c（e x﹣e﹣x﹣2x），设g（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，x＞0，g′（x）=e x+e﹣x﹣2，由x＞0可得e x+e﹣x﹣2＞2﹣2=0，即g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，可得g（x）＞g（0）=0，又c＞1，则c（e x﹣e﹣x﹣2x）＞0，可得不等式f（lnc+x）＞f（lnc﹣x）恒成立；②函数f（x）=e x﹣cx﹣c的导数为f′（x）=e x﹣c，c＞1时，f（x）的增区间为（lnc，+∞）；减区间为（﹣∞，lnc），可得x=lnc处f（x）取得极小值，且为最小值，由f（lnc）=e lnc﹣clnc﹣c=c﹣clnc﹣c=﹣clnc＜0，可得f（x）=0有两个不等的实根．则函数y=f（x）有两个相异的零点．请从以下4组中选做2组作答，如果多做，则按作答的前两组题评分.A组[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆是⊙O，D是劣弧上的一点，弦AD，BC的延长线相交于点E，连结BD并延长到点F，连结CD．（1）求证：DE平分∠CDF；（2）求证：AB2=AD•AE．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）推导出∠ABC=∠DEC，∠ABC=∠ADB，∠ADB=∠EDF，由此能证明DE平分∠CDF．（2）由∠ABE=∠ADB，∠BAD=∠BAE，得△ABD∽△ABE，由此能证明AB2=AD•AE．【解答】证明：（1）∵圆O是四边形ABCD的外接圆，∴∠ABC=∠DEC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ADB，∵∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB=∠EDF，∴∠DEC=∠EDF，∴DE平分∠CDF．（2）∵∠ABE=∠ADB，∠BAD=∠BAE，∴△ABD∽△ABE，∴，∴AB2=AD•AE．22．如图，AD，CF是△ABC的两条高，AD，CF相交于点H，AD的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点G，AE是⊙O的直径．（1）求证：AB•AC=AD•AE；（2）求证：DG=DH．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接CE，证明△ADB∽△ACE，即可证明AB•AC=AD•AE；（2）根据三角形高的定义得到∠BEC=90°，∠ADC=90°，根据等角的余角相等得到∠EBC=∠3，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠CBG=∠3，则∠EBC=∠CBG，然后根据等腰三角形三线合一即可得到结论．【解答】证明：（1）连接CE，∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥CE，∵AD是△ABC的两条高，∴AD⊥BC，∵∠B=∠E，∴△ADB∽△ACE，∴，∴AB•AC=AD•AE；（2）连接BG，∵AD、BE、CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，∴∠BEC=90°，∠ADC=90°，∴∠EBC+∠ECB=∠3+∠ACD，∴∠EBC=∠3，∵∠CBG=∠3，∴∠EBC=∠CBG，而BD⊥HG，∴BD平分HG，即DH=DG．B组[选修4-2：矩阵与变换]23．已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．【考点】逆变换与逆矩阵．【分析】（1）求出矩阵的行列式，即可求A的逆矩阵A﹣1；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，即可求矩阵C，使得AC=B．【解答】解：（1）因为|A|=2×3﹣1×4=2，所以；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，故．24．已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，﹣3），（1）求实数a的值；（2）求矩阵A的特征值及特征向量．【考点】特征值与特征向量的计算；二阶矩阵．【分析】（1）根据点P在矩阵A的变化下得到的点P′（0，﹣3），写出题目的关系式，列出关于a的等式，解方程即可．（2）写出矩阵的特征多项式，令多项式等于0，得到矩阵的特征值，对于两个特征值分别解二元一次方程，得到矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量和矩阵A的属于特征值3的一个特征向量．【解答】解：（1）由=，得a+1=﹣3∴a=﹣4（2）由（1）知，则矩阵A的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵A的特征值为﹣1或3当λ=﹣1时二元一次方程∴矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量为当λ=3时，二元一次方程∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为．C组[选修4-4：坐标系与参数方程]25．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣），曲线C2的参数方程为，（θ为参数）．（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线C2的参数方程化为普通方程；（2）若P是曲线C2上的动点，求P到直线l：，（t为参数）的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将极坐标方程展开，两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C1的直角坐标方程，根据同角三角函数的关系消元得出C2的普通方程；（2）求出直线l的普通方程，根据点到直线的距离公式得出P到直线l的距离d关于θ的函数，利用三角恒等变换得出d的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C1的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣），∴ρ=8sinθ﹣8cosθ，∴ρ2=8ρsinθ﹣8ρcosθ，∴曲线C1的极坐标方程为x2+y2﹣8y+8x=0，即（x+4）2+（y﹣4）2=32．∵曲线C2的参数方程为，（θ为参数）∴曲线C2的普通方程为．（2）直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0．∴P（8cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==．∴当cos（θ+φ）=﹣1时，d取得最大值=．∴P到直线l的最大距离为．26．选修4﹣4：坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|•|OB|的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；（2）求出l的参数方程，分别代入C1，C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，即ρ2cos2θ=ρsinθ，∴曲线C2的直角坐标方程为x2=y．（2）设射线l的倾斜角为α，则射线l的参数方程为（t为参数，）．把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得：t2﹣2tcosα=0，解得t1=0，t2=2cosα．∴|OA|=|t2|=2cosα．把射线l的参数方程代入曲线C2的普通方程得：cos2αt2=tsinα，解得t1=0，t2=．∴|OB|=|t2|=．∴|OA|•|OB|=2cosα•=2tanα=2k．∵k∈（1，]，∴2k∈（2，2]．∴|OA|•|OB|的取值范围是（2，2]．D组[选修4-5：不等式选讲]27．已知关于x的不等式|ax﹣1|+a|x﹣1|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集是R，求正实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即|x﹣1|≥，由此求得不等式的解集．（2）不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即|x﹣1|≥，解得x﹣1≥或x﹣1≤﹣，∴x≥或x≤﹣∴不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．…（2）∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1．解得a≥2，或a≤0．又∵a＞0，∴a≥2．∴实数a的取值范围为[2，+∞）．…28．已知a，b，c均为正实数，求证：（1）+≥；（2）++≥++．【考点】不等式的证明．【分析】（1）运用两个正数的均值不等式，可得a+b≥2， +≥2，相乘即可得证；（2）由（1）可得+≥；同理可得+≥； +≥．三式相加，整理即可得证．【解答】证明：（1）a，b均为正实数，可得a+b≥2，+≥2，相乘可得（a+b）（+）≥2•2=4，当且仅当a=b，取得等号．则+≥；（2）由（1）可得+≥；同理，由b，c为正实数，可得+≥；由c，a为正实数，可得+≥．相加可得，2（++）≥++，即有++≥++．2016年8月9日。
2015-2016年江苏省泰州市高一(上)数学期末试卷及答案PDF
【解答】解：∵A={0，1，2}，B={1，2，3}， ∴A∪B={0，1，2，3}， 则集合 A∪B 中元素个数为 4， 故答案为：4．
2． （5.00 分）若幂函数 y=xa 的图象过点（2， ） ，则 a=
﹣1
．
【解答】解：根据题意，点（2， ）在幂函数 y=xa 的图象上， 则有 =2a， 解可得 a=﹣1； 故答案为：﹣1．
12． （5.00 分）已知定义在 R 上的奇函数 y=f（x）满足：①当 x∈（0，1]时，f （x）=（ ）x；②f（x）的图象关于直线 x=1 对称，则 f（﹣log224）= ．
13． （5.00 分）已知函数 f（x）=x2+bx，g（x）=|x﹣1|，若对任意 x1，x2∈[0， 2]， 当 x1＜x2 时都有 （ f x1） ﹣（ f x2） ＜g （x1） ﹣g （ x 2） ， 则实数 b 的最小值为 14． （5.00 分）已知函数 f（x）=sin（πx﹣ 有零点，则实数 a 的取值范围是 ． ．
（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为多少元？ （2）求出政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益 W（元）与政府补贴数 额 x 之间的函数关系式； （3）要使我市有机蔬菜的总收益 W（元）最大，政府应将每亩补贴金额 x 定为 多少元？ 19． （16.00 分）四边形 ABCD 中，E，F 分别为 BD，DC 的中点，AE=DC=3，BC=2， BD=4． （1）试求 （2）求
5． （5.00 分） 若函数 （ f x） =x3+2x﹣1 的零点在区间 （k， k+1） （k∈Z） 内， 则 k= 6． （5.00 分）化简： + ，且 = ． ，则 与 的夹角为 ．
7． （5.00 分）| |=1，| |=2，
江苏省苏州市高新区2015-2016学年七年级上学期期末考试数学试题解析(解析版)
一、选择题 (本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置．．．．．．．上) 1.－3的相反数是( )A ．－3B ．3C ．－13D ．13【答案】B考点：相反数的定义2.下列四个数中，在－2到0之间的数是( )A ．3B ．1C ．－3D ．－1【答案】D 【解析】试题分析：零大于一切负数，小于一切正数，正数大于负数；当两个负数比较大小时，绝对值越大则说明原数越小；当两个正数比较大小时，绝对值越大则说明原数就越大. 考点：数的大小比较 3.下列计算正确的是 ( )A ．3a ＋4b ＝7abB ．7a －3a ＝4C ．3a ＋a ＝3a 2D ．3a 2b －4a 2b ＝－a 2b【答案】D 【解析】试题分析：A 和C 两个选项不是同类项，无法进行计算；B 、原式=(7－3)a=4a ；D 、计算正确. 考点：单项式求和4.下列图形中，能折叠成正方体的是( )【答案】A 【解析】试题分析：根据正方体的展开图的性质可得：A 选项为正方体的展开图. 考点：正方体的展开图5.已知a ，b 两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式12a b a b +--++的结果是( )A ．1B ．2a －3C ．2b ＋3D ．－1【答案】C 【解析】试题分析：根据数轴可得：a+b ＞0，a －1＞0，b+2＞0，则原式=a+b －a+1+b+2=2b+3. 考点：(1)、数轴；(2)、绝对值的化简.6.下列说法中：①棱柱的上、下底面的形状相同； ②若AB=BC ，则点B 为线段AC 的中点；③相等的两个角一定是对顶角； ④不相交的两条直线叫做平行线； ⑤直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
正确的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B7.如果一个角α的度数为13°14'，那么关于x 的方程x x 31802-︒=-α的解为( ) A ．76°46' B ．76°86' C ．86°56' D ．166°46'【答案】A 【解析】试题分析：1°=60′，根据题意可得：2x=180°－2α，解得：x=90°－α=90°－13°14′=76°46′. 考点：角度的计算-=+，那么对于结论(1)a一定不是负数； (2)b可能是负数．其中( ) 8.a、b是有理数，如果a b a bA．只有(1)正确B．只有(2)正确C．(1)，(2)都正确 D．(1)，(2)都不正确【答案】A【解析】试题分析：根据绝对值的性质可得：a≥0，b≤0，则a一定不是负数，b一定不是正数.考点：绝对值的性质二、填空题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答卷纸相应位．．．．．．置．上9.与原点的距离为2.5个单位的点所表示的有理数是▲．【答案】±2.5【解析】试题分析：互为相反数的两个数位于原点两侧且到原点的距离相等，则到原点距离2.5个单位长度的点所表示的有理数为±2.5.考点：绝对值的性质10.若代数式x－y的值为3，则代数式2x－3－2y的值是▲．【答案】3【解析】试题分析：将原式化简可得：原式=2(x－y)－3=2×3－3=3.考点：整体思想求解11.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的周长是32 cm，则小长方形的面积是▲cm2．【答案】12考点：二元一次方程组的应用12.如图，C为线段AB上一点，AC=5，CB=3，若点E、F分别是线段AC、CB的中点，则线段EF的长度为▲．【答案】4【解析】试题分析：根据中点的性质可得：EC=12AC=2.5，CF=12BC=1.5，则EF=EC+CF=2.5+1.5=4.考点：线段长度的计算13.已知关于x的方程kx=7－x有正整数解，则整数k的值为▲．【答案】0,6【解析】试题分析：根据一元一次方程的解法可得：x=71k+，因为x为正整数，k为整数，则k=0或6.考点：一元一次方程14.已知∠AOB＝80o，以O为顶点，OB为一边作∠BOC＝20o，则∠AOC的度数为▲．【答案】60°或100°【解析】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论计算，当OB在角内部时，∠AOC=80°－20°=60°；当OB在角外部时，则∠AOC=80°+20°=100°.考点：角度的计算15.上右图是2016年1月份的日历，在日历上任意圈出一个竖列．．上相邻的3个数．如果被圈出的三个数的和为54，则这三个数中最大的一个数表示：2016年1月▲日．【答案】25【解析】试题分析：设最大的一个数为x，则其他的两个数为(x－7)和(x－14)，则根据题意得：x+x－7+x－14=54，解得：x=25，即最大的一个数表示2016年1月25日. 考点：一元一次方程的应用16.直线AB 外有C 、D 两个点，由点A 、B 、C 、D 可确定的直线条数是 ▲ ． 【答案】6或4 【解析】试题分析：本题需要分两种情况来进行讨论，当A 、C 、D 或B 、C 、D 任意三点都不共线时有6条直线；当A 、C 、D 或B 、C 、D 有任意三点共线时有4条直线. 考点：线段的条数17.有m 辆校车及n 个学生，若每辆校车乘坐40名学生，则还有10名学生不能上车；若每辆校车乘坐43名学生，则只有1名学生不能上车．现有下列四个方程：①40m ＋10＝43m －1；②1014043n n ++=；③1014043n n --=；④40m ＋10＝43m ＋1．其中正确的是 ▲ (请填写相应的序号) 【答案】③④ 【解析】试题分析：设有m 辆校车，则根据题意可得： 40m+10=43m+1；设有n 名学生，则根据题意可得：1014043n n --=. 考点：方程的应用18.如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第7幅图中有 ▲ 个正方形．【答案】140 【解析】试题分析：第一幅有1个正方形，第二幅有1+4=5个正方形，第三幅有1+4+9=14个正方形；第四幅有1+4+9+16=30个正方形，根据题意可得：第7幅有1+4+9+16+25+36+49=140个正方形. 考点：规律题第1幅 第2幅 第3幅 第4幅三、解答题 (本大题共10小题，共64分．请在答卷纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.计算：(本题满分6分，每小题3分) (1)313()(24);468-+-⨯-(2)(－1)3×(－5)÷[(－3)2＋2×(－5)]．【答案】(1)、23；(2)、－5.考点：有理数的计算.20.(本题满分4分) 先化简，再求值：2m 2－4m ＋1－2(m 2＋2m －21)，其中m ＝－1．【答案】－8m+2；10. 【解析】试题分析：首先根据去括号的法则将括号去掉，然后再进行合并同类项化简，最后将m 的值代入化简后的式子进行计算，得出答案.试题解析：22m －4m ＋1－2(2m ＋2m －12)＝22m －4m ＋1－22m －4m+1=－8m ＋2；当m ＝－1时，原式=8＋2=10． 考点：化简求值21.(本题满分9分，每小题3分) 解方程(组)：(1)4－3x ＝6－5x ；(2)32121x x -=-+；(3)⎩⎨⎧-=+=-1373y x y x ．【答案】(1)、x=1；(2)、x=75；(3)、21x y ì=ïí=-ïî【解析】试题分析：(1)、进行移项合并同类项，最后将系数化为1求出方程的解；(2)、首先进行去分母，然后进行去括号、移项合并同类项，最后将系数化为1求出方程的解；(3)、首先将y 的系数化成互为相反数，然后利用加减消元法求出方程组的解. 试题解析：(1)、4－3x ＝6－5x移项，得 5x －3x ＝6－4． 合并同类项，得 2x ＝2． 系数化为1，得 x ＝1 (2)、x ＋12－1＝2－x 3．去分母，得 3(x ＋1)－6＝2(2－x)． 去括号，得 3x ＋3－6＝4－2x ． 移项、合并同类项，得 5x ＝7． 系数化为1，得x ＝75．(3)、①×3＋②，得 9x ＋x ＝20 x ＝2 把x ＝2代入①中，得y ＝－1 ∴方程组的解是⎩⎨⎧-==.1;2y x考点：(1)、解一元一次方程；(2)、解二元一次方程组.22.(本题满分5分) 某班同学分组参加迎新年活动，原来每组8人，后来重新编组，每组6人，这样比原来增加2组．这个班共有多少人？ 【答案】48人考点：一元一次方程的应用.23.(本题满分6分) (1)由大小相同的小立方块搭成的几何体如左图，请在右图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图．(2)用小立方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在上图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要 ▲ 个小立方块，最多要 ▲ 个小立方块． 【答案】(1)、答案见解析；(2)、5；7. 【解析】试题分析：(1)、根据三视图的画法画出三视图；(2)、根据立体图形的俯视图和左视图推导出小正方体的个数.试题解析：(1)如图所示： (2)最少5块；最多7块；俯视图左视图考点：三视图24.(本题满分6分) 随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程(如下表)，以50km 为标准，多于50km 的记为“＋”，不足50km 的记为“－”，刚好50km 的记为“0”．(1)、请你用所学的数学知识，估计小明家一个月(按30天计)要行驶多少千米？(2)、若每行驶100km 需用汽油8L ，汽油每升4.74元，试求小明家一年(按12个月计)的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)、1500千米；(2)、6825.6元. 【解析】试题分析：(1)、首先求出前七天的平均值，然后求出一个月的行驶千米数；(2)、首先求出一个月的汽油费，然后求出一年的费用.试题解析：(1)、50+(－8+－11－14+0－16+41+8)÷7=50(千米) 50×30=1500(千米) (2)、1500×1008×4.74×12＝6825.6元考点：有理数的计算25.(本题满分6分) 如果方程22834+-=--x x 的解与方程126)13(4-+=+-a x a x 的解相同，求式子a a 1-的值．【答案】－334【解析】试题分析：首先根据方程的解法求出第一个方程的解，然后将x 的值代入第二个方程，从而求出a 的值，最后将a 的值代入代数式求出代数式的值. 试题解析：解方程42832x x -+-=-可得：x=10 把x ＝10代入方程4x －(3a+1)=6x+2a －1得：40－3a －1=60+2a －1 解得：a=－4 ∴1a a-＝334-俯视图 左视图考点：(1)、解一元一次方程；(2)、代数式求值.26.(本题满分6分) 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，∠AOC ＝72°，∠DOF ＝90°． (1)写出图中任意一对互余的角；(2)求∠EOF 的度数．【答案】(1)、∠BOF 与∠BOD 或∠DOE 与∠EOF ；(2)、∠EOF=54°.考点：角度的计算27.(本题满分7分) 某车间共有75名工人生产A 、B 两种工件，已知一名工人每天可生产A 种工件15件或B 种工件20件，但要安装一台机械时，同时需A 种工件1件，B 种工件2件，才能配套．问车间如何分配工人生产，才能保证一天连续安装机械时，两种工件恰好配套？ 【答案】30名工人生产A 种工件，45名工人生产B 种工件 【解析】试题分析：首先设分配x 名工人生产A 种工件，然后根据A 种工件数量的2倍等于B 种工件的数量列出方程进行求解，得出答案.试题解析：设分配x 名工人生产A 种工件，根据题意，得：2×15x=20(75－x) 解得：x ＝30 ∴75－x=75－30=45答：分配30名工人生产A 种工件，45名工人生产B 种工件. 考点：一元一次方程的应用E BFCAO28.(本题满分9分) 如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝60，点A对应的数是40．(1)若7:4ACBC，求点C到原点的距离；:=(2)如图2，在(1)的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；(3)如图3，在(1)的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒、1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问MNPT-的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．【答案】(1)、100；(2)、7个单位长度/秒；(3)、不会发生改变，定值为30.【解析】试题分析：(1)、首先根据比值得出AC的长度，然后根据数轴的性质得出点C所表示的数，从而得到距离；(2)、设R的速度为每秒x个单位，从而分别得出R、P、Q所对应的数，求出PQ和QR的长度，然后根据题意列出方程得出答案；(3)、首先设运动时间为t秒，求出点P、T、R、M、N所对应的数，求出PT和MN的长度，然后得出PT－MN的值.试题解析：(1)、根据题意可得：AC=140，则点C所表示的数为40－140=－100∴点C到原点的距离为100；(2)、设R的速度为每秒x个单位，则R对应的数为405xx+，-+， Q对应的数为1015-，P对应的数为10015xPQ＝5115-=-或11551525x xx x-=-x-∵PQ＝QR ∴51151525x-或1155x- QR＝1525解得x＝－9(不合题意，故舍去)或x＝7 ∴动点Q的速度是7个单位长度/秒.(3)、设运动时间为t秒，P对应的数为1005t++， PT＝1004t--，T对应的数为t-，R对应的数为402tM对应的数为503t+∴PT－MN＝30--，N对应的数为20t+， MN＝704t∴PT MN-的值不会发生变化，是30．考点：(1)、数轴；(2)、分类讨论思想；(3)、动点问题.高考一轮复习：。
2016学年江苏省无锡市高一下学期期末数学试卷及参考答案
2015-2016学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分。
请将答案填在答题卡相应的位置上1．（5分）不等式x2＜2x的解集为．2．（5分）已知△ABC的面积为S，在边AB上任取一点P，则△PAC的面积大于的概率为．3．（5分）某人一周5次乘车上班的时间（单位：分钟）分别为10，11，9，x，11，已知这组数据的平均数为10，那么这组数据的方差为．4．（5分）如图程序运行后，输出的结果为．5．（5分）设M=5a2﹣a+1，N=4a2+a﹣1，则M，N的大小关系为．6．（5分）在等比数列{a n}中，若a1+a3=10，a2+a4=﹣30，则a5=．7．（5分）在锐角△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=3，cosA=，则角B等于．8．（5分）在等差数列{b n}中，已知b3，b11是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，若b7=3，则=．9．（5分）袋中有3个黑球和2个白球，从中任取两个球，则取得的两球中至少有一个白球的概率为．10．（5分）求和，其结果为．11．（5分）不等式组，所表示的可行域的面积是．12．（5分）如图所示，客轮由A至B再到C匀速航行，速度为2v海里/小时；货轮从AC的中点M出发，沿某一直线匀速航行，将货物送达客轮，速度为v海里/小时．已知AB⊥BC，且AB=BC=20海里．若两船同时出发，恰好在点N处相遇，则CN为海里．13．（5分）在△ABC中，若2sinA+sinB=sinC，则角A的取值范围是．14．（5分）在数列{a n}中，若a1=1，a n•a n+1=（）n﹣2，则满足不等式+++…++＜2016的正整数n的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，满分90分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．数据表明，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）；第二组[160，165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组比第七组少1人．（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x，y，求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．16．（14分）已知函数f（x）=（a∈R）．（1）若不等式f（x）＜1的解集为（﹣1，4），求a的值；（2）设a≤0，解关于x的不等式f（x）＞0．17．（14分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sinA=4cosBsinC+bsin2C，且C≠．（1）求c；（2）若C=，求△ABC周长的取值范围．18．（16分）政府鼓励创新、创业，银行给予低息贷款．一位大学毕业生向自主创业，经过市场调研、测算，有两个方案可供选择．方案1：开设一个科技小微企业，需要一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润．方案2：开设一家食品小店，需要一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年比上一年增加利润1.5万元．两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息．两种方案均按年息2%的复利计算（参考数据：1.259=7.45，1.2510=9.3，1.029=1.20，1.0210=1.22）．（1）10年后，方案1，方案2的总收入分别有多少万元？（2）10年后，哪一种方案的利润较大？19．（16分）设函数f（x）=a2x+（a，b，c为常数，且a＞0，c＞0）．（1）当a=1，b=0时，求证：|f（x）|≥2c；（2）当b=1时，如果对任意的x＞1都有f（x）＞a恒成立，求证：a+2c＞1．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣3，数列{b n}的前n项和T n满足=+1且b1=1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n；（3）数列{S n}中是否存在不同的三项S p，S q，S r，使这三项恰好构成等差数列？若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分。
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2015-2016学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．（5分）函数f（x）=ln（x﹣2）的定义域为 ． 2．（5分）利用计算机产生0～2之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣2＜0”发生的概率为 ． 3．（5分）根据如图算法语句，当输入x=60时，输出y的值为 ．
4．（5分）对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ．
5．（5分）已知||=2，•=1，，的夹角θ为60°，则||为 ． 6．（5分）从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是 ．
7．（5分）设变量x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为 ． 8．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜）的部分图象如图所示， 则f（）的值为 ． 9．（5分）已知等差数列{an}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d的值为 ． 10．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为 ．
11．（5分）= ． 12．（5分）已知正实数x，y满足x+2y=1，则+的最小值为 ． 13．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣3x．则关于x的方程f（x）=x+3的解集为 ． 14．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，且对于任意正整数m，n都有an+m=an•am．若Sn＜a对任意n∈N*恒成立，则实数a的最小值是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0}． （1）若m=3，求A∩B； （2）若m＞0，A⊆B，求m的取值范围． 16．（14分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB． （1）求B； （2）若b=2，a=c，求△ABC的面积． 17．（14分）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n项和． 18．（16分）如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°．现在边界AP，AQ处建围墙，PQ处围栅栏． （1）若∠APQ=15°，AP与AQ两处围墙长度和为100（+1）米，求栅栏PQ的长； （2）已知AB，AC的长度均大于200米，若水果园APQ面积为2500平方米，问AP，AQ长各为多少时，可使三角形APQ周长最小？
19．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x2﹣1． （1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）； （2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式． 20．（16分）已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，向量=（1，bn），=（an﹣1，Sn），∥． （1）若bn=2，求数列{an}通项公式； （2）若bn=，a2=0． ①证明：数列{an}为等差数列； ②设数列{cn}满足cn=，问是否存在正整数l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得cl、c2、cm成等比数列，若存在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由． 2015-2016学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．（5分）函数f（x）=ln（x﹣2）的定义域为 （2，+∞） ． 【解答】解：∵函数f（x）=ln（x﹣2）， ∴x﹣2＞0； 解得x＞2， ∴该函数的定义域为（2，+∞）． 故答案为：（2，+∞）．
2．（5分）利用计算机产生0～2之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣2＜0”发生的概率为 ．
【解答】解：由3a﹣2＜0得：a＜， 数集（0，）的长度为， 数集（0，2）的长度为2，
∴事件“3a﹣2＜0”发生的概率为； 故答案为：；
3．（5分）根据如图算法语句，当输入x=60时，输出y的值为 31 ．
【解答】解：由已知中的算法语句可得： 程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值 ∵x=60＞50 ∴y=25+0.6（60﹣50）=31 故输出结果为31 故作案为：31
4．（5分）对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 100 ．
【解答】解：根据频率分布直方图可知，三等品的数量是[（0.0125+0.025+0.0125）×5]×400=100（件）． 故答案为：100
5．（5分）已知||=2，•=1，，的夹角θ为60°，则||为 1 ． 【解答】解：∵=||||cos60°=1，即2×||×=1， 解得||=1． 故答案为：1．
6．（5分）从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是 ．
【解答】解：∵从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段， ∴基本事件总数n==4，
所选取的三条线段恰能构成三角形包含的基本事件有： {2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，即m=3， ∴所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是p==． 故答案为：．
7．（5分）设变量x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为 7 ． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）． 由z=2x﹣y得y=2x﹣z， 平移直线y=2x﹣z， 由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小， 此时z最大． 由，解得，即C（3，﹣1） 将C（3，﹣1）的坐标代入目标函数z=2×3﹣（﹣1）=6+1=7， 即z=2x﹣y的最大值为7． 故答案为：7
8．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）的值为 ． 【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜）的部分图象，可得==+，∴ω=2， 再根据图象经过点（，0），可得2sin（2•+φ）=0，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）， ∴f（）=2sin（π﹣）=， 故答案为：．
9．（5分）已知等差数列{an}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d的值为 ±2 ． 【解答】解：∵等差数列{an}的公差为d，a1，a2，a3，a4，a5的方差为8， ∴这组数据的平均数是a3， ∴（4d2+d2+0+d2+4d2）=2d2=8 ∴d2=4， ∴d=±2， 故答案为：±2．
10．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为 24 ．
【解答】解：∵由题意可得 =+=+=+（）=+，=0， ∴=•（+）=+ =0+×36=24， 故答案为：24．
11．（5分）= 4 ． 【解答】解： = 故答案为：4
12．（5分）已知正实数x，y满足x+2y=1，则+的最小值为 2+ ． 【解答】解：由正实数x，y满足x+2y=1， 则+=+
=2++≥2+2=2+， 当且仅当y=x=时，取得最小值2+． 故答案为：2+．
13．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣3x．则关于x的方程f（x）=x+3的解集为 {2+，﹣1，﹣3} ． 【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0， ∵定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣3x． ∴当x＜0时，f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x）． 则当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x． 若x≥0，由f（x）=x+3得x2﹣3x=x+3， 则x2﹣4x﹣3=0，则x===2±， ∵x≥0，∴x=2+， 若x＜0，由f（x）=x+3得﹣x2﹣3x=x+3， 则x2+4x+3=0，则x=﹣1或x=﹣3， 综上方程f（x）=x+3的解集为{2+，﹣1，﹣3}； 故答案为：{2+，﹣1，﹣3}
14．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，且对于任意正整数m，n都 有an+m=an•am．若Sn＜a对任意n∈N*恒成立，则实数a的最小值是 ． 【解答】解：由题意得，对任意正整数m，n，都有am+n=am•an， 令m=1，得到an+1=a1•an，所以=a1=， 则数列{an}是首项、公比都为的等比数列，
所以Sn==＜， 因为Sn＜a对任意n∈N*恒成立，所以a≥，则实数a的最小值是， 故答案为：．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0}． （1）若m=3，求A∩B； （2）若m＞0，A⊆B，求m的取值范围． 【解答】解：（1）由3﹣2x﹣x2≥0，解得﹣3≤x≤1，∴集合A={x|﹣3≤x≤1}； 当m=3时，x2﹣2x+1﹣m2≤0可化为x2﹣2x﹣8≤0，即（x﹣4）（x+2）≤0， 解得﹣2≤x≤4，∴集合B={x|﹣2≤x≤4}， ∴A∩B={x|﹣2≤x≤1}； （2）m＞0，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0}=[1﹣m，1+m]． ∵A⊆B， ∴， ∴m≥4．
16．（14分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB． （1）求B； （2）若b=2，a=c，求△ABC的面积． 【解答】（本题满分为14分） 解：（1）由a=bcosC+csinB及正弦定理，