江苏省苏州市2018-2019学年第一学期高一期末考试数学试卷及答案
2019年苏州市高一数学答案
2018-2019学年苏州市高一期末调研测试数学参考答案 2018．6一、填空题1．{ 1，2，3，4 } 2．25 3． 4．1 5．136．210 7．2 8．329．0.5 10．15211．34 12．-2n + 10 13．8 14．52二、解答题15．解：（1）设数列{a n }的前n 项和为n S ，∵S 10 = 110，∴1109101102a d ⨯+=． 则19112a d +=．① ……………… 2分∵a 1，a 2，a 4 成等比数列，∴2214a a a =，即2111()(3)a d a a d +=+．∴21a d d =．∵d ≠ 0，∴a 1 = d ．② ……………… 5分由①，②解得12,2.a d =⎧⎨=⎩，∴2n a n =． ……………… 7分（2）∵(1)n n b n a =+=2(1)n n +， ∴11111()2(1)21n b nn n n ==-++． ……………… 10分∴n T 111111(1)()()22231n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦ ……… 12分2(1)nn =+． ……………… 14分16．解：（1）由0AD BC ⋅=，得AD BC ⊥．记AD h =，由13564AB AD ⋅=，得135||||cos 64AB AD BAD ⋅∠=．………… 3分∴213564h =，则h =||AD ………………… 5分（2）∵1cos 4A =-，∴sin A = ………………… 7分 由sin ah bc A =，得6bc =．① ………………… 9分 ∵2222cos a b c bc A =+-，∴2213b c +=．② ………………… 11分 由①，②，解得b = 2，c = 3，或 b = 3，c = 2．∵c b >，∴b = 2，c = 3． ………………… 14分 （直接由①，②得出b = 2，c = 3不扣分）17．解：（1）不等式(1)()22a x f x x -=>-化为 (2)(4)02a x a x --->-． …………… 2分 即[(2)(4)](2)0a x a x ---⋅->． …………… 4分∵()2f x >的解集为(2,3)，∴432a a -=-． …………… 6分 解得1a =，经检验符合题意． …………… 8分（2）∵()3f x x <-对任意(2,)x ∈+∞恒成立，∴(1)(2)(3)a x x x -<--对任意(2,)x ∈+∞恒成立． …………… 10分 令1x t -=，则(1)(2)at t t <--对任意(1,)t ∈+∞恒成立． ∴23a t t <+-对任意(1,)t ∈+∞恒成立． …………… 12分∵23t t+-最小值为3，∴3a <． …………… 14分18．解：（1）在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos AB AC AB AC A BC +-⋅=．∴22o 2cos1201x y xy +-=，即221x y xy ++=． …………… 4分 又x > 0，y > 0，∴x ，y 满足的关系式为221x y xy ++=（0 < x < 1）． …………… 5分（2）设需准备此种新型材料的长度为a ，则必须要x + y ≤a 恒成立． ∵221x y xy ++=，∴2()1x y xy +-=． …………… 7分 ∵2)2x y xy +≤(，∴22()1()2x y x y ++-≤． …………… 11分 则24()3x y +≤，∴x y + …………… 14分当且仅当x y ==（百米）时取“=”．∴a x + y ≤a 恒成立．…………… 16分19.（1）证明：∵11112n n n n n n n a S a S a a -+++-=，a n ≠ 0， ∴1112n n n n nS S a a -++-=． ……………… 2分 则21211S S a a -=，32322S S a a -=，…，2112n n n n n S S a a ----=（n ≥2，*n ∈N ）． 以上各式相加，得211122n n n S S a a --=+++． ……………… 4分 ∵111S a =，∴1121n n nS a --=-． ∴12n n n S a -=（n ≥2，*n ∈N ）． …………… 7分 ∵n = 1时上式也成立，∴12n n n S a -=（*n ∈N ）． …………… 8分（2）∵12n n n S a -=，∴112n n n S a ++=．两式相减，得11122n n n n n a a a -++=-．即11(21)2n n n n a a -+-=． …………… 10分 则11122n n n n a b a -+==-． …………… 12分12231n n n a a a T a a a +=+++ =211112(1)222n n --++++ …………… 14分 =11222n n --+． …………… 16分20．解：（1）当3a =时，不等式()7f x >，即23|3|x x --> 7．① 当x ≥3时，原不等式转化为：2340x x -->．………………… 1分解得1x <-或43x >． 结合条件，得x ≥3； ………………… 3分 ② 当3x <时，原不等式转化为：23100x x +->． ……………… 4分解得2x <-或53x >． 结合条件，得2x <-或533x <<． ………………… 6分 综上，所求不等式解集为5{|2}3x x x <->或． ………………… 7分 （2）当0 < a ≤3时，2()f x ax x a =-+211()24a x a a a =-+-． ① 若132a<，即136a <≤时， ∵()f x 在[3,)+∞上单调增，∴值域为[103,)a -+∞；…………… 10分 ② 若132a ≥，即106a <≤时，值域为1[,)4a a -+∞． …………… 13分 当3a >时，22(),()(3).ax x a x a f x ax x a x a ⎧-+⎪=⎨+-<⎪⎩≥≤ ∵()f x 在[3,)+∞上单调增，∴值域为[83,)a ++∞．综上所述： 当106a <≤时，()f x 值域为1[,)4a a -+∞； 当136a <≤时，()f x 值域为[103,)a -+∞； 当3a >时，()f x 值域为[)83,a ++∞． …………… 16分 （每类3分，没有综上所述不扣分）。
【优质文档】江苏省2018-2019学年度高一年级上学期数学期末考试试卷含解析
f (x) __________． x3 2x 1
5. 已知 lg 2 a,lg3 b, 则 lg 24 __________． 3a b
6. 若方程 3x2 (m 5)x m 2 0 的一个根在区间 0,1 上 , 另一个根在区间 1,2 上，则实
数 m 的取值范围是
__________ ．
4 0,
2. 已知指数函数 y f ( x) 的图像过点 2,16 , 则 f ( x) __________ ． 4x
3. 函数 y
x 2 的定义域是 __________ ． 2,1 1,
x1
4. 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f ( x) x3 2x 1, 则当 x 0 时，
解：由题意知：
3
7. 已知函数 f (x) x2 x , 则 f ( x) 的单调增区间为 __________．
1 ,0 , 1 ,
2
2
8. 若三棱锥 P ABC 的侧棱两两垂直 , 且 PA PB PC 4, 则三棱锥 P ABC 的体积为
32
__________．
3
9. 已知点 P 2,2 关于直线 l :3 x
15. （本题满分 14 分）
如图， 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，已知 AC BC ， BC CC1，设 AB1 的中点为 D ， B1C BC1 E . 求证：（ 1） DE // 平面 AA1C1C ；
（ 2） BC1 AB1 .
16. （本题满分 14 分） 已知直线 l 与 3x 4 y 1 0 垂直 , 根据下列条件分别求直线 l 方程， （1）在 x 轴上的截距为 4; （2）与坐标轴围成的三角形面积为 24.
2018年苏州市高一数学上学期期末试卷
1．已知集合{0,1,2},{0,2,4}A B ==，则A B ＝ ． 2．函数lg(2)y x =-的定义域是 ． 3．若240α=︒，则sin(150)α︒-的值等于 ．4．已知角α的终边经过点(2,4)P -，则sin cos αα-的值等于 ． 5．已知向量(,5)AB m = ，(4,)AC n = ，(7,6)BC =，则m n +的值为 ．6．已知函数1232e ,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩≥ 则))2((f f 的值为 ． 7．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为 ．平方米． 8．已知函数232,1,(),1,x x f x x x -⎧=⎨>⎩≤ 则函数()()2g x f x =-的零点个数为 ．9．已知函数2() 2 (0)f x x ax a =++>在区间[0,2]上的最大值等于8，则函数() ([2,1])y f x x =∈-的值域为 ．10．已知函数2()22x x f x x m -=+-⋅是定义在R 上的偶函数，则实数m 的值等于 ．11．如图，在梯形ABCD 中，2DC AB = ，P 为线段CD 上一点，且3DC PC =，E 为BC 的中点，若1212 (,)EP AB AD λλλλ=+∈R，则12λλ+的值为 ．12．已知πtan()24α-=，则sin(2)4απ-的值等于 ． 13．将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()y f x =的图象，若函数()y f x =在区间π(0,)2上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为 ． 14．已知,x y 为非零实数，()ππ,42θ∈，且同时满足：①sin cos y xθθ=，② 22103x y xy =+，则cos θ的值等于 ．（第11题）15．已知全集U =R ,集合2,{|40}{|2}A B x x x x m x m ==-+≤≤≤． （1）若3m =，求U B ð和A B ； （2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围； （3）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围．16．已知函数1()41x f x a =++的图象过点3(1,)10-．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）若1()6f x -≤≤0，求实数x 的取值范围．17．如图，在四边形ABCD 中，4,2AD AB ==．（1）若△ABC 为等边三角形，且AD BC ∥，E 是CD 的中点，求AE BD ⋅；（2）若AC AB =，3cos 5CAB ∠=，45AC BD ⋅=，求||DC ．（第17题）18．某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形OAB 的半径为200米，圆心角60AOB ∠=︒，点Q 在OA 上，点,M N 在OB 上，点P 在弧AB 上，设POB θ∠=．（1）若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向,OA OB 修建两条观赏通道PS 和PT （宽度不计），使,PS OA PT OB ⊥⊥，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS PT +最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由．第18题（2）（1）19．已知(2cos ,1),cos ,1)x x x ==+-a b ，函数()f x =⋅a b ．（1）求()f x 在区间π[0,]4上的最大值和最小值； （2）若06()5f x =，0[,]42x ππ∈，求0cos2x 的值； （3）若函数()y f x ω=在区间(,)33π2π上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．20．已知函数()||(,)f x x x a bx a b =-+∈R ．（1）当1b =-时，函数()f x 恰有两个不同的零点，求实数a 的值；（2）当1b =时，① 若对于任意[1,3]x ∈，恒有()f x x≤a 的取值范围； ② 若0a >，求函数()f x 在区间[0,2]上的最大值()g a ．2018.1一、填空题：1.{}0,22.(,2)-∞3.1- 5.8 6.2 7.120 8.2 9.7[,4]410.1-11.1313.410(,]33二、解答题：15．解：（1）当3m =时，{}|35B x x =≤≤，由240x x -≤得，04x ≤≤，所以{}|04A x x =≤≤, ……………………………………2分{}U |35B x x x =<>或ð； ………………………………………………4分{05}A B x x = ≤≤； ………………………………………………6分（2）因为A B ⊇，则0,24,m m ⎧⎨+⎩≥≤ ………………………………………………8分解得02m ≤≤． ………………………………………………10分 （3）因为A B =∅因为20m +<或4m >， ……………………………………………12分 所以2m <-或4m >. ………………………………………………14分 16．解：（1）因为()f x 的图象过点3(1,)10-， 所以13510a +=-，解得12a =-，所以11(),412x f x =-+ ……………………2分 ()f x 的定义域为R ． ……………………4分因为114141()()4124122(41)x x xx x f x f x ---=-=-==-+++， ……………………7分 所以()f x 是奇函数． …………………………………………8分（2）因为1()06f x -≤≤， 所以11106412x--+≤≤， 所以1113412x +≤≤， …………………………………………10分所以2413x ≤+≤，所以142x ≤≤， ……………………………………12分解得102x ≤≤． ……………………………………14分17．（1）法一：因为△ABC 为等边△，且,AD BC ∥所以120DAB ∠=︒． ……………………………………2分又2,AD AB =所以2AD BC =， 因为E 是CD 中点，所以1()2AE AD AC =+ 1()2AD AB BC =++11()22AD AB AD =++ 3142AD AB =+． ……………………………………4分又BD AD AB =- ，所以AE BD ⋅ 31()()42AD AB AD AB =+⋅-22311424AD AB AD AB =--⋅……………………………………6分 311116442()4242=⨯-⨯-⨯⨯⨯-=11. ……………………………………8分 法二：如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(00)(2,0)A B ，，， 因为△ABC 为等边△，且,AD BC ∥所以120DAB ∠=︒． ……………………………………2分 又24,AD AB ==所以2AB AC ==，所以(C D -，因为E 是CD 中点，所以1(2E - ………………4分所以1(2AE =-,(4BD =- ……6 分所以1((42AE BD ⋅=-⋅-1()(4)2=-⨯-=11． ………………………………8分（2）因为2AB AC AB ==，，所以2AC =, 因为4,5AC BD ⋅= 所以4(),5AC AD AB ⋅-=所以4.5AC AD AC AB ⋅-⋅= ………………………………10分又312cos 4.55AC AB AC AB CAB ⋅=∠=⨯=所以41655AC AD AC AB ⋅=+⋅= ． ………………………………12分所以22222DC AC AD AC AD AC AD =-=+-⋅ 1641625=+-⨯685=．所以DC = …………………………………14分18．（1）在Rt △PON 中， 200sin ,PN θ=200cos ,ON θ=在Rt △OQM 中， 200s i n Q M P N θ==， …………………………………2分,tan 60QM OM θ=︒所以MN ON OM =-200cos θθ=， ……………………………4分 因为矩形MNPQ 是正方形，MN PN ∴=，所以200cos 200sin θθθ=， ……………………………………6分所以200cos θθ=，所以tan θ==． ………………………………………8分 （2）因为,POM θ∠=所以60POQ θ∠=︒-，200sin 200sin(60)PS PT θθ+=+︒-1200(sin sin )2θθθ=+- ……………………………………10分1200(sin )200sin(60)2θθθ=+=+︒，060θ︒<<︒． ……12分所以+60=90θ︒︒, 即=30θ︒时，PS PT +最大，此时P 是AB 的中点． ……14分 答：（1）矩形MNPQ是正方形时，tan θ=； （2）当P 是AB 的中点时，PS PT +最大． …………………………………16分 19．（1）()2cos cos )1cos2f x x x x x x =⋅=+-+a bπ2sin(2)6x =+， ………………………………………2分因为π[0,]4x ∈，所以ππ2π2663x +≤≤，所以1πsin(2)126x +≤≤，所以max min ()2,()1f x f x ==． …………………………………………4分（2）因为06()5f x =，所以0π62sin(2)65x +=，所以0π3sin(2)65x +=， 因为0ππ[,]42x ∈，所以02ππ7π2366x +≤≤，所以0π4cos(2)65x +=-， ………………………………6分所以0000πππ1πcos2cos[(2)])sin(2)66626x x x x =+-=+++413()525=-+⨯=． ………………………………………8分 （3）()n 26πsi f x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令222,,26πππππ2k x k k ω-++∈Z ≤≤ 得ππ6ππ3k k x ωωωω+-≤≤， ………………………………10分 因为函数()f x 在(π2,3π)3上是单调递增函数，所以存在0k ∈Z ，使得002(,)(ππππππ,)3336k k ωωωω⊆-+ 所以有00ππππ,33π2.63πk k ωωωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≤≥ 即0031,614.k k ωω+⎧⎨+⎩≤≥ …………………………12分因为0,ω>所以01,6k >-又因为212332πππ2ω-⋅≤， 所以302ω<≤, 所以05.6k ≤ ………… 14分 从而有01566k -<≤，所以00k =，所以10.4ω<≤ ……………………………………16分（另解：由212332πππ2ω-⋅≤，得302ω<≤. 因为2(,)33x ππ∈，所以242(,)63636x ωωωπππππ+∈++，所以4362ωπππ+≤或23362ωπππ+≥，解得104ω<≤或2ω≥.又302ω<≤，所以10.4ω<≤）20．解：（1）当1b =-时，()(1)f x x x a x x x a =--=--，由()0f x =解得0x =或1x a -=，由1x a -=解得1x a =+或1x a =-． …………………………………………1 分 因为()f x 恰有两个不同的零点且11a a +≠-， 所以10a +=，或 10a -=，所以1a =±． ………………………………………………………………3 分 （2）当1b =时，()f x x x a x =-+， ①因为对于任意[]1,3x ∈，恒有()f x x≤即x x a xx-+≤，即1x a -≤，因为[1,3]x ∈时，10>，所以11x a --≤，即恒有11a x a x ⎧+⎪⎨-⎪⎩．≤，≥ …………………………………………………5 分令t = 当[]1,3x ∈时，t ∈，21x t =-所以222122(1)31)3x t t t +=+-=+--=≥所以2212(1)10x t t t -=-=--≤， …………………………………7 分所以0a ≤≤ ………………………………………………8 分② 2222221(1)(),,24(),,1(1)(),24a a x x a x ax x x a f x x ax x x a a a x x a ⎧++--+⎪⎧-++⎪⎪==⎨⎨-+>--⎪⎪⎩-->⎪⎩，，．≤≤ 1︒ 当01a <≤时，110,22a a a -+≤≥， 这时()y f x =在[0,2]上单调递增， 此时()(2)62g a f a ==-； ………………………………………………9 分 2︒ 当12a <<时，110222a a a -+<<<<， ()y f x =在1[0,]2a +上单调递增，在1[,]2a a +上单调递减，在[,2]a 上单调递增， 所以()1max{(),(2)}2a g a f f +=，21(1)(),(2)6224a a f f a ++==-， 而221(1)1023()(2)(62)244a a a a f f a +++--=--=2(5)484a +-=，当15a <<时，()(2)62g a f a ==-; ………………………………11 分当52a <≤时，()21(1)()24a a g a f ++==； …………………………12分 3︒ 当23a <≤时，11222a a a -+<<≤， 这时()y f x =在1[0,]2a +上单调递增，在1[,2]2a +上单调递减， 此时()21(1)()24a a g a f ++==； ………………………………………14 分 4︒ 当3a ≥时，122a +≥，()y f x =在[0,2]上单调递增， 此时()(2)22g a f a ==-； ………………………………………………15 分 综上所述，[0,2]x ∈时，()262,05,(1),53,422, 3.a a a g a a a a ⎧-<<⎪+⎪=<⎨⎪-⎪⎩≤≥ ……………………16 分。
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18．已知向量 =（ x，﹣ 1）， =（ x﹣2 ，3）， =（ 1﹣ 2x， 6）． （ 1）若 ⊥（ 2 + ），求 | | ； （ 2）若 ? ＜ 0，求 x 的取值范围．
2
19．已知函数 f（ x）=Asinx+cosx， A＞ 0． （ 1）若 A=1，求 f （ x）的单调递增区间；
．
22. 解： Ⅰ）若 a=1，则 f（ x）=
，
函数 f （ x）的图象如下图所示：
；
（Ⅱ）若 f（ x） ≥２﹣ x 对任意 x∈[1，2] 恒成立， 即 x2﹣ 4ax+3a2≥２﹣ x 对任意 x∈[1 ，2] 恒成立， 即 x2+（ 1﹣4 a） x+（3a2﹣ 2） ≥０对任意 x∈[1 ， 2]恒成立，
（ 2）函数 f（ x）在 x=x0 处取得最大值
，求 cosx0 的值．
20．已知 f （ x）是定义在 R上的偶函数，当 x ≥０时， f（ x） =xa（ a∈R），函数 f（ x）的图象经过点（ （ 1）求函数 f （ x）的解析式； （ 2）解不等式 f （ x2）﹣ f（﹣ x2+x﹣ 1）＞ 0．
4， 2）．
3
21．已知向量 =（ sinx ，﹣ 1）， =（ cosx ， m），m∈ R．
（ 1）若 m= ，且 ∥ ，求
的值；
（ 2）已知函数 f （ x） =2（ + ） ? ﹣2m2﹣ 1，若函数 f（ x）在 [ 0， ] 上有零点，求 m 的取值范围．
22. 设函数 f （ x） =
由 y=x2+（ 1﹣ 4a） x+（ 3a2﹣ 2）的图象是开口朝上，且以直线 x=
为对称轴的抛物线，
2018-2019学年江苏省苏州市高一(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共30.0分） 1. 关于以下集合关系表示不正确的是（ ）A. ⌀∈{⌀}B. ⌀⊆{⌀}C. ⌀∈N ∗D. ⌀⊆N ∗ 2. 不等式log 2x ＜12的解集是（ ）A. {x |0<x < 22} B. {x |0<x < 2} C. {x |x > 2} D. {x |x > 22} 3. 若函数f （x ）的定义域为（1，2），则f （x 2）的定义域为（ ）A. {x |1<x <4}B. {x |1<x <C. {x |− 2<x <−1或1<x < 2}D. {x |1<x <2}4. 设函数f （x ）= 2x ,x ≥13x−b ,x <1，若f （f （56））=4，则b =（ ） A. 1B. 78C. 34D. 125. 设函数f （x ）=ln （2+x ）-ln （2-x ），则f （x ）是（ ） A. 奇函数，且在(0,2)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,2)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,2)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,2)上是减函数6. 对二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A. −1是f (x )的零点 B. 1是f (x )的极值点 C. 3是f (x )的极值 D. 点(2,8)在曲线y =f (x )上 二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）7. 已知全集U ={-1，0，2，4}，集合A ={0，2}，则∁U A =______． 8. 求值：3−827=______． 9. 已知函数f （x ）=(12)x (x ≥3)f (x +1)(x ＜3)，则f （log 23）的值为______． 10. 已知偶函数f （x ）在[0，2]内单调递减，若a =f (−1)，b =f (log 0.514)，c =f (lg 0.5)，则a ，b ，c 之间的大小关系为______．（从小到大顺序）11.函数y =log 3（-x 2+x +6）的单调递减区间是______．12. 函数f （x ）=ax |2x +a |在[1，2]上是单调减函数，则实数a 的取值范围为______．13.已知f （x ）为R 上增函数，且对任意x ∈R ，都有f [f （x ）-3x]=4，则f （2）=______．14. 已知函数f （x ）= x 2−x +3，x ≤1x +2x ，x ＞1，设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥|x2+a |在R 上恒成立，则a 的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. （Ⅰ）已知a +a -1=3，求a 3+a −3a 4−a −4的值；（Ⅱ）化简计算：(lg 5)2+lg 2×lg 50(lg 2)+3lg 2×lg 5+(lg 5)．16.记集合M={x|y=3−x+x−1}，集合N={y|y=x2-2x+m}．（1）若m=3，求M∪N；（2）若M∩N=M，求实数m的取值范围．17.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售岀8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？18.已知函数f（x）=2x．x−1（1）求f（x）的定义域、值域利单调区间；（2）判断并证明函数g（x）=xf（x）在区间（0，1）上的单调性．19.已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），其图象开口向上，顶点为A，与x轴交于点B（-1，0）利C点，且△ABC的面积为18．（1）求此二次函数的解析式；（2）若方程f（x）=m（x-1）在区间[0，1]有解，求实数m的取值范围．20.已知a∈R，函数f（x）=log2（1+a）．x（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[1，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值2的差不超过1，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A：∅是{∅}中的元素，所以正确；B：∅，{∅}都是集合，又∅是任何集合的子集，所以正确；D：∅是任何集合的子集，所以正确．故选：C．∅对于集合{∅}来说具有两重性，即是元素本身又是集合，又∅是任何集合的子集，可得结果．本题考查是集合间的包含关系和元素与集合的属于关系，属基础题．2.【答案】B【解析】解：不等式可化为：log2 x＜log2 2，∵2＞1，∴0＜x＜，故选：B．将不等式右边化为以2为底的对数，利用对数函数的单调性可得．本题考查了对数不等的解法，属基础题．3.【答案】C【解析】解：∵f（x）的定义域为（1，2）；∴f（x2）满足1＜x2＜2；∴；∴，或；∴f（x2）的定义域为．故选：C．根据f（x）的定义域为（1，2），即可得出f（x2）需满足1＜x2＜2，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域求f[g（x）]定义域的方法，绝对值不等式的解法．解：函数f（x）=，若f（f（））=4，可得f（）=4，若，即b≤，可得，解得b=．若，即b＞，可得，解得b=＜（舍去）．故选：D．直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．本题考查函数的零点与方程根的关系，函数值的求法，考查分段函数的应用．5.【答案】A【解析】解：因为f（-x）=ln（2-x）-ln（2+x）=-f（x），所以f（x）为奇函数；因为y=ln（2+x）与y=-ln（2-x）在（0，2）内都是增函数，所以f（x）在（0，2）上是增函数．故选：A．由定义知f（x）为奇函数，由复合函数的单调性知f（x）在（0，2）上是增函数．本题考查了奇偶性和单调性的综合，属中档题．6.【答案】A【解析】解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=-10，c=8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a-b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a-b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=-不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a-b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=-不为非零整数，不成立．故选：A．可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论．本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题．7.【答案】{-1，4}【解析】解：全集U={-1，0，2，4}，集合A={0，2}，则∁U A={-1，4}．故答案为：{-1，4}．直接利用补集的定义，求出A的补集即可．本题考查补集的运算，补集的定义，考查基本知识的应用．8.【答案】-23【解析】解：原式=（-）=（-）=-，故答案为：-根据根式的性质即可化简．本题考查了根式的化简，属于基础题．9.【答案】112【解析】解：∵函数，∴f（log23）=f（log23+1）=f（log23+2）==×=．故答案为：．由函数，知f（log23）=f（log23+1）=f（log23+2）=，由此能求出其结果．本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．10.【答案】b＜a＜c【解析】解：∵偶函数f（x）∴f（lg）=f（lg2），f（-1）=f（1），=2，∵lg2＜1＜2，f（x）在[0，2]内单调递减∴f（lg2）＞f（1）＞f（2）即c＞a＞b故答案为b＜a＜c先根据偶函数的性质将-1，，lg，化到[0，2]内，根据函数f（x）在[0，2]内单调递减，得到函数值的大小即可．本题主要考查了函数的单调性，以及函数的奇偶性和对数的运算性质，属于基础题．11.【答案】[1，3）2【解析】解：根据题意，函数y=log3（-x2+x+6）分解成两部分：f（U）=log2U为外层函数，U=-x2+x+6是内层函数．根据复合函数的单调性，可得若函数y=log2x单调增函数，则函数y=log3（-x2+x+6）单调递减区间就是函数y=-x2+x+6单调递减区间，∴U=-x2+x+6的单调递减区间是：[，+∞），考虑到函数的定义域，-x2+x+6＞0，得x∈（-2，3）．函数y=log3（-x2+x+6）的单调递减区间是：[，3）．故答案为：[，3）．欲求得函数y=log3（-x2+x+6）单调递减区间，将函数y=log3（-x2+x+6）分解成两部分：f（U）=log3U外层函数，U=-x2+x+6是内层函数．外层函数是指数函数，其底数大于1，是增函数，故要求内层函数是减函数时，原函数才为减函数．问题转化为求U=-x2+x+6的单调减区间，但要注意要保证U＞0．一般地，复合函数中，当内层函数和外层函数一增一减时，原函数为减函数；当内层函数和外层函数同增同减时，原函数为增函数．12.【答案】{a|a＞0或a=-4}【解析】解：根据题意，f（x）=ax|2x+a|=分3种情况讨论：①，当a=0时，f（x）=0，不符合题意；②，当a＞0时，-＜0，在区间[1，2]上，f（x）=ax（2x+a），且-＜0，在[1，2]上为增函数，符合题意；③，当a＜0时，-＞0，若f（x）在[1，2]上递增，必有，解可得a=-4；综合可得：a的取值范围为{a|a＞0或a=-4}；故答案为：{a|a＞0或a=-4}．根据题意，f（x）=ax|2x+a|=，按a的取值分3种情况讨论函数f（x）的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，涉及参数的讨论，注意分析a的取值情况，属于基础题．13.【答案】10【解析】解：根据题意得，f（x）-3x为常数，设f（x）-3x=m，则f（m）=4，f（x）=3x+m；∴3m+m=4，易知该方程有唯一解，m=1；∴f（x）=3x+1；故答案为：10．因为f（x）是R上的增函数，所以若f（x）-3x不是常数，则f[f（x）-3x]便不是常数．而已知f[f（x）-3x]=4，所以f（x）-3x是常数，设f（x）-3x=m，所以f（m）=4，f （x）=3x+m，所以f（m）=3m+m=4，容易知道该方程有唯一解，m=1，所以f（x）=3x+1，所以便可求出f（2）．考查对于单调函数，当自变量的值是变量时，函数值也是变量，单调函数零点的情况．14.【答案】-47≤a≤216【解析】解：函数f（x）=，当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为-x2+x-3≤+a≤x2-x+3，即有-x2+x-3≤a≤x2-x+3，由y=-x2+x-3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值为-；由y=x2-x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值为，则-≤a≤；…①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为-（x+）≤+a≤x+，即有-（x+）≤a≤+，由y=-（x+）≤-2=-2（当且仅当x=＞1）取得最大值-2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则-2≤a≤2；…②由①②可得，-≤a≤2；综上，a的取值范围是-≤a≤2．故答案为：-≤a≤2．根据题意，分段讨论x≤1和x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）≥|+a|在R 上恒成立，去掉绝对值，利用函数的最大、最小值求得a 的取值范围，再求它们的公共部分．本题考查了分段函数的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是难题． 15.【答案】解：（Ⅰ）∵a +a -1=3，∴a 2+a -2=（a +a -1）2-2=9-2=7，a -a -1=± (a −a −1)2=± (a +a −1)2−4=± 5．∴a 3+a −3a −a =(a +a −1)(a 2+a −2−1)(a−a −1)(a +a −1)(a 2+a −2)=a 2+a −2−1(a−a −1)(a 2+a −2)，∴当a -a -1= 5时，a 3+a −3a −a=a 2+a −2−1(a−a )(a +a )=5×7=6 535， 当a -a -1=- 5时，a 3+a −3a 4−a−4=a 2+a −2−1(a−a )(a +a )=-5×7=-6 535． （Ⅱ）(lg 5)2+lg 2×lg 50(lg 2)+3lg 2×lg 5+(lg 5) =(lg 5)2+lg 2(lg 2+2lg 5)(lg 2+lg 5)[(lg 2)2−lg 2lg 5+(lg 5)2]+3lg 2×lg 5 =(lg 5+lg 2)2(lg 2+lg 5)2=1．【解析】（Ⅰ）推导出a 2+a -2=（a+a -1）2-2=9-2=7，a-a -1===．再由==，能求出结果．（Ⅱ）利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】解：（1）∵集合M ={x |y = 3−x + x −1}=[1，3]，又∵集合N ={y |y =x 2-2x +m }，∴y =x 2-2x +m =（x -1）2+m -1， ∴N ={y |m -1≤y }=[m -1，+∞），当m =3时，N ={y |2≤y }=[2，+∞）， ∴M ∪N =[1，+∞），所以m≤2．【解析】（1）将m=3代入求出集合M，N，进而可得M∪N；（2）若M∩N=M，可得M⊂N，结合M=[1，3]，N=[m-1，+∞），可得答案．本题考查的知识点是集合的包含关系判断与应用，集合的运算，难度不大，属于基础题．17.【答案】解：（1）y=（2400-2000-x）（8+0.08x）=（400-x）（8+0.08x）=-0.08x2+24x+3200 （2）当y=4800时，-0.08x2+24x+3200=4800，解这个方程得x1=100，x2=200．∵若要使老百姓获得更多实惠，则x1=100不符合题意，舍去．答：若要使老百姓获得更多实惠，每台冰箱应降价200元．（3）由y=-0.08x2+24x+3200，当x=242×0.08=150时，y最大，最大为=-0.08×1502+24×150=5000 答：每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5000元．【解析】（1）根据题意易求y与x之间的函数表达式．（2）已知函数解析式，设y=4800可从实际得x的值．（3）利用x=150，然后可求出y的最大值本题考查了二次函数的综合知识，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．借助二次函数解决实际问题．18.【答案】解：（1）由x-1≠0，得x≠1，所以f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），由f（x）=2xx−1=2(x−1)+2x−1=2+2x−1≠2，得f（x）的值域为（-∞，2）∪（2，+∞），f（x）的单调递减区间为（-∞，1）和（1，+∞）（2）g（x）在（0，1）上是减函数，证明如下：g（x）=xf（x）=2x2x−1，g′（x）=4x(x−1)−2x2(x−1)2=2x(x−2)(x−1)2，∵x∈（0，1），∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上是减函数．【解析】（1）分母不为0可求得定义域，f（x）变成2+后，利用≠0可求得值域，利用反比例函数的单调性可求得单调区间；（2）利用导函数的符号证明单调性．本题考查了函数的单调性及单调区间，属中档题．19.【答案】解：（1）∵二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（2+x）=f（2-x），∴函数的对称轴x=−b2a=2即b=-4a，∵图象开口向上，a＞0，∵f（-1）=0，∴c=-5a∴f（x）=a（x2-4x-5=0），∴A（2，-9a）图象与x轴交于点B（-1，0），根据对称性可知C（5，0），∴BC=6，△ABC的面积为S=12×6×|-9a|=18．∴a=23，∴f（x）=23（x2-4x-5）；（2）∵f（x）=23（x2-4x-5）=m（x-1）在区间[0，1]有解，即2x2-（3m+8）x+3m-10=0在区间[0，1]上有解，∵△=（3m+8）2-8（3m-10）=9m2+24m+144＞0恒成立，∴g（x）=2x2-（3m+8）x+3m-10有两个零点，又g（x）在[0，1]上有零点，∴g（0）•g（1）≤0或g(0)≥0g(1)≥00＜3m+84＜1，∴m≥103或m∈∅，综上所述：实数m的取值范围时[103，+∞）．【解析】（1）根据二次函数的对称轴为x=2，得b=-4a，开口向上得a＞0，根据B（-1，0）得C（5，0），根据S△ABC=18得a=，从而可得f（x）=（x2-4x-5）；（2）转化为g（x）=2x2-（3m+8）x+3m-10在[0，1]内有零点，利用二次函数的图象列式可求得：m≥．本题主要考查二次函数的对称轴，顶点与轴的交点和平面图形，函数的零点，二次方程实根的分布，属中档题．20.【答案】解：（1）当a=5时，f（x）=log2（1x+5），由f（x）＞0；得log2（1x+5）＞0，即1x +5＞1，则1x＞-4，则1x+4=4x+1x＞0，即x＞0或x＜-14，即不等式的解集为{x |x ＞0或x ＜-14}．（2）由f （x ）-log 2[（a -4）x +2a -5]=0得log 2（1x +a ）-log 2[（a -4）x +2a -5]=0． 即log 2（1x +a ）=log 2[（a -4）x +2a -5]，即1x +a =（a -4）x +2a -5＞0，①则（a -4）x 2+（a -5）x -1=0，即（x +1）[（a -4）x -1]=0，②，当a =4时，方程②的解为x =-1，代入①，成立当a =3时，方程②的解为x =-1，代入①，成立 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =-1或x =1a−4，若x =-1是方程①的解，则1x +a =a -1＞0，即a ＞1，若x =1a−4是方程①的解，则1x +a =2a -4＞0，即a ＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a ≤2．综上，若方程f （x ）-log 2[（a -4）x +2a -5]=0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1＜a ≤2，或a =3或a =4．（3）函数f （x ）在区间[t ，t +1]上单调递减，由题意得f （t ）-f （t +1）≤1，即log 2（1t +a ）-log 2（1t +1+a ）≤1，即1t +a ≤2（1t +1+a ），即a ≥1t -2t +1=1−t t (t +1)设1-t =r ，则0≤r ≤12，1−t t (t +1)=r (1−r )(2−r )=r r 2−3r +2， 当r =0时，r r −3r +2=0，当0＜r ≤12时，r r −3r +2=1r +2−3，∵y =r +2r 在（0， 2）上递减，∴r +2r ≥12+4=92，∴r r 2−3r +2=1r +2r −3≤192−3=23，∴实数a 的取值范围是a ≥23．【解析】（1）当a=5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f（t）-f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
江苏省苏州市2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
，则 a，b，c 之间的大小关 这个区间内，再根据函数的单调性比较大小.
【详解】由于函数为偶函数，故
在 上递减，故
.
，由于
，且函数
【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的应用，考查函数单调性的应用，考查抽象函数比较大小，考查化归
与转化的数学思想方法，属于基础题.函数是偶函数，故满足 内的数，转化到这个区间里面来，再按照单调性来比较大小.
，由于
，所以
，由于
，所以
.
【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查对数的运算公式，考查运算求解能力.在分段函数求值的过
程中，首先要明确自变量所在的区间，这样才能够知道代入函数解析式的哪一段.对数运算公式
，
，要熟练记忆和运用这些公式.属于基础题.
10.已知偶函数 f（x）在[0，2]内单调递减，若 系为__．（从小到大顺序） 【答案】b＜a＜c 【解析】 【分析】 先根据函数为偶函数化简 使它们的自变量都落在
＋
＝
在 上是减函数，故选 D． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性．
6.对二次函数
（ 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是（ ）
A. 是 的零点 B. 1 是 的极值点
C. 3 是 的极值 D. 点 在曲线
上
【答案】A
【解析】
若选项 A 错误时，选项 B、C、D 正确，
视频
时，即 ，则
，解得 ，故选
5.设函数 f（x）＝ln（2+x）﹣ln（2﹣x），则 f（x）是（ ）
A. 奇函数，且在（0，2）上是增函数 B. 奇函数，且在（0，2）上是减函数
C. 偶函数，且在（0，2）上是增函数 D. 偶函数，且在（0，2）上是减函数
江苏省苏州市2018-2019学年高一下学期期末调研测试数学试卷有答案
2018-2019学年第二学期期末调研测试高一数学注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第 1题-第14题）、解答题（第15题-第20题）.本卷满分160分，考 试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3•请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效•作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔•请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2 B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5•请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.1 n _-1 n参考公式：样本数据 为必丄,x n 的方差S 2（X i -X ）2，其中X in i 二n y、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1. 函数y=ln （x — 2）的定义域为▲.2. 利用计算机产生0~2之间的均匀随机数3.根据下列算法语句，当输入 :输入工:If Then:厂0・5 *工:Else；y=25 + o. 6 * (x-oO)i iEnd If i［输世¥4. 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为 400,右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间 ［25，30）的为一等品，在区间［20，25）和［30,35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲. 5. 已知 a| = 2,a|_b= 1, a,b 的夹角。
为 60’，贝y b .6. 从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能 构成三角形的概率是 ▲.x -2y 2 > 0,7. 已知实数x 、y 满足 x y -2 > 0,则z = 2x - y 的最大值为 ▲.l x < 3,a ,则事件“ 3a — 2<0”发生的概率为 ▲.▲. x 为60时，输出y 的值为▲.8.函数f （x） =2sinC'X」：）（门>0,且| | ）的部分图象2如图所示,则f (二)的值为▲.2 —9. 已知等差数列｛a.｝的公差为d,若印,a? a4赴的方差为&则d的值为▲.10. 在厶ABC中，已知/ BAC = 90° AB = 6,若D点在斜边BC上，CD = 2DB，则只B •忌的值为▲•1 s/311. 计算的值为▲ •sin 10 cos10 —y 112. 已知正实数x, y满足x 2^1，则的最小值为▲.2x y13. 已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=x2- 3x.则关于x的方程f(x)=x+ 3的解集为▲.114. 已知数列 g 的前n项和为S n.耳=，且对于任意正整数m, n都有a n=a^a m若S n ：：：a对任意n € N*5恒成立,则实数a的最小值是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分•请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知集合A=｛ x|y= .3 _2x-X2｝, B=｛x|x2- 2x+ 1 —m2< 0｝.(1)若m -3，求A「B ;⑵若m 0, A M B，求m的取值范围.16. (本小题满分14分)△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC + ■. 3 csinB.(1)求B；⑵若b=2， a = 3c，求△ ABC的面积.17. (本小题满分14分)已知｛ a n｝是等差数列，满足a1= 3，a4= 12，数列｛b n｝满足b1 = 4，b4= 20，且｛b n —a n｝为等比数列. (1)求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；⑵求数列｛ b n｝的前n项和.18. (本小题满分16分)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120° .现在边界AP, AQ处建围墙，PQ处围栅栏.(1)若.APQ =15 , AP与AQ两处围墙长度和为100(、..3 - 1)米，求栅栏PQ的长；(2)已知AB, AC的长度均大于200米，若水果园APQ面积为2500 3平方米，问AP , AQ长各为多少时，可使三角形APQ周长最小？19. (本小题满分16分)已知函数f(x)=x|x—a|, a € R , g(x)=x2— 1.(1)当a=1时，解不等式f(x)> g(x)；⑵记函数f(x)在区间［0 , 2］上的最大值为F(a),求F(a)的表达式.20. (本小题满分16分)已知数列｛a n｝, ｛b n｝, S为数列｛a n｝的前n项和，向量X= (1,b n),尸⑻一1,S n) , x// y. (1)若b n=2，求数列｛a n｝通项公式；卄n⑵右b n, a2=0.①证明：数列｛a n｝为等差数列；a② 设数列｛C n ｝满足c n 口，问是否存在正整数I , m(l<m ,且l 丰2, m z 2)，使得c i 、C 2、C m 成等比数列，若存在，求出I 、m 的值；若不存在，请说明理由2018-2019学年第二学期期末调研测试高一数学参考答案及评分标准一、填空题：131. (2,+ R );2.丄；3. 31;4. 100;5.1 ;6. - ;7.7;34 8. 3 ; 9. -2; 10. 24;11.4;12. 22 ; 13. {2+7 , -1 , -3};14. 1 .4二、 解答题：本大题共6小题，共计90分•请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 解(1)令 3-2x — x 2> 0,解得 A=[ — 3, 1], ............................. 3 分 m =3 时，x 2— 2x -9 =0 解得 B=[ — 2, 4]; ................. 6 分 AC1B2,11...................................... 7 分 (2) A B ，即[—3, 1] -[1 — m , 1 + m],所以 1 — m W — 3 且 1 + m > 1, ............................... 11 分 解得 m 》4,所以 m 》4................................ 14分16. 解(1)由 a=bcosC + 3 csinB 及正弦定理，sinA=sinBcosC + 3 sinCsinB,① 又 sinA=sin( n —B — C)=sin(B + C)=sinBcosC + cosBsinC ②，an 2由①②得73sinCsinB=cosBsinC,又三角形中，sinC^Q ............................................ 3分所以 3 sinB=cosB, ............................. 5 分sin15' 二 sin(45 -30 ) =sin45 cos30 -cos 45‘ sin30‘AP AQ PQ 100(31)PQ = 100 6 sin45 sin15‘ sin 120 、：6 、24(2)设 AP =x 米，AQ =y 米.2二 xy =10000 -------------------------------------------------------------------------- 9分x y _ 2、xy = 200 ---------------------------------------------------------------------- 11分 设 ABC 的周长为 L ,则 L = x y . x 2 y 2 xy = x y i (x y)2 -10000 ---12 分令x ^t , L =t ，t 2 -10000在定义域上单调增，所以L min =200 100. 3，当又 B € (0, n ，所以 B=二 ............6 1 1⑵△ ABC 的面积为 S= —acsinB = —ac.2 4由余弦定理，b ?= a ?+ c ?— 2accosB 得 4=a ? + c ? — ..f3ac a = . 3c ，得 c — c = 2 , a = 3c = 2 £3 , 所以△ ABC 的面积为 3. ...........................................................................17.解(1)设等差数列｛a n ｝的公差为d ,由题意得 a 4 —a 1 12 — 3 d = 3 = 3 = 3. ...............................................所以 a n = a 1+ (n — 1)d = 3n(n = 1, 2，-…). ...... 设等比数列｛b n — a n ｝的公比为q ，由题意得3 b 4—a 420 — 12 q = = = 8,解得 q = 2. Mb 1 — a 1 4— 3所以 b n — a n = (b 1 — a”q n-1 = 2n-1. 从而 b n = 3n + 2n-1(n = 1,2,…).n 1⑵由(1)知 b n = 3n + 2 -(n = 1, 2,数列｛3 n ｝的前n 项和为》n(n + 1),1 — 2n数列｛2 n-1｝的前n 项和为1 x ------- = 2n — 1, .............1 —23 所以，数列｛ b ｝的前n 项和为qn(n + 1) + 2n — 1.18.解 （1）依题意,AP AQ sin 45 sin15"PQ sin； 12分…)•10分12分14分得AP AQ” sin45 sin15PQsin120则 S =^xysin120； =2500 .3x=y=100取等号； --------答：(i )PQ =IOO .6米;(2)当AP =AQ =100米时，三角形地块 APQ 的周长最小----------------------------------------------------------------------- 16 分 19.解f(x)>g(x), a=1 时，即解不等式 x|x — 1|>x 2— 1, ......................................... 1 分 当x > 1时，不等式为x 2 — x > x 2— 1，解得x < 1，所以x = 1; ............... 3分 当x<1时，不等式为x — x 2> x 2— 1，解得< x < 1 ,2所以—1 < x ：:1 ; .................................. 5 分21综上，x €,1］. ............................. 6 分2⑵因为x € ［0 , 2］,当a w 0时，f(x)=x 2 — ax ,则f(x)在区间［0 , 2］上是增函数,所以 F(a)=f(2)=4 — 2a ； ................. 7 分 当0<a<2时，f (x)=尹 ax,0 W x a，则f(x)在区间［0,a ］上是增函数，在区间［£,a ］上是减函数，在x-ax,a w xc22 2区间［a , 2］上是增函数，所以 F(a)=max{ f (空)，f(2)} , ............... 9分2a a令 f( ) > f (2)即 > 4-2a ，解得 a w -4-4.2 或 a > -4 4 2 ,2 42 所以当 4 2-4：：： a w 2 时，F(a)=a； 12 分4当 a > 2 时，f(x)= — x 2 + ax ,当1 w a c2即2 w a<4时，f(x)在间［0^上是增函数， 2 22F(a )= f 2( =! ； ..................... 13 分当a > 2，即a > 4时，f(x)在间［0, 2］上是增函数，则 F(a) =f(2) =2a -4 ； .......... 14分24 -2a,a w “-42所以，F(a) = a ,4 2-4 ：：a ：：4 , ................................... 16 分42a —4,a > 420.解(1) x 〃y , 得 S n =(a n — 1)5，当 b “=2，则 S n =2a n — 2 ①， 当 n=1 时，0=2n — 2, 即卩 a 1=2, .............................. 1 分 又 S n + 1=2a n +1 — 2 ②，②—①得 Si +1 — Sn=2a n +1 — 2a n , 即 a n +1= 2a n ，又 a 1=2 ,152 2而 f (|)=令,f(2)=4 — 2a ，令 f (号厂::f(2)即冷：：4—2a ,解得-4-4.2 :::-4 4 2,所以当 0 ：：a ：：:4 2 -4时，F(a)= 4 — 2a ; .............. 11 分2在［-,2上是减函数，2由l<m ，所以存在l=1,m=8符合条件.所以｛a n ｝是首项为2,公比为2的等比数列， ................... 3分所以a n =2n ................................ 4分⑵① b n =—，则 2S n = na n - n ③,当 n =〔时，2S i =a i — 1,即 a i = — 1, 2 又 2Si +1=( n + 1)a n +i — (n + 1)④， ④一③得 2S n +1 — 2§n =(n + 1)a n +1 — na *— 1, ................................. 6 分 即(n — 1)a n +1 — na n —1=0 ⑤， 又 na n +2— (n + 1)a n +1 — 1=0⑥ ⑥一⑤得， na n + 2— 2na n + 1 + na n =0, 即a n + 2+ a n =2a n +1,所以数列｛a n ｝是等差数列. ..................... 8分 ②又 a 1 = — 1, a 2=0, 所以数列｛a n ｝是首项为—1，公差为1的等差数列 —1a n = — 1 + (n — 1) >1=n — 2，所以 Cn= ---- — 假设存在l<m(l 丰2, m ^ 2)，使得q 、c 2、, .....................................10 分 C m 成等比数列，即C ^-C ^C ., 可得9 mJ 4 l m 12分 4m +4 整理得5lm — 4l=4m + 4即I ，由 5m —4 4m 4 > 1，得 1< m w 8,5m -414分代入检验 駕1或 m =2 I =2| m 二 3 J 或 16或 l .11m =4 ,5或 l4 m =5 ,8或 匕m =6 14或 ‘13m 二 7 32或 l31m =8 I =116分。
2018-2019学年江苏省苏州市高一上学期期末考试化学试题(答案+解析)
江苏省苏州市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，，则______．【答案】【解析】集合A、B的公共元素是2，则A B＝{2}.2.函数的定义域为_________．【答案】【解析】由题意，，解得，故函数的定义域为.3.若角的终边经过点,则的值为____【答案】-2【解析】由三角函数的定义可得，应填答案.4.已知向量＝(3，5)，＝(4，1)，则向量的坐标为_________．【答案】【解析】由题意，.5.已知＝，且是第四象限角，则的值是_________．【答案】【解析】因为是第四象限角，所以，则，则.6.下列函数中，定义域是R且在定义域上为减函数的是_________．①；②；③；④．【答案】①【解析】①，故的定义域是R且在定义域上为减函数；②，为定义域上的增函数，不满足题意；③，定义域为，不满足题意；④，在定义域上不是单调函数，不满足题意.故答案为①.7.设，若，则.【答案】【解析】当，解得（舍去），当，解得或（舍去），当，解得（舍去），综上故填．8.已知函数的零点(n，n＋1)，，则n的值是_________．【答案】1【解析】因为函数和都是上的增函数，所以函数是上的增函数，由于，，故函数的零点(1，2)，即n=1.9.计算：＝_________．【答案】7【解析】，，故＝3+4=7.10.把函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则得到的图象的函数解析式为_________．【答案】【解析】将函数的图象向右平移个单位长度得到，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到.11.某次帆船比赛LOGO（如图1）的设计方案如下：在Rt△ABO中挖去以点O为圆心，OB 为半径的扇形BOC（如图2），使得扇形BOC的面积是Rt△ABO面积的一半．设∠AOB＝(rad)，则的值为_________．【答案】【解析】设，，则三角形的面积为，扇形的面积为，则，故，因为，所以.12.如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，，，则的值为______．【答案】【解析】设，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示坐标系，则，，，，，，则，，，即，则即，解得，，则.13.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，沿着过C点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B落在矩形的左边AD上．设折痕所在的直线与AB交于M点，记翻折角∠BCM为，则tan的值是_________．【答案】【解析】设顶点B对折后交AD于N，设，则，，则，故，即，解得，则.14.已知函数，设函数，若函数在R上恰有两个不同的零点，则k的值为_________．【答案】【解析】由题意知在R上恰有两个不同的解，即函数与的图象有两个不同交点，当时，，，则，当时，取得最小值为；当时，，，则，当时，取得最大值为.可画出函数的图象，可知当时，函数与的图象有两个不同交点.二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.设全集U＝R，已知集合A＝{1，2}，B＝，集合C为不等式组的解集．(1)写出集合A的所有子集；(2)求和．解：（1）因为集合，所以它的子集,, ,;（2）因为}, 所;由，解得，所以，所以.16.设向量＝(cos x，1)，＝(，4sin x)．（1）若⊥，求tan x的值；（2）若(＋)∥，且[]，求向量的模．解：（1）因为，所以因为，所以，即.（2）因为,即，所以，即，所以，因为，所以，所以，即，此时，所以.17.已知函数是定义在R上的偶函数，当x≤0时，．（1）当x＞0时，求函数的表达式；（2）记集合M＝，求集合M．解：（1）因为当时，,所以，又因为函数为偶函数，所以，所以时，函数的表达式为.（2）当时，，若，则,显然不成立；当时，若，则,即,平方后有，解得，适合题意.综上可知，.18.某校高一数学研究小组测量学校的一座教学楼AB的高度已知测角仪器距离地面的高度为h米，现有两种测量方法：方法如图用测角仪器，对准教学楼的顶部A，计算并记录仰角；后退a米，重复中的操作，计算并记录仰角．方法如图用测角仪器，对准教学楼的顶部A底部B，测出教学楼的视角，测试点与教学楼的水平距离b米．请你回答下列问题：用数据，，a，h表示出教学楼AB的高度；按照方法II，用数据，b，h表示出教学楼AB的高度．解：（1）由题意得：，，所以，，因为，所以，所以教学楼AB的高度为.(2)如下图，过作，垂足为，则，所以，因为，所以.所以，所以教学楼的高度为，故教学楼的高度为.19.在平面直角坐标系xOy中，已知点，．求的值；若的平分线交线段AB于点D，求点D的坐标；在单位圆上是否存在点C，使得？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）因为，所以；（2）设点,则，因为点在线段上，所以,即有，化简得,①再设，因为，同理，可知,化简得，②由①②解得，，即点的坐标为.（3）假设单位圆上存在点满足条件，则；当时，，即，又因为，所以，可知或.所以，当为第二象限角时，;当为第四象限角时，.综上所述，单位圆上存在点或,满足题意。
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2018-2019学年第一学期期末调研测试高一数学 2019.1一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合{}1,2,5A =，{}2,3B =，则A B ⋂= ▲ ． 2．函数()0.2()4f x log x =-的定义域为 ▲ ．3．已知角α的终边经过点(1,2)P -，则tan α的值是 ▲ ．4．已知向量()3,5AB =，()4,1AC =，则向量BC 的坐标为 ▲ ．5．已知45cos α=，且α是第四象限角，则2cos πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ ． 6．下列函数中，定义域是R 且在定义域上为减函数的是 ▲ （只要填写序号）．①x y e -=；②y x =；③y lnx =；④y x =．7．已知函数()22,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，则()3f x =，则x 的值是 ▲ ．8．已知函数()35x f x x =+-的零点()0,1x n n ∈+，*n N ∈，则n 的值是 ▲ ． 9．计算：3525ln e log += ▲ ．10．把函数y sinx =的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则得到的图像的函数解析式为 ▲ ．11．某次帆船比赛LOGO （如图1）的设计方案如下：在Rt △ABO 中挖去以点O 为圆心，OB 为半径的扇形BOC （如图2），使得扇形BOC 的面积是Rt △ABO 面积的一半，设()AOB rad α∠=，则tan αα的值为 ▲ ．12．如图，在长方形ABCD 中，M ，N 分别为BC ，CD 的中点，若12MN AM BN λλ=+，1λ，2R λ∈，则12λλ+的值为 ▲ ．13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝10cm ，沿着过C 点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B 落在矩形的左边AD 上，设折痕所在的直线与AB 交于M 点，设翻折∠MCM 为θ，则tan θ的值是 ▲ ．14．已知函数()21,0(1),0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，设函数()()()()g x f x f x k k R =--+∈．若函数()g x 在R 上恰有不同的零点，则k 的值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90 分）15．（本题满分14分）设全集U R =，已知集合{}1,2A =，{}|03B x x =≤≤，集合C 为不等式组10360x x +≥⎧⎨-≤⎩的解集． (Ⅰ）写出集合A 的所有子集；(Ⅱ）求U B 和B C ⋃．设向量(,1)a cosx =，(3,4)b sinx =，函数()f x a b =⋅．(Ⅰ）若a b ⊥，求tanx 的值； (Ⅱ）若()a b +∥b ，且0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求向量b 的模．17．（本题满分14分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，2()(1)f x log x =-．(Ⅰ）当0x >时，求函数()f x 的表达式；(Ⅱ）记集合(){}2|()11M x f x log x ==-+，求集合M ．某校高一数学研究小组测量学校的一座教学楼AB 的高度，已知测角仪器距离地面的高度为h 米，现有两种测量方法： 方法Ⅰ（如图1）①用测角仪器，对准教学楼的顶部A ，计算并记录仰角()rad α；②后退a 米，重复①中的操作，计算并记录仰角()rad β．方法Ⅱ（如图2）用测角仪器，对准教学楼的顶部A 底部B ，测出教学楼的视角()ACB rad γ∠=；测试点与教学楼的水平距离b 米．请你回答下列问题：(1）按照方法Ⅰ，用数据α，β，a ，h 表示出教学楼AB 的高度；(2）按照方法Ⅱ，用数据γ，b ，h 表示出教学楼AB 的高度．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,4)A ，(5,12)B ．(Ⅰ）求OA OB ⋅的值；(Ⅱ）若AOB ∠的平分线交线段AB 于D 点，求点D 的坐标；(Ⅲ）在单位圆上是否存在点C ，使得64CA CB ⋅=？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．定义：若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数． (Ⅰ）若()2xf x x =-，()0,x ∈+∞，试判断()f x 是否为“1距”增函数，并说明理由； (Ⅱ）若31()44f x x x =-+，x R ∈是“a 距”增函数，求a 的取值范围； (Ⅲ）若()2()2,1,x k x f x x +=∈-+∞，其中k R ∈，且为“2距”增函数，求()f x 的最小值．参考答案一、填空题1．{}2；2．(),4-∞；3．－2；4．()1,4-；5．35；6．①；78．1；9．7；10．23y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 11．12；12．25；11112222MN MC CN BC CD AD AB =+=+=-，1122AM AB BM AB BC AB AD =+=+=+， 1122BN BC CN AD CD AB AD =+=+=-+，1212121122MN AM BN AB AD λλλλλλ⎛⎫⎛⎫=+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112122111522113225λλλλλλ⎧⎧=--=-⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩；13．13；设BM x =，sin θ=62x cos x θ-=，22262101212110033x x cos sin x tan x x θθθ-=-⇒=-⇒=⇒=+；14．答案：14±（分离参数法，数形结合）． 二、解答题（本大题共6小题，共90 分）15．答案：(Ⅰ）∅，{}1，{}2，{}1,2；(Ⅱ）()(),03,U B =-∞⋃+∞，[]1,3B C ⋃=-．16．答案： (Ⅰ）4tanx =-； (Ⅱ）(4)a b cosx sinx +=+，()a b +∥b⇒4(4)2sinx cosx sinx sin x =+⇒=， 22,3x k k Z ππ⇒=+∈或22,3k k Z ππ+∈，,6x k k Z ππ⇒=+∈或,3k k Z ππ+∈，又0,46x x ππ⎡⎤∈⇒=⎢⎥⎣⎦， (3,2)7b b =⇒=．17．答案：(Ⅰ）0x >时，0x -<，2()(1)f x log x -=+，又()f x 是定义在R 上的偶函数2()()(1)f x f x log x ⇒-==+，即0x >时，2()(1)f x log x =+；(Ⅱ）()()222,1112,1log x x log x log x x ≥⎧⎪-+=⎨-<⎪⎩， ①1x ≥时，22(1)1log x log x x x =+⇒=+⇒方程无解；②01x <<时，221(2)(1)212log x log x x x x -=+⇒-=+⇒=； ③0x ≤时，22(2)(1)21log x log x x x -=-⇒-=-⇒方程无解；综上：12M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．18．答案：(1）tan tan a h tan tan αβαβ⋅⋅+-； (2）2tan b bh h b tan hγγ⋅-++⋅．19．答案：(Ⅰ）63；(Ⅱ）设(,)D x y ，则(3,4)AD x y =--，(2,8)AB =，D 在线段AB 上AD ⇒，AB 共线8(3)2(4)x y ⇒-=-． 48y x ⇒=-；OD 平分OA OD OB OD AOB AOD BOD cos AOD cos BOD OA OD OB OD ⋅⋅∠⇒∠=∠⇒∠=∠⇒=⋅⋅74y x ⇒=，又32948569x y x y ⎧=⎪⎪=-⇒⎨⎪=⎪⎩，即3256,99D ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (Ⅲ）假设存在这样的点(),C cos sin αα，则()3,4CA cos sin αα=--，()5,12CB cos sin αα=--()()()()3541264168CA CB cos cos sin sin sin cos αααααα⋅=--+--=--，若64CA CB ⋅=，则516802sin sin cos cos sin cos αααααα⎧=⎪⎪--=⇒=-⇒⎨⎪=⎪⎩5sin cos αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即存在满足条件的点C ，点C 坐标为；,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．20．答案：(Ⅰ）()f x 为“1距”增函数，理由如下：取任意的()0,x ∈+∞，则21x >，则()1(1)()21221110(1)()x x x f x f x x x f x f x ++-=-+-+=->-=⇒+>⇒()f x 为“1距”增函数； (Ⅱ）取任意的x R ∈，()f x 为定义在R 上的 “a 距”增函数()()f x a f x ⇒+>()()()()33332211114403304444x a x a x x x a x a a x ax a a +-++>-+⇒+-->⇒++->，又0a >， 2213304x ax a ⇒++->对于任意的x R ∈恒成立0⇒∆<21a ⇒>，0a >(1,)a ⇒∈+∞； (Ⅲ）()f x 为定义在()1,-+∞上的“2距”增函数⇒对于任意的()1,x ∈-+∞，均有(2)()f x f x +>⇒ ()()()2222222222244x k x x k x x k x x k x k x x x ++++>⇒+++>+⇒+->--，当10x -<≤时，()22222(1)0x x x x x x +-=+--=+=+>；当0x >时，2220x x x x +-=+-=>，故20x x +->；442x k x x --⇒>+-，设()()2,1044222,02x x g x g x x x x x --<≤⎧--==⇒≤-⎨-->+-⎩，即2k >-； ①0k ≥时，()(0)1min f x f ==，②20k -<<时，24()()22k min k f x f -=-=．。