江苏省苏州市2018-2019学年第一学期高一期末考试数学试卷及答案

2018-2019学年第一学期期末调研测试

高一数学 2019.1

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．已知集合{}1,2,5A =，{}2,3B =，则A B ⋂= ▲ ． 2．函数()0.2()4f x log x =-的定义域为 ▲ ．

3．已知角α的终边经过点(1,2)P -，则tan α的值是 ▲ ．

4．已知向量()3,5AB =，()4,1AC =，则向量BC 的坐标为 ▲ ．

5．已知45cos α=，且α是第四象限角，则2cos πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭

的值是 ▲ ． 6．下列函数中，定义域是R 且在定义域上为减函数的是 ▲ （只要填写序号）．

①x y e -=；②y x =；③y lnx =；④y x =．

7．已知函数()22,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩

，则()3f x =，则x 的值是 ▲ ．

8．已知函数()35x f x x =+-的零点()0,1x n n ∈+，*

n N ∈，则n 的值是 ▲ ． 9．计算：3525ln e log += ▲ ．

10．把函数y sinx =的图象向右平移3

π个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则得到的图像的函数解析式为 ▲ ．

11．某次帆船比赛LOGO （如图1）的设计方案如下：在Rt △ABO 中挖去以点O 为圆心，OB 为半径的扇形BOC （如图2），使得扇形BOC 的面积是Rt △ABO 面积的一半，设()AOB rad α∠=，则tan α

α的值为 ▲ ．

12．如图，在长方形ABCD 中，M ，N 分别为BC ，CD 的中点，若12MN AM BN λλ=+，1λ，2R λ∈，则12λλ+的值为 ▲ ．

13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝10cm ，沿着过C 点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B 落在矩形的左边AD 上，设折痕所在的直线与AB 交于M 点，设翻折∠MCM 为θ，则tan θ的值是 ▲ ．

14．已知函数()21,0(1),0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩

，设函数()()()()g x f x f x k k R =--+∈．若函数()g x 在R 上恰有不同的零点，则k 的值为 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，共90 分）

15．（本题满分14分）

设全集U R =，已知集合{}1,2A =，{}|03B x x =≤≤，集合C 为不等式组10360x x +≥⎧⎨

-≤⎩的解集． (Ⅰ）写出集合A 的所有子集；

(Ⅱ）求

U B 和B C ⋃．

设向量(,1)a cosx =，(3,4)b sinx =，函数()f x a b =⋅．

(Ⅰ）若a b ⊥，求tanx 的值； (Ⅱ）若()a b +∥b ，且0,

4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求向量b 的模．

17．（本题满分14分）

已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，2()(1)f x log x =-．

(Ⅰ）当0x >时，求函数()f x 的表达式；

(Ⅱ）记集合(){}

2|()11M x f x log x ==-+，求集合M ．

某校高一数学研究小组测量学校的一座教学楼AB 的高度，已知测角仪器距离地面的高度为h 米，现有两种测量方法： 方法Ⅰ（如图1）①用测角仪器，对准教学楼的顶部A ，计算并记录仰角()rad α；②后退a 米，重复①中的操作，计算并记录仰角()rad β．

方法Ⅱ（如图2）用测角仪器，对准教学楼的顶部A 底部B ，测出教学楼的视角()ACB rad γ∠=；测试点与教学楼的水平距离b 米．

请你回答下列问题：

(1）按照方法Ⅰ，用数据α，β，a ，h 表示出教学楼AB 的高度；

(2）按照方法Ⅱ，用数据γ，b ，h 表示出教学楼AB 的高度．

在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,4)A ，(5,12)B ．

(Ⅰ）求OA OB ⋅的值；

(Ⅱ）若AOB ∠的平分线交线段AB 于D 点，求点D 的坐标；

(Ⅲ）在单位圆上是否存在点C ，使得64CA CB ⋅=？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

定义：若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数． (Ⅰ）若()2x

f x x =-，()0,x ∈+∞，试判断()f x 是否为“1距”增函数，并说明理由； (Ⅱ）若31()44f x x x =-

+，x R ∈是“a 距”增函数，求a 的取值范围； (Ⅲ）若()2()2,1,x k x f x x +=∈-+∞，其中k R ∈，且为“2距”增函数，求()f x 的最小值．

参考答案

一、填空题

1．{}2；2．(),4-∞；3．－2；4．()1,4-；5．

35；6．①；7

8．1；9．7；10．23y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 11．1

2；12．25；11112222MN MC CN BC CD AD AB =+=+=-，1122

AM AB BM AB BC AB AD =+=+=+， 1122BN BC CN AD CD AB AD =+=+=-+，1212121122MN AM BN AB AD λλλλλλ⎛⎫⎛⎫=+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112122111522113225λλλλλλ⎧⎧=--=-⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩

；13．13；设BM x =

，sin θ=62x cos x θ-=，22

262101212110033x x cos sin x tan x x θθθ-=-⇒=-⇒=⇒=+；14．答案：14±（分离参数法，数形结合）． 二、解答题（本大题共6小题，共90 分）

15．答案：

(Ⅰ）∅，{}1，{}2，{}1,2；

(Ⅱ）

()(),03,U B =-∞⋃+∞，[]1,3B C ⋃=-．

16．答案： (

Ⅰ）4

tanx =-； (

Ⅱ）(4)a b cosx sinx +=+，()a b +∥b

⇒4(4)2sinx cosx sinx sin x =+⇒=， 22,3x k k Z π

π⇒=+∈或22,3k k Z ππ+∈，,6x k k Z ππ⇒=+∈或,3k k Z ππ+∈，又0,46x x ππ⎡⎤∈⇒=⎢⎥⎣⎦

， (3,2)7b b =⇒=．

17．答案：