高中数学求数列通项公式ppt
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高中数学必修5优质课件：数列的通项公式与递推公式
第七页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部 分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需 注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项 表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整 理成用后面的项表示前面的项的形式．
第十二页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其 特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式．
第十三页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练] 3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋nn1－1(n≥2)， 写出该数列前 5 项，并归纳出它的一个通项公式． 解：a1＝1， a2＝a1＋2×1 1＝1＋12＝32， a3＝a2＋3×1 2＝32＋16＝53， a4＝a3＋4×1 3＝53＋112＝74，
[类题通法] 通项公式法、列表法与图象法表示数列优点
(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公 式法是常用的数学方法．
(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项 数与项的对应关系．
(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应 项变化的趋势．
第四页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
第十七页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
3．已知 a1＝1，an＝1＋an1－1(n≥2)，则 a5＝________. 解析：由 a1＝1，an＝1＋an1－1得 a2＝2，a3＝32，a4＝53， a5＝85. 答案：85
第十八页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
4．已知数列{an}满足 a1>0，aan＋n 1＝13(n∈N*)，则数列{an}是 ________数列(填“递增”或“递减”)．
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部 分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需 注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项 表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整 理成用后面的项表示前面的项的形式．
第十二页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其 特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式．
第十三页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练] 3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋nn1－1(n≥2)， 写出该数列前 5 项，并归纳出它的一个通项公式． 解：a1＝1， a2＝a1＋2×1 1＝1＋12＝32， a3＝a2＋3×1 2＝32＋16＝53， a4＝a3＋4×1 3＝53＋112＝74，
[类题通法] 通项公式法、列表法与图象法表示数列优点
(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公 式法是常用的数学方法．
(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项 数与项的对应关系．
(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应 项变化的趋势．
第四页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
第十七页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
3．已知 a1＝1，an＝1＋an1－1(n≥2)，则 a5＝________. 解析：由 a1＝1，an＝1＋an1－1得 a2＝2，a3＝32，a4＝53， a5＝85. 答案：85
第十八页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
4．已知数列{an}满足 a1>0，aan＋n 1＝13(n∈N*)，则数列{an}是 ________数列(填“递增”或“递减”)．
高中数学 构造法求通项公式课件 新人教A版必修5
1 数列 3 为等比数列． an
pan 1 r 1 q (4)形如an1 ( p, q, r为非零常数)的，将其变形为 qan r an+1 p an p
3、已知数列的递推公式求通项：
变式2：已知数列a n 满足a n+1 =2a n +3n，且a1 1 ． 求数列a n 的通项公式． a n+1 an n n 解：a n+1 =2a n +3 两边除以3 得 n =2 n +1 3 3 a n+1 2 a n
_____ n an中，a1 1, an1 an 2n 1 ，则 an
2
3、在数列
1 an a1 , n 1 an n 1 an1 (n 2),则 4、数列 an 中，若 2
1 n n 1_ ____
方法归纳
1、观察法
例2、数列an 中，a1 =3，an+1 =2an +3,求通项an .
分析：变形得an+1 +t =2（an +t）且2t-t=3，构造得 数列an 3为等比数列．
方法归纳
3、已知数列的递推公式求通项：
例2、数列an 中，a1 =3，an+1 =2an +3,求通项an . 解：令an+1 +t=2（an +t） 且2t-t=3，得t=3
2、由an与sn的关系求an
(1)已知sn 求a n时，要分n=1和n 2两种情况讨论，然后 验证两种情况可否统一的解析式表示，若不能则用分段 s1 ，n 1 函数的形式表示为a n ; sn sn 1 , n 2
（2）当an与sn 在同一关系式中
pan 1 r 1 q (4)形如an1 ( p, q, r为非零常数)的，将其变形为 qan r an+1 p an p
3、已知数列的递推公式求通项：
变式2：已知数列a n 满足a n+1 =2a n +3n，且a1 1 ． 求数列a n 的通项公式． a n+1 an n n 解：a n+1 =2a n +3 两边除以3 得 n =2 n +1 3 3 a n+1 2 a n
_____ n an中，a1 1, an1 an 2n 1 ，则 an
2
3、在数列
1 an a1 , n 1 an n 1 an1 (n 2),则 4、数列 an 中，若 2
1 n n 1_ ____
方法归纳
1、观察法
例2、数列an 中，a1 =3，an+1 =2an +3,求通项an .
分析：变形得an+1 +t =2（an +t）且2t-t=3，构造得 数列an 3为等比数列．
方法归纳
3、已知数列的递推公式求通项：
例2、数列an 中，a1 =3，an+1 =2an +3,求通项an . 解：令an+1 +t=2（an +t） 且2t-t=3，得t=3
2、由an与sn的关系求an
(1)已知sn 求a n时，要分n=1和n 2两种情况讨论，然后 验证两种情况可否统一的解析式表示，若不能则用分段 s1 ，n 1 函数的形式表示为a n ; sn sn 1 , n 2
（2）当an与sn 在同一关系式中
数列通项公式的求法课件-高三数学一轮复习
(2)证明：∵cn＝a2nn(n∈N*)， ∴cn＋1－cn＝a2nn＋ ＋11－a2nn＝an＋21－n＋12an＝2bn＋n 1. 将 bn＝3·2n－1 代入，得 cn＋1－cn＝34(n∈N*)． ∴数列{cn}是公差为34的等差数列，c1＝a21＝12， 故 cn＝12＋34(n－1)＝34n－14.
探究 5 此类题可由 an＝SS1n（－nS＝n－11（）n，≥2）求出通项 an，但要注意 n＝1 与 n ≥2 两种情况能否统一．
思考题 5 在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋2 1an＋1，n∈
N*，求 an. 【解析】
由 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋2 1an＋1，
例 4 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2aan＋n 1(n∈N＋)．求数列{an}的通项公 式．
【解析】 易知 an＞0，依题意得an1＋1＝2ana＋n 1＝a1n＋2， ∴数列a1n是等差数列，公差为 2，首项为 1，∴a1n＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴an＝2n1－1.
探究 4 已知数列递推公式的分母中含有通项公式的表达式，求解对应的通 项公式时，往往可以通过观察表达式的特点，通过倒数关系加以转化，利用等差 数列的性质分析相应的通项公式问题．
思考题 4 设数列{an}是首项为 1 的正项数列，且 an＋1－an＋an＋1·an＝ 0(n∈N*)，求{an}的通项公式．
【解析】 ∵an＋1－an＋an＋1·an＝0.∴an1＋1－a1n＝1. 又a11＝1，∴a1n是首项为 1，公差为 1 的等差数列． 故a1n＝n，∴an＝1n.
题型四 已知 Sn 求 an
题型二 累乘法
例 2 在数列{an} 中，已知 a1＝3，nan＝(1＋n)an＋1，求 an. 【解析】 据题意有aan＋n 1＝n＋n 1⇒aan－n 1＝n－n 1(n≥2 且 n∈N*)． ∴an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n 1 ＝3×12×23×34×…×n－n 1＝3n(n≥2 且 n∈N*)，把 n＝1 代入上式也成立，故 an＝3n(n∈N*)．
2.5求数列通项公式-浙江省瑞安市上海新纪元高级中学高中数学人教A版必修5课件(共28张PPT)
2an （n+2)an （n+1)an1
nan （n+1)an1
an
n+1
an1
n
再用逐商叠乘法求出数列an 的通项公式。
例4.2,已知数列an中，an 0, Sn是数列的前n项的和，
解
且an
:由an
1 a1n
an
2Sn , 求an
2Sn , 得an2
1
2Sn
•
an
,
又an Sn Sn1(n 2)
1
n
注意：累乘法与累加法有些相
似，但它是n个等式相乘所得
五、累乘法 (形如an+1 =f(n)•an型)
练习1：已知an中，a1 2,an1 3n an,求通项an.
解： an 3n1, an1
an1 3n2 , an2
an2 3n3 , an3
an3 3n4 an4
.......
a3 32 , a2 3
六、 构造法
题型2.an1 pan f (n)(q, p为常数,且p 1, q 0)
例8.
已知数列 an
中，a1
41，，an
1 3 2
an1
2n
1
n 2求an
六、 构造法
题型3.an1 pan qn (q, p为常数,且p 1, q 0) 例10.已知数列{an }满足：a1 1, an1 3an 2n1,求an
1
是以
an 1 2 2
为首项，以1为公差的等差数列.
（2）由（1）知
an 1 2n
2 (n 1)1
,所以an＝（n＋1）2n＋1.
题型4 形取如 倒数a方n1法转pa化mna成n q为的递1 推式m，1可采m用
由数列的递推关系求通项公式PPT优秀课件
3，
设 bn
an1
an
，则 b1
a2
a1
6 ，且 bn1 bn
3，
所以 bn 6 3n1 2 3n ，即 an1 an 2 3n ，
有 3an 3 an 2 3n
所以
an
3n
3 2
.
解：由已知递推式得
an 3an1 3 ，
an
2n .
1
例题分析
例 1.
已知数列an 中， a1
3 2
,
an1
3an
3
(n N *), 求数列an 的通项公式.
.
巩固练习
1. 已知数列 an 中， a1 1, an1 3an 3n (n N *), 求数列an 的通项公式.
an n3n1
an 2n1
课堂热身
2．已知数列
an
中,
a1
1 2
,
an1
an
1 3n
(n N*), 求数列an 的通项公式.
1
an
1
.
2
3n1
课堂热身
3．已知数列 an 中 a1 3, an1 3an (n N*).求数列an 的通项公式.
an 3n
1 3n
，所以 an1 3n1
an 3n
1 3n
，
设 bn
an 3n
, 则 b1
a1 3
1,， 2
且 bn1
bn
1 3n
人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
证明．在求{an}通项公式时，要用到{an－2}是等差数列，先求 1
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
苏教版数学必修五2《等差数列的概念及通项公式》ppt课件
aa11＋＋（（nm－－11））dd＝＝mn，，解得ad1＝＝－m1＋. n－1，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.
栏 目
链
故选 B.
接
方法二 设 am＋n＝y，则由三点共线有mn－－mn＝（my＋－nm）－n
⇒y＝0.
方法三 由 am＝n，an＝m 知，在直角坐标平面上的 A(m，n)、 B(n，m)两点关于直线 y＝x 对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等 差数列中的项，∴A、B、C 在同一直线上且斜率为－1.∴mam＋＋nn－－mn＝
苏教版数学必修五
2．2.1 等差数列的概念及通项公式
情景导入
栏 目 链
接
相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3 ＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说， 据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯 的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81 297＋81 495＋81 693＋…＋100 899.当布特纳刚写完这道题 时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上．你知道高 斯是如何计算的吗？
个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
栏
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项 没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，
目 链 接
而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数
(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数 列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋
栏 目
2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
高一数学数列求通项公式的几类方法课件
②叠加法，如 an1 an f (n)
③叠乘法：如
an1 f (n) an
④构造新数列：如 an1 kan b
an1 r k (an r)
（5）取倒数：如
a1
3, an
3an1 3 an1
(n
2)
类型二：在数列中已知 Sn 求an ：
设数列an 前 n 项的和 Sn 2n2 3n 1,
为等差数列
2)，a1
1，
(2) 求 {an}的通项公式
变题2：已知an
2Sn2 2Sn 1
(n 2)，a1 1，
1
求证： S1n
为等差数列
(2) 求 {an}的通项公式
2
解：∵an
Sn2 2Sn2
1
2Sn2 2Sn 1
且an
Sn
Sn1
(n
2Sn Sn1 Sn Sn1 Sn
2)
方法一：直接利用an Sn Sn1求出an
方法二：利用an Sn Sn1消去an，得出Sn与Sn1的 递推关系式，求出Sn，再求an
题型1.等比数列的判断
例1 已知数列bn是等差数列, a 0, 求证:数列 abn 是等比数列.
例2 已知数列an 的前n项和 Sn 满足条件
已知递推关系式求通项
从二只兔子起,每只兔子的体重是它的前 一只 兔子的二分之一加一斤,第一只的 体重为十六斤,其它兔子的体重呢?
你能根据提议写出它的递推关系式吗? 你能求出通项吗?
一、公式法
已知数列ana1 1，an1 an 3，求an
已知数列an a1
1，an1 an
3，求an
二、叠加法
2Sn1 1
整理得：1
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其中为待定系数, 化为等比数列
{an }求通项.
例6：数列 an 满足a1 1,an1 2an 1 ,求an.
解：由题意可知：an+1+1=2(an+1) 所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比 的等比数列. 所以an+1=2n,即an=2n-1
练:已知an中，a1 2,an1 3an +2,求通项an .
或利用等差、等比数列的通项公式）
S1 (n=1n=2n2－1，求通项an
解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1) －[2(n－1)2－1] =4n－2
当n=1时, a1=1 不满足上式
因此 an=
1 (n=1) 4n －2(n≥2,
反思：待定系数法如何确定x？
待定系数法： 即
令an+1+x=p(an+x)
an+1=pan+px-x
an
(1根 据pq已1)知 pnx1=
q p1
所以数列{ an
q p1
}是等比数列.
形如递推式为an1 p • an f (n)，（f (n)为一次或二次函数） 方法一：如an1 p • an a • n b, 令an1 x(n 1) y p(an xn y)
1
n
注意：累乘法与累加法有些相
似，但它是n个等式相乘所得
类型四、累乘法形如 an1 f (n) an 的递推式
练习1：已知 an 中，a1 2,an1 3n an,求通项an.
解： an 3n1, an1
an1 3n2 , an2
an2 3n3 , an3
an3 3n4 an4
n N*)
不要遗漏n=1的情形哦！
2.已知{an}中，a1+2a2+3a3+ •••+nan=3n+1,求通项an
解: ∵ a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1 (n≥1) ∴ a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）
两式相减得： nan=3n+1－3n=2·3n
解: ∵(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0 ∴( an+1+ an)[(n+1) an+1 － nan]=0
∵ an+1+ an>0
∴ (n+1) an+1 = nan
∴ an1 n (n≥1)
∴
a
an=
n
an a n1
n1
an1 an2
...
a2 a1
a1
n 1 n 2 n 3 ... 2 1 1 n n1 n2 3 2
解出x, y转化为an xn y以公比为p的等比数列，若f (n) an2 bn c
转化为 an An2 Bn C 以公比为p的等比数列
例；数列an满足a1 4, an 3an1 2n 1(n 2),求an
解：令an xn y 3(an1 x(n 1) y)(n 2), an 3an1 2xn 2 y 3x与an 3an1 2n 1对比
n-1 n n2 n 2
1
2
2
求法：累加法 an1 an f (n)
练习： 在数列{an }中,已知a1 1,当n 2时, 有an an1 2n 1(n 2), 求数列 的通项公式.
四、累乘法 (形如an+1 =f(n)•an型)
例4.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0, 求{an}的通项公式
求数列的 通项公式
学习目标
• 在了解数列概念的基础上，掌握几种常见 递推数列通项公式的求解方法
• 理解求通项公式的原理 • 体会各种方法之间的异同，感受事物与事
物之间的相互联系
二、公式法（利用an与Sn的关系 或利用等差、等比数列的通项公
式）
主要是公式an
s1 sn
sn1
(n 1)的运用 (n 2)
a1 = 1 a2 －a1 = 1
a3 －a2 = 2 a4 －a3 = 3
•••
n个等式 相加得
（1）注意讨 论首项;
(2)适用于 an+1=an+f(n)型递推
an－an－1 = n －1
公式
an=( an－an－1)+(an－1－an－2)+ •••+ (a2 －a1)+ a1
=(n － 1)+(n －2)+ •••+2+1+1
∴an=
2·3n n
（n≥2） 而n=1时,a1=9
9 (n=1)
∴an=
2·3n n
（n≥2,
n N）*
注意n的范围
三、累加法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)
例3.已知{an}中, an+1=an+ n (n∈N*),a1=1,求通项
解an:由an+1=an+ n (n∈N*) 得 an+1 － an= n (n∈N*)
.......
a3 32 , a2 3
a2
a1
以上各式相乘得an a1 3 32 33 3n2 3n1
2 3123(n-1)
n( n-1)
23 2
n( n-1)
an 2 3 2
四、累乘法适用于an+1=an f(n)型的递推公式
练习2
六待定系数法（构造法）
形如an1 pan q( p 0, p 1)的递推式 求法 : 待定系数法.令an1 p(an ),
例8：数列 an 满足:a1 3, an1 3an 3n1 , 求 an 通项公式.
解： Q an 3an1 3n
an 3n
an1 3n1
1
an 3n
是以
a1 3
为首项，以1为公差的等差数列
an 3n
a1 3
（n - 1）1
得22xy
2 3x
1 xy
1
1
an
n
1
3(an1
n)
令bn an n 1bn 3bn1
bn是以3为公比，以b1 a1 11 6为首项的等比数列
bn 6 3n1 2 3n，而bn an n 1
an 2 3n n 1
类型七、相除法形如 an1 Aan B An1 的递推式
注意：（1）这种做法适用于所有数列； （2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.
例2、已知数列{an }的前几项和为Sn，点（n, Sn） （n N *）在函数f ( x ) 3x 2 2x的图象上。
（1）求数列{an }的通项公式；
an 6n 5.
二、公式法（利用an与Sn的关系an=
{an }求通项.
例6：数列 an 满足a1 1,an1 2an 1 ,求an.
解：由题意可知：an+1+1=2(an+1) 所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比 的等比数列. 所以an+1=2n,即an=2n-1
练:已知an中，a1 2,an1 3an +2,求通项an .
或利用等差、等比数列的通项公式）
S1 (n=1n=2n2－1，求通项an
解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1) －[2(n－1)2－1] =4n－2
当n=1时, a1=1 不满足上式
因此 an=
1 (n=1) 4n －2(n≥2,
反思：待定系数法如何确定x？
待定系数法： 即
令an+1+x=p(an+x)
an+1=pan+px-x
an
(1根 据pq已1)知 pnx1=
q p1
所以数列{ an
q p1
}是等比数列.
形如递推式为an1 p • an f (n)，（f (n)为一次或二次函数） 方法一：如an1 p • an a • n b, 令an1 x(n 1) y p(an xn y)
1
n
注意：累乘法与累加法有些相
似，但它是n个等式相乘所得
类型四、累乘法形如 an1 f (n) an 的递推式
练习1：已知 an 中，a1 2,an1 3n an,求通项an.
解： an 3n1, an1
an1 3n2 , an2
an2 3n3 , an3
an3 3n4 an4
n N*)
不要遗漏n=1的情形哦！
2.已知{an}中，a1+2a2+3a3+ •••+nan=3n+1,求通项an
解: ∵ a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1 (n≥1) ∴ a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）
两式相减得： nan=3n+1－3n=2·3n
解: ∵(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0 ∴( an+1+ an)[(n+1) an+1 － nan]=0
∵ an+1+ an>0
∴ (n+1) an+1 = nan
∴ an1 n (n≥1)
∴
a
an=
n
an a n1
n1
an1 an2
...
a2 a1
a1
n 1 n 2 n 3 ... 2 1 1 n n1 n2 3 2
解出x, y转化为an xn y以公比为p的等比数列，若f (n) an2 bn c
转化为 an An2 Bn C 以公比为p的等比数列
例；数列an满足a1 4, an 3an1 2n 1(n 2),求an
解：令an xn y 3(an1 x(n 1) y)(n 2), an 3an1 2xn 2 y 3x与an 3an1 2n 1对比
n-1 n n2 n 2
1
2
2
求法：累加法 an1 an f (n)
练习： 在数列{an }中,已知a1 1,当n 2时, 有an an1 2n 1(n 2), 求数列 的通项公式.
四、累乘法 (形如an+1 =f(n)•an型)
例4.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0, 求{an}的通项公式
求数列的 通项公式
学习目标
• 在了解数列概念的基础上，掌握几种常见 递推数列通项公式的求解方法
• 理解求通项公式的原理 • 体会各种方法之间的异同，感受事物与事
物之间的相互联系
二、公式法（利用an与Sn的关系 或利用等差、等比数列的通项公
式）
主要是公式an
s1 sn
sn1
(n 1)的运用 (n 2)
a1 = 1 a2 －a1 = 1
a3 －a2 = 2 a4 －a3 = 3
•••
n个等式 相加得
（1）注意讨 论首项;
(2)适用于 an+1=an+f(n)型递推
an－an－1 = n －1
公式
an=( an－an－1)+(an－1－an－2)+ •••+ (a2 －a1)+ a1
=(n － 1)+(n －2)+ •••+2+1+1
∴an=
2·3n n
（n≥2） 而n=1时,a1=9
9 (n=1)
∴an=
2·3n n
（n≥2,
n N）*
注意n的范围
三、累加法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)
例3.已知{an}中, an+1=an+ n (n∈N*),a1=1,求通项
解an:由an+1=an+ n (n∈N*) 得 an+1 － an= n (n∈N*)
.......
a3 32 , a2 3
a2
a1
以上各式相乘得an a1 3 32 33 3n2 3n1
2 3123(n-1)
n( n-1)
23 2
n( n-1)
an 2 3 2
四、累乘法适用于an+1=an f(n)型的递推公式
练习2
六待定系数法（构造法）
形如an1 pan q( p 0, p 1)的递推式 求法 : 待定系数法.令an1 p(an ),
例8：数列 an 满足:a1 3, an1 3an 3n1 , 求 an 通项公式.
解： Q an 3an1 3n
an 3n
an1 3n1
1
an 3n
是以
a1 3
为首项，以1为公差的等差数列
an 3n
a1 3
（n - 1）1
得22xy
2 3x
1 xy
1
1
an
n
1
3(an1
n)
令bn an n 1bn 3bn1
bn是以3为公比，以b1 a1 11 6为首项的等比数列
bn 6 3n1 2 3n，而bn an n 1
an 2 3n n 1
类型七、相除法形如 an1 Aan B An1 的递推式
注意：（1）这种做法适用于所有数列； （2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.
例2、已知数列{an }的前几项和为Sn，点（n, Sn） （n N *）在函数f ( x ) 3x 2 2x的图象上。
（1）求数列{an }的通项公式；
an 6n 5.
二、公式法（利用an与Sn的关系an=