五猴分桃类型题简易通解公式及推导
五个猴子吃桃子的奥数题
五个猴子吃桃子的奥数题
五个猴子吃桃子的奥数题：
有5只猴子分桃子,第一只猴子把全部桃子分成5份,多出一个,吃掉,拿走一份.第二只猴子把全部桃子分成5份,多出一个,吃掉,拿走一份.第三只猴子把全部桃子分成5份,多出一个,吃掉,拿走一份.第四只猴子把全部桃子分成5份,多出一个,吃掉,拿走一份.第五只猴子把全部桃子分成5份,多出一个,吃掉,拿走一份.剩下的桃子是5的倍数.问原有多少只桃子?
解：
设原有数量为5a+1，
可列出式子，原有：5a+1
1、(5a+1)−1−5a5=4a，
2、4a−1−4a−15=4b，
3、4b−1−4b−15=4c，
4、4c−1−4c−15=4d，
5、4d−1−4d−15=4e，
就是e=4d−15，
d=4c−15，
c=4b−15，
b=4a−15，
整理得：256a−625e=369
可列出式子：
a=99999−625t，
e=40959−256t，
可看出，当t=159时，a有最小值624，e为255，
原有桃子总量：5×624+1=3121个，
以上是一般计算法，此类题还可用一种简捷法算出：
设有a个猴子，共有b个桃子，有关系式：
∴aa−(a−1)=b，
此例a=5,所以b=55−(5−1)=3121，
故答案为：3121.。
敬献给李政道博士——五猴分桃类型题简易通解公式上传.doc2
敬献给若贝尔奖获得者李政道博士——五猴分桃类型题简易通解公式（完善版）序：“五猴分桃问题”的前身是国外著名的“水手分椰子问题”,剧说，最早是由伟大物理学家狄拉克于1926年提出来的, 随后, 在经过美国数学科普大师马丁* 加德纳的介绍、推广后,该题得到了更为广泛的流传。
1979年,“诺贝尔奖”获得者李政道博士, 序：“五猴分桃问题”的前身是国外著名的“水手分椰子问题”,剧说， 在“中国科技大学少班”讲学时，特意提到此题。
此后, 研究该题的简易计算方法，迅速风靡国内曾对“水手分椰子”的广泛流传起过重要作用的, 著名现代数理逻辑学家怀德海, 对此题给出过一个答案为(-4)巧妙的特解。
在后来者的不断努力下,一些比较简便的方法也逐步出现。
但严格的来说：目前所取得的成果，基本上还是局限于“五猴分桃”这一个具体题目上,离全面而又简捷地求解所有这种类型的题目，还存在着较大的距离。
1979年，本人有幸在月刊《中国青年》看到了“五猴分桃”一题，并用不定方程求得其解。
随后演算推导出能解决所有这种类题型目的简易通解公式:y=a n -db/c 。
但直到前段时期才惊呀发现: 寻找“五猴分桃”类型题的简易计算方法，竟是一个国内、外已研讨了数十年的热门话题,而且至今仍未找到较好解决办法。
于是本人通过继续对该问题的分析研究，进一步完善了该简易通解公式的求解体系，现发表与大家共同分享：一，五猴分桃类型题简易通解公式及特殊形式:1.五猴分桃问题的简易通解公式 y=a(a/m)n-1－db/c其中:y ── 被分的桃子的总个数n ── 总共分的次数（可为任意数）a ── 每次分的份数, （可为任意数）b ── 每次分a 份后的余数.c ──每次分a份后拿走的份数,d ──每次分a份后拿走c份后,剩下再分的份数.m —— (a/d)的最大公约数注：（1）在上试公式中，按照这种类型题题意的要求；y、a、b、c、d、n、m都为正整数，（2）当b/c不为正整数时，题目本身无解；若b/c为正整数时，则题目必定有解（后面会有论述）。
猴子分桃子的数学问题
《数学文化》（公选课）论文考察学院：材料与化学化工学院专业：化工与制药姓名：王林学号：201202020402选课班号：RX041-2日期：2013/11/14数学文化（关于化归与映像反演法）题目是这样的：5只猴子一起摘了一堆桃子，因为太累了，他们商量先睡一觉再分。
过了不知多久，来了1只猴子，他见别的猴子没来，便将这一堆桃子平均分成了5份，结果多了一个，就将多的这一个吃了，并拿走其中的一堆。
又过了不知多久，第二只猴子来了，他不知道有一个同伴已经来过了，还以为自己是第一个到呢，于是将地上的桃子堆起来，平均分成5份，发现也多了一个，同样吃了这一个，也拿走了其中的一堆。
第三只、第四只、第五只猴子都是这样……问题：这五只猴子至少摘了多少个桃子？第五只猴子走后还剩多少个桃子？题目起源：此题据说是有物理学家狄拉克提出，许多人尝试着去做过，包括狄拉克本人在内都没有找到很简便的方法。
著名物理学家李政道教授访问中国科技大学时，曾用此题考过中国科技大学少年班的学生，无人能答。
下面就是一个十分有趣的解答。
其中数学文化思想：化归法与映射---反演原则。
题目难点：难在每次分都多了一个桃子。
思路和解法：第一个猴子来时先借给他四个再分，分完之后再还回去，这样第二只猴子来的时候，此问题自由变成第一个猴子来时的分法即照样先借个他四个桃子再分，分完之后再还回去，依此法一直到第五只猴子。
因此，我们可以设这堆桃子至少有x 个，借给他们4个，成为x+4个，并设5只猴子分别拿了a 、b 、c 、d 、e 、个桃子a=（x+4）/5，b=4（x+4）/25. C=16（x+4）/125d=64（x+4）/625e=256（x+4）整数个，所以e=256（x+4）/3125中x+4=3125才能使e 为整数。
方可解得x=3121。
所以最终答案为这堆桃子至少3121个，最后还剩1021个桃子。
方法总结：先借给他们四个桃子再分。
其中有趣的是：桃子尽管多了4个，但每个猴子分得的桃子并不会增多也不会减少。
对五猴分桃问题叫绝解法之质疑
对五猴分桃问题叫绝解法之质疑—请不要误导千百万读者和学子“五猴分桃问题”是非常著名的“水手分椰子问题”的简单变形。
剧说,最早是由大物理学家狄拉克提出来的,由美国作家威廉姆斯于1926年首先发表在“星期六晚邮报上”。
随后, 在经过美国数学科普大师马丁* 加德纳和英国著名现代数理逻辑学家怀德海的介召推广后,该题得到了更为广泛的流传。
1979年,“诺贝尔奖”获得者李政道博士, 在“中国科技大学少班”讲学时，特意提到此题。
此后, 研究该题的简易计算方法，迅速风靡国内。
在近十多年里，针对这个具体题目的一些比较简便的方法也逐步涌现, 丰富了广大数学爱好者解题思路; 但是，本人对其中有一种很有代表性的所谓：借来4个桃子的“叫绝解法”却不敢苟同，该种解题方法先后被:《奥数网》《中学生数学》《中学数学》《中学生理科月刊》《中国知网》等多家权威谋体刊登和转载;并被误传为:这是中国科学院某院士提出的巧妙解题方法; 因而流传广泛，影响很大。
但对其仔细分析后，则发现这种“叫绝解法”是一种牵强附会的巧合，对广大读者和学子有误导之嫌，现对其中的错误分析如下：一，原题及解题方法：5猴摘了一堆桃子, 决定睡后再分。
过了一段时间，来了一只猴，把桃子平均分5份，结果多出了1个，就把多出的1个吃了，拿走其中的一份；又过了一会，来了第二只猴，将桃子重新堆起，平均分成5份，发现也多一个，同样吃了1个，拿走了其中的1份，第3，4，5只都是这样，......请问5只猴至少摘了多少桃子？第5只猴子走后还剩多少个桃子？每次分多一个桃子, 就相当于少了4个桃子。
设桃子共有X个，借4个桃子来分, 就成为X+4个,5个猴子分别拿了A, B, C ,D, E个桃子。
因此有:A=(X+4)/5B=4(X+4)/25C=16(X+4)/125D=64(X+4)/625E=256(X+4)/3125E为整数，所以X+4=3125K当K=1时，X=3121因此最少摘了3121个桃子。
“五猴分桃问题”的线性方程组新解法
＋ ａ２ ｚ２＋
＋ ａｎ ＝ ｎ Ｘ
则 线性 方 程 组 （ ） 解 的 充分 必 要 条 件 为 它 的 １有 著 名数 理逻 辑 学家 和 哲 学家 怀德 海 曾用 高 阶差 分方 系 数矩 阵 程 理 论 的 通 解 和 特 解 的 关 系 ， 出 一 个 巧 妙 的 解 给 法 ［． ¨ 在文 ［］ ， 景 中院 士 也 介 绍 了 一 种 简 单且 １中 张 巧 妙 的算术 的解 法 ； 文 ［］ 在 ２ 中使 用不 定方 程 及 其辗
李 政 道 先 生 的这 个 问题 通 常 被 称作 或 ‘ 分 ５猴 桃 问题 ， 这 是 一个 非常 有 趣 的 问题 ， 说 是 大 物理 ， 据
＋ ａ２ ２＋ ２ｚ
走其 中的１ ． …・如此下去， 份 ． ， ． 直到第５ 只猴子来分
＋ ａｎ ｎ＝ ｂ ２ ｘ ｚ
（ １ ）
学家狄拉克提 出的， 许多人尝试着做过 ， 包括狄拉克 本人在内都没有找到很简便的方法． 李政道教授说 ，
１ ０ ０ ０ ０
一
ｏ ｏ 一 ÷ ｝ ５ ）５ 十ｚ 了 １ （ ‘ｓ ５ 十１ ｝ 十ｓ ５ ５ ＋ ５ ） ５ ＋１ ÷ （ ‘ ３ ５ ＋ ｝ ＋２ ５
５） （。 ｝ ＋１ Ｔ ＋１ ５
Ａ ：
Ｏ １ Ｏ Ｏ Ｏ
， ●● ， ● ● ●， 、 ●● ●● ● ●● 【
李政道先 生 回中国大陆 ， 中国科技大 学少年 而这里根据问题本身的特点， 在 没有这样做 ， 事实上这
班讲 学 时提 出一 个 著名 而有 趣 的问题 ： 群猴 子共 ５ 一 样 的思 想对于 解决 本题 是 非 常有 效 的．
Ａ ： ：
与 增广 矩 阵
转相除的方法 ； 在文［３ ３ 中使用关于模 ｎ同余类的性
五猴分桃类型题简易通解公式及推导
五猴分桃类型题简易通解公式及推导第一篇：五猴分桃类型题简易通解公式及推导“五猴分桃”类型题简易通解公式及推导“五猴分桃”的前身是“水手分椰子”。
这是一个非常有名的趣味数学难题,于1926年首先刊登在美国的邮报上。
剧说，最早是由伟大物理学家狄拉克提出来的, 这一貌似简单的问题曾困扰住了他，为了获得简便的计算方法，他把问题提供给当时的一些数学家,但没有得到满意的结果。
1979年，“诺贝尔"物理学奖获得者李政道博士在“中国科技大学少年班”讲学时，特意提到此题；此后，研究该题的简易计算方法，迅速风靡国内。
曾对“五水手分椰子”的广泛流传, 起过重要作用的, 著名现代数理逻辑学家怀德海, 曾用高阶差分方程理论的通解和特解的关系，对“水手分椰子”一题, 给出过一个答案为(-4)的巧妙特解。
近十多年来，在后来者的不断努力下，一些比较简便的方法也逐步涌现。
但严格的来说：目前所取得的成果,其本上还是仅限于“五猴分桃”这样一个具体的题目上，离全面彻底而又简捷地求解所有这种类型的题目，还存在着一定的距离。
本人曾于1979年, 在月刊《中国青年》看到(五猴分桃)一题, 并用不定方程求得其解。
当时,本人觉得就题论题意义己不大。
于是通过五、六天的努力, 终于演算出，能求解所有这种类题型的完整、简捷的“通解公式”(影响答案的各困素可以任意取值, 并可非常简易的求解，详见下面的计算公式和例题)：但是，由于当时自己在乡下, 信息闭塞,不知道这个“通解公式”有何意义。
一幌三十多年又过去了，前段时间, 因经常上上网,于是惊呀发现:寻找“五猴分桃”类型题的简易计算方法，竟是一个具有深刻背景的，已研论了二、三十年的热门数学话题；而且至今仍未找到完美解决方法。
于是自己边回想、边演算，终于又重新推导出了“五猴分桃”类型题的简易“通解公式”。
现将其发表如下，与大家共同分享。
“水手分椰子”类型题完整而又简易的通解公式：y－被分的某东西的总个数，n a－每次分的总份数(一般情况下，是总人数)，n－总共分的次数，c－分a份后拿走的份数，b－每次分a 份后的余数，d－每次分a份拿走c份后剩下再分的份数，注；当b/c 不为自然数时，则此时该题无解, 也即y无解。
五个猴子吃桃子的奥数题
五个猴子吃桃子的奥数题五个猴子在森林里发现了一堆桃子，他们决定公平地分食这些可口的水果。
猴子们按照一定规则依次拿起桃子，而且每次只能拿走一定数量的桃子。
我们来看看这个奥数题的具体情况：第一个猴子拿走了一半的桃子，然后再多拿一个；第二个猴子拿走了剩余桃子的一半，然后再多拿一个；第三个猴子又拿走了剩下桃子的一半，并多拿一个；第四个猴子以同样的方式取走剩下的一半和一个桃子；最后一个猴子以相同的方式操作了一次。
我们的任务是找出最初这堆桃子的最少数量。
思路分析：解答这道奥数题，我们需要进行逆向推导。
从第五个猴子的操作开始，每次逆向求出上一个猴子拿走桃子的情况，最终得到第一个猴子所拿走的桃子数量。
解题过程如下：第五个猴子拿走了一半的桃子，并多拿了一个，即剩余桃子的数量为：X = （X / 2 - 1）* 2，其中X为剩余桃子的数量。
同理，第四个猴子取走剩下的桃子的一半，并多拿了一个，即剩余桃子的数量为：X = （X / 2 - 1）* 2，其中X为剩余桃子的数量。
依此类推，我们得到递推公式：X = （X / 2 - 1）* 2，其中X为剩余桃子的数量。
我们通过迭代计算求解这个递推公式，直到得到第一个猴子拿走的桃子数量。
可以使用编程语言来实现。
具体代码如下：```int main(){int x = 2;for (int i = 5; i > 0; i--){x = (x / 2 - 1) * 2;}printf("桃子的最少数量为：%d\n", x);return 0;}```计算结果为：桃子的最少数量为：3121。
结论：根据以上的计算，我们得到了这个奥数题的解答。
最初这堆桃子的最少数量为3121个。
通过这道奥数题，我们锻炼了逆向思维的能力，以及运用数学公式和编程进行问题求解的方法。
同时，这道题也展示了推理和逻辑推导在解决复杂问题中的重要性。
智力测试题猴子分桃问题(3篇)
第1篇一、背景介绍猴子分桃问题，又称“猴子摘桃问题”，是中国古代著名的数学智力题之一。
这个问题最早出现在《孙子算经》中，后来在民间广为流传，成为了一个脍炙人口的数学游戏。
故事讲述了一只猴子在树上摘了许多桃子，每天都要分给其他猴子，最后只剩下几个桃子。
这个问题不仅考验了数学能力，还考验了逻辑思维和策略规划。
二、故事梗概从前，有一只猴子在树上摘了许多桃子。
它每天都要分给其他猴子一些桃子，自己留一些。
第一天，它分给了其他猴子桃子总数的1/2还多一个；第二天，它分给了其他猴子桃子总数的1/3还多一个；第三天，它分给了其他猴子桃子总数的1/4还多一个；第四天，它分给了其他猴子桃子总数的1/5还多一个；第五天，它分给了其他猴子桃子总数的1/6还多一个。
最后，猴子发现自己只剩下了几个桃子。
请问，猴子最初摘了多少个桃子？三、解题思路1. 假设猴子最初摘了x个桃子。
2. 根据题目描述，我们可以列出以下方程：第一天：x - (1/2)x - 1 = 0第二天：(1/2)x - (1/3)x - 1 = 0第三天：(1/3)x - (1/4)x - 1 = 0第四天：(1/4)x - (1/5)x - 1 = 0第五天：(1/5)x - (1/6)x - 1 = 03. 将方程简化，得到：第一天：x/2 - 1 = 0第二天：x/6 - 1 = 0第三天：x/12 - 1 = 0第四天：x/20 - 1 = 0第五天：x/30 - 1 = 04. 解方程，得到x的值。
四、解题步骤1. 第一天：x/2 - 1 = 0x = 22. 第二天：x/6 - 1 = 0x = 63. 第三天：x/12 - 1 = 0x = 124. 第四天：x/20 - 1 = 0x = 205. 第五天：x/30 - 1 = 0x = 30五、答案猴子最初摘了30个桃子。
六、拓展猴子分桃问题是一个经典的数学智力题，我们可以通过以下方式对其进行拓展：1. 变化桃子数量：假设猴子最初摘了n个桃子，n为任意正整数，求解n的值。
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“五猴分桃”类型题简易通解公式及推导
“五猴分桃”的前身是“水手分椰子”。
这是一个非常有名的趣味数学难题,于1926年首先刊登在美国的邮报上。
剧说，最早是由伟大物理学家狄拉克提出来的,这一貌似简单的问题曾困扰住了他，为了获得简便的计算方法，他把问题提供给当时的一些数学家,但没有得到满意的结果。
1979年，“诺贝尔"物理学奖获得者李政道博士在“中国科技大学少年班”讲学时，特意提到此题；此后，研究该题的简易计算方法，迅速风靡国内。
曾对“五水手分椰子”的广泛流传, 起过重要作用的, 著名现代数理逻辑学家怀德海, 曾用高阶差分方程理论的通解和特解的关系，对“水手分椰子”一题, 给出过一个答案为(-4)的巧妙特解。
近十多年来，在后来者的不断努力下，一些比较简便的方法也逐步涌现。
但严格的来说：目前所取得的成果,其本上还是仅限于“五猴分桃”这样一个具体的题目上，离全面彻底而又简捷地求解所有这种类型的题目，还存在着一定的距离。
本人曾于1979年, 在月刊《中国青年》看到(五猴分桃)一题, 并用不定方程求得其解。
当时,本人觉得就题论题意义己不大。
于是通过五、六天的努力,终于演算出，能求解所有这种类题型的完整、简捷的“通解公式”(影响答案的各困素可以任意取值, 并可非常简易的求解，详见下面的计算公式和例题)：但是，由于当时自己在乡下,信息闭塞,不知道这个“通解公式”有何意义。
一幌三十多年又过去了，前段时间, 因经常上上网,于是惊呀发现:寻找“五猴分桃”类型题的简易计算方法，竟是一个具有深刻背景的，已研论了二、三十年的热门数学话题；而且至今仍未找到完美解决方法。
于是自己边回想、边演算，终于又重新推导出了“五猴分桃”类型题的简易“通解公式”。
现将其发表如下，与大家共同分享。
“水手分椰子”类型题完整而又简易的通解公式：
y=a n－db/c
y－被分的某东西的总个数,
a－每次分的总份数(一般情况下，是总人数)，
n－总共分的次数，
c－分a份后拿走的份数，
b－每次分a份后的余数，
d－每次分a份拿走c份后剩下再分的份数，
注；当b/c不为自然数时，则此时该题无解, 也即y无解。
其推导过程如下:
设，最后一个人看到的某物数是: ax+b (x为最后一次分a份后每份的数) 那么，前一个人看到的某物数为: (xa+b)a/d+b=xa2/d+ba/d+b
再前一个人看到的某物数为:(bxa2/d+ab/d+b)=xa3/d2+b(a/d)2+ba/d+b
同样有，再前一个人看到的某物数为xa4/d3+b(a/d)3+b(a/d)2+ba/d+b：再前一个人看到的某物数为:
y= xa5/d4+b(a/d)4+b(a/d)3+b(a/d)2+ba/d+b
= [xa5+(ba4+ dba3+ d2ba2+ d3ba+ d4b)]/d4
根据等比数例递推公式并加以整理后有：
y={xa n+{a n-1[1-(d/a)n/(1-d/a)]}b}/d n-1
={xa n+[a(n-1[1-(d/a)n]ba/c}/d(n-1)
={xa n+[a(n-1)-（a(n-1)d n/a n)]ad/c}/d(n-1)
=[xa n+(a n-d n)b/c]/d(n-1)
=[(xa n+a n b/c)-d n b/c]/d(n-1)
=(xa n+a n b/c)/d(n-1)-db/c
y=a n(x+b/c)/d(n-1)-db/c
上式中的a(a/d)^(n-1)部分,若出现(a/d)有公约数时不得约分，否则a和d 原有的定义就不存在了，同时也无法解题。
故上式应进一步写成： y=a n[(x+b/c)/d(n-1)]-db/c
从上式可看出：若b/c不为自然数时，则 (x+b/c)/d^(n-1) 不为整数,故下式通解公式此时也无解；若b/c为自然数, 则 (x+b/c)d^(n-1) 必可取得最小自然数1, 或1的任意整倍数。
通常在计算时，为了简单, 一般取最小自然数1, 则上述方程的演算和推导最后可写成下述简易通解公式：
y=a n-db/c
现在用上述“通解公式”来求解, 本人在今年四月份的博客中(博客地址/u/2705935891)，12日、15日和16日所出的三道此种类型题目
例一,在《九猴分桃》中：a=9, n=7, b=8, d=7, c=2
根据上述“通解公式”有：y= 97－8×7/2=4782969－28=4782941，（这也是第1个猴子看到的桃子数量）下面接着验算：
第2个猴子看到的桃子数量为：4782941－8÷9×7=3720059，
第3个猴子看到的桃子数量为：3720059－8÷9×7= 2893373，
第4个猴子看到的桃子数量为：2893373－8÷9×7= 2250395，
同样有，第5个猴子看到的桃子数量为：1750301，
第6个猴子看到的桃子数量为：1361339，
第7个猴子看到的桃子数量为：1058813，
又如,《十六水手分椰子》中a=16, n=11, b=12, d=13, c=3
根据通解公式有：y=1611－12×13/3=17592186044364。
同样，可得《二十三海盗分珠宝》的解为：
y= 2315－18×21/2= 2315－189=2666352354391245418。
为精简篇幅，后两题不再验算,
在《五猴分桃》中
因 b=1, c=1， n=5, ：d=4。
故y=a5-d=3121，
由此也可看出:《五猴分桃》也是这种类型题目中最简单的题目之一
以上题目，大家可以根据题意,，(或者按公式的定义, 自己随意出题)而得到的答案，逐题进行验证；同时你也就自然能够出许许多多的比“水手分椰子”难得多的题目了。
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本文作者：湖南省祁阳县陈小刚
2012年4月16日。