2019-2020年上海市大同中学高三下数学3月月考卷解析版
2019届高三数学第三次月考试题(含解析)
2019届高三数学第三次月考试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，故选A.2. 设集合为，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知可得，，为不能被整除的数，为整数，又分母相同，故，故选B.3. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. 或 D. 2或【答案】A【解析】因为焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，所以，故选A.4. 一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，要从全体运动员中抽取一个容量为28的样本来研究一个与性别有关的指标，则抽取的男运动员人数为（）A. 20B. 18C. 16D. 12【答案】C【解析】因为田径队男运动员，女运动员人，所以这支田径队共有人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的样本，所以每个个体被抽到的概率是，因为田径队有男运动员人，所以男运动员要抽取人，故选C.5. 等差数列中，是函数的两个零点，则的前9项和等于（）A. -18B. 9C. 18D. 36【答案】C【解析】等差数列中，是函数两个零点，的前项和，，故选C...................6. 已知，则（）A. 0B. 1C. 32D. -1【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．7. 下图所示中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当，，时，等于（）A. 11B. 10C. 7D. 8【答案】D【解析】当，时，不满足，，故此时输入的值，并判断，若满足条件，此时，解得，这与与条件矛盾，若不满足条件，此时，解得，此时不成立，符合题意，综上所述，，故选D.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知的面积为12，如果，则的面积为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】设，以为邻边作平行四边形，连接则，，，，所以可得的面积为，故选C.9. 已知，，，，从这四个数中任取一个数使函数有极值点的概率为（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】对求导得若函数有极值点，则有2个不相等的实数根，故，解得，而满足条件的有2个，分别是，故满足条件的概率故选：B．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，解题时准确理解题意是解题的关键．10. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，且满足则其外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题可知，O为△ABC的重心，△ABC外接圆的半径为，且三棱锥的高为1．故∴球＝＝，故选D考点： 三棱锥外接球的半径 球的表面积公式11. 已知为抛物线的焦点，过作两条夹角为的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，由过焦点的弦长公式，可得，，所以可得，的最大值为，故选D.12. 已知，函数对任意有成立，与的图象有个交点为，…，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】化简，的图象关于对称，由可得,可得的图象也关于对称，因此与的图象的个交点为，…，，也关于对称，所以，，设，则，两式相加可，同理可得，，故选D.【方法点睛】本题主要考函数的对称性、函数的图象与性质、倒序相加法求和以及数学的转化与划归思想. 属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将等式与解析式转化为对称问题，将对称问题转化为倒序相加求和.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】1【解析】由，故答案为.14. 在中，三顶点，，，点在内部及边界运动，则最大值为__________．【答案】【解析】画出符合题意的的平面区域如图：（阴影部分），由得，平移直线，由平移可知当直线，经过时，直线的截距最小，此时取得最大值，代入，即的最大值是，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 若半径为1的球与的二面角的两个半平面切于两点，则两切点间的球面距离（即经过两点的大圆的劣弧长）是__________．【答案】【解析】画出图形，如图，在四边形中，是球的大圆的切线，，，两切点间的球面距离是弧，故答案为.16. 在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令，，______．【答案】【解析】设在数和之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列为，则，即为此等比数列的公比，，，由，又，，，，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 不是直角三角形，它的三个角所对的边分别为，已知. （1）求证：；（2）如果，求面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）48【解析】试题分析：（1）由，根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，因为不是直角三角形，所以，由正弦定理可得；（2）视为定点,求出满足条件下的轨迹为一个圆，圆心在直上，当上升到离直线最远时面积最大.试题解析：（1）由，根据正弦定理可得，，因为不是直角三角形，所以，由正弦定理可得；（2）方法一：b=2a.c=12，余弦定理用a表示cosC,表示出sinC,进而用a表示出,求出该函数的最大值.(最费力的做法)方法二:视A.B为定点,求出满足b=2a条件下C的轨迹为一个圆，圆心在直线AB上，当C上升到离直线AB最远时面积最大。
2019届上海市大同中学高三下学期3月月考数学试题(解析版)
2019届上海市大同中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知a ，b 是实数，则“5a b +>”是“23a b >⎧⎨>⎩”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也不必要条件【答案】B【解析】利用特殊值和不等式的性质来判断2个命题的关系即可 【详解】当1a =,5b =时,5a b +>,但不满足23a b >⎧⎨>⎩,故不是充分条件；由不等式的性质可知, 由23a b >⎧⎨>⎩可得235a b +>+=,故是必要条件；故选：B 【点睛】本题考查必要不充分条件,考查不等式的性质,考查特殊值法判断命题2．如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数，其中与()sin cos f x x x =+构成“互为生成”函数的为（ ）A.1()sin f x x =B.2()f x x =C.3()cos )f x x x =+D.4()sin cos 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】先化简()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,分别对4个选项进行化简,并根据题中定义来判断符合条件的选项 【详解】由题, ()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭对选项A,振幅不一致,故不满足；对选项C, 3()cos )2sin 44f x x x x x ππ⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦,振幅不一致,故不满足； 对选项D,()2411()sin cos cos sin cos sin 1cos 22222222x x x x x x f x x x ⎛⎫⎫⎤=+=+=++ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦sin 4x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭振幅不一致,故不满足； 故选项A 、C 、D 均要进行伸缩变换 故选：B 【点睛】本题考查三角函数恒等变换,考查图象变换3．如图，右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是A. B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：通过简单几何体的三视图的画法法则，直接判断四个选项的正误，即可推出结论．在正视图中，不能看到不能看到的是带有一条实线的的矩形，故排除B,C ，对于A,D ，由于侧视图中，在看到的线中，应该有两条实线的投影，因此排除D ，故选A 【考点】三视图的画法法则点评：本题考查三视图的画出法则，做到看得见的为实线，看不到的为虚线，注意排除法在选择题中的应用，有时起到事半功倍的效果．4．已知满足条件222x y +≤的点(,)x y 构成的平面区域面积为1S ，满足条件22[][]1x y +≤的点(,)x y 构成的平面区域的面积为2S ，其中[]x ，[]y 分别表示不大于x ，y 的最大整数，例如[0.4]0,[1.6]1==，则，1S 与2S 的关系是（ ）A.12S S <B.12S S =C.12S S >D.123S S π+=+【答案】C【解析】分别讨论x 与y 的范围从而确定22[][]1x y +≤所表示的平面区域,与222x y +≤所表示的圆的面积作比较即可【详解】满足222x y +≤的点(,)x y 构成的平面区域为以()0,0为圆心,的圆,面积1S 为2π；当01,01x y ≤<≤<时,满足22[][]1x y +≤；当01,12x y ≤<≤<时, 满足22[][]1x y +≤；当01,10x y ≤<-≤<时, 满足22[][]1x y +≤；当10,01x y -≤<≤<时, 满足22[][]1x y +≤；当12,01x y ≤<≤<时, 满足22[][]1x y +≤；∴满足22[][]1x y +≤的点(),x y 构成的平面区域是5个边长为1的正方形,面积2S 为5故12S S > 故选：C 【点睛】本题考查圆的方程,考查新定义运算,考查数形结合思想二、填空题5．己知集合U =R ，集合{}|2,xM y y x R ==∈，集合{|lg(3)}N x y x ==-，则()U C M N =______.【答案】(],0-∞【解析】分别化简集合M,N,根据补集与交集的定义计算即可 【详解】由题,{}|0M y y =>,{}{}|30|3N x x x x =->=<,则{}U |0M y y =≤ð,()(]U ,0M N ∴⋂=-∞ð故答案为：(],0-∞ 【点睛】本题考查补集、交集的定义,考查指数、对数的计算6．已知幂函数()f x 过点，则()f x 的反函数为____ 【答案】12()f x x -=（0x ≥）【解析】先根据幂函数()f x 通过的点求出该幂函数，再求它的反函数即得。
2019届上海市大同中学高三三模考试数学试题
2019届上海市大同中学高三三模考试数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．已知，下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 “”能推出“”，故选项A 是“”的必要条件，但“”不能推出“”，不是充分条件，满足题意； “”不能推出“”，故选项B 不是“”的必要条件，不满足题意； “”不能推出“”，故选项C 不是“”的必要条件，不满足题意； “”能推出“”,且“”能推出“”，故是充要条件，不满足题意；故选A.2．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足S19>0，S20<0，则3191212319,,S S S S a a a a ,,中最大项为（ ） A ．88S a B ．99S a C ．1010Sa D ．1111S a【答案】C【解析】试题分析：因为S 19>0，S 20<0，所以10,0a d >< ，且10110,0a a >< 所以，128910110a a a a a a >>>>>>>12891011S S S S S S <<<<<>所以，8910121289100S S S S S a a a a a <<<<<<当1119n ≤≤ 时，0nnS a < 所以，3191212319,,S S S S a a aa ,,中最大项为1010Sa ，故选C ． 【考点】等差数列．3．平面外有两条直线和，如果和在平面内的摄影分别是和，给出下列四个命题：①；②；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意逐一考查所给的选项是否正确即可. 【详解】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体中： 对于说法①：若取平面为，，分别为，分别为，满足，但是不满足，该说法错误； 对于说法②：若取平面为，，分别为，分别为，满足，但是不满足，该说法错误； 对于说法③：若取平面为，，分别为，分别为，满足与相交，但是与异面，该说法错误；对于说法④：若取平面为，，分别为，分别为，满足与平行，但是与异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4.本题选择D选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.4．如图，正的中心位于点，，动点从点出发沿的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度，向量在方向的投影为（为坐标原点），则关于的函数的图像是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量投影的定义和函数的特征排除错误的选项即可求得最终结果.【详解】由题意可知，向量为与轴正半轴同向的单位向量，则当点P在y轴左侧，即时，函数值为负值，据此可知选项AB错误；当点P位于线段DC上时，如图所示，由重心的性质可知，则点为的中点，据此有：，其中，此时向量在方向的投影为，即，据此可排除D选项.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查平面向量的投影及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题5．复数的虚部为__________．【答案】-1【解析】【分析】首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.【详解】由复数的运算法则有：，则复数的虚部为.【点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．二项式的展开式中常数项为__________．【答案】-4【解析】【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后确定其常数项即可.【详解】由二项式展开式的通项公式可知二项式展开式的通项公式为：，令可得：，则展开式的常数项为：.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．7．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球颜色不同的概率为__________．（用分数作答）【答案】【解析】【分析】由题意结合题意和概率加法公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知，甲袋取出红球，乙袋取出白球的概率，甲袋取出白球，乙袋取出红球的概率，据此可得取出的两球颜色不同的概率.【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，概率的加法公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为__________．【答案】【解析】【分析】结合题意设出双曲线方程，结合双曲线所过的点利用待定系数法确定双曲线的方程即可.【详解】设双曲线方程为：，双曲线过点，则：，故双曲线方程为：，即.【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.9．已知实数、满足，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】首先确定所表示的平面区域，然后结合点与直线的位置关系整理计算即可求得最终结果.【详解】如图所示，所表示的平面区域为图中的阴影区域，易知直线与的交点坐标为，不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则点位于直线下方，据此有：，即的取值范围为.【点睛】本题主要考查不等式组表示平面区域的表示方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．设圆锥底面圆周上两点、间的距离为2，圆锥顶点到直线的距离为，和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为__________．【答案】【解析】【分析】由题意分别确定圆锥的高和底面半径，然后求解其体积即可.【详解】由题意可知，圆锥的底面半径，圆锥的高，则圆锥的体积：.【点睛】本题主要考查圆锥的空间结构及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．等比数列的前项和为，若对于任意的正整数，均有成立，则公比__________．【答案】【解析】【分析】由题意结合等比数列前n项和公式和极限的运算公式整理计算即可求得最终结果.【详解】很明显数列的公比，且，结合题意和等比数列前n项和公式有：，即：，整理可得：，据此有：，则.【点睛】本题主要考查等比数列前n项和公式，极限的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为__________．【答案】【解析】【分析】由题意结合空间几何体的几何特征首先求解BC的长度，然后确定BD的长度即可.【详解】由题意结合三视图可知，则.【点睛】本题主要考查三视图及其应用，空间几何体的结构特征，学生的空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．将函数的图象向左平移个单位后得到得到函数图象关于点成中心对称，那么的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：，函数图象关于点成中心对称，则：，整理可得：，则当时，有最小值.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．已知不等式对任意正整数恒成立，则实数取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意结合不等式的性质分类讨论，且，或，且，两种情况求解实数m的取值范围即可.【详解】由题意，，且，或，且，∴，且，或，且，∴，或，∵n为正整数，∴n=4或5，∴4⩽m⩽5，故答案为：[4,5].【点睛】本题主要考查不等式的性质，分类讨论的数学思想，对数不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．若，，，满足：，，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.【详解】∵，∴(−2β)3−2sinβcosβ−2λ=0，即(−2β)3+sin(−2β)−2λ=0.由可得.故−2β和是方程x3+sinx−2λ=0的两个实数解.再由，，，所以和的范围都是，由于函数x3+sinx在上单调递增，故方程x3+sinx−2λ=0在上只有一个解，所以，，∴，则的值为.【点睛】本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．如图直角梯形中，，，，.点是直角梯形区域内任意一点，.点所在区域的面积是__________．【答案】【解析】【分析】首先确定梯形的几何特征，然后结合数量积的几何意义确定点P的范围，最后求解其面积即可.【详解】如图所示，△ABE中，,，，分别为边的中点，则梯形即为满足题意的图形，以为直径的圆及其内部的点满足，则图中的阴影部分为满足题意的点所在区域.其中△BFG为边长为1的等边三角形，其面积，扇形是半径为1，圆心角为120°的扇形，其面积为，综上可得：点所在区域的面积是.【点睛】本题主要考查平面几何知识，三角形面积公式，扇形面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17．如图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，垂直于底面，.（1）求四棱锥的体积；（2）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）连结，易知BD为棱锥的高，结合棱锥的特征计算可得四棱锥的体积.（2）解法一：取中点，连结、，由几何体的特征可知为异面直线与所成的角，计算可得，即异面直线与所成的角的大小为.解法二：如图以为原点，建立空间直角坐标系，结合点的坐标可得，∵，，则，异面直线与所成的角的大小为.【详解】（1）连结，平面，平面，∴，为边长为1的菱形，且，∴，，∴，，∴，∴.（2）解法一：取中点，连结、，∴且，∴为异面直线与所成的角，又∵在中，，∴，同时，，∴为等边三角形，∴，即异面直线与所成的角的大小为.解法二：如图以为原点，建立空间直角坐标系，其中，设与交于点，则，∴，又，∴，即，∵，∴，∴，即异面直线与所成的角的大小为.【点睛】本题主要考查棱锥的体积公式，异面直线所成的角的计算，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．函数和的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点，，且.（1）设曲线，分别对应函数和，请指出图中曲线，对应的函数解析式，若不等式对任意恒成立，求的取值范围；（2）若，，且、，求、的值. 【答案】(1)答案见解析;(2)，.【解析】【分析】（1）由函数的特征可知对应的函数为，对应的函数为，将不等式进行恒等变形可得的取值范围是；（2）令，易知，为函数的零点，结合函数零点存在定理可得，.【详解】（1）对应的函数为，对应的函数为，，则对任意恒成立，，所以；（2）令，则，为函数的零点，由于，，，，则方程的两个零点，，因此整数，.【点睛】本题主要考查指数函数和幂函数图象的识别，函数零点存在定理及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．已知，直线：，椭圆：，、分别为椭圆的左、右焦点.（1）当直线过右焦点时，求直线的方程；（2）设直线与椭圆交于、两点，、的重心分别为、.若原点在以线段为直径的圆上，求实数的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）由题意结合点的坐标可得，则直线的方程为；（2）设，，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和重心坐标公式可得，，利用向量垂直的充分必要条件计算可得.【详解】（1）因为：经过，所以，得，又因为，所以，故直线的方程为；（2）设，，由，消去得，则由，知，且有，，由于，，可知，，由题意可知，，而，所以，，满足，又因为，所以.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20．如图一块长方形区域，，，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为.（1）当时，求关于的函数关系式；（2）当时，求的最大值；（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（自转到，再回到，称“一个来回”，忽略在及处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设边上有一点，且，求点在“一个来回”中被照到的时间.【答案】(1)见解析;(2);(3)2分钟.【解析】 【分析】（1）由题意结合三角函数的性质可得：当时，，当时，；（2）结合(1)中函数的解析式和三角函数的性质可得当时，；（3）结合实际问题和三角函数的性质计算可得点被照到的时间为分钟. 【详解】（1）当时，在上，在上，当时，、都在上，；（2）当时，，由于，所以当时，；（3）在“一个来回”中，共转动了，其中点被照到时，共转动了，点被照到的时间为分钟.【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21．设函数，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若为正整数，设的解集为，求及数列的前项和；（3）对于（2）中的数列，设，求数列的前项和的最大值.【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】（1）不等式等价于，据此分类讨论可得不等式的解集为；（2）由题意可得，，则，同理分组求和可得；（3）由题意讨论可知的最大值必为的偶数项，且当为偶数时（）时，，据此可知.【详解】（1）∵即，∴即，或∴；（2）由即的解集为，∴，∴时，，时，，∴，；（3），时，，为奇数时，，即，，，…，，…，为偶数时，，即，，，…，…，∴的最大值必为的偶数项，故当为偶数时（）时，，∴为偶数时，为递减数列，∴.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，数列求和的方法，数列中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第 21 页共 21 页。
2019年上海大同中学高三三模
大同中学高三三模数学试卷一.填空题1.若全集为实数集R ，13{|log 2}M x =≥，则C M =R 2.抛物线214y x =-的准线方程是3.关于x 方程sin 1014cos xx =的解集为4.函数()2sin 1f x x =+，[,]2x ππ∈的反函数1()f x -=5.函数())cos 4f x x x π=+的图像相邻的两条对称轴之间的距离是6.若212lim(1)3n n a a a -→∞+++⋅⋅⋅+=，则二项式10(2)x a -展开式的系数和是7.某校要从2名男生和4名女生中选出4人，担任在迪士尼举行的某项活动的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为（结果用数值表示）8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位3cm）是9.设实数x 、y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数z ax by =+（0,0a b >>）的最大值为2，则23a b +的值为10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的长是11.定义在R 上的偶函数()f x 对于任意的x ∈R 有(1)(1)f x f x +=-，且当[2,3]x ∈时，2()69f x x x =-+-，若函数()log a y f x x =-在(0,)+∞上只有四个零点，则实数a =12.已知向量a 、b 满足||1a = ，||2b = ，则||||a b a b ++- 的取值范围是二.选择题13.关于三个不同平面α、β、γ与直线l ，下列命题中的假命题是（）A.若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB.若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC.若αγ⊥，βγ⊥，l αβ= ，则l γ⊥D.若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β14.在一次数学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（）A.60B.70C.80D.10015.已知双曲线C ：2214y x -=，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条16.有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A.48B.72C.78D.84三.解答题17.如图，已知多面体111ABC A B C -，1AA 、1BB 、1CC 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14AA =，11CC =，12AB BC BB ===.（1）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值.18.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量(cos(),sin())m A B A B =-- ，(cos ,sin )n B B =- ，且35m n ⋅=- .（1）求sin A 的值；（2）若a =，5b =，求角B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影.19.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （x *∈N ）名员工从事第三产业，调整后这x 名员工他们平均每人创造利润为310()500x a -万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设400x ≤，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a 的最大值.20.如图，以椭圆2221x y a+=（1a >）的右焦点2F 为圆心，1c -为半径作圆2F （其中c 为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T .（1）若54a =，P 为椭圆的右顶点，求切线长||PT ；（2）设圆2F 与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为k （0k >）的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，若3||)2PT a c ≥-恒成立，且OA OB ⊥.求：①c 的取值范围；②直线l 被圆2F 所截得弦长的最大值.21.给定数列{}n a ，记该数列前i 项12,,,i a a a ⋅⋅⋅中的最大项为i A ，即12max{,,,}i i A a a a =⋅⋅⋅，该数列后n i -项12,,,i i n a a a ++⋅⋅⋅中的最小项为i B ，记12min{,,,}i i i n B a a a ++=⋅⋅⋅，(1,2,3,,1)i i i d A B i n =-=⋅⋅⋅-；（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的1d ，2d ，3d ；（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意n *∈N ，有21(1)33n n S a n λλ-=-++，其中λ为实数，0λ>且13λ≠，1λ≠.①设23(1)n n b a λ=+-，证明：数列{}n b 是等比数列；②若数列{}n a 对应的i d 满足1i i d d +>对任意的正整数1,2,3,,2i n =⋅⋅⋅-恒成立，求实数λ的取值范围.参考答案一.填空题1.1(,0](,)9-∞+∞ 2.1y = 3.{|12x x k ππ=+或5,}12x k k ππ=+∈Z 4.1arcsin 2x π--，[1,3]x ∈ 5.2π6.10247.14158.12π+9.110.16711.1412.二.选择题13.D 14.A 15.D 16.A三.解答题17.（1）略；（2）3913.18.（1）45；（2）2.19.（1）500人；（2）335.20.（1）34；（2）①3[,1)4，②24141.21.（1）12d =，23d =，36d =；（2）略；（3）1(,1)3.。
上海重点高中大同中学高三年级下学期(高三下)三月月考
2020学年大同中学高三年级三月月考一、填空题1.幂函数()f x 的图像过点()2,2，则()14f -的值____________2.已知1cos 43πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________3.若123,34z a i z i =+=+，且12z z 为纯虚数，则实数a =____________4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为____________3cm 5.已知各项均为正数的数列{}n a ，前n 项和112n n nS a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则通项n a =____________6.若(()()422234012340241323,x a a x a x a x a x a a a a a =++++++-+的值为____________7.若直线()220,0ax by a b +-=>始终平分曲线[)()cos 20,2sin 1x a y απα=+⎧∈⎨=+⎩的周长，则12a b +的最小值为____________8.现有5位教师要带3个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位教师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有____________（用数字作答）9.已知双曲线22221x y a b-=与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，5PF =，则该双曲线的两条渐近线方程为____________10.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，已知点(3A ，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y -≤⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 在OA 在OP上的投影，则z 的取值范围是____________11.如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC,BD 相交于O ，记,,BCO CDO ADO 的面积分别为123,,S S S ，则132S S S +的取值范围是____________12.数列{}21n -的前n 项1,3,7, (21)-组成集合{}()*1,3,7,,21n n A n N =-∈ ，从集合n A 中任取()1,2,3,,k k n = 个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），12n n S T T T =+++ ，例如当n=2时，{}2121,3,13,13A T T ==+=⨯，21313S =++⨯，则n S =____________二、选择题13.“1arcsin3α=”是“1sin 3α=”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.给出下列命题，其中正确的命题是（）A.若z C ∈且20z <，那么z 一定是纯虚数 B.若12,z z C ∈且120z z ->，则12z z >C.若z R ∈，则2z z z ⋅=不成立D.若x C ∈，则方程32x =只有一个根15.已知A,B,C 是圆221x y +=上不同的三个点，0OA OB ⋅=，若存在实数,λμ使得OC OA OB λμ=+ ，则,λμ的关系为（）A.221λμ+= B.111λμ+=C.1λμ= D.1λμ+=16.已知()234201712342019x x x x f x x =+-+-++ ，()234201712342019x x x x g x x =-+-+-- ，若函数()f x 有唯一零点1x ，函数()g x 有唯一零点2x ，则有（）A.()()120,1,1,2x x ∈∈ B.()()121,0,1,2x x ∈-∈C.()()120,1,0,1x x ∈∈D.()()121,0,0,1x x ∈-∈三、解答题17.已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，点C 是弧AB 的中点.（1）求三棱锥P-ACO 的体积；（2）求异面直线MC 与PO 所成的角.18.如图，我海监船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30°方向和它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东18海里处.（1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）.19.数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有()12n n n S +=.（1）试证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2019项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每组相邻i a 与1i a +之间插入i个()()*1ii b i N-∈后，得到一个新的数列{}nc ，求数列{}nc 中所有项的和.20.已知椭圆C 的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为1F 、2F ，抛物线M:()240y mx m =>的准线与x 轴交于1F ，椭圆C 与抛物线M 的一个交点为P.（1）当m=1时，①求椭圆C 的方程；②直线l 过焦点2F ，与抛物线M 交于A 、B 两点，若弦长AB 等于12PF F 的周长，求直线l 的方程（2）是否存在实数m ，使得12PF F 的边长为连续的自然数.21.已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上的最大值为4，最小值为1.（1）求实数,a b 的值；（2）若不等式()()2log 2f k f >成立，求实数k 的取值范围；（3）定义在[],p q 上的函数()x ϕ，设0121i i n p x x x x x x q -=<<<<<<= ，121,,,n x x x - 将区间[],p q 任意划分成n 个小区间，若存在常数M>0，使得和式()()11ni i i m x m x M -=-≤∑恒成立，则称函数()x ϕ为在[],p q 上的有界变差函数，试判断函数()f x 是否为在[]0,4上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由.（参考公式：()()()()()1231nini f x f x f x f x L f x ==++++∑）参考答案一、填空题1.162.133.4- 4.32 5.6.17.3+8.549.y =10.[]3,3-11.()2,+∞12.()1221n n +-二、选择题13.A 14.A 15.A 16.B三、解答题17.（1）8（2）45arctan318.（1）（2）北偏东42.8°，min 6.4V =海里每小时19.（1）n b n=（2）202022037169+20.（1）22143x y +=（2）220x ±-=（3）321.（1）1,0a b ==（2）()10,4,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭（3）10。
精选上海市2019届高三数学3月月考试题(理,有答案)
上海市 2019届高三数学 3月月考试题 理考生注意：1.本试卷共 4页，23道试题，满分 150分，考试时间 120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一 律不得分.一、填空题（本大题共有14题，满分 56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格 填对 4分，否则一律得零分．x y l g x ,Bx x 22x 3 0，则 A B _______________.1. 已知集合 A2.复数(1i )(1 a i ) 是实数，则实数a =_______________.log (x 1) 2l og (x 1) 3. 方程 的解集为_________. 224.已知圆锥的轴与母线的夹角为 ，母线长为 3，则过圆锥顶点的轴截面面积的最大值为_________.315.已知0 y x，且 t an xt an y 2 s in x s i n y ，y ，则 x .3 6. 设等差数列{a }的前n 项和为 ，若 S =42 ,则aa a=.S 7nn 2377.圆 ：(x 2)y 4 , 直线 : 3 ， : 1，若 , 被圆 所截得的弦的长度之比为1: 2 ， C 2 2 l y x l y kx l l1 C 122则 的值为_________.k3 ，侧棱长为 2， 则该球的表面积为_________.4R 9. 已知 ( ) l n( ) ，若对任意的m ，均存在 0 使得 ( ) ，则实数 的f x f x x ax 0m a x取值范围是 ．10.直线 y=k(x 1)(k 0)与抛物线 y=4x 相交于 A, B 两点，且 ．A, B 两点在抛物线的准线 2 , N B N2 A M，则 的值是k 上的射影分别是M ，若 si n 3 4s in截得的弦长为 11.在极坐标中，直线 被圆 .12.一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有 3颗弹子，射击结束后 尚余子弹数目 的数学期望 E =．cos A cosB cosC13. 已知 ABC ，若存在，满足 A B C 则称 1A B C 是 ABC 的一个“友好” , s in A s in B s i nC 1 1 11 1 1111三角形.在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_______：（请写出符合要求的条件的序号） ① 90 ,B 60 ,C 30 ；② A 75 ,B 60 ,C 45A 75 ,B 75 ,C 30； ③ .A ACB 90 AC 2 BC 1 ，14.如图，在△ AB C 中， ，， 点 A 、C 分别在 x 轴、 y 轴上，当点 A 在 x 轴上运动时，点C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离是.二、选择题（本大题共有4题，满分 20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答 案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 1{a } 中，a1,a15．已知数列 ，若利用下面程序 框图计算该数1 an1n 1n列的第 2016项，则判断框内的条件是()n=1,A=1A ． n2014C ． n 201516．在锐角ABC1 B ．n 2016D ．n 2017n=n+1 1 , ,中，内角A B C 的对边分别为a b c ，若A= A+1是s in C cos C 2 2 ，则下列各式正确的是()2A ．a b 2c C ．ab 2cB ．a b 2c输出A a b 2c．D 结束{(x , y) | x y 1} ，若实数,17．已知集合 M 满足： 对 任 意 的2 2 (x , y)M ，都有(x ,y )M ，则称(,)是集合 的“和谐实数对”.则以 下集合中，存在“和谐实M数对”的是()A ．{(,) | 4}{(,) | 4} B ．D ．2 2 {(,) | 4 4} {(,) | 4}C ．2 2 2 AB C D A' B'C' D'A , , ' 18. 已知正方体 ，记过点 与三条直线 AB A D AA 所成角都相等的直线条数为 ,m ', AC, AD' 过 点 与 三 个 平 面 AB 所 成 角 都 相 等 的 直 线 的 条 数 为 ， 则 下 面 结 论 正 确 的 是nA ． ．()A ． 1,n 1B ．m 4,n 1D ． m4,n 4m C. m3,n 4 三、解答题（本大题共有 5题，满分 74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要 的步骤．19.（本题满分 12分）本题共有 2个小题，第(1)小题满分 6分，第(2)小题满分 6分．AB2 A B C中， BAC ， AB A C ， 如图，在直三棱柱 AB C 112 1 1 1C1AA 6 ，点 E 、F 分别在棱 AA 、C C 上，且 AE C F 2 ．1111AEFC （1）求四棱锥 B 的体积； F（2）求BEF 所在半平面与ABC所在半平面所成二面角 的余弦值． E20.（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第（1）小题满分 6 分， 第（2）小题满分 8 分.如图，某城市设立以城中心O 为圆心、 公里为半径圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O 正东方r向上一条高速公路 PB 、西南方向上有一条一级公路 QC ，现要在保护区边缘 PQ 弧上选择一点 A 作为出口， 建一条连接两条公路且与圆 O 相切直 道 BC ．已知通往一级公路道路 AC 每公里造价为a 万元，通往高速公路的道路 AB 每公里造价为m a万元，其中a 2 （1）把 表示成 的函数 y 并 求 出 定 义y 域；（2）当 m 时，如何确定 A 点的位置才2能使 得总造价最低？21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第(1)小题 6 分，第(2)小题 8 分.x y 2b 2 2 :1(a b 0) 已知椭圆 C 的 右顶点、上顶点分别为 A 、B ，坐标原点到直线 AB a 2 4 32b 的距离为 ，且a . 3（1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 的左焦点 的直线l 交椭圆于 M 、N 两点，F 1且该椭圆上存在点 P ，使得四边形 MONP （图形上字母按此 顺序排列）恰好为平行四边形，求直线 的方程.l22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题.第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分，第(3)小题满分 6分.(x ) f (x )f (x) f (x) ，称 为“局部奇对于函数 f 函数”.，若在定义域内存在实数 x ，满足 (x) a x2x 4a (a R) f (x) 是否为“局部奇函数”？（1） 已知二次函数 f ，试判断 2 并说明理由；(x) 2 m 是定义在区间[1,1]（2）若 f （3）若 f 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；x (x) 4m 2 m 3 是定义 在 的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.Rx x 1223.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题①满分6分，第(2)小题②满分8分.已知等比数列{a}的首项a 20151，数列{a}n前项和记为S，前n项积记为T.nn n n 6045{a}(1)若S3，求等比数列的公比；q4n(2)在(1)的条件下，判断|T|与|T|的大小；并求n为何值时，T取得最大值；n1n n(3)在(1)的条件下，证明：若数列{a}中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其n,d,,d，则数列{d}成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为d 列.为等比数12n n2019学年第二学期考试参考答案和评分标准一、填空题（本大题共 14题,每题 4分,满分 56分） 92(0,3) 18 51． 2．-1 3． 4．5．3 1 7. 28 [4,)26. 8．9. 10． 3211．（理）2 3（文）612. （理）1.89 （文）34 313．②14．（理）1 2（文） (x 1)(y 1) 12 2 二、选择题（本大题共 4题，每题 5分，满分 20分） 15. C16. B三、解答题（本大题共 5题，满分 74分）19．（本题满分 12分）本题共 2个小题，每小题 6分. 17. C18. D1 1 1AB (4 2)22 4 S 解：（理）（1）V……6分 3 3 2(0,0,0) B(0,2,0) E(0,0,2) F(2,0,4) ，B AEF CAEF C （2）建立如图所示的直角坐标系，则 A , ,, EF (2, 0, 2) EB , (0, 2, 2)……………………7分EF 2x 2z 0EF 2y 2z 0 n(x , y , z ) 取 1得 1, 1 设平面 BEF 的法向量为n ，则 z x y ， n(1,1,1) 所以 n ……………………………9分n n1 3 (0,0,1) cos平面 AB C 的法向量为 n，则 1 n n3 311 3BEF 所在半平面与ABC所以 所在半平面所成二面角 的余弦值为 ．…12分3 1 S3 1 1 43 VC F 222 解：（文）（1）V…6分 3 2 A B C FFA B C A B C 11 1 1 1 1 11 1 1 // FA,所以 CEB 就是异面直线 BE 与 A F 所成的角．8分（2）连接CE ,由条件知CE 1 1 CEB2 2 ，所以CEB 60中， BC CE BE， ………………10分在 60 所以异面直线 BE 与 A F 所成的角为 1．…………………………………12分20．（本题满分 14分）本题共有 2小题，第小题满分 6分，第小题满分 8分.AB r t an解：（1） BC 与圆 O 相切于 A ， OA BC,在 ABC 中，……2 分3rt an( ) 同理，可得 AC ………4 分 43y m aAB aA C m ar t an ar t an()2 2 43y ar [m tan t an ( )], ( , ) ………6分2 4 4 2（2）由（1）得3 1 t an1t an y ar [m tan tan( )] a r [m tan ]2 2 4 2 ar [m (tan 1) m 1]…………9 分2 2 t an 12( , ), tan 1 0m (tan 1) 2 2m ………12分 24 2t an 126 2t an 1时取等号，又m t an 3,，所以 当且仅当2 3m即 A 点在 O 东偏南 的方向上，总造价最低。
2019-2020学年度高三年级第三次月考数学试卷参考答案
2019-2020学年度高三年级第三次月考数学试卷参考答案9—2010学年度高三年级第二次月考数学试卷参考答案一、 选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
将正确答案填写在答题卡上。
）写在题中横线上。
）⒐22(1)(4x y -+= ⒑3 ⒒324922=-x y ⒓ 1⒔（理）1,1)e ∈（文）()22,22-，(]3,∞-（第一个空3分，第二个空2分） ⒕①③三、解答题：（本大题共6个小题，共80分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）⒖解：（1）∵1m n ⋅=u r r， ∴(()cos ,sin 1A A -⋅=cos 1A A -=------------------------------------------------------2分12sin cos 12A A ⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭-------------------------------4分 ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π=---------------------------------------------------6分（2）由题知2212sin cos 3cos sin B BB B +=--， 整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=-------------------------8分 ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去∴tan 2B =--------------------------------------------------9分∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+， tan tan 1tan tan A BA B +=--==，即8tan 11C +=．-----------------------------------------12分 ⒗(理) 解：（1）由已知可得ξ的取值为：0，1，2，--------------1分22254321211115443212115321219(0),26632(1),36615(2),466C C C P C C C C C P C C C P C ξξξ++===+======分分分∴ξ的数学期望为E ξ=0×66+1×33+2×22=33------------7分（2）显然ξ=0时，不等式成立；-------------8分若ξ≠0，则有： 2002140219325102,()(0)(1)666666P A P P ξξξξξξξ>⎧⎪⇒<<⎨∆=-⨯<⎪⎩∴≤<∴==+==+=-----------12分(文) 解：（1）设任取一件作品颜色为绿色为事件A …………1分()241=A P . ……4分答：任取一件作品颜色为绿色的概率为241．（2）设任取一件作品颜色为红色为事件B ………………5分()43411241341=-=-+-=B P . …………………8分答：任取一件作品颜色为红色的概率为43．（3）设任取一件作品记下颜色后放回，连续取三次至少有两件作品为红色为事件C .9分()3227414341430333223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=C C C P . ……………………………12分⒘解：（1）∵曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线与x 轴平行, ∴()00'=f . ……………………………2分又()c bx x x f ++=23'2，则()00'==c f ……………………………4分（2）由0=c ，方程2()0f x b x -=可化为32250x bx b x +-+=，假设存在实数b 使得此方程恰有一个实数根，则令()=x g 3225x bx b x +-+，只需()0<极大值x g 或()0>极小值x g∴()()()b x b x b bx x x g +-=-+=323'22 ……………………………6分令()0'=x g ，得31bx =，b x -=2①若0=b ，则方程2()0f x b x -=可化为350x +=，此方程恰有一个实根35=x ……7分②若0>b ，则b b->，列表：∴()()053>+=-=b b g x g 极大值，()52753+-=⎪⎭⎫⎝⎛=b b g x g 极小值∴052753>+-b ，解之得30<<b ……………………………10分 ③若0<b ，则b b-<，列表：∴()0527533>+-=⎪⎭⎫⎝⎛=b b g x g 极大值，()()53+=-=b b g x g 极小值 ∴053>+b ，解之得35->b ∴053<<-b ………………………12分综合①②③可得，实数b 的取值范围是()3,53- ……………………………14分⒙解：（1）由于|,|||= 则P 为MN 的中心，设N （x ，y ），则M （－x ,0）,P （0，2y），由,0=⋅ 得,0)2,1()2,(=-⋅--yy x,0)2()2(1)(=-⋅-+⋅-∴yy x ,42x y =∴所以点N 的轨迹方程为,42x y = -------------4分 （2）设直线l 的方程是),0(≠+=k m kx y 与得联立消去y x y 42=：,0)42(4)(2222=+-+=+m x km x k x m kx 整理得----------6分 设),,(),,(2211y x B y x A 则：,,422221221km x x k km x x =--=+,)())((2212122121m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=∴ ,4)42(222k m m k km km m =+--= 由,442121-=+-=⋅y y x x 得,4422-=+∴k m k m 即,0)2(2=+km,2k m -=∴由于直线与N 的轨迹交于不同的两点， 则,1,04)42(222<>--=∆km m k km 即把,1222<--=k k m 代入上式得,0点的轨迹恒有两个不同交与时直线且当N l k R k ≠∈∴----------10分 而]4))[(1(||212212x x x x k AB -++=]4)42()[1(22422km k km k --+=)1616)(1(42k km k -+=)3216)(1(422kk k -+=)12)(1(4222++=k k k又因为,304||64≤≤AB,30)12)(1(6422≤++≤∴k k k 解得,121211≤≤-≤≤-k k 或-------13分综上可知k 的取值范围是}121211|{≤≤-≤≤-k k k 或.---------14分⒚解:（1）因为椭圆E : 22221x y a b+=（a ,b >0）过M （2，） ，N,1)两点,所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y +=--------4分（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且OA OB ⊥u u u r u u u r,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x yy kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=, 则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩, --------------------6分 22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥u u u r u u u r ,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即m ≥或m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =,222228381318m m r m k ===-++,3r =,所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足3m ≥或3m ≤-,而当切线的斜率不存在时切线为3x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为(33±或(,)33-±满足OA OB ⊥u u u r u u u r ,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且OA OB ⊥u u u r u u u r .因为12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩, 所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++,||AB =====, -------10分 ①当0k ≠时||AB =因为221448k k ++≥所以221101844k k<≤++,所以2232321[1]1213344k k<+≤++,||AB≤k ==”.② 当0k =时,||AB =.③ 当AB 的斜率不存在时,两个交点为或(,所以此时6||3AB =, 综上, |AB |的取值范围为46||233AB ≤≤: 4||[6,23]3AB ∈----------14分【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.⒛①由题21231n n n na a n n --=+⋅-知， 21231n n n a a n n --=+⋅-，由累加法，当2n ≥时，22122323231n n a an --=+⨯+⨯++⨯L代入11a =，得2n ≥时，112(13)1313n n n a n ---=+=- 又11a =，故1*3()n n a n n N -=⋅∈． ．．．．．．．．．．．．．．．4分②*n N ∈时，131n n n b a n-==．方法1：当1n =时，121112S =+>；当2n =时，2211112234S =+++>；当3n =时，321111111132345678S =+++++++<．猜想当3n ≥时，2n S n <． ．．．．．．．．．．．．．．．6分下面用数学归纳法证明：①当3n =时，由上可知323S <成立；②假设(3)n k k =≥时，上式成立，即1111232k k ++++<L .当1n k =+时，左边1111111232212k kk +=++++++++L L 1112121221kk k k k k k +<+++<+<+++L ，所以当1n k =+时成立．由①②可知当*3,n n N ≥∈时,2n S n <．综上所述：当1n =时,121S >；当2n =时, 222S >；当*3()n n N ≥∈时,2n S n <． ．．．．．．．．．．．．．．．10分方法2：21111232n n S =++++L记函数2111()(1)232n n f n S n n =-=++++-L所以1111(1)(1)(1)232n f n n ++=++++-+L ．．．．．．．．．6分则11112(1)()()1102122221nnn n n f n f n ++-=+++-<-<+++L 所以(1)()f n f n +<．由于121(1)1(1)102f S =-=+->，此时121S >；22111(2)2(1)20234f S =-=+++->，此时222S >；321111111(3)3(1)302345678f S =-=+++++++-<，此时323S <；由于，(1)()f n f n +<，故3n ≥时，()(3)0f n f ≤<，此时2n S n <．综上所述：当1,2n =时，2n S n >；当*3()n n N ≥∈时,2n S n <． ．．．．．．．．．．．10分（III ）131n n n a c n +==+ 当2n ≥时，121123232311(31)(31)(33)(31)(31)3131n n n nn n n n n n ---⨯⨯⨯≤==--------. 所以当2n ≥时22222233232331111()()2(31)(31)22313131n n n T ⨯⨯=+++≤+-+------L＋1111()22313131n n n -+-=-<---L ．且1322T =<故对*n N ∈，2n T <得证． ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。
大同市2020届高三数学下学期3月模拟考试试题文含解析
A。 53B. 54C. 158D。 263
【答案】A
当购进 蔬菜6袋时，每天所获平均利润为 （元）
综上，该批发商明年每天购进 蔬菜5袋,所获平均利润最大.
【点睛】本题考查了频数分布直方图、古典概型的计算公式以及期望的计算，属于基础题.
20。已知焦点在 轴上的椭圆的一个顶点为 ，以右焦点为圆心以3为半径的圆与直线 相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线 相交于不同的两点 、 ．当 时，求三角形 面积的最大值．
12.已知函数 ，若存在实数 满足 ,且 ，则 的最大值为（ ）
A。 B。 1C。 D。
【答案】D
【解析】
【分析】
画出 的图像，利用 将 表示成 的关系式，将 化为只含 的表达式，利用换元法，结合导数，求得 的最大值.
【详解】作出 的图象如图所示。
因为 ，所以 ，即 .
由图可知 ，则 ，
令 。则 。
19.某蔬菜批发商经销某种新鲜蔬菜（以下简称 蔬菜），购入价为200元/袋，并以300元/袋的价格售出，若前8小时内所购进的 蔬菜没有售完,则批发商将没售完的 蔬菜以150元/袋的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把 蔬菜低价处理完，且当天不再购进）。该蔬菜批发商根据往年的销量，统计了100天 蔬菜在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图.
A。 4B。 2C。 6D。
【答案】B
【解析】
【分析】
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大同中学高三月考数学试卷
2020.03
一. 填空题
1. 已知全集{|||2}U x x =<，集合2{|log 1}P x x =<，则
U P = (2,0]- 2. 若复数i 1i z =
+（i 为虚数单位），则z z ⋅= 12 3. 已知012a b =，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 1arctan 2
π- 4. 已知向量(1,3)a =，(sin ,cos )b αα=，若a ∥b ，则tan()4π
α+= 2
5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，131036S S -=，则数列{}n a 的公差为 1
6. 已知函数()f x =[1,9]x ∈，2()()()g x f x f x =⋅的反函数是1()g x -，则1()g x -的
定义域为
7. 若函数()log (a f x x x =是偶函数，则a = 2
8. 现有高一学生两人，高二学生两人，高三学生一人，将这五人排成一行，要求同一年级 的学生不能相邻，则不同的排法总数为 48
9. 某8个数据的平均数为5，方差为3，加入一新数据5，此时这9个数据的方差为
83 10. 已知正项等比数列{}n a 中，3123a a a =，42563
a =，用{}x 表示实数x 的小数部分，如 {1.5}0.5=，{2.4}0.4=，记{}n n
b a =，则数列{}n b 的前15项的和15S 为 5
11. 在△ABC 中，设角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，记△ABC 的面积为S ，且
22242a b c =+，则
2
S a 的最大值为 12. 已知点(0,2)P ，椭圆22
1168x y +=上两点11(,)A x y 、22(,)B x y 满足AP PB λ=（λ∈R ），
则1122|2312||2312|x y x y +-++-的最大值为 18+
二. 选择题
13. 设α、β、γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题：
① 若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥；② 若l 上两点到α的距离相等，则l ∥α； ③ 若l α⊥，l ∥β，则αβ⊥；④ 若α∥β，l β⊄，且l ∥α，则l ∥β； 其中正确的命题是（ D ）
A. ①②
B. ②③
C. ②④
D. ③④
14. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：
如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ B ）
A. 46
B. 44
C. 42
D. 40
15. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、BC
的中点，过点1D 、E 、F 的截面将正方体分割成两个部分，记这
两个部分的体积分别为1V 、2V （12V V <），则12:V V =（ C ） A. 23 B. 35 C. 2547 D. 2746
16. 已知抛物线22y px =（0p >），为其焦点F ，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于A 、B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： ① 11A F B F ⊥；② AM BM ⊥；③ 1A F ∥BM ；
④ 1A F 与AM 的交点在y 轴上；⑤ 1AB 与1A B 交于原点；
其中真命题的个数为（ D ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
三. 解答题
17. 如图，OA 、OB 是两条互相垂直的笔直公路，半径2OA km =的扇形AOB 是某地的一名胜古迹区域，当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB 上新增一个入口P （点P 不与A 、B 重合），并新建两条都与圆弧AB 相切的笔直公路MB 、MN ，切点分别是B 、P ，当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低，设POA θ∠=，公路MB 、MN 的总长为()f θ.
（1）求()f θ关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）当θ为何值时，投资费用最低？并求出()f θ的最小值.
（1）()2tan 4tan(
)42f πθθθ=+-，(0,)2πθ∈； （2）当6πθ=
时，投资费用最低，min ()23f θ=.
18. 如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点，F 是PC 上的点.
（1）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；
（2）若M 是PD 的中点，当AB AP =时，是否存在点F ，使直线EM 与平面AEF 所成 角的正弦值为15？若存在，请求出PF PC 的值，若不存在，请说明理由. （1）证明略；（2）存在，
12PF PC =或45.
19. 已知椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，且椭 圆上存在一点P ，满足172
PF =，122cos 3F F P ∠=. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知分别A 、B 是椭圆C 的左、右顶点，过1F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，记直线AM 、BN 的交点为T ，是否存在一条定直线l ，使点T 恒在直线l 上？
（1）22
11615
x y +=；（2）存在，16x =-.
20. 已知函数2||()2x x P f x x x x M ∈⎧
=⎨-+∈⎩，其中P 、M 是非空数集且P M =∅，设 (){|(),}f P y y f x x P ==∈，(){|(),}f M y y f x x M ==∈. （1）若(,0)P =-∞，[0,4]M =，求()()f P f M ；
（2）是否存在实数3a >-，使得[3,]P M a =-，
且()()[3,23]f P f M a =--？若存在，求出所有满足条件的a ，若不存在，说明理由；
（3）若P M =R 且0M ∈，1P ∈，()f x 单调递增，求集合P 、M .
21. 设数列{}n a 满足10a =，311n n a ca c +=+-，*n ∈N ，其中c 为实数.
（1）证明：[0,1]n a ∈对任意*n ∈N 成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；
（2）设103
c <<
，证明：11(3)n n a c -≥-，*n ∈N ； （3）设103c <<，证明：222122113n a a a n c ++⋅⋅⋅+>+--，*n ∈N .。