函数连续性、导数及其应用
函数连续性、导数及其应用
§1 函数的连续性定义：设函数y =f (x )在点x 0的某一邻域内有定义，如果那么就称函数f (x )在点x 0连续.)()(lim 00x f x f xx =→一、连续函数的概念函数连续要满足三个条件(1) 在x =x 0有定义；(2)存在；(3))(lim 0x f x x →)()(lim 00x f x f xx =→例1.2sin 21,0(),0axx e x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在(-∞，+ ∞)上连续，求的值a 解：定义：若函数ƒ(x)在开区间(a , b)内的每一点都连续, 则称函数ƒ(x)在开区间(a , b)内连续;定义：若函数ƒ(x)在开区间(a , b)内连续, 且在左端点a右连续, 在右端点b 左连续, 则称函数ƒ(x) 在闭区间[a , b]内连续.一个函数在定义域上连续，从图像上看是连续不断的，“一笔”可以画出来的。
二、函数的间断点极其类型(1)在x =x 0没有定义；(2)虽在x = x 0有定义，但不存在；(3)虽在x = x 0有定义，且存在,但则函数f (x )在点x 0为不连续，而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.)(lim 0x f xx →)(lim 0x f x x →)()(lim 00x f x f x x ≠→x 1A 2A 0x 0x 1A 2A 0x Ax 1A 2A 0x 1A 0x间断点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧振荡间断点极限为无穷的间断点无穷间断点第二类间断点存在，但不相等）跳跃间断点（左右极限相等）可去间断点（左右极限第一类间断点)(例2.解：例3.解：三、利用零点定理讨论方程的根.,)(轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧x x x f y =几何解释:a b 3ξ2ξ1ξxyo)(x f y =123()0,()0,()0f f f ξξξ===定理3(零点定理) 设函数)(x f 在闭区间 []b a ,上连续，且)(a f 与)(b f 异号(即0)()(<⋅b f a f ),那末在开区间()b a ,内至少有函数)(x f 的一个零点,即至少有一点ξ)(b a <ξ<，使0)(=ξf .§2 导数的概念一、导数概念的引例例1变速直线运动的速度?)(0=t v )(t s s =0s-)(0t t s ∆+tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00时，0→∆t ()000000()()lim lim limt t t s t t s t sv t v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆)(0t v v →)(0t s -例2平面曲线的切线斜率x xxo y)(x f y =C 如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即.0,0→∠→NMT MN ).,(),,(00y x N y x M 设的斜率为割线MN 00tan x x y y --=ϕ,)()(00xx x f x f --=,,0x x M N C→−−−→−沿曲线的斜率为切线MT 000()()tan lim .x x f x f x k x x α→-==-αTϕN M二、导数的定义,)()(0);()()(00000000x x y x x f y x x f y x x y x f x x f y y x x x x x x x f y ='==→∆∆∆-∆+=∆∆+∆=记为处的导数,在点并称这个极限为函数处可导,在点则称函数时的极限存在,比当之与如果增量取得相应地函数仍在该邻域内)时,点(处取得增量在当自变量内有定义,的某个邻域在点设函数定义x x dxdy =,)(0x x dxx df =或xx f x x f x yy x x x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆=)()(limlim 00000即其它形式.)()(lim )(0000x x x f x f x f x x --='→.)()(lim )(0000hx f h x f x f h -+='→例3.0000()()()lim =x f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆已知在处可导，则？000()()2lim 2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆解：'02()f x =例4.证明：三、可导和连续的关系及应用1.可导和连续的关系定理凡可导函数都是连续函数，反之不一定.证明：设函数f (x )在点x 0处可导()()0000lim ()x x f x f x f x x x →-'=-则()()0000lim[]()lim()x x x x f x f x f x x x →→'-=-()()0lim x x f x f x →=即.连续在点函数0)(x x f ∴从图像上看，可导函数除了要求像连续函数那样“一笔”画完外还要求曲线是光滑的！2.左右导数（单侧导数）右导数:左导数:0000000()()()()()lim lim ;x x x f x f x f x x f x f x x x x ---→∆→-+∆-'==-∆0000000()()()()()lim lim ;x x x f x f x f x x f x f x x x x+++→∆→-+∆-'==-∆函数)(x f 在点0x 处可导⇔左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都存在且相等. ★3.利用函数可导或连续解题例5.解：连续可导§3 函数微分的概念一、微分的定义定理：y =f(x )在可微的充分必要条件是f (x )在处可导，且当f (x )在点可微时，其微分一定是0x 0x 0x xx f dy ∆'=)(0(1) 必要性,)(0可微在点x x f ),(x o x A y ∆+∆⋅=∆∴,)(x x o A xy ∆∆+=∆∆∴xx o A x yx x ∆∆+=∆∆→∆→∆)(lim lim 00则.A =).(,)(00x f A x x f '=且可导在点即函数证明),()(0x x x f y ∆⋅α+∆⋅'=∆从而,)(0α+'=∆∆x f xy 即,)(0可导在点函数x x f ),(lim00x f xyx '=∆∆∴→∆),0(0→∆→αx ),()(0x o x x f ∆+∆⋅'=.)(,)(00A x f x x f ='且可微在点函数 ).(.0x f A '=⇔∴可微可导(2) 充分性()()dy d x x x x'==∆=∆?y x dy ==已知函数，求例1处的微分和在求函数312===x x x y 解：处的微分在函数12==x x y 1()2;x dy x x x ='=∆=∆处的微分在3=x xx x dy x ∆=∆'==6)(32例2解：由例2我们把微分常记为0()x x dyf x dx='=()dy f x dx'=二、可微与可导的关系两者是等价的三、微分的几何意义.,,MN MP M x 可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当∆xyo)(x f y =0x MT）αN xx ∆+0y∆x ∆PQ0()dy f x x '=∆tan x α=∆PQ=dy)(x o ∆§4 导数的计算(1) (C)'=0,(2) (xμ)'=μxμ-1,(3) (sin x)'=cos x,(4) (cos x)'=-sin x,(5) (tan x)'=sec2x,(6) (cot x)'=-csc2x,(7) (sec x)'=sec x⋅tan x,(8) (csc x)'=-csc x⋅cot x,(9) (a x)'=a x ln a,(10) (e x)'=e x,(11)axx aln1)(log=',(12)xx1)(ln=',(13)211)(arcsinxx-=',(14)211)(arccosxx--=',(15)211)(arctanxx+=',(16)211)cotarc(xx+-='.一、基本初等函数的导数公式211(17)()x x'=-1(18)()2xx'=二、反函数求导法则)(1])([1y f x f '='-.1(),()x f y y f x -==设函数其反函数为定理则.log 的导数求x y a =,0ln )(≠='a a a yy 且)(1)(log '='y a a x a a y ln 1=.ln 1a x = 是y a x =的反函数x y alog =.的导数求xa y =,0ln 1)(log ≠='ay y a 且)(log 1)('='y a a x ay ln 11=.ln a a x= y 是a x log =的反函数xa y =arctan y x =求的导数tan arctan x y y x ==是的反函数2(tan )sec 0,y x '=≠且1(arctan )(tan )x y '='21sec y =21sec (arctan )x =tan(arctan )x x=22sec (arctan )1tan (arctan )x x =+21x =+21(arctan )1x x'=+三、函数求导的四则运算法则及复合函数求导这部分知识都是我们高中时学过的内容，这里不再介绍，我们通过几个典型的例题加以复习巩固例1解：例2解：四、隐函数的求导1. 函数的表示法直接表示:解析式y=f(x) x∈D, 这样描述的函数称为显函数把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化.一般地,如果变量x 和y 满足一个方程F (x ,y )=0,在一定条件下当x 取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在,那么就说方程F (x ,y )=0在该区间内确定了一个隐函数2. 隐函数定义极其求解有的隐函数可以化成显函数去求导数，但是并不是所有的隐函数都可以显化的，如：sin 0xy xy +=虽然不可以显化，但是求导函数是可以的，方法就是方程两边同时关于x （或y ）求导，一般来说，导函数往往是含有x 和y 的解析式。
连续与可导函数
连续与可导函数函数是数学中的重要概念，它描述了不同变量之间的关系。
在微积分中，我们经常讨论连续函数和可导函数，它们在数学以及实际问题的解决中扮演着重要角色。
本文将探讨连续函数和可导函数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、连续函数连续函数是指在定义域上没有间断的函数。
具体地说，一个函数f(x)在某个点x=a处连续，意味着在该点的左极限、右极限和函数值都相等，即\[ \lim_{{x \to a^-}} f(x) = \lim_{{x \to a^+}} f(x) = f(a) \]。
如果函数在定义域的每个点都连续，则称函数是连续的。
连续函数具有一些重要的性质。
首先，两个连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
其次，连续函数经过数值的运算后，结果仍然是连续函数。
最后，连续函数在闭区间上一定达到最大值和最小值，即存在点x=c和x=d，使得函数在这两个点上达到最大值和最小值。
二、可导函数可导函数是指在某一点处存在导数的函数。
函数f(x)在点x=a处可导，意味着其导数存在且连续，即\[ \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h} \]存在。
可导函数具有一些重要的性质。
首先，可导函数是连续函数。
这是因为导数的存在要求函数在该点处连续。
其次，可导函数在某一点处的切线为函数图像在该点的切线。
最后，可导函数的导函数是连续函数。
三、连续与可导函数的关系连续函数和可导函数之间存在一定的关系。
具体地说，如果函数在某点处可导，则该点处必然连续。
然而，连续函数不一定可导。
例如，绝对值函数\[ f(x) = |x| \]在点x=0处连续，但在该点处的导数不存在。
如果函数在定义域的每个点处都可导，则称函数是可导的。
可导函数一定是连续函数。
四、连续与可导函数的应用连续函数和可导函数在实际问题的建模和解决中起着重要作用。
在物理学中，运动的变化可以通过函数来描述。
例如，一个物体在时刻t的位置可以表示为函数s(t)。
函数的连续性与函数的导数
函数的连续性与函数的导数函数的连续性是函数的重要性质。
常量函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数以及由它们经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数都是连续函数。
连续函数具有下面两条重要性质：1．最值定理 假设f(x)是[a ，b]上的连续函数，于是存在c ，d 属于[a ，b]，满足f(c)≤f(x)≤f(d)对于所有x∈[a，b]成立。
（也就是说f(d)是[a ，b]上的最大值，f(c)是[a ，b]上的最小值）。
2．介值定理 假设f(x)是[a ，b]上的连续函数，且f(a)<y<f(b)（或f(b)<y<f(a)），则在（a ，b ）中存在c ，满足f(c)=y 。
函数的导数也是函数的一种性质，它在求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性，凹凸性求曲线的切线等方面有着直接的应用，将导数内容与传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，给竞赛试题解法带来新的启示。
例1 在曲线y=，x ≥0上求一点P ，使该点处的切线与两坐标轴所围图形的面积为最小（其中a>0，b>0）。
解：设所求点P （x 0，y 0），在该点处切线斜率为02020|x x b x k y a y ='==-,则该点处的切线方程为：00221xx yy a b+=,图形面积为22002a b S x y =，x 0∈（0，a ）。
设A=x 0y 0，可得x 0为A 的极大点，即S 的极小点。
此时y 0。
故所求点为P 时，所围面积最小。
评注：题中所给曲线实际上是椭圆22221x y a b+=在第一象限的部分。
求圆锥曲线的切线的传统方法是利用切线与圆锥曲线只有一个交点的特点，借助于一元二次方程判别式为零来解决的。
这种方法计算量较大而且不能推广到其它曲线的切线的求法。
而利用导数求切线斜率是通法。
如果能掌握降函数求导方法将使计算变得更加简捷。
例2（Ⅰ）已知0<x<1，试求函数f(x)=(1+x 2)(2-x)的最小值； （Ⅱ）若a ，b ，c 为正数，满足a+b+c=1，求证：2221112710111a b c ++≤+++。
导数在函数中的作用
导数在函数中的作用导数是微积分中的重要概念，广泛应用于函数、曲线和图形的研究中。
它是描述函数在其中一点上的变化率的工具，具有很多实际应用。
在本文中，我将详细介绍导数在函数中的作用及其应用。
首先，导数可以用于研究函数的单调性。
函数的导数可以告诉我们函数在其中一点上是增加还是减少。
如果导数大于零，那么函数在该点上是递增的；如果导数小于零，那么函数在该点上是递减的。
当导数等于零时，表示函数在该点上取得极值，对于凸函数来说，如果导数从正数递减到0，然后再从0递增到正数，那么该点就是极小值点；如果导数从负数递增到0，然后再从0递减到负数，那么该点就是极大值点。
通过导数，我们可以更好地理解函数的增减趋势，并画出函数的增减图，这对于很多实际问题的研究和解决都非常有帮助。
其次，导数可以用于研究函数的凸性和拐点。
函数的导数在其中一点上的变化可以告诉我们函数曲线的凸凹性。
如果导数在其中一点的左侧小于右侧，则说明函数曲线在该点上凹下去；如果导数在其中一点的左侧大于右侧，则说明函数曲线在该点上凸出来。
当导数发生变化的点称为函数的拐点，拐点是函数曲线转折的地方。
通过研究函数的凸性和拐点，我们可以更好地理解函数的形状和性质，从而解决实际问题。
第三，导数可以用于研究函数的极限。
在微积分中，极限是一个非常重要的概念，它描述了函数在其中一点附近的行为。
通过导数，我们可以计算函数在其中一点的导数值，并通过计算导数的极限得到函数在该点的极限值。
这对于研究函数的连续性和光滑性非常重要，也是微积分中一些重要定理（如极值定理和洛必达法则）的基础。
第四，导数可以用于求解函数的最值问题。
最值问题是求函数取值的极大值或极小值的问题。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数在其中一区间的最值点。
当导数从正数递减到零再递增到负数时，函数在此处取得极大值；当导数从负数递增到零再递减到正数时，函数在此处取得极小值。
利用导数求解最值问题，我们可以优化一些实际问题，如最大利润、最短路径等。
导数与函数的连续与间断点
导数与函数的连续与间断点导数和函数的连续性与间断点是微积分中的重要概念。
导数描述了函数在某一点上的变化率，而函数的连续性和间断点则关注函数在定义域上的行为。
本文将对导数和函数的连续性与间断点进行详细的论述。
一、导数的定义与性质导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
对于函数f(x)，它在点x处的导数表示为f'(x)或dy/dx。
导数可以通过极限的概念来定义，即：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h导数具有以下几个重要性质：1. 导数描述了函数曲线在某点的切线斜率。
2. 导数存在的充分必要条件是函数在该点连续。
3. 导数为正表示函数在该点上升，为负表示函数在该点下降，为零表示函数在该点取极值。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域上没有间断点，即函数曲线没有突变或断裂的现象。
函数f(x)在某一点x=a连续的充要条件是：1. 函数在点x=a处存在。
2. 函数在点x=a的左极限lim(x→a-) f(x)等于函数在点x=a的右极限lim(x→a+) f(x)。
3. 函数在点x=a的极限lim(x→a) f(x)等于函数在点x=a处的函数值f(a)。
函数的连续性有以下几种类型：1. 间断点：在函数定义域上存在的点，使得函数在该点处不连续。
常见的间断点有可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
2. 可去间断点：在该点处函数的值无法通过极限来定义，但可以通过对此点进行修正来使函数在该点变得连续。
3. 跳跃间断点：在该点处函数存在左右两个极限，但这两个极限不相等。
4. 无穷间断点：在该点处的一个或两个极限为无穷大。
三、函数的间断点函数的间断点是指函数在某一点处不满足连续性的现象，常见的间断点有以下几种情况：1. 第一类间断点：函数在该点处的左极限和右极限都存在，但不相等。
这种情况下，称作可去间断点或跳跃间断点。
2. 第二类间断点：函数在该点处的左极限和右极限至少有一个不存在或为无穷大。
函数的连续性及其应用
函数的连续性及其应用函数连续性是微积分中的重要概念，它描述了函数在其定义域内的某一点上是否具有无间断的性质。
连续性的概念在数学和自然科学中有着广泛的应用。
本文将介绍函数连续性的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
一、函数连续性的定义函数连续性的定义可以从两个方面来理解。
一方面，若函数在某一点a的左极限等于该点的右极限，且函数在该点的值等于其极限值，那么该函数在该点处是连续的。
另一方面，若函数在定义域内的每一个点都是连续的，那么该函数在整个定义域上是连续的。
函数连续性的定义可以用极限的语言重新表述。
对于函数f(x)，若对于任意给定的ε>0，存在对应的δ>0，使得当|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立，那么函数f(x)在点a处是连续的。
二、函数连续性的性质函数连续性具有以下性质：1. 连续函数的和、差、积仍为连续函数；2. 连续函数的复合仍为连续函数；3. 有界闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值；4. 两个连续函数之间的乘积仍为连续函数。
函数连续性的性质为我们提供了一个判断函数是否连续的依据，同时也为我们分析函数的性质和解决实际问题提供了基础。
三、函数连续性的应用函数连续性在实际问题中有广泛的应用，下面以几个具体应用为例进行说明。
1. 极限的计算函数连续性的概念与极限密切相关，通过函数的连续性可以简化某些复杂极限的计算。
例如，对于一个连续函数f(x)，要计算其某一点a处的极限，只需直接计算f(a)即可，而无需通过求极限的定义进行复杂计算。
2. 研究函数的性质函数连续性为我们研究函数的性质提供了便利。
通过分析函数在不同点上的连续性，可以确定函数的增减性、最大值和最小值等特性。
函数在某个区间上连续且单调递增，则可以推断该函数在该区间上存在极值点。
3. 实际问题的建模函数连续性在实际问题的建模中起到了重要作用。
例如，在物理学中，通过研究物体的运动轨迹和变化规律，可以建立相应的函数模型。
实变函数论中的导数性质及其应用
实变函数论中的导数性质及其应用在实变函数论中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在这篇回答中，我将介绍导数的性质以及其在实际问题中的应用。
首先，导数具有以下一些重要的性质：1. 导数的定义：设函数f(x)在点x=a处可导，那么f(x)在点x=a处的导数定义为f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗。
这个定义描述了函数在某一点的瞬时变化率。
2. 可导函数的连续性：如果函数f(x)在点x=a处可导，那么f(x)在点x=a处连续。
这意味着函数在可导点处没有突变或跳跃。
3. 导数的四则运算法则：设函数f(x)和g(x)在点x=a处可导，那么有以下几个重要的式子：a) (cf)'(a) = cf'(a)，其中c是常数；b) (f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)；c) (fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)；d) (f/g)'(a) = (f'(a)g(a) - f(a)g'(a))/[g^2(a)]，其中g(a)≠0。
4. 链式法则：设函数y=f(g(x))是由两个函数f(u)和g(x)复合而成，如果g(x)在点x=a处可导且f(u)在u=g(a)处可导，那么复合函数y=f(g(x))在点x=a处可导，且导数为dy/dx=f'(g(a))g'(a)。
有了以上导数的性质，我们可以将导数应用到多个实际问题中。
以下是导数在实际问题中的一些常见应用。
1. 切线与法线：导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，因此可以用来求得切线的斜率。
给定一个函数f(x)，如果点P(x_1,f(x_1))在曲线上，那么切线方程为y=f'(x_1)(x-x_1)+f(x_1)。
法线则垂直于切线，斜率为-1/f'(x_1)。
2. 优化问题：在求解优化问题时，导数可以帮助我们确定函数的极值点。
函数左导数和右导数存在 函数连续
函数左导数和右导数存在、函数连续在数学中，函数是一种将一个集合的元素（称为函数的“定义域”）映射到另一个集合的元素（称为函数的“值域”）的规则。
而导数则是描述了函数在每个点上的变化率。
在这篇文章中，我们将探讨函数左导数和右导数存在以及函数连续的相关概念，以及它们在数学中的重要性和应用。
1. 函数左导数和右导数的概念函数的左导数指的是在某一点上，通过左侧逼近这一点时函数的导数值。
而函数的右导数则是通过右侧逼近这一点时函数的导数值。
如果一个函数在某一点上的左导数和右导数都存在并且相等，那么我们称这个点上的导数存在。
这种情况下，函数在这一点上被称为可导函数。
2. 函数连续的概念函数的连续性是指函数在其定义域内的每一个点上都有定义，并且在这些点上的函数值与这些点对应的极限值相等。
如果一个函数在某一点上的极限值等于这一点的函数值，那么我们说这个函数在这一点上是连续的。
3. 函数左导数和右导数存在、函数连续的关系函数左导数和右导数的存在与函数的连续性是息息相关的。
在实际应用中，函数左导数和右导数的存在是函数连续的一个必要条件。
因为如果一个函数在某一点上的左导数和右导数都存在，并且相等，那么这个函数在这一点上是可导的，从而也是连续的。
4. 函数左导数和右导数存在、函数连续的重要性和应用对于数学和科学领域来说，函数左导数和右导数的存在以及函数的连续性是非常重要的。
它们在微积分、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
在求解某些函数的极限值和微分方程时，需要考虑函数左导数和右导数的存在性以及函数的连续性。
另外，在实际工程中，对于控制系统的稳定性分析和设计也需要考虑函数的连续性和可导性。
函数左导数和右导数的存在以及函数的连续性是数学中非常重要的概念。
它们不仅在理论研究中有着重要的地位，也在实际应用中发挥着重要的作用。
我们需要深入理解这些概念，并在实际问题中灵活运用。
函数左导数和右导数的存在、函数连续，这一主题的深入研究将有助于我们更好地理解函数的性质和应用。
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§1 函数的连续性定义：设函数y =f (x )在点x 0的某一邻域内有定义，如果那么就称函数f (x )在点x 0连续.)()(lim 00x f x f xx =→一、连续函数的概念函数连续要满足三个条件(1) 在x =x 0有定义；(2)存在；(3))(lim 0x f x x →)()(lim 00x f x f xx =→例1.2sin 21,0(),0axx e x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在(-∞，+ ∞)上连续，求的值a 解：定义：若函数ƒ(x)在开区间(a , b)内的每一点都连续, 则称函数ƒ(x)在开区间(a , b)内连续;定义：若函数ƒ(x)在开区间(a , b)内连续, 且在左端点a右连续, 在右端点b 左连续, 则称函数ƒ(x) 在闭区间[a , b]内连续.一个函数在定义域上连续，从图像上看是连续不断的，“一笔”可以画出来的。
二、函数的间断点极其类型(1)在x =x 0没有定义；(2)虽在x = x 0有定义，但不存在；(3)虽在x = x 0有定义，且存在,但则函数f (x )在点x 0为不连续，而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.)(lim 0x f xx →)(lim 0x f x x →)()(lim 00x f x f x x ≠→x 1A 2A 0x 0x 1A 2A 0x Ax 1A 2A 0x 1A 0x间断点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧振荡间断点极限为无穷的间断点无穷间断点第二类间断点存在，但不相等）跳跃间断点（左右极限相等）可去间断点（左右极限第一类间断点)(例2.解：例3.解：三、利用零点定理讨论方程的根.,)(轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧x x x f y =几何解释:a b 3ξ2ξ1ξxyo)(x f y =123()0,()0,()0f f f ξξξ===定理3(零点定理) 设函数)(x f 在闭区间 []b a ,上连续，且)(a f 与)(b f 异号(即0)()(<⋅b f a f ),那末在开区间()b a ,内至少有函数)(x f 的一个零点,即至少有一点ξ)(b a <ξ<，使0)(=ξf .§2 导数的概念一、导数概念的引例例1变速直线运动的速度?)(0=t v )(t s s =0s-)(0t t s ∆+tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00时，0→∆t ()000000()()lim lim limt t t s t t s t sv t v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆)(0t v v →)(0t s -例2平面曲线的切线斜率x xxo y)(x f y =C 如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即.0,0→∠→NMT MN ).,(),,(00y x N y x M 设的斜率为割线MN 00tan x x y y --=ϕ,)()(00xx x f x f --=,,0x x M N C→−−−→−沿曲线的斜率为切线MT 000()()tan lim .x x f x f x k x x α→-==-αTϕN M二、导数的定义,)()(0);()()(00000000x x y x x f y x x f y x x y x f x x f y y x x x x x x x f y ='==→∆∆∆-∆+=∆∆+∆=记为处的导数,在点并称这个极限为函数处可导,在点则称函数时的极限存在,比当之与如果增量取得相应地函数仍在该邻域内)时,点(处取得增量在当自变量内有定义,的某个邻域在点设函数定义x x dxdy =,)(0x x dxx df =或xx f x x f x yy x x x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆=)()(limlim 00000即其它形式.)()(lim )(0000x x x f x f x f x x --='→.)()(lim )(0000hx f h x f x f h -+='→例3.0000()()()lim =x f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆已知在处可导，则？000()()2lim 2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆解：'02()f x =例4.证明：三、可导和连续的关系及应用1.可导和连续的关系定理凡可导函数都是连续函数，反之不一定.证明：设函数f (x )在点x 0处可导()()0000lim ()x x f x f x f x x x →-'=-则()()0000lim[]()lim()x x x x f x f x f x x x →→'-=-()()0lim x x f x f x →=即.连续在点函数0)(x x f ∴从图像上看，可导函数除了要求像连续函数那样“一笔”画完外还要求曲线是光滑的！2.左右导数（单侧导数）右导数:左导数:0000000()()()()()lim lim ;x x x f x f x f x x f x f x x x x ---→∆→-+∆-'==-∆0000000()()()()()lim lim ;x x x f x f x f x x f x f x x x x+++→∆→-+∆-'==-∆函数)(x f 在点0x 处可导⇔左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都存在且相等. ★3.利用函数可导或连续解题例5.解：连续可导§3 函数微分的概念一、微分的定义定理：y =f(x )在可微的充分必要条件是f (x )在处可导，且当f (x )在点可微时，其微分一定是0x 0x 0x xx f dy ∆'=)(0(1) 必要性,)(0可微在点x x f ),(x o x A y ∆+∆⋅=∆∴,)(x x o A xy ∆∆+=∆∆∴xx o A x yx x ∆∆+=∆∆→∆→∆)(lim lim 00则.A =).(,)(00x f A x x f '=且可导在点即函数证明),()(0x x x f y ∆⋅α+∆⋅'=∆从而,)(0α+'=∆∆x f xy 即,)(0可导在点函数x x f ),(lim00x f xyx '=∆∆∴→∆),0(0→∆→αx ),()(0x o x x f ∆+∆⋅'=.)(,)(00A x f x x f ='且可微在点函数 ).(.0x f A '=⇔∴可微可导(2) 充分性()()dy d x x x x'==∆=∆?y x dy ==已知函数，求例1处的微分和在求函数312===x x x y 解：处的微分在函数12==x x y 1()2;x dy x x x ='=∆=∆处的微分在3=x xx x dy x ∆=∆'==6)(32例2解：由例2我们把微分常记为0()x x dyf x dx='=()dy f x dx'=二、可微与可导的关系两者是等价的三、微分的几何意义.,,MN MP M x 可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当∆xyo)(x f y =0x MT）αN xx ∆+0y∆x ∆PQ0()dy f x x '=∆tan x α=∆PQ=dy)(x o ∆§4 导数的计算(1) (C)'=0,(2) (xμ)'=μxμ-1,(3) (sin x)'=cos x,(4) (cos x)'=-sin x,(5) (tan x)'=sec2x,(6) (cot x)'=-csc2x,(7) (sec x)'=sec x⋅tan x,(8) (csc x)'=-csc x⋅cot x,(9) (a x)'=a x ln a,(10) (e x)'=e x,(11)axx aln1)(log=',(12)xx1)(ln=',(13)211)(arcsinxx-=',(14)211)(arccosxx--=',(15)211)(arctanxx+=',(16)211)cotarc(xx+-='.一、基本初等函数的导数公式211(17)()x x'=-1(18)()2xx'=二、反函数求导法则)(1])([1y f x f '='-.1(),()x f y y f x -==设函数其反函数为定理则.log 的导数求x y a =,0ln )(≠='a a a yy 且)(1)(log '='y a a x a a y ln 1=.ln 1a x = 是y a x =的反函数x y alog =.的导数求xa y =,0ln 1)(log ≠='ay y a 且)(log 1)('='y a a x ay ln 11=.ln a a x= y 是a x log =的反函数xa y =arctan y x =求的导数tan arctan x y y x ==是的反函数2(tan )sec 0,y x '=≠且1(arctan )(tan )x y '='21sec y =21sec (arctan )x =tan(arctan )x x=22sec (arctan )1tan (arctan )x x =+21x =+21(arctan )1x x'=+三、函数求导的四则运算法则及复合函数求导这部分知识都是我们高中时学过的内容，这里不再介绍，我们通过几个典型的例题加以复习巩固例1解：例2解：四、隐函数的求导1. 函数的表示法直接表示:解析式y=f(x) x∈D, 这样描述的函数称为显函数把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化.一般地,如果变量x 和y 满足一个方程F (x ,y )=0,在一定条件下当x 取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在,那么就说方程F (x ,y )=0在该区间内确定了一个隐函数2. 隐函数定义极其求解有的隐函数可以化成显函数去求导数，但是并不是所有的隐函数都可以显化的，如：sin 0xy xy +=虽然不可以显化，但是求导函数是可以的，方法就是方程两边同时关于x （或y ）求导，一般来说，导函数往往是含有x 和y 的解析式。