《导数及其应用》知识点总结
(完整版)导数知识点总结及应用
《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。
函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。
5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。
高中数学人教版-2导数及其应用知识点总结
a
a
c1
b
f ( x)dx
ck
11 定积分的取值情况 :定积分的值可能取正值，也 可能取负值，还可能是 0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时， 定 积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
（ 2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定 积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的相 反数；
观察、比较
联想、类推
推测新的结论
18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公 理、定理等） 按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 演绎推理是由一．般．到 特．殊．的推理。 19．演绎推理的主要形式：三段论
20.“三段论”可以表示为：①大前题： M是 P②小前提： S 是 M ③结论： S 是 P。
数学选修 2-2 导数及其应用知识点必记
1．函数的平均变化率为 y x
f f (x2 ) f (x1) f ( x1 x) f ( x1 )
x
x2 x1
x
注 1：其中 x 是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的 平均 速度。
2 、 导 函 数 的 概 念 : 函 数 y f (x) 在 x x0 处 的 瞬 时 变 化 率 是
其中①是大前提， 它提供了一个一般性的原理； ②是小前提， 它指出了一个 特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
导数及其应用知识点总结
导数及其应用知识点总结导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。
在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。
一、导数的定义1.函数在其中一点的导数：函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h2.函数的导函数：函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。
二、导数的计算法则1.常数法则：对于常数k，有：(k)'=0。
2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。
3.基本初等函数法则：对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。
4.乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。
5.商数法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^26.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。
三、导数与函数性质的关系1.导函数与函数的单调性：若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。
2.导函数与函数的极值：若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。
3.导函数与函数的凹凸性：函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。
一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。
如果导数存在，则称f(x)在该点可导。
2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。
3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。
b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。
4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。
b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。
2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
《导数和应用》知识点总结
《导数和应用》知识点总结导数是微积分中的重要概念，它是用来描述函数变化率的工具。
本文将总结导数的定义、性质以及它在数学、物理和经济等领域中的应用。
一、导数的定义在数学中，导数是描述函数变化率的概念。
对于一个函数f(x)，在x 点处的导数表示函数在这一点的变化率。
导数的定义如下：f'(x) = lim(h -> 0) [f(x+h) - f(x)] / h其中f'(x)表示f(x)在x点处的导数，h表示一个无限小的增量。
二、导数的性质1.导数的存在性：如果函数f(x)在x点处可导，则它在这一点的导数存在。
2.导数的基本运算法则：- 常数法则：如果c是一个常数，且f(x)是可导函数，则(cf(x))' = cf'(x)。
-和差法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
-积法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
-商法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，并且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²。
3.链式法则：如果函数f(x)和g(x)分别是可导函数，则复合函数(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)。
4.导数的求解法则：- 幂函数法则：对于f(x) = axⁿ，其中a是常数，n是自然数，有f'(x) = anxⁿ⁻¹。
-指数函数法则：对于f(x)=eˣ，有f'(x)=eˣ。
- 对数函数法则：对于f(x) = ln(x)，有f'(x) = 1/x。
- 三角函数法则：对于f(x) = sin(x)和f(x) = cos(x)，有f'(x) = cos(x)和f'(x) = -sin(x)。
导数及其应用总结
第一章导数及其应用知识梳理知识框架导数及其应用1.曲线的切线和切线的斜率:曲线在点00(,)P x y处的切线,是指曲线上点P的邻近点00(,)x x y y+∆+∆Q沿曲线逐渐向点P接近时,割线P Q的极限位置所在的直线.根据切线的定义,切线的斜率应通过极限过程求得,即tan limxyxα∆→∆=∆k=.2.瞬时速度: 非匀速直线运动物体在时刻t的临近时间间隔t∆内的平均速度v(v=st∆∆),当0t∆→时, v的极限值v叫做物体在时刻t的速度,也叫瞬时速度.即limtsvt∆→∆=∆3.导数的定义:设x是函数()y f x=定义域的一点，如果自变量x在x处有增量x∆，则函数值y也引起相应的增量00()()y f x x f x∆=+∆-；比值00()()f x x f xyx x+∆-∆=∆∆称为函数()y f x=在点x到x x+∆之间的平均变化率；如果极限0000()()lim limx xf x x f xyx x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称函数()y f x=在点x处可导，并把这个极限叫做()y f x=在x处的导数，记作()f x'或|x xy='，即()f x'=0000()()lim limx xf x x f xyx x∆→∆→+∆-∆=∆∆.4.几何意义由定义可知函数()y f x=在点x处的导数的几何意义是曲线()y f x=在点00(,)P x y处的切线的斜率. 也就是说，曲线()y f x=在点P(,())x f x处的切线的斜率是()f x'，切线方程为00()().y y f x x x'-=-.5.导函数:函数()y f x=在开区间(,)a b内每一点处的导数都存在,就说()f x在(,)a b内可导,其导数也是(,)a b内的函数,这一新函数叫做()f x在开区间(,)a b内的导函数,记作()f x'或y'(需指明自变量时记作xy') 函数()f x的导函数()f x'在x x=时的函数值()f x'就是()y f x=在点x处的导数.6.几种常见函数的导数:①0;C'=②()1;n nx nx-'=③(sin)cosx x'=; ④(cos)sinx x'=-;⑤();x xe e'=⑥()lnx xa a a'=; ⑦()1ln xx'=; ⑧()1l g loga ao x ex'=.7.可导法则:①()u v u v'''±=±推广:1212()()...()()()...()n ny f x f x f x y f x f x f x''''=+++⇒=+++;②()uv vu v u'''=+;③2(0)u vu v uvv v'''-⎛⎫=≠⎪⎝⎭④()Cu Cμ''=(C为常数);⑤复合函数求导x xy yμμ'''=⋅8.导数的应用:⑴函数的单调性:一般地,设函数()y f x=在某个区间内可导,如果()0f x'>,则()f x为增函数; 如果()0f x'<则()f x为减函数;如果()0f x=׳,则()f x为常数函数.⑵函数的极值: 一般地,设函数()y f x=在点0x附近有定义,如果对0x附近的所有的点,都有0()()f x f x<,则()f x是()f x的一个极大值;如果对x附近的所有的点,都有()()f x f x>,则()f x是()f x的一个极小值.良好的开端，等于成功的一半。
导数知识点归纳及其应用
导数知识点归纳及其应用复习一、相关概念 1．导数的概念：函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy∆∆= 。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =，即f （x 0）=0lim →∆x xy∆∆= 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的 。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是 。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v= 。
二、导数的运算1．基本函数的导数公式:①='c （C 为常数），②()='n x ，N n ∈③()='x sin ，④()='x cos ， ⑤()='x e ⑥ ()='x a ，⑦ ()='x ln ，⑧()='x a log .⑨ ='⎪⎭⎫⎝⎛x 1 ，⑩()='x 。
2．导数的运算法则（v u ,是函数）1： ('')=±v u 2： =')(uv ；若C 为常数， =')(Cu 3：='⎪⎭⎫⎝⎛v u （v ≠0）。
1.某质点的运动方程是2)12(--=t t S ，则在t=1s 时的瞬时速度为（ ） A ．－1 B ．－3 C ．7 D ．132、汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3.设()l n f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（ ）A ．2e B ．e C ．l n 22D ．ln 2 4、求下列函数的导数：（1）xx y 23log += （2）xn e x y = （3） xx y sin 12-= （ 4）xe xf -=2)( 5.曲线122+=x y 在点P （－１，３）处的切线方程为 。
导数知识点总结与应用
导数知识点总结与应用一、导数的定义导数的定义是一个函数在某一点的变化率，通俗地说就是函数在某一点的斜率。
数学上我们用极限的概念来定义导数，设函数y=f(x)，在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim (Δx→0) (f(x0+Δx)- f(x0))/Δx如果这个极限存在的话，我们就称这个导数为存在的。
导数在几何意义上就是函数在某一点的切线的斜率。
二、导数的意义导数不仅仅是一个数学概念，更是反映了函数在不同点的变化情况。
导数告诉我们了函数在某一点的变化率，也就是函数在该点上的速度。
导数在物理中也有广泛的应用，比如在求物体的速度、加速度等等。
在经济学中，导数也有广泛的应用，比如在边际收益、边际成本等等。
三、导数的常用性质1、导数的和差规则：设函数f(x)和g(x)都在点x0具有导数，那么它们的和、差的导数就可以用下面的关系式来表示：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)2、导数的数乘规则：设函数f(x)在点x0具有导数，那么它的数乘k的导数可以用下面的关系式来表示：(k*f(x))' = k*f'(x)3、导数的积法则：设函数f(x)和g(x)都在点x0具有导数，那么它们的积的导数可以用下面的关系式来表示：(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)4、导数的商法则：设函数f(x)和g(x)都在点x0具有导数，并且g(x0)≠0，那么它们的商的导数可以用下面的关系式来表示：(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/[g(x)]^2四、高阶导数由导函数可以得到二阶导数，三阶导数···，n阶导数的定义分别为f''(x) = [f'(x)]'f'''(x) = [f''(x)]'···f^(n)(x) = [f^(n-1)(x)]'几何意义上就是函数在该点的曲率、弯曲程度。
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《导数及其应用》知识点总结
一、导数的概念和几何意义
1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：
2121
()()
f x f x x x --。
2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值
00()()f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。
函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：
00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()
f x x f x x
+∆-∆无限趋
近与一个常数A ，则0()f x A '=. 4. 导数的几何意义：
函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：
（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。
5. 导数的物理意义：
质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。
二、导数的运算
1. 常见函数的导数：
（1）()kx b k '+=(k , b 为常数)； （2）0C '=(C 为常数)； （3）()1x '=；
（4）2()2x x '=； （5）32()3x x '=；
（6）211()x x
'=-；
（7）
'；
（8）1()ααx αx -'=（α为常数）；
（9）()ln (0,1)x x a a a a a '=>≠； （10）11(log )log (0,1)ln a a x e a a x x a '==>≠；
（11）()x x e e '=；
（12）1(ln )x x '=； （13）(sin )cos x x '=；
（14）(cos )sin x x '=-。
2. 函数的和、差、积、商的导数： （1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （2）[()]()Cf x Cf x ''=（C 为常数）；
（3）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；
（4）2()()()()()
[](()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ''-'=≠。
3. 简单复合函数的导数：
若(),y f u u ax b ==+，则x
u x y y u '''=⋅，即x u y y a ''=⋅。
三、导数的应用
1. 求函数的单调性：
利用导数求函数单调性的基本方法：设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导， （1）如果恒()0f x '>，则函数()y f x =在区间(,)a b 上为增函数； （2）如果恒()0f x '<，则函数()y f x =在区间(,)a b 上为减函数； （3）如果恒()0f x '=，则函数()y f x =在区间(,)a b 上为常数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数()y f x =的定义域；②求导数()f x '； ③解不等式()0f x '>，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式()0f x '<，解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）： 设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，
(1)如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为增函数,则()0f x '≥(其中使()0f x '=的x 值不构成区间)；
(2) 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为减函数,则()0f x '≤(其中使()0f x '=的x 值不构成区间)；
(3) 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为常数函数,则()0f x '=恒成立。
2. 求函数的极值：
设函数()y f x =在0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x >（或0()()f x f x <），则称0()f x 是函数()f x 的极小值（或极大值）。
可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：
（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的全部实根，12n x x x <<
<，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x 变化时，()f x '和()f x 值的
变化情况：
（4）检查()f x '的符号并由表格判断极值。
3. 求函数的最大值与最小值：
如果函数()f x 在定义域I 内存在0x ，使得对任意的x I ∈，总有0()()f x f x ≤，则称0()f x 为函数在定义域上的最大值。
函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。
求函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值的步骤： （1）求()f x 在区间(,)a b 上的极值；
（2）将第一步中求得的极值与(),()f a f b 比较，得到()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值。
4. 解决不等式的有关问题：
（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。
()()f x x A ∈的值域是[,]a b 时，
不等式()0f x <恒成立的充要条件是max ()0f x <，即0b <；
不等式()0f x >恒成立的充要条件是min ()0f x >，即0a >。
()()f x x A ∈的值域是(,)a b 时，
不等式()0f x <恒成立的充要条件是0b ≤； 不等式()0f x >恒成立的充要条件是0a ≥。
（2）证明不等式()0f x <可转化为证明max ()0f x <，或利用函数()f x 的单调性，转化为证明0()()0f x f x <≤。
5. 导数在实际生活中的应用：
实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。