三角形角平分线专题讲解(精选.)
拓展二：解三角形三角形中线,角平分线问题 (精讲)(原卷版)
拓展二：三角形中线，角平分线问题 (精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1: 三角形中线问题（向量化法）题型2：三角形中线问题（角互补法）题型3：三角形角平分线（比例法）题型4：三角形角平分线（等面积法）题型5：三角形角平分线（边长比与面积比关系）题型6：三角形角平分线（角互补法）三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析一、三角形中线问题方法1、向量化如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）方法2、角互补ADC ADB π∠+∠=⇒cos cos 0ADC ADB ∠+∠=二、角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c 方法1：内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BD AC DC= 方法2：等面积法(使用频率最高）ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ 方法3：边与面积的比值：ABDADC S AB AC S =方法4：角互补： ADB ADC π∠+∠=⇒cos cos 0ADB ADC ∠+∠=·全国·高三专题练习）锐角ABC中，角CD长的取值范围．在ABC中，角(1)求角A；b=，，求ABC的BC(2)若2题型2：三角形中线问题（角互补法）秋·云南昆明·高一统考期中）在ABC中，内角已知ABC的面积；BC上的中线为.秋·江苏镇江·高一校考期中）在ABC中，内角(1)求角A；，求ABC的面积在ABC(1)求BAM∠的正弦值；一模）ABC的内角,c ABC的面积求ABC外接圆面积的最小值．（2022·四川宜宾统考模拟预测）ABC的内角，求ABC的周长；边的中点为D，求中线的最大值.设ABC中角(1)求b边的长度；，求ABC的面积；分别为ABC，求ABC的面积(1)求证：2AB AC=；春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知ABC的内角，ABC的面积为c的值.秋·河北衡水·高一校考阶段练习）记ABC 的内角0B =．的角平分线交秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知ABC 中，角的角平分线．ABC ABD S S △△sin C ∠(1)求cos C及线段BC的长；ABC中，已知545cos7 AB AC B，，.AD的长．高二校考阶段练习）在ABC中，内角BD＝1，求ABC的周长．统考模拟预测）在ABC中，内角C所对的边分别为的内角平分线交，求BDC的面积，求CD长高三专题练习）已知ABC的内角，ACDABCSS=△△高三专题练习）如图，在ABC中，ABDADCSS的值；1,=AC校考模拟预测）已知ABC的内角+=;条件30c这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题=⋅．OM ON的解析式和最小正周期；中，角A，B，C所对的边为3，求△ACDABC中，3，求a 统考一模）在ABC中，内角，3⋅=，是ABC的中线，求BA AC(1)MPN ∠的余弦值．统考模拟预测）向量2sin m ⎛= ⎝，6cos 2n ⎛= ⎝()2m m n =⋅+.求函数()f x 的对称中心；在ABC中，()C恰好为函数．（2022·广东汕头(1)求证：::=；AD AB CD CB是ABC的角平分线，且，求ABC的面积浙江省春晖中学校考模拟预测）在ABC中，AC，BC=∠的角平分线60，ABC的面积等于，BAC___________.。
专题02 三角形角平分线模型的应用(解析版)
专题02 三角形角平分线模型的应用参考答案与解析【考点1 双内角平分线】【条件】BP 、CP 分别为∠ABC 、∠ACB 的角平分线.【结论】∠P=90°+∠A.【例1】（2019春•东阿县期末）已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．如图1，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线BO 与∠ACB 的角平分线CO 的交点为O（1）若∠A ＝70°，求∠BOC 的度数；（2）若∠A ＝a ，求∠BOC 的度数；【答案】（1）∴∠BOC ＝125°（2）∴∠BOC ＝90°+21【直击考点】 【典例分析】【解答】解：（1）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°；（2）∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣α）＝90°﹣，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣）＝90°+【变式1】（2021秋•四川）如图，△ABC中，（1）若∠B＝70°，点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，求∠APC的度数．（2）如果把（1）中∠B＝70°这个条件去掉，试探索∠APC和∠B之间有怎样的数量关系．【答案】（1）∴∠P＝180°﹣55°＝125°（2）∠APC=＝90°+∠B【解答】解：（1）∵∠B＝70°，∴∠BAC+∠BCA＝110°，∵点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P AC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，∴∠P AC+∠PCA＝（∠P AC+∠PCA）＝×110°＝55°，∴∠P＝180°﹣55°＝125°；（2）∵点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P AC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，∴∠P AC+∠PCA＝（∠P AC+∠PCA），∴∠P＝180°﹣（∠P AC+∠PCA）＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣（180°﹣∠B）＝90°+∠B．【变式2】（2021春•松北区期末）如图，∠ABD＝15°，∠ACD＝30°，∠A＝45°，则∠BDC的度数为°．【答案】90【解答】解：延长BD交AC于点E，∵∠CEB＝∠A+∠ABD，∠BDC＝∠CEB+∠ACD，∴∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD，∵∠ABD＝15°，∠ACD＝30°，∠A＝45°，∴∠BDC＝45°+30°+15°＝90°，故答案为90．【考点2 双外角平分线】【条件】BP 、CP 分别为∠EBC 、∠BCD 的角平分线.【结论】∠P=90°-∠A.【例2】（2021春•沈丘县期末）如图，已知∠ABC 、∠ACB 的外角平分线交于D 点．∠A＝40°，那么∠D ＝ ．【答案】70°【解答】解：∵∠A ＝40°，∠ABC +∠A +∠ACB ＝180°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC +∠CBF ＝180°，∠ACB +∠BCE ＝180°，∴∠ABC +∠CBF +∠ACB +∠BCE ＝360°，∴∠CBF +∠BCE ＝360°﹣140°＝220°，∵BD 平分∠CBF ，CD 平分∠BCE ，∴∠DBC +∠DCB ＝（∠CBF +∠BCE ）＝110°，∵∠DBC +∠DCB +∠D ＝180°，∴∠D ＝180°﹣110°＝70°，故答案为70°．【变式1】（2020秋•讷河市期末）在△ABC 中，∠B ＝58°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF的平分线交于点E ，则∠AEC ＝ ．21【答案】61°【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠ACF，∵∠DAC＝∠B+∠2，∠ACF＝∠B+∠1∴∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠2）+（∠B+∠1）＝（∠B+∠B+∠1+∠2），∵∠B＝58°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF＝119°∴∠AEC＝180°﹣（∠DAC+∠ACF）＝61°．故答案是：61°．【变式2】（2020秋•前郭县期末）如图所示，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB；BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角．（1）若∠BAC＝70°，求：∠BOC的度数；（2）探究∠BDC与∠A的数量关系．（直接写出结论，无需说明理由）【答案】（1）∠A=70°（2）∠BDC＝90°﹣∠A【解答】解：（1）∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝70°，∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣70°）＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°；（2）∠BDC＝90°﹣∠A．理由如下：∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠BCD＝（∠A+∠ABC）、∠DBC＝（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得，∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠DBC，＝180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，＝180°﹣（∠A+180°），＝90°﹣∠A；【考点3内外角平分线】【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的角平分线.【结论】∠A=2∠P.【例3】（2021春•莲湖区期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A﹣∠P＝（）A．70°B．60°C．50°D．40°【答案】B【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP ＝20°，∠ACP＝60°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝120°，∠MCP＝∠ACP＝60°，∠CBP ＝∠ACP＝20°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝120°﹣40°＝80°，∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝60°﹣20°＝40°，∴∠A﹣∠P＝80°﹣40°＝40°，故选：D．【变式1】（2020秋•莲湖区期末）如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线．（1）求证：∠A＝2∠E；（2）若∠A＝∠ABC，求证：AB∥CE．【答案】（1）略（2）略【解答】证明：（1）∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，（已知），∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（三角形外角的性质），∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性质），∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线（已知），∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（角平分线的性质），∴∠A＝2∠2﹣2∠1（等量代换），＝2（∠2﹣∠1）（提取公因数），＝2∠E（等量代换）；（2）由（1）可知：∠A＝2∠E∵∠A＝∠ABC，∠ABC＝2∠ABE，∴2∠E＝2∠ABE，即∠E＝∠ABE，∴AB∥CE．【变式2】（2021春•宽城县期末）如图，△ABC中，∠A＝100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC＝，若BM、CM分别是∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠M＝．【答案】140°；40°【解答】解：∵∠A ＝100°，∵∠ABC +∠ACB ＝180°﹣100°＝80°，∵BI 、CI 分别平分∠ABC ，∠ACB ，∴∠IBC ＝∠ABC ，∠ICB ＝∠ACB ，∴∠IBC +∠ICB ＝∠ABC +∠ACB ＝（∠ABC +∠ACB ）＝×80°＝40°，∴∠I ＝180°﹣（∠IBC +∠ICB ）＝180°﹣40°＝140°；∵∠ABC +∠ACB ＝80°，∴∠DBC +∠ECB ＝180°﹣∠ABC +180°﹣∠ACB ＝360°﹣（∠ABC +∠ACB ）＝360°﹣80°＝280°，∵BM 、CM 分别是∠ABC ，∠ACB 的外角平分线，∴∠1＝∠DBC ，∠2＝ECB ，∴∠1+∠2＝×280°＝140°，∴∠M ＝180°﹣∠1﹣∠2＝40°．故答案为：140°；40°．1．（2020秋•薛城区期末）如图，CD 、BD 分别平分∠ACE 、∠ABC ，∠A ＝80°，则∠BDC 【跟踪训练】＝（）A．35°B．40°C．30°D．45°【答案】B【解答】解：∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∵CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∴∠DCE＝∠ACE，∠DBE＝∠ABC，∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝∠ACE﹣∠ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝＝＝40°，故选：B．2．（2020春•江阴市期中）AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD ＝（）A．25°B．60°C．85°D．95°【答案】D【解答】解：∵AD是∠CAE的平分线，∴∠EAC＝2∠DAE＝120°，∴∠ACB＝∠EAC﹣∠B＝85°，∴∠ACD＝180°﹣85°＝95°，故选：D．3．（2019秋•保山期末）如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°【答案】A【解答】解：∵∠A＝27°，∠C＝38°，∴∠AEB＝∠A+∠C＝65°，∵∠B＝45°，∴∠DFE＝65°+45°＝110°，故选：A．4．（2021春•淮阳区期末）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】C【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACM，∴∠PCM＝ACM，∠PBC＝ABC，∵∠ACM＝∠ABC+∠BAC，∠PCM＝∠PBC+∠BPC，∴∠PCM＝ABC+BAC＝+∠BPC，∴∠BPC＝∠BAC＝40°，∴∠BAC＝80°，∴∠NAC＝100°，∴∠NAP＝50°，故选：C．5．（2021春•茌平区期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC＝130°，则∠D的度数为（）A．25°B．30°C．40°D．50°【答案】C【解答】解：由题意得：CO，CD分别平分∠ACB，∠ACF，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACD＝∠ACF，∵∠ACB+∠ACF＝180°，∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝90°，∵∠BOC＝130°，且∠BOC是△OCD的外角，∴∠D＝∠BOC﹣∠OCD＝130°﹣90°＝40°．故选：C.6．（2020秋•费县期末）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，…，若∠A＝α，则∠A2021为．【答案】【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，∴∠A1＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1，∠A3＝∠A2，……则∠A2021＝∠A＝．故答案为：．8．（2021春•衡阳县期末）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．【解答】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．15。
专题02_三角形的高、中线、角平分线_(知识点串讲)(解析版)
专题02 三角形的高、中线、角平分线重点突破知识点一三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
知识点二三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。
重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
（选学）三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
知识点三三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
考查题型考查题型一画三角形的高典例1（2020·泉州市期中）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出.【详解】根据定义可得A是作BC边上的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高.故选A.变式1-1．（2018·梁平区期末）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】试题解析：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误.故选D.变式1-2．（2020·海淀区期末）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】详解：三角形的高必须是从三角形的一个顶点向对边或对边的延长线作的垂线段.可以判断A,B,C虽然都是从三角形的一个顶点出发的，但是没有垂直对边或对边的延长线.故选D.变式1-3．（2020·苏州市期中）如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（）A．CF B．BE C．AD D．CD【答案】B【解析】试题提示：根据图形，BE是△ABC中AC边上的高．故选B．变式1-4．（2019·杭州市期中）如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形的个数有（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】结合三角形高的定义可知，以AD为高的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC，共6个.故选D考查题型二与三角形高有关的计算典例2．（2019·济南市期中）如图，在直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是( )A．三角形面积随之增大B．∠CAB的度数随之增大C．BC边上的高随之增大D．边AB的长度随之增大【答案】C【提示】根据三角形的面积公式、角和线段大小的比较以及三角形高的定义进行解答即可．【详解】解：A、在直角三角形ABC中，S△ABC=12BC•AC，点B沿CB所在直线远离C点移动时BC增大，则该三角形的面积越大．故A正确；B、如图，随着点B的移动，∠CAB的度数随之增大．故B正确；C、BC边上的高是AC，线段AC的长度是不变的．故C错误．D、如图，随着点B的移动，边AB的长度随之增大．故D正确；故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形的面积，角和线段大小的比较以及三角形高的定义，解题时要注意“数形结合”数学思想的应用．变式2-1．（2020·毕节市期末）如图，△ABC 中，D ，E 分别是BC 上两点，且BD=DE=EC ，则图中面积相等的三角形有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对【答案】A 【提示】根据三角形的面积公式，知：只要同底等高，则两个三角形的面积相等，据此可得面积相等的三角形．【详解】由已知条件，得△ABD ，△ADE ，△ACE ，3个三角形的面积都相等，组成了3对，还有△ABE 和△ACD 的面积相等，共4对.故选A.【名师点拨】本题考查了三角形的相关知识，解题的关键是熟练的掌握三角形面积公式与运用.变式2-2．（2020·龙岩市期中）如图，AD ，CE 是△ABC 的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC 的长是（ ）A ．10B ．10.8C ．12D ．15【答案】B 【解析】∵AD ，CE 是△ABC 的两条高，AD=10，CE=9，AB=12，∴△ABC 的面积=12×12×9=12BC ⋅AD=54， 即12BC ⋅10=54，解得BC=10.8.故选B.变式2-3．（2018·合肥市期中）如图所示，AD CE BF 、、是ABC ∆的三条高，654AB BC AD ===，，，则CE =（ ）A ．245B ．152C ．103D ．3【答案】C【提示】根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：因为AD 、CE 、BF 是△ABC 的三条高，654AB BC AD ===，，，所以可得：12BC•AD=12AB•CE ， 可得：CE=•BC AD AB ＝546⨯＝103． 故选C ．【名师点拨】此题考查三角形的面积，关键是根据同一三角形面积相等来提示．变式2-4．（2018·烟台市期末）如图，在△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，并且CD 、BE 交于点P ，若∠A=50°，则∠BPC 等于（ ）A ．90°B ．130°C ．270°D ．315°【答案】B 【详解】根据∠A=50°可得∠ABC+∠ACB=130°，根据CD ⊥AB ，BE ⊥AC 可得∠ABE=40°，∠ACD=40°，则∠PBC+∠PCB=130°－40°－40°=50°，则∠BPC=180°－50°=130°. 故选：B.变式2-5．（2019·荆门市期末）如图，三角形ABC ，∠BAC =90︒，AD 是三角形ABC 的高，图中相等的是（ ）．A ．∠B =∠CB ．∠BAD=∠BC ．∠C =∠BAD D ．∠DAC=∠C【答案】C 【提示】根据直角三角形的性质可得∠B +∠C =90︒，由AD 是三角形ABC 的高，可得∠BDA=∠ADC =90︒，再运用三角形内角和定理依次判断即可.【详解】∵∠BAC =90︒，∴∠B +∠C =90︒，故选项A 错误；∵AD 是三角形ABC 的高，∴∠BDA=90︒，∴∠BAD+∠B=90︒，故选项B 错误；∵∠BAC =90︒，∴∠BAD+ ∠DAC=90︒，又∵∠ADC =90︒，∴∠DAC+ ∠C=90︒，∴∠C=∠BAD，故选项C正确，选项D错误.故选C.【名师点拨】本题考查了三角形的高线以及三角形的内角和定理，属于基础题型.变式2-6．（2019·济南市期中）如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为( )A．12 B．14 C．16 D．18【答案】D【提示】连接AE和CD，要求三角形DEF的面积，可以分成三部分（△FCD+△FCE+△DCE）来分别计算，三角形ABC是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行提示计算，即可解得△DEF的面积．【详解】解：连接AE和CD，∵BD=AB，∴S△ABC=S△BCD=1，S△ACD=1+1=2，∵AF=3AC，∴FC=4AC，∴S△FCD=4S△ACD=4×2=8，同理可以求得：S△ACE=2S△ABC=2，则S△FCE=4S△ACE=4×2=8；S△DCE=2S△BCD=2×1=2；∴S△DEF=S△FCD+S△FCE+S△DCE=8+8+2=18．故选：D．【名师点拨】本题考查三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度．考查题型三三角形中线有关的长度计算典例3．（2018·秦皇岛市期中）如图，AE 是ABC 的中线，已知EC 4=，DE 2=，则BD 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】A【解析】试题解析：∵AE 是△ABC 的中线，EC=4，∴BE=EC=4，∵DE=2，∴BD=BE-DE=4-2=2．故选A ．变式3-1．（2019·肇庆市期中）已知AD 是△ABC 的中线，且△ABD 比△ACD 的周长大3cm ，则AB 与AC 的差为( ) A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．6cm【答案】B【提示】根据三角形中线的定义可得BD=CD ，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．【详解】解：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC ，∴△ABD 与△ACD 的周长之差=（AB+AD+BD ）-（AC+AD+CD ）=AB-AC ，∵△ABD 比△ACD 的周长大3cm ，∴AB 与AC 的差为3cm ．故选B ．【名师点拨】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于AB-AC 是解题的关键．变式3-2．（2020·哈尔滨市期中）如图，三角形ABC 中，D 为BC 上的一点，且S △ABD =S △ADC ，则AD 为（ ）A ．高B ．角平分线C ．中线D ．不能确定【答案】C【解析】解：设BC边上的高为h，∵S△ABD=S△ADC，∴，故BD=CD，即AD是中线．故选C．变式3-3．（2019·临清市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB 与AC的和为13cm，那么AC的长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm【答案】B【提示】根据中线的定义知CD=BD．结合三角形周长公式知AC-AB=5cm；又AC+AB=13cm．易求AC的长度．【详解】∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD=BD．∵△ADC的周长-△ABD的周长=5cm．∴AC-AB=5cm．又∵AB+AC=13cm，∴AC=9cm．即AC的长度是9cm．故选B.【名师点拨】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出AC-AB=5cm，是解题的关键．考查题型四三角形中线有关的面积计算典例4．（2020·渠县期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且△ABC的面积为4cm2，则△BEF的面积等于（）A．2cm2B．1cm2C．0．5 cm2D．0．25 cm2【答案】B【提示】依据三角形的面积公式及点D 、E 、F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，推出14BEF ABC SS ∆=从而求得△BEF 的面积．【详解】解：∵点D 、E 、F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 1111,,,2222ABD ABC BDE ABD CDE ADC BEF BEC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∴==== 14BEF ABC S S ∆∆∴= ∵△ABC 的面积是4，∴S △BEF =1．故选：B【名师点拨】本题主要考查了与三角形的中线有关的三角形面积问题，关键是根据三角形的面积公式S=12×底×高，得出等底同高的两个三角形的面积相等．变式4-1．（2018·鄂尔多斯市期中）如图，△ABC 的面积为12cm 2，点D 在BC 边上，E 是AD 的中点，则△BCE 的面积是（ ）A ．4cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2D ．6cm 2【答案】B 【解析】∵E 是AD 的中点，∴S △BDE =12S △ABD ，S △DEC =12S △ADC ， ∴△BCE 的面积=S △BDE +S △DEC =12×（S △ABD +S △ADC ）=12×△ABC 的面积=6， 故选B ．名师点拨：本题考查的是三角形的面积的计算，掌握三角形的一条中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．变式4-2．（2019·沧州市期末）如图，D ，E ，F 分别是边BC ，AD ，AC 上的中点，若S 阴影的面积为3，则△ABC 的面积是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【提示】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，111222ABD ACD ABC BDE ABD ADF ADC SS S S S S S ====，，，再得到1148BDE ABC DEF ABC S S S S ==，，所以83ABC S S =阴影部分即可得出. 【详解】∵D 为BC 的中点 ∴1122BDE ABD ADF ADC S S S S ==，，12DEF ADF S S =∴1148BDE ABC DEF ABC S S S S ==， ∴BDE S △+DEF S △=14ABC S +18ABC S =38ABC S ∴ABC S =83S 阴影部分=83×3=8 故选：D【名师点拨】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，根据中线找出图中三角形的面积关系是解决本题的关键.变式4-3．（2019·温州市期中）如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上的一点，E ，F 分别是AD ，BE 的中点，连结CE ，CF ，若S △CEF ＝5，则△ABC 的面积为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．30【答案】B 【提示】根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案【详解】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得∵F 是BE 的中点，S △CFE ＝S △CFB ＝5，∴S △CEB ＝S △CEF +S △CBF ＝10，∵E 是AD 的中点，∴S △AEB ＝S △DBE ，S △AEC ＝S △DEC ，∵S △CEB ＝S △BDE +S △CDE∴S △BDE +S △CDE ＝10∴S △AEB +S △AEC ＝10∴S △ABC ＝S △BDE +S △CDE +S △AEB +S △AEC ＝20故选：B．【名师点拨】熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中家以应用. 考查题型五三角形重心的有关性质典例5．（2019·北京市期中）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（）A．三边高的交点B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．三边中线的交点【答案】D【提示】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心，∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，故选D．【名师点拨】考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．变式5-1．（2019·泉州市期中）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD和BE相交于点G，若AD=6，则AG的长度为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【提示】根据D、E分别是边BC，AC的中点，AD、BF相交于G，即可得出G为三角形的重心，利用重心的性质得出AG的长即可.【详解】∵D、E分别是边BC，AC的中点，AD、BF相交于G∴G为△ABC的重心∴AG=2DG∵AD=6∴AG=4故选C.【名师点拨】本题考查的是三角形的重心性质，能够判断出点G 是三角形的重心是解题的关键.考查题型六 三角形的角平分线典例6．（2019·滨州市期末）如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）A ．59°B ．60°C ．56°D ．22°【答案】A 【详解】根据题意可得，在△ABC 中，70,48︒︒∠=∠=C ABC ，则62︒∠=CAB ，又AD 为△ABC 的角平分线，1262231︒︒∴∠=∠=÷=又在△AEF 中，BE 为△ABC 的高∴90159359︒︒︒∠=-∠=∴∠=∠=EFA EFA变式6-1．（2019·宁德市期末）如图，已知AE 是ΔABC 的角平分线，AD 是BC 边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE 的大小是（ ）A ．5°B ．13°C ．15°D ．20°【答案】C 【提示】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE 是∠BAC 的平分线，可求∠BAE=41°，再由AD 是BC 边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE ，问题得解．【详解】在△ABC 中，∵∠ABC=34°，∠ACB=64°, ∴∠BAC=180°−∠B−∠C=82°，∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE=∠CAE=41°. 又∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°−∠B=56°，∴∠DAE=∠BAD −∠BAE =15°.【名师点拨】在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.变式6-2．（2019·信阳市期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（）A．4 B．3 C．6 D．5【答案】B【解析】过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3.故选B.变式6-3．（2019·合肥市期中）如图所示，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE 等于（）A．20°B．18°C．45°D．30°【答案】A【提示】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE的度数，进而得出答案．【详解】∵AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAD=14°，∠CAD=54°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°， ∴∠DAE=34°-14°=20°．故选：A ．【名师点拨】此题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠DAE 的度数是解题关键．变式6-4．（2020·泰兴市期中）如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，∠A=50°，BE 、CF 相交于D ，则∠BDC 的度数是（ ）A ．115°B ．110°C ．100°D ．90°【答案】A【提示】由于∠A=50°，根据三角形的内角和定理，得∠ABC 与∠ACB 的度数和，再由角平分线的定义，得∠DBC+∠DCB 的度数，进而求出∠BDC 的度数．【详解】∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵BE 、CF 是△ABC 的角平分线，∴1122EBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，，∴()1652EBC FCB ABC ACB ∠+∠=⨯∠+∠=︒，∴∠BDC=180°﹣65°=115°，故选A ．【名师点拨】考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.变式6-5．（2019·西安市期末）如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC 的大小为()A ．135°B ．120°C ．90°D ．60°【答案】B【提示】由条件可知O为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A），在△BOC中利用三角形的内角和定理可求得∠BOC．【详解】∵O到三边的距离相等∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A)∵∠A=60°∴∠OBC+∠OCB=60°∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−60°=120°故选B.【名师点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线把一个角分成两个相等的角是解题的关键．。
解三角形的角平分线问题(最新版)
解三角形专题------角平分线与三角形4心秒杀秘籍一：张角定理在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，连接AD ，设βα=∠=∠CAD BAD ,，则一定有ABAC AD βαβαsin sin )sin(+=+，（证明：等积法） 【例1】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC=120°，BD△BC 交AC 于点D ，且BD=1，则2a +c 的最小值为 .【例2】在在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知点D 在BC 边上，AD△AC ，sin△BAC=322，AB=23，AD=3，则CD 的长为【例3】（2015年全国课标卷II ）在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分△BAC ，△ABD 的面积是△ACD 面积的2倍.（1）求CBsin sin 的值；（2）若22,1==DC AD ，求BD 和AC 的长.秒杀秘籍二：角平分线张角定理，当βα=时， ①)(21cos c AD b AD +=α（角平分线张角定理） ②ααtan sin )(212AD c b AD S ABC ≥+=∆（角平分线面积） 证明：αααααααtan sin 2sin 2sin sin )(21sin )11(212sin 21∆∆==≥+=+⋅==S AD S AD bc AD c b AD AD c b bc bc S 【例4】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，b cosC=a ,点M 在线段AB 上，且△ACM=△BCM ，若b=6CM=6，则cos△BCM=（ ）46.47.43.410.D C B A 【例5】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，32π=∠ABC ，△ABC 的平分线交AC 于点D ，BD=1，则a +c 的最小值为 .【例6】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，32π=∠ABC ，BD 平分△ABC 交AC 于点D ，BD=2，则△ABC 的面积的最小值为（ ）36.35.34.33.D C B A秒杀秘籍3：角平分线之斯库顿定理如图，AD 是△ABC 的角平分线，则DC BD AC AB AD ⋅-⋅=2.就其位置关系而言：中方=上积-下积 求证：AC AB DC BD AD ⋅=⋅+2,,~ACAEAD AB ADC ABE =∴∆∆ 即,)(,AC AB DE AD AD AC AB AE AD ⋅=+⋅∴⋅=⋅证毕注意：角平分线张角定理强调的是角度，斯库顿定理强调的是长度，斯库顿定理可以绕过求张角而直接求出三角形的各边长，通常和内角平分线定理合在一起出考题.【例7】在△ABC 中，AB=5，AC=7，BC=6，△A 的平分线AD 交BC 于点D ，则AD= . 【例8】在△ABC 中，△C=2△B ，AC=3，BC=5，求AB 之长. 秒杀秘籍4：角平分线之倍角定理)(2);(2);(2222b c c a C A a b b c B C c a a b A B +=⇔=+=⇔=+=⇔=，这样的三角形称为“倍角三角形”【例9】在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（ ）2524.257.257.257.D C B A ±-【例10】设锐角△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且c=1，A=2C ，则△ABC 周长的取值范围为（ ）]33,22.()33,22.()33,0.()22,0.(++++++D C B A【例11】在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若bc b a +=22且)2,3(ππ∈A ，则ba的取值范围是 .【12】如图，四边形ABCD 中，CE 平分△ACD ，AE=CE=32，DE=3，若△ABC=△ACD ，则四边形ABCD 周长的最大值为（ ）3315.318.3312.24.++D C B A例1、设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为_______例2、若点O 在ABC ∆的内部，且053=++OB OC OA ，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是________. 例3、若点O 在ABC ∆的内部，且02 =++OC m OB OA ，74=∆∆ABC AOB S S ，则实数m =_________. 例4、（2016清华大学自主招生）若点O 在ABC ∆的内部，2:3:4::=∆∆∆AOC BOC AOB S S S ,设AC AB AO μλ+=，则实数λ=_____，μ=_____.例5、已知ABC Δ的外接圆的圆心为O ，且60∠=A ，若)∈β,α(βαR AC AB AO +=，则βα+的最大值是 能力提升1、已知ABC ∆中，I 为内心，,4,3,2===AB BC AC 且AC y AB x AI +=,则，则y x +的值为______ .2、设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足)0(,43>=+m AB m PC PA ，若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积是_______.3、在ABC ∆中，H BC AC AB ,2,3,4===为ABC ∆的垂心，AC y AB x AH +=，则xy=______. 4、已知G 是ABC ∆的重心，点N M ,分别在边AC AB ,上，满足AN y AM x AG +=,1=+y x ，若,43AB AM =则ABC ∆和AMN ∆的面积之比是____________.5、正三角形ABC 内一点M ，满足CB n CA m CM +=，45=∠MCA ，则nm=______________. 6、已知ABC ∆的外接圆O 的半径为1，且BC BA BO μλ+=，若60=∠ABC ，则μλ+的最大值是________. 7、已知点O 是锐角ABC ∆的外心，3π=∠A ，且OC y OB x OA +=，则y x -2的取值范围是_______________.三角形的四“心”，四“线”① 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的重心．已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.② P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．③ 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的内心．已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．④ 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心．已知O 是平面上的一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心。
专题16 角平分线四大模型(解析版)
专题16 角平分线四大模型(解析版)角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
在几何学中，角平分线是一种重要且常见的构造，它具有许多有用的性质和应用。
本专题将介绍角平分线的四大模型，并对其进行解析。
1. 模型一：角内角平分线模型角内角平分线是指从一个角的内部点出发，将该角分成两个相等的内角的线段。
这种模型在解决一些与角相关的问题时非常有用。
例如，考虑一个三角形ABC，D点在角BAC的内部，且BD与CD分别是角BAC的内角平分线，我们可以推导出：∠BDC = 1/2 * ∠BAC。
这个模型在证明角内角平分线性质时发挥了关键作用。
2. 模型二：角外角平分线模型角外角平分线是指从一个角的外部点出发，将该角的外角分成两个相等的外角的线段。
这种模型在解决一些与外角相关的问题时也非常有用。
以正五边形ABCDE为例，点F在边AB延长线上，且∠BCD为角ACD的外角，则可以得出：∠BCD = 1/2 * ∠ACD。
这个模型在讨论外接角平分线性质时起到了重要作用。
3. 模型三：角平分线的垂直性模型角平分线的垂直性模型是指在一个三角形中，三条角平分线相交于一个点，且该点与三个三角形的顶点连线垂直。
以三角形ABC为例，如果AD、BE、CF为三个角平分线，且它们交于点O，则有AO ⊥BC，BO ⊥ AC，CO ⊥ AB。
这个模型在解决垂直关系问题时具有重要的应用价值。
4. 模型四：角平分线的外角关系模型角平分线的外角关系模型是指一个三角形的三个外角等于一个直角的两倍。
以三角形ABC为例，∠BAC的外角是∠ACD，∠ABC的外角是∠BCE，∠BCA的外角是∠CAD，则∠ACD + ∠BCE + ∠CAD = 2 * 90°。
这个模型在研究外角关系时起到重要的辅助作用。
综上所述，角平分线四大模型提供了解决各种与角有关问题的有力工具。
这些模型不仅在几何学中具有广泛的应用，而且在其他科学领域中也有其独特的价值。
专题07 角的平分线性质(知识点串讲)(解析版)
专题07 角的平分线性质知识网络重难突破知识点一角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．数学语言：∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB∴∠MOP=∠NOP典例1 （2018春 泰安市期中）如图，在△ABC 中，BE 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过点E 作DF∥BC 交AB 于D ，交AC 于F ，若AB=4，AC=3，则△ADF 周长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．10【答案】B【详解】 因为∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，所以∠ABE=∠EBC，∠ACE=∠ECB.因为DF∥BC，所以∠EBC=∠BED，∠ECB=∠FEC，则DE=DC ，EF=FC ，则DF=DE+EF=DB+FC ，所以△ADF 周长=3+4=7.故选择B 项.典例2 （2019春 邯郸市期中）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OD 平分∠AOE，∠BOC=50°，则∠EOB=（ ）A.50°B.60°C.70°D.80°【答案】D【详解】 解：∵∠BOC=50°，∴∠AOD=50°，∴∠AOE=100°，∠EOB=180°-100°=80°，故选D.典例3 （2018出 盐城市期末）如图，AOB ∠与AOC ∠互余，AOD ∠与AOC ∠互补，OC 平分BOD ∠，则AOB∠的度数是（）A.20︒B.22.5︒C.25︒D.30°【答案】B【详解】解：∵∠AOB与∠AOC互余，∠AOD与∠AOC互补，∴∠AOB=90°-∠AOC，∠AOD=180°-∠AOC，∴∠BOD=∠AOD-∠AOB=90°，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=45°，∴∠AOC=45°+∠AOB，∴∠AOB=90°-∠AOC=90°-（45°+∠AOB），∴∠AOB=22.5°，故选：B．知识点二角平分线常考四种辅助线：⏹图中有角平分线，可向两边作垂线。
培优专题3：三角形中与角平分线有关的规律探究
30°
.
3. 如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，∠ ACB ＝60°，点 P 为 BC 上任意一点，
可以与点 C 重合但不与点 B 重合， AD 平分∠ BAP ， BD 平分∠ ABP .
（1）当点 P 与 C 重合时，∠ ADB 的度数为 120°
（2）当 AP ⊥ BC 时，∠ ADB 的度数为 135°
◉答案 解：（2）由题意知∠ B ＝∠ C ＋ x °.∵ AF 平分∠ BAC ，∴∠
BAE ＝∠ CAE . 又∵∠ BAE ＋∠ B ＋∠ AEB ＝∠ CAE ＋∠ C ＋∠
AEC ，∴∠ B ＋∠ AEB ＝∠ C ＋∠ AEC ，∴∠ AEC ＝∠ AEB ＋ x °.又
∵∠ AEB ＋∠ AEC ＝180°，∴∠ AEB ＋∠ AEB ＋ x °＝180°，∴∠
DB ， DC ， BC 的延长线上， BE ， CE 分别平分∠ MBC ，∠ BCN ， BF ， CF 分别
52° .
平分∠ EBC ，∠ ECQ ，若∠ F ＝16°，则∠ A ＝
第9题图
规律四：角平分线与高线的夹角
方法归纳：三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角度数之差的
一半.如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于点 D ， AE 平分∠ BAC ，则∠ EAD ＝
（∠ B －∠ C ）（其中∠ B ＞∠ C ）.
10. （深圳期中）如图，△ ABC 中， AD ⊥ BC ， AE 是∠ BAC 的平分线，∠ B ＝
60°，∠ BAC ＝84°，则∠ DAE ＝
1. [模型观念]如图，点 O 是△ ABC 中∠ ABC 的平分线与∠ ACB 的平分线的交点，
三角形角平分线专题讲解(精选.)
由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律， 在解决几何问题中大 胆地去猜想， 按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所 涉及到的辅助线作以介绍。
如图 1-1 ，∠∠，如取，并连接、 ，则有△≌△，从而为我们 证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图 1-2 ，，平分∠，平分∠， 点 E 在上，求证：。
分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形， 对称图形， 同时此题也是证明线段的和差倍分问题， 在证明线段 的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明， 延长 短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论 延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等， 进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明 的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全 等自已证明。
此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证 明。
自已试一试。
例2． 已知：如图 1-3 ，2，∠∠，，求证⊥即利用解平分线来构造轴 图1-2分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明。
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二由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之图1-1B上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，∠∠，如取，并连接、，则有△≌△，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图1-2，，平分∠，平分∠，点E 在上，求证：。
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
例2． 已知：如图1-3，2，∠∠，，求证⊥图1-2DBC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明。
例3． 已知：如图1-4，在△中，∠2∠平分∠，求证：分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。
试试看可否把短的延长来证明呢？练习1． 已知在△中，平分∠，∠2∠C ，求证：2． 已知：在△中，∠2∠B ，平分∠交于E ，2，求证：2 3． 已知：在△中，>为∠的平分线，M 为上任一点。
求证：> 4．已知：D 是△的∠的外角的平分线上的任一点，连接、。
求证：>。
ABC图1-4ABC（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1． 如图2-1，已知>, ∠∠。
求证：∠∠180分析：可由C 向∠的两边作垂线。
近而证∠与∠B 之和为平角。
例2． 如图2-2，在△中，∠90 ，，∠∠。
求证：分析：过D 作⊥于E ，则，则构造出全等三角形，从而得证。
此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。
例3． 已知如图2-3，△的角平分线、相交于点P 。
求证：∠的平分线也经过点P 。
分析：连接，证平分∠即可，也就是证P 到、的距离相等。
练习：1．如图2-4∠∠15 ，，⊥，图2-1BC图2-2BC图2-3ABCA如果4，则（ ）A 4B 3C 2D 1 2．已知在△中，∠90 ，平分∠，1.52.5.求。
3．已知：如图2-5, ∠∠>，⊥，21（）.求证：∠∠180。
4.已知：如图2-6,在正方形中，E 为 的中点，F 为上的点，∠∠。
求证：。
5．已知：如图2-7，在△中，∠90 ⊥，垂足为D ，平分∠交于F ，过F 作交于H 。
求证。
（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的ABD图2-6ECD图2-7DBA三线合一的性质。
（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1． 已知：如图3-1，∠∠，>⊥于D ，H 是中点。
求证：21（）分析：延长交于点E ，则可得全等三角形。
问题可证。
例2． 已知：如图3-2，，∠90 ，为∠的平分线，⊥.求证：2。
分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3．已知：如图3-3在△中，、分别∠的内、外角平分线，过顶点B 作，交的延长线于F ，连结并延长交于M 。
求证：。
分析：由、是∠内外角平分线，可得⊥，从而有，所以想到利用比例线段证相等。
例4． 已知：如图3-4，在△中，平分∠，，⊥交延长线于M 。
求证：21（）B图3-2BC图3-3E分析：题设中给出了角平分线，自然想到以为轴作对称变换，作△关于的对称△，然后只需证21，另外由求证的结果21（），即2，也可尝试作△关于的对称△，然后只需证即可。
练习：1．已知：在△中，5，3，D 是中点，是∠的平分线，且⊥于E ，连接，求。
2．已知、分别是△的∠的内角与外角的平分线，⊥于F ，⊥于E ，连接分别交、于M 、N ，求证21（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。
或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。
如图4-1和图4-2所示。
图4-2图4-1ABC BIG例4 如图，>, ∠1=∠2，求证：－>－。
1 2ACD例5 如图，>，平分∠，且，求证：∠∠180。
例6 如图，∥，、分别平分∠各∠，求证：。
练习：1. 已知，如图，∠2∠A ，2。
求证：△是直角三角形。
2．已知：如图，2，∠1=∠2，，求证：⊥BD CAABEC DCAB3．已知、是△的角平分线，∠60°，求证：4．已知：如图在△中，∠90°，，是∠的平分线，求证：三 由线段和差想到的辅助线 口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：ABCDA E BDCAB DC1 21、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、已知如图1-1：D、E为△内两点,求证>.证明：（法一）将两边延长分别交、于M、N，在△中，>;（1）在△中，>；（2）在△中，>；（3）由（1）+（2）+（3）得：>∴>（法二：图1-2）延长交于F，廷长交于G，在△和△和△AB CD E NM11-图AB CD EFG21-图中有：>（三角形两边之和大于第三边）…（1） >（同上）（2） >（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得： > ∴>。
二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D 为△内的任一点，求证：∠>∠。
因为∠与∠不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠处于在外角的位置，∠处于在内角的位置；证法一：延长交于点E ，这时∠是△的外角， ∴∠>∠，同理∠>∠，∴∠>∠证法二：连接，并廷长交于F ，这时∠是△的 外角，∴∠>∠，同理，∠>∠，∴∠ ∠>∠∠，即：∠>∠。
ABCD E FG12 图注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图3-1：已知为△的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：>。
>，可利用三角形三边关系定理证明，须把，，移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把，，移到同个三角形中。
证明：在上截取，连接，，则， 在△和△中： （辅助线作法） ∠1=∠2（已知） （公共边）∴△≌△（）∴（全等三角形对应边相等） 同理可得：在△中>（三角形两边之和大于第三边） ∴>。
AB CD EFN13 图1234注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。
四、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图6-1：在△中，>，∠1=∠2，P为上任一点求证：>。
>，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边，故可在上截取等于，得，再连接，则，又在△中，<，即：>。
证明：（截长法）在上截取连接,在△和△中（辅助线作法）∠1=∠2（已知）（公共边）∴△≌△（）,∴（全等三角形对应边相等）∵在△中，有<（三角形两边之差小于第三边）∴<证明：（补短法）延长至M，使，连接，在△和△中（辅助线作法）ABCDNMP16图12∠1=∠2（已知） （公共边） ∴△≌△（）∴（全等三角形对应边相等）又∵在△中有：>(三角形两边之差小于第三边) ∴>。
例1．如图，平分∠，⊥，且∠∠180°，求证：。
例2如图，在四边形中，平分∠，⊥于E ，2，求证：∠∠180º例3已知：如图，等腰三角形中，，∠108°，平分∠。
求证：。
例4如图，已知△中，∠90°，是∠的平分线，⊥于M ，且。
求证：21。
DA E CBAE BCDCBMA1．如图，∥，、分别平分∠各∠，求证：。
2.如图，△中，∠90°，，是过A 的一条直线，且B ，C 在的异侧，⊥于D ，⊥于E 。
求证： 四 由中点想到的辅助线 口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。